Klausur Theorie der Programmiersprachen WS 2010

Technische Universität Chemnitz
Fakultät für Informatik
Prof. Dr. Andreas Goerdt
Klausur Theorie der Programmiersprachen
WS 2010/11
Aufgabe 1
(5 Punkte)
Die aussagenlogische Formel F auf dem Lösungsblatt ist unerfüllbar. Das
zeigt der angegebene Backtrackingbaum (Baum der Davis-Putnam Prozedur.)
Konstruieren Sie einen zu dem Baum gehörenden Resolutionsbeweis.
Schreiben Sie dazu an jeden Knoten des Baumes die zugehörige Kausel dieses
Resolutionsbeweises!
Die Formel F besteht aus den Klauseln:
A∨C
¬B ∨ ¬C
und ¬A ∨ C
und ¬B ∨ C
und
und B ∨ ¬C.
Backtrackingbaum:
F
B=1
[]
C=1
C=0
B=0
B=0
B=1
[]
[]
A=1
A=0
[]
[]
Aufgabe 2
(2+4+5=11 Punkte)
(a) Ergänzen Sie den Halbsatz auf dem Lösungsblatt zum Endlichkeitssatz
der Aussagenlogik!
Eine unendliche Menge aussagenlogischer Formeln ist unerfüllbar genau dann, wenn ...
(b) Wir betrachten Erfüllbarkeitsproblem für 2-KNF.
Geben Sie einen Polynomialzeitalgorithmus an, der dieses Problem auf
Basis der Resolution löst. Begründen Sie, warum ihr Algorithmus in
Polynomialzeit läuft.
Hinweis: Wieviele verschiedene Klauseln sind möglich?
(c) Transformieren Sie die aussagenlogische Formel auf dem Lösungsblatt
mit dem Linearzeitverfahren der Vorlesung in eine erfüllbarkeitsäquivalente Formel in 3-KNF.
(A ↔ B) ∧ ¬B → (A ∨ C)
Aufgabe 3
(4+3+2+2+4=15 Punkte)
(a) Transformieren Sie die prädikatenlogische Formel auf dem Lösungsblatt
in eine äquivalente bereinigte Formel in Pränexform.
∀x∃y P (x, y) → R(g(x)) ∧P (x, y) ∧¬ ∀xR(x) → ∀yQ(f (y))
(b) Transformieren Sie das Ergebnis aus (a) in Skolemform.
(c) Geben Sie drei Terme aus dem Herbrand Universum der Formel aus
(b) an.
(d) Geben Sie die kleinste Formel der Herbrand Expansion der Formel aus
(b) an.
(e) Stellen Sie die Formel aus (d) als Formel mit klassischen aussagenlogischen Variablen A, B, C, ... dar. (Das heißt, so wie die Grundresolution
die Formel sehen würde.)
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Aufgabe 4
(3+5=8 Punkte)
(a) Welche der beiden folgenden Aussagen ist richtig? Begründen Sie ihre
Antwort.
Das Allgemeingültigkeitsproblem der Prädikatenlogik ist ...“
”
(i) semi-entscheidbar
(ii) nicht semi-entscheidbar
(b) Wir betrachten die Reduktion des Post’schen Korrespondenzproblems
auf das Allgemeingültigkeitsproblem der Prädikatenlogik.
Geben Sie zu dem Post’schen Korrespondenzproblem auf dem Lösungsblatt die prädikatenlogische Formel an, die sich aus der Reduktion aus
der Vorlesung ergibt.
Post’sches Korrespondenzproblem = { (0, 011)
(11, 1) }
Aufgabe 5
(8 Punkte)
Geben Sie alle prädikatenlogischen Resolventen der beiden Klauseln auf dem
Lösungsblatt an.
n
o
n
o
und
¬P f (x) , ¬P (x)
P f (x) , ¬Q(z), P z
Dabei sind x und z Variablen.
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Aufgabe 6
(10(=4+4+2)+6=16 Punkte)
Wir betrachten das Hornklauselprogramm auf dem Lösungsblatt.
M (0, 0)
M S(x), S S(y) ← M (x, y)
• M ist ein zweistelliges Relationssymbol
• 0 eine Konstante
• S ist ein einstelliges Funktionssymbol
• x, y sind Variablen
(a) Wir betrachten die folgende Interpretation:
• Grundmenge sind die natürlichen Zahlen
• 0 ist die Null
• S ist die Addition mit 1.
(i) Lassen wir das Programm mit Zielklausel M (2, z) laufen, so wird
eine prädikatenlogische Formel als unerfüllbar nachgewiesen. Dabei ist 2 = S(S(0)), z eine Variable.
Geben Sie diese Formel in KNF an, inklusive aller Quantoren.
(ii) Führen Sie die Berechnung des Programms (SLD-Resolutionsbeweis)
mit Zielklausel M (2, z) vor.
Geben Sie die Unifikatoren an und vergessen Sie die Variablenumbenennungen nicht!
(iii) Geben Sie das Ergebnis an, das bei Eingabe der Zielklausel M (a, z),
a eine natürliche Zahl, z eine Variable, in z berechnet wird.
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(b) Wir betrachten eine andere Interpretation:
• Die Grundmenge ist unverändert die Menge der natürlichen Zahlen.
• M ist folgendermaßen interpretiert:
M (a, b) ist wahr genau dann, wenn a ≤ b ist.
• Der Rest ist unverändert.
Ihre in Teil (a)(i) angegebene Formel ist in dieser Interpretation falsch.
Demonstrienen Sie das durch Hochgehen“ in dem Beweis aus Teil
”
(a)(ii).
• Geben Sie den Weg durch den Beweis an, der zeigt, dass die Formel
auch in der angegebenen Interpretation falsch ist.
• Begründen Sie für jede Klausel auf dem Weg, warum sie zu diesem
Weg gehört.
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