¨Ubungen Vektoranalysis – PHY.E20

Übungen Vektoranalysis – PHY.E20
SS 2015 – 05.05.2015 – 6. Blatt: Differenzialoperatoren
Aufgabe 30: Es seien φ(r), A(r) und B(r) stetig differenzierbare Skalare- bzw.
Vektorfelder. Zeigen Sie folgende Identitäten
a) ∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B)
b) ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − (∇ · ∇)A
Aufgabe 31: Berechne für A = (x2 z, yz 3 , −3xy), B = (y 2 , −yz, 2x) und φ =
2x2 + yz:
a)
b)
c)
d)
A · (∇ · φ)
(A · ∇) · φ
(∇ · A) · B
∇ · (A × B)
Aufgabe 32: Beweise: Das Kraftfeld F = (3z 2 · sin(x), 2z 3 , 6z · (zy − cos(x))
ist konservativ. Was gilt allgemein für konservative und nicht-konservative
Kraftfelder in Bezug auf das entsprechende Potential φ(r)? Welcher Ausdruck ergibt sich für φ(r) in diesem Beispiel?
Aufgabe 33: Bilde Rotor und Divergenz des Vektorfelds
F(x, y, z) = e2(y−z) (4x + z 2 , 3y 2 + z, x2 + z)
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Aufgabe 34: Die Ausbreitung von Licht im Vakuum lässt sich im Rahmen der
Wellenoptik durch die berühmten Maxwell-Gleichungen beschreiben. Diese
setzen das elektrische Feld E mit dem magnetischen Feld H unter folgenden
Regeln in Zusammenhang:
∇·D=0
∇·B=0
∂B
∂t
∂D
∇×H=
∂t
∇×E=−
Hier bezeichnet D = 0 · E die dielektrische Verschiebung im Vakuum und
B = µ0 · H die magnetische Flussdichte im Vakuum.
0 = 8.854 · 10−12 VA ms bezeichnet man auch als Dielektrizitätskonstate des
Vakuums und µ0 = 4π · 10−7 AV ms als Permeabilität des Vakuums.
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Zeige, dass E und H jeweils die Wellengleichung c2 ·∆u = ∂∂t2u erfüllen, wobei
c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum bezeichnet. Verwende dazu die Beziehung aus Aufgabe 30b. Wie können die obigen Gleichungen physikalisch
interpretiert werden?
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Aufgabe 35: Gegeben ist das elektrische Potential eines Dipols φ(r) = 4π
· p·r
r3
0
mit dem elektrischen Dipolmoment p 6= f (r) und das Vektorpotential eines
µ0
· µ×r
mit dem magnetischen Dipolmoment
magnetischen Dipols A = 4π
r3
µ 6= f (r). 0 und µ0 sind universelle Konstanten.
a) Berechne das elektrische Feld E = −∇φ(r) eines elektrischen Dipols.
b) Berechne die magnetische Flussdichte B = ∇ × A eines magnetischen Dipols.
Verwende die Koordinatenschreibweise.
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