Lösungen 2. Quiz Theoretische Physik III Institut

Lösungen
Institut für theoretische Physik, JKU Linz
Termin: 15.12.2010
2. Quiz Theoretische Physik III
SS 2010
1.
Fragen (je 2 Punkte, insg. 6 Punkte)
∂2
(a) Kreuzen Sie die Lösungen der inhomogenen Wellengleichung, ∆ψ − c12 ∂t
2 ψ(r, t) = −4πρ(r, t),
an. Die Punkte ergeben sich aus der Differenz richtiger Kreuzerl
mit Falschen
(je ±1 Punkt).
Z
0 0
0
ρ(r , t )
|r − r |
ψ(r, t) = d3 r0 dt0
δ t0 +
−t
0
|r − r |
c
Z
ρ(r0 , t)
ψ(r, t) = d3 r0
|r − r0 |
Z
ρ(r0 , t + |r − r0 |/c)
ψ(r, t) = d3 r0
|r − r0 |
ψ(r, t) = A ei(k·r−|k|c t)
Z
ρ(r0 , t − |r − r0 |/c)
+ A ei(kr−ωt)
ψ(r, t) = d3 r0
0
|r − r |
ψ(r, t) = 1
(b) Wie lauten die Randbedingungen für die Felder E und D sowie das skalare Potential an den
Grenzflächen zweier Dielektrika?
Die Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes, Ek , sind stetig.
Die Normalkomponente der Verschiebung, D⊥ , sind stetig.
Das skalare Potential φ ist stetig.
(c) Wie lauten die Randbedingungen für H und B an den Grenzflächen zweier magnetischer Stoffe?
(1)
(2)
Die Normalkomponente von B ist stetig, B⊥ = B⊥ .
(1)
(2)
Die Tangentialkomponenten von H sind stetig, Hk = Hk .
2.
Dipol-Dipol Wechselwirkung (4 Punkte)
Gruppe A: Bestimmen Sie die potentielle Energie eines elektrischen Dipols im Feld eines anderen
elektrischen Dipols. Beide Dipole haben ein beliebig orientiertes Dipolmoment.
Hinweis: Das Potential eines elektrischen Dipols im Ursprung ist φ(r) =
1 p·r
.
4π0 r3
Gruppe B: Bestimmen Sie die potentielle Energie eines magnetischen Dipols im Feld eines anderen
magnetischen Dipols. Beide Dipole haben ein beliebig orientiertes Dipolmoment.
Hinweis: Das Potential eines magnetischen Dipols im Ursprung ist A(r) =
µ0 m×r
.
4π r3
∇ (A · B) = (B · ∇) A + B × (∇ × A) + (A · ∇) B + A × (∇ × B)
∇ × (A × B) = (B · ∇) A + A (∇ · B) − (A · ∇) B − B (∇ · A)
Elektrische Dipole (singuläre Teile des Felds am Ursprung werden mangels Relevanz ignoriert):
1
1
E(r) = −∇φ(r) =
∇ p·∇
4π0
r
1
1
1
1
1
=
∇
· ∇ p+ ∇
× (∇ × p) + (p · ∇) ∇
+p× ∇× ∇
| {z }
4π0
r
r
r
r
|
{z
}
|
{z
}
0
0
rot grad→0
1
1
3
−3/2
−3/2
−5/2
Ei (r) = −∇i φ(r) = −
pj ∇j xi (xk xk )
=−
pj δi,j (xk xk )
− xi (xk xk )
2xj
4π0
4π0
2
Das Feld eines elektrischen Dipols mit Dipolmoment p1 im Ursprung ist also:
Edp (r) =
1 3r̂ (r̂ · p1 ) − p1
4π0
r3
Bekanntlich ist die Energie eines Dipols im Feld W = −p · E, befindet sich ein Dipole mit p2 in Entfernung
r vom ersten Dipol so ist demnach
W =
1 p1 · p2 − 3(r̂ · p2 ) (r̂ · p1 )
.
4π0
r3
Magnetische Dipole:
µ0
1
∇× m×∇
4π
r
1
1
1
1
µ0
∇
·∇ m+m ∇· ∇
− (m · ∇) ∇
− ∇
(∇ · m)
=
4π
r
r
r
r
µ0
1
= − (m · ∇) ∇
4π
r
B(r) = ∇ × A(r) =
Ab jetzt völlig analog zu den elektrischen Dipolen, p → m, 0 → 1/µ0 .
3.
Ladungs-Ebene, Vakuum, Dielektrikum, Vakuum (6 Punkte)
In der y/z-Ebene befinde sich eine flächige Ladungsverteilung mit
der Flächenladungsdichte σ welche die gesamte Ebene ausfüllt (d.h.
es treten keine Randeffekte auf). Zwischen x = a > 0 und x =
b > a befinde sich ein Dielektrikum mit Dielektrizität = r 0 .
Bestimmen und skizzieren Sie das elektrische Feld E und das skalare
Potential φ dieser Anordnung für x > 0.
Satz von Gauß:
Z
d2 r · E =
σ
0
ε
a
b
Q
0
Wählt man als Volumen einen Zylinder mit Deckel (Fläche A) parallel zu Ladungsfläche welche er einschliesst, so ist (das Feld muss natürlich normal auf die Fläche sein):
2AE =
σA
0
Die Höhe des Zylinders hat keinen Einfluss, solange also das Dielektrikum nicht berührt wird ist. Da das
Dielektrikum keine Nettoladung beinhaltet muss rechts vom Dielektrikum das selbe E-Feld herrschen wie
links davon,
σ
E(x < a) = E(x > b) =
ex .
20
Am Rand des Dielektrikums muss das D-Feld stetig sein (das E− bzw. D−Feld ist ohnehin normal auf das
Dielektrikum), im Inneren gilt also
E(a < x < b) =
D
σ
=
ex .
2r 0
Für ein konstantes E-Feld muss das Potential linear sein (ohne Sprünge an den Rändern, aber mit geringerer
Steigung im Dielektrikum).