Zählen und Zahlbereiche

Zählen und Zahlbereiche
Chris Preston
Wintersemester 2007/08
Skript ohne Beweise
Inhaltsverzeichnis
1 Mengen und Abbildungen
3
2 Zählen
7
3 Die natürlichen Zahlen
12
4 Konstruktion der ganzen Zahlen
14
5 Die ganzen Zahlen
23
6 Die rationalen Zahlen
27
7 Teilbarkeit
37
1
Mengen und Abbildungen
Es wird davon ausgegangen, dass man schon eine Vorstellung hat, was eine Menge
ist. Wichtige Mengen, die man längst gut kennt, sind:
— Die Menge N = {1, 2, . . . } der natürlichen Zahlen.
— Die Menge Z = { . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . } der ganzen Zahlen.
— Die Menge Q der rationalen Zahlen.
Sei X eine Menge; ist x irgendein Element, so bedeutet x ∈ X, dass x in X liegt.
Liegt x nicht in X, so schreibt man x ∈
/ X. Zum Beispiel ist 3 ∈ N, −2 ∈
/ N,
3 ∈ Z, −2 ∈ Z, 21 ∈ Q, 21 ∈
/ Z.
Eine Menge Y ist Teilmenge einer Menge X (geschrieben Y ⊂ X), wenn y ∈ X
für jedes y ∈ Y gilt. Insbesondere gilt N ⊂ Z ⊂ Q.
Zwei Mengen X und Y sind natürlich genau dann gleich, wenn jede eine Teilmenge
der anderen ist: Es gilt X = Y genau dann, wenn X ⊂ Y und Y ⊂ X.
Eine besondere Menge ist die leere Menge ∅, die kein Element enthält. Die leere
Menge ist Teilmenge von jeder Menge.
Sind x1 , . . . , xn Elemente von X, so wird die Teilmenge von X, die genau aus
diesen Elementen besteht, mit {x1 , . . . , xn } bezeichnet. Zum Beispiel ist {1, 2, 4}
die Teilmenge von N bestehend aus genau den Elementen 1, 2 und 4.
Teilmengen von X entstehen meistens mit Hilfe von Eigenschaften. Zum Beispiel
bezeichnet {n ∈ N : 3 < n < 7} die Teilmenge von N, die aus den Elementen 4, 5
und 6 besteht, da es gerade diese drei natürlichen Zahlen sind, die die Eigenschaft
haben, dass sie strikt zwischen 3 und 7 liegen. Die allgemeine Form von einer
Teilmenge, die durch eine Eigenschaft bestimmt wird, ist
{x ∈ X : E(x)} ,
wobei E(x) ein Ausdruck ist, der für jedes Element x von X entweder den Wert
wahr oder falsch annimmt, und {x ∈ X : E(x)} ist per Definition die Teilmenge
von X, die aus allen Elementen x von X besteht, für die E(x) wahr ist.
Aus Mengen X und Y kann man weitere Mengen konstruieren:
Es gibt die Menge X ∪ Y mit der folgenden Eigenschaft: Ein Element a liegt in
X ∪ Y genau dann, wenn a in mindestens einer der Mengen X und Y liegt; X ∪ Y
heißt die Vereinigung von X und Y . Die Mengen X und Y sind beide Teilmengen
der Vereinigung X ∪ Y .
Es gibt die Menge X ∩ Y mit der folgenden Eigenschaft: Ein Element a liegt in
X ∩ Y genau dann, wenn a sowohl in X als auch in Y liegt; X ∩ Y heißt der
3
1 Mengen und Abbildungen
4
Durchschnitt von X und Y . Der Durchschnitt X ∩ Y ist eine Teilmenge sowohl
von X als auch von Y .
Es gibt eine Menge X \ Y mit der Eigenschaft: Ein Element a liegt in X \ Y
genau dann, wenn a ∈ X aber x ∈
/ Y . Also ist X \ Y eine Teilmenge von X.
Sind X, Y, Z Mengen, so gilt (X ∪ Y ) ∪ Z = X ∪ (Y ∪ Z) und wir bezeichnen
diese Menge einfach mit X ∪ Y ∪ Z. Ein Element a liegt in X ∪ Y ∪ Z genau
dann, wenn a in mindestens einer der Mengen X, Y und Z liegt.
Genauso gilt (X ∩ Y ) ∩ Z = X ∩ (Y ∩ Z) und wir bezeichnen diese Menge einfach
mit X ∩ Y ∩ Z. Ein Element a liegt in X ∩ Y ∩ Z genau dann, wenn a in jeder
der Mengen X, Y und Z liegt.
Seien X, Y Mengen; die Menge aller Paare (x, y) mit x ∈ X und y ∈ Y heißt
cartesisches Produkt von X und Y und wird mit X × Y bezeichnet. Zwei Paare
(x, y) und (x′ , y ′) sind genau dann gleich, wenn x = x′ und y = y ′. Wenn X = Y ,
so schreibt man X 2 statt X × X. Insbesondere kennt man wahrscheinlich die
Menge R2 aller Paare reeller Zahlen als Darstellung der euklidischen Ebene.
Seien X und Y Mengen. Eine Abbildung oder eine Funktion f von X nach Y ist
eine Vorschrift, die jedem Element von X genau ein Element von Y zuordnet.
Das dem Element x ∈ X zugeordnete Element von Y wird mit f (x) bezeichnet.
(Die Wörter Funktion und Abbildung haben die gleiche Bedeutung; wir verwenden aber meistens das Wort Abbildung .)
Ist f eine Abbildung, so schreibt man f : X → Y um zu zeigen, dass f eine
Abbildung von X nach Y ist. Abbildungen f, g : X → Y sind per Definition
gleich, wenn f (x) = g(x) für jedes x ∈ X.
Für jede Menge X gibt es die Identitätsabbildung idX : X → X, die definiert ist
durch idX (x) = x für alle x ∈ X.
Seien X, Y, Z Mengen und seien f : X → Y und g : Y → Z Abbildungen. Dann
gibt es die Abbildung g ◦ f : X → Z, die definiert ist durch
(g ◦ f )(x) = g(f (x))
für alle x ∈ X. Diese Abbildung heißt die Komposition oder Zusammensetzung
von f und g.
Eine Abbildung f : X → Y heißt injektiv , wenn aus f (x) = f (x′ ) stets x = x′
folgt. Äquivalent dazu ist: Für alle x, x′ ∈ X mit x 6= x′ ist f (x) 6= f (x′ ). Auch
äquivalent dazu ist: Zu jedem y ∈ Y gibt es höchstens ein x ∈ X mit f (x) = y.
Lemma 1.1 Sind f : X → Y und g : Y → Z injektive Abbildungen, so ist die
Komposition g ◦ f : X → Z ebenfalls injektiv.
1 Mengen und Abbildungen
5
Eine Abbildung f : X → Y heißt surjektiv , wenn es zu jedem y ∈ Y mindestens
ein x ∈ X mit f (x) = y gibt.
Lemma 1.2 Sind f : X → Y und g : Y → Z surjektive Abbildungen, so ist die
Komposition g ◦ f : X → Z ebenfalls surjektiv.
Eine Abbildung f : X → Y heißt bijektiv , wenn sie sowohl injektiv als auch
surjektiv ist. Äquivalent dazu ist: Zu jedem y ∈ Y gibt es genau ein x ∈ X mit
f (x) = y.
Für jede Menge X ist die Identitätsabbildung idX : X → X bijektiv.
Lemma 1.3 Sind f : X → Y und g : Y → Z bijektive Abbildungen, so ist die
Komposition g ◦ f : X → Z ebenfalls bijektiv.
Sei f : X → Y eine bijektive Abbildung. Da es zu jedem y ∈ Y genau ein x ∈ X
mit f (x) = y gibt, können wir eine Abbildung f −1 : Y → X definieren durch:
Für jedes y ∈ Y ist f −1 (y) ∈ X das eindeutige Element mit f (f −1(y)) = y. Also
ist f −1 die eindeutige Abbildung mit f ◦ f −1 = idY . Die Abbildung f −1 : Y → X
heißt Umkehrabbildung von f .
Lemma 1.4 Die Abbildung f −1 : Y → X ist bijektiv und es gilt f −1 ◦ f = idX .
Seien X und Y Mengen; gibt es eine bijektive Abbildung f : X → Y , dann
schreiben wir X ≈ Y .
Lemma 1.5 (1) Für jede Menge X gilt X ≈ X.
(2) Sind X und Y Mengen mit X ≈ Y , so gilt auch Y ≈ X.
(3) Sind X, Y und Z Mengen mit X ≈ Y und Y ≈ Z, so gilt ebenfalls X ≈ Z.
Man sagt, dass die Mengen X und Y disjunkt sind, wenn X ∩ Y = ∅, d.h. wenn
X und Y kein gemeinsames Element besitzen.
Lemma 1.6 Seien X, X ′ , Y, Y ′ Mengen mit X ≈ X ′ und Y ≈ Y ′ . Nehme an,
dass X und Y disjunkt sind und dass auch X ′ und Y ′ disjunkt sind. Dann ist
X ∪ Y ≈ X ′ ∪ Y ′.
Lemma 1.7 Seien X, X ′ , Y, Y ′ Mengen mit X ≈ X ′ und Y ≈ Y ′ . Dann ist
X × Y ≈ X ′ × Y ′.
1 Mengen und Abbildungen
6
Lemma 1.8 Für alle Mengen X, Y ist X × Y ≈ Y × X.
Lemma 1.9 Für alle Mengen X, Y, Z ist (X × Y ) × Z ≈ X × (Y × Z).
Lemma 1.10 (1) Seien X, Y Mengen; dann gibt es disjunkte Mengen X ′ , Y ′ ,
so dass X ≈ X ′ und Y ≈ Y ′ .
(2) Seien X, Y, Z Mengen; dann gibt es disjunkte Mengen X ′ , Y ′ , Z ′ (d.h. mit
X ′ ∩ Y ′ = ∅, X ′ ∩ Z ′ = ∅ und Y ′ ∩ Z ′ = ∅), so dass X ≈ X ′ , Y ≈ Y ′ und
Z ≈ Z ′.
2
Zählen
Sei N = {1, 2, 3, . . .} die Menge der natürlichen Zahlen.
Beim Zählen fangen wir mit der Zahl 1 an und für jede Zahl n, die wir durch
Zählen erreicht haben, gibt es dann die darauf folgende Zahl, die wir mit s(n)
bezeichnen und die Nachfolge von n genannt wird. Es gilt also:
1, 2 = s(1), 3 = s(2), 4 = s(3), 5 = s(4), 6 = s(5), . . . .
Die folgenden zwei Eigenschaften der Nachfolge-Operation kennt man sicherlich
gut:
(P1) Für alle n ∈ N ist 1 6= s(n). (Die Eins ist kein Nachfolger.)
(P2) Für alle m, n ∈ N mit m 6= n ist s(m) 6= s(n). (Verschiedene Zahlen haben
verschiedene Nachfolger.)
Was man nun wahrscheinlich für selbstverständlich richtig hält, ist Folgendes:
Wenn wir eine beliebige Zahl nehmen, dann wird diese Zahl durch Zählen ‘nach
endlich vielen Schritten’ erreicht. Um diese Eigenschaft zu verwenden, müssen wir
genauer sagen, was ‘nach endlich vielen Schritten’ bedeutet. (Es ist zwar richtig,
dass man zum Beispiel die Zahl 42 in 42 Schritten erreicht, aber in dieser Form ist
die Aussage wenig hilfreich.) Die folgende Regel, die etwas gewöhnungsbedürftig
ist, ist die mathematisch genaue Formulierung der obigen Eigenschaft:
(I) Sei N eine Teilmenge von N, für die gilt:
(⋄) 1 ∈ N.
(⋆) Für jedes n ∈ N ist auch s(n) ∈ N.
Dann ist N = N.
Regel (I) wird oft mit Hilfe von Aussagen umformuliert, wobei eine Aussage
irgendetwas ist, das entweder wahr oder falsch ist. Diese Umformulierung heißt
das Prinzip der vollständigen Induktion und lautet:
Für jedes n ∈ N sei P(n) eine Aussage. Nehme an:
(⋄) Es gilt P(1).
(⋆) Ist n ein Element von N, für das P(n) gilt, so gilt auch P(s(n)).
Dann gilt P(n) für jedes n ∈ N.
Ist N eine Teilmenge von N, so gibt es für jedes n ∈ N die Aussage P(n), dass
n ∈ N. Ist umgekehrt P(n) eine Aussage für jedes n ∈ N, so gibt es die Teilmenge
N von N mit N = {n ∈ N : P(n) gilt}. Nun gelten (⋄) und (⋆) für P genau dann,
7
2 Zählen
8
wenn (⋄) und (⋆) für N gelten, und folglich ist das Prinzip der vollständigen
Induktion lediglich eine Umformulierung von Regel (I).
Ob man lieber Regel (I) oder das Prinzip der vollständigen Induktion verwendet,
muss man selber entscheiden. Im Folgenden werden wir meistens mit dem Prinzip
der vollständigen Induktion arbeiten.
Zusammen mit der Aussage, dass 1 eine näturliche Zahl ist, bilden die Regeln
(P1), (P2) und (I) die so genannten Peano-Axiome für die Nachfolger-Operation
s auf den natürlichen Zahlen. Wir nehmen nun stets an, dass die Regeln (P1),
(P2) und (I) gelten.
Unser Ziel ist es nun zu erklären, wie man aus dem Zählen (d.h. aus den PeanoAxiomen) zu der Addition und zu der Multiplikation von natürlichen Zahlen
gelangt.
Wir zeigen zunächst, wie die Addition + in N entsteht.
Sei N2 die Menge aller Paare natürlicher Zahlen. Ein Element von N2 hat also
die Form (m, n) mit m, n ∈ N. Sei m ∈ N; eine Teilmenge T von N2 wird eine
Am -Tabelle genannt, wenn gilt:
(A1m ) Das Paar (1, s(m)) liegt in T .
(A2m ) Ist (n, k) ∈ T , so ist auch (s(n), s(k)) ∈ T .
(A3m ) Für jedes n ∈ N gibt es genau ein k ∈ N, so dass (n, k) ∈ T .
Eine Am -Tabelle soll man sich vorstellen als die Menge aller Paare in N2 , die die
Form (n, m + n) haben, aber ohne die Addition + explizit zu erwähnen. Zum
Beispiel sieht der Anfang einer (und der einzigen) A4 -Tabelle etwa so aus:
1 5
2 6
3 7
4 8
5 9
6 10
7 11
8 12
..
.
Satz 2.1 Zu jedem m ∈ N gibt es genau eine Am -Tabelle Tm .
2 Zählen
9
Nach Satz 2.1 gibt es zu jedem m ∈ N genau eine Am -Tabelle Tm . Seien m, n ∈ N;
nach (A3m ) gibt es genau ein k ∈ N, so dass (n, k) ∈ Tm ; diese Zahl k wird mit
m+n
bezeichnet. Sei m ∈ N; nach (A1m ) ist (1, s(m)) ∈ Tm und damit ist m+ 1 = s(m).
Ist n ∈ N mit m + n = k, so ist (n, k) ∈ Tm . Also ist nach (A2m ) (s(n), s(k)) ∈ Tm
und daher ist m + s(n) = s(k) = s(m + n). Daraus ergibt sich, dass die Addition
+ folgende Eigenschaften hat:
(a0) Für alle m ∈ N gilt m + 1 = s(m).
(a1) Für alle m, n ∈ N gilt m + s(n) = s(m + n).
Satz 2.2 Die Addition + is die einzige Verknüpfung auf N, für die gilt:
(a0) Für alle m ∈ N ist m + 1 = s(m).
(a1) Für alle m, n ∈ N ist m + s(n) = s(m + n).
Dies bedeutet: Ist ⊕ eine weitere Verknüpfung, für die (a0) und (a1) gelten, (d.h.
es gilt m ⊕ 1 = s(m) für alle m ∈ N und m ⊕ s(n) = s(m ⊕ n) für alle m, n ∈ N),
so ist ⊕ = +, d.h. es gilt m ⊕ n = m + n für alle m, n ∈ N.
Theorem 2.1 Die Addition + unterliegt den folgenden Regeln:
(A1) Für alle ℓ, m, n ∈ N gilt (ℓ + m) + n = ℓ + (m + n).
(A2) Für alle m, n ∈ N gilt m + n = n + m.
(B1) Für alle m, n ∈ N ist m 6= m + n.
(B2) Sind m, n ∈ N mit m 6= n, so gibt es entweder ein k ∈ N mit m = n + k
oder ein ℓ ∈ N mit n = m + ℓ.
Wir zeigen nun, wie die Multiplikation · in N aus den Peano-Axiomen entsteht.
Dabei verwenden wir die Regeln (A1), (A2), (B1) und (B2) für die Addition in
N, die in Theorem 2.1 vorkommen.
Sei m ∈ N; eine Teilmenge T von N2 wird eine Mm -Tabelle genannt, wenn gilt:
(M1m ) Das Paar (1, m) liegt in T .
(M2m ) Ist (n, k) ∈ T , so ist auch (s(n), k + m) ∈ T .
(M3m ) Für jedes n ∈ N gibt es genau ein k ∈ N, so dass (n, k) ∈ T .
2 Zählen
10
Eine Mm -Tabelle soll man sich vorstellen als die Menge aller Paare in N2 , die die
Form (n, mn) haben, aber ohne die Multiplikation · explizit zu erwähnen. Zum
Beispiel sieht der Anfang einer (und der einzigen) M4 -Tabelle etwa so aus:
1
2
3
4
5
6
7
8
4
8
12
16
20
24
28
32
..
.
Satz 2.3 Zu jedem m ∈ N gibt es genau eine Mm -Tabelle Tm .
Nach Satz 2.3 gibt es zu jedem m ∈ N genau eine Mm -Tabelle Tm . Seien m, n ∈ N;
nach (M3m ) gibt es genau ein k ∈ N, so dass (n, k) ∈ Tm ; diese Zahl k wird mit
m·n
(oder lediglich mn) bezeichnet. Sei m ∈ N; nach (M1m ) ist (1, m) ∈ Tm und damit
ist m · 1 = m. Ist n ∈ N mit m · n = k, so ist (n, k) ∈ Tm . Also ist nach (M2m )
(s(n), k + m) ∈ Tm und daher ist m · s(n) = k + m = m · n + m. Daraus ergibt
sich, dass die Multiplikation · folgende Eigenschaften hat:
(m0) Für alle m ∈ N gilt m · 1 = m.
(m1) Für alle m, n ∈ N gilt m · s(n) = m · n + m.
Satz 2.4 Die Multiplikation · is die einzige Verknüpfung auf N, für die gilt:
(m0) Für alle m ∈ N ist m · 1 = m.
(m1) Für alle m, n ∈ N ist m · s(n) = m · n + m.
Dies bedeutet: Ist ⊗ eine weitere Verknüpfung, für die (m0) und (m1) gelten,
(d.h. es gilt m ⊗ 1 = m für alle m ∈ N und m ⊗ s(n) = m ⊗ n + m für alle
m, n ∈ N), so ist ⊗ = ·, d.h. es gilt m ⊗ n = m · n für alle m, n ∈ N.
2 Zählen
11
Theorem 2.2 Die Multiplikation · unterliegt den folgenden Regeln:
(M1) (ℓ · m) · n = ℓ · (m · n) für alle ℓ, m, n ∈ N.
(M2) m · n = n · m für alle m, n ∈ N.
(M3) 1 · m = m für alle m ∈ N.
Für die Addition und Multiplikation gilt ferner die folgende Regel:
(D) ℓ · (m + n) = ℓ · m + ℓ · n für alle ℓ, m, n ∈ N.
Man kann (a0), (a1), (m0) und (m1) als praktische Regeln für die Addition und
Multiplikation von natürlichen Zahlen ansehen.
Setze 2 = s(1), 3 = s(2), 4 = s(3), 5 = s(4) usw.; dann ist zum Beispiel
(a1)
4 + 3 = 4 + s(2) = s(4 + 2)
(a1)
(a0)
= s(4 + s(1)) = s(s(4 + 1)) = s(s(s(4))) = s(s(5)) = s(6) = 7
und ferner ist zum Beispiel
(m1)
(m1)
2 · 3 = 2 · s(2) = 2 · 2 + 2 = 2 · s(1) + 2 = (2 · 1 + 2) + 2
(m0)
(a1)
(a0)
= (2 + 2) + 2 = (2 + s(1)) + 2 = s(2 + 1) + 2 = s(s(2)) + 2
(a1)
(a0)
= s(3) + 2 = 4 + 2 = 4 + s(1) = s(4 + 1) = s(s(4)) = s(5) = 6 .
3
Die natürlichen Zahlen
Die Menge {1, 2, . . .} der natürlichen Zahlen wird mit N bezeichnet.
Natürliche Zahlen kann man addieren; die Summe von m und n wird mit m + n
bezeichnet. Die Addition unterliegt den folgenden Regeln:
(A1) Für alle ℓ, m, n ∈ N gilt (ℓ + m) + n = ℓ + (m + n).
(A2) Für alle m, n ∈ N gilt m + n = n + m.
(B1) Für alle m, n ∈ N ist m 6= m + n.
(B2) Sind m, n ∈ N mit m 6= n, so gibt es entweder ein k ∈ N mit m = n + k
oder ein ℓ ∈ N mit n = m + ℓ.
Lemma 3.1 (Kürzungsregeln) (1) Aus p + m = p + n folgt m = n.
(2) Aus m + p = n + p folgt m = n.
Lemma 3.2 Seien m, n ∈ N mit m 6= n; dann gilt genau eine der Aussagen:
(1) Es gibt ein k ∈ N, so dass m = n + k.
(2) Es gibt ein ℓ ∈ N, so dass n = m + ℓ.
Satz 3.1 Seien m, n ∈ N mit m 6= n; dann gilt genau eine der Aussagen:
(1) Es gibt genau ein k ∈ N, so dass m = n + k.
(2) Es gibt genau ein ℓ ∈ N, so dass n = m + ℓ.
Seien m, n ∈ N; wir schreiben m < n, wenn es ein ℓ ∈ N gibt, so dass n = m + ℓ
und sagen, dass m kleiner ist als n. Man kann hier auch n > m schreiben und
sagen, dass n größer ist als m. Mit Hilfe von < können die Regeln (B1) und (B2)
ausgedrückt werden als:
(B1′ ) Für alle m ∈ N gilt m < m nicht.
(B2′ ) Sind m, n ∈ N mit m 6= n, so ist entweder m < n oder n < m.
In der Tat haben wir Folgendes:
Satz 3.2 (Trichotomie) Für alle m, n ∈ N gilt genau eine der Aussagen:
(1) Die Zahlen m und n sind gleich: Es gilt m = n.
(2) m ist kleiner als n: Es gilt m < n.
(3) n ist kleiner als m: Es gilt n < m.
12
3 Die natürlichen Zahlen
13
Satz 3.3 (1) Sind ℓ, m, n ∈ N mit ℓ < m und m < n, so ist ℓ < n.
(2) Sind m, n ∈ N mit m < n, so ist m + p < n + p für alle p ∈ N.
(3) Sind m, n, p, q ∈ N mit m < n und p < q, so ist m + p < n + q.
Es ist nützlich, nicht nur die Kleiner-Relation, sondern auch die Kleiner-gleichRelation zur Verfügung zu haben. Seien m, n ∈ N; wir schreiben m ≤ n, wenn
entweder m < n oder m = n und sagen, dass m kleiner gleich n ist. Man kann
hier auch n ≥ m schreiben und sagen, dass n größer gleich m ist.
Satz 3.4 (1) Für alle m, n ∈ N gilt m ≤ n oder n ≤ m.
(2) Es gilt m ≤ n und n ≤ m genau dann, wenn m = n.
(3) Sind ℓ, m, n ∈ N mit ℓ ≤ m und m ≤ n, so ist ℓ ≤ n. Ferner ist ℓ = n genau
dann, wenn ℓ = m und m = n.
(4) Sind m, n, p, q ∈ N mit m ≤ n und p ≤ q, so ist m + p ≤ n + q. Ferner ist
m + p = n + q genau dann, wenn m = n und p = q.
Natürliche Zahlen kann man multiplizieren; das Produkt von m und n wird mit
m·n oder lediglich mit mn bezeichnet. Die Multiplikation unterliegt den folgenden
Regeln:
(M1) Für alle ℓ, m, n ∈ N gilt (ℓm)n = ℓ(mn).
(M2) Für alle m, n ∈ N gilt mn = nm.
(M3) Für jedes m ∈ N ist 1m = m.
Für die Addition und Multiplikation gilt ferner die folgende Regel:
(D) Für alle ℓ, m, n ∈ N ist ℓ(m + n) = ℓm + ℓn.
Lemma 3.3 (1) Für alle ℓ, m, n ∈ N ist (m + n)ℓ = mℓ + nℓ.
(2) Für alle m, n, p, q ∈ N ist (m + n)(p + q) = mp + (mq + (np + nq)).
Lemma 3.4 (Kürzungsregeln) (1) Aus pm = pn folgt m = n.
(2) Aus mp = np folgt m = n.
Satz 3.5 (1) Sind m, n ∈ N mit m < n, so ist mp < np für alle p ∈ N.
(2) Sind m, n, p, q ∈ N mit m < n und p < q, so ist mp < nq.
Satz 3.6 Sind m, n, p, q ∈ N mit m ≤ n und p ≤ q, so ist mp ≤ nq. Ferner ist
mp = nq genau dann, wenn m = n und p = q.
4
Konstruktion der ganzen Zahlen
In diesem Kapitel überlegen wir, wie die ganzen Zahlen aus den natürlichen
Zahlen entstehen (oder wie sie aus den natürlichen Zahlen “konstruiert” werden
können).
Es wird hier angenommen, dass lediglich die natürlichen Zahlen zur Verfügung
stehen. Alles weitere müssen wir selber “zusammenbasteln”.
Als erstes fügen wir die Null zu den natürlichen Zahlen hinzu. Sei 0 ein Element,
das nicht in N liegt und setze N0 = N ∪ {0}. Die Addition und Multiplikation auf
N wird auf N0 fortgesetzt. Per Definition ist
n+0=0+n=n
und
n·0 =0·n = 0
für alle n ∈ N0 . Insbesondere ist 0 + 0 = 0 und 0 · 0 = 0.
Satz 4.1 Für die Addition und Multiplikation auf N0 gelten folgende Regeln:
(A1) Für alle ℓ, m, n ∈ N0 gilt (ℓ + m) + n = ℓ + (m + n).
(A2) Für alle m, n ∈ N0 gilt m + n = n + m.
(A3) Für jedes m ∈ N0 gilt 0 + m = m.
(M1) Für alle ℓ, m, n ∈ N0 gilt (ℓm)n = ℓ(mn).
(M2) Für alle m, n ∈ N0 gilt mn = nm.
(M3) Für jedes m ∈ N0 ist 1m = m.
(D) Für alle ℓ, m, n ∈ N0 ist ℓ(m + n) = ℓm + ℓn.
Lemma 4.1 (Kürzungsregeln) Seien m, n, p ∈ N0 .
(1) Aus p + m = p + n folgt m = n.
(2) Aus m + p = n + p folgt m = n.
Wir setzen nun auch die auf N definierte Kleiner-Relation < auf N0 fort: Seien
m, n ∈ N0 ; wir schreiben m < n, wenn es ein ℓ ∈ N gibt, so dass n = m + ℓ.
(Man beachte: Hier muss die Zahl ℓ aus N kommen.)
Lemma 4.2 (1) Es gilt 0 < n für alle n ∈ N.
(2) Für alle n ∈ N0 gilt n < 0 nicht.
14
4 Konstruktion der ganzen Zahlen
15
Satz 4.2 (Trichotomie) Für alle m, n ∈ N0 gilt genau eine der Aussagen:
(1) Die Zahlen m und n sind gleich: Es gilt m = n.
(2) m ist kleiner als n: Es gilt m < n.
(3) n ist kleiner als m: Es gilt n < m.
Wie bei den natürlichen Zahlen ist es nützlich, auch die Kleiner-gleich-Relation
zur Verfügung zu haben. Seien m, n ∈ N0 ; wir schreiben m ≤ n, wenn entweder
m < n oder m = n.
Lemma 4.3 Für alle m, n ∈ N0 gilt genau eine der Aussagen:
(1) m ist kleiner als n: Es gilt m < n.
(2) n ist kleiner gleich m: Es gilt n ≤ m.
Lemma 4.4 Seien m, n ∈ N0 ; dann gilt m ≤ n genau, wenn es ein ℓ ∈ N0 gibt,
so dass n = m + ℓ. In diesem Fall ist die Zahl ℓ eindeutig: Gilt n = m + ℓ und
n = m + k mit k, ℓ ∈ N0 , so ist k = ℓ.
Seien m, n ∈ N0 mit m ≤ n; nach Lemma 4.4 gibt es dann ein eindeutiges
ℓ ∈ N0 mit n = m + ℓ und diese Zahl wird mit n − m bezeichnet. Es gilt also
n = m + (n − m). Man beachte aber: Die Zahl n − m ist nur definiert, wenn
m ≤ n.
Für alle n ∈ N0 ist nach Lemma 4.2 (1) 0 ≤ n und es gilt n − 0 = n, da n = 0 + n.
Lemma 4.5 Seien m, n ∈ N0 mit m ≤ n; dann ist n − m = 0 genau, wenn
m = n, und damit ist n − m ∈ N genau dann, wenn m < n.
Lemma 4.6 Seien ℓ, m, n ∈ N0 .
(1) Ist ℓ ≤ m, so ist ℓ ≤ m + n und (m − ℓ) + n = (m + n) − ℓ.
(2) Ist m ≤ ℓ und ℓ − m ≤ n, so ist ℓ ≤ m + n und n − (ℓ − m) = (m + n) − ℓ.
(3) Ist m ≤ ℓ und n ≤ ℓ − m, so ist m + n ≤ ℓ und (ℓ − m) − n = ℓ − (m + n).
Lemma 4.7 Seien ℓ, m, n ∈ N0 .
(1) Ist m ≤ n, so ist ℓm ≤ ℓn und ℓn − ℓm = ℓ(n − m).
(2) Ist ferner ℓ ∈ N und m < n, so ist auch ℓm < ℓn.
4 Konstruktion der ganzen Zahlen
16
Sei nun N− eine “Kopie” von N. Für jedes n ∈ N wird das entsprechende Element
in N− mit n− bezeichnet (und später mit −n). Also besteht N− aus den Elementen
1− , 2− , 3− , . . . .
Sind m, n ∈ N mit m 6= n, so ist m− 6= n− . Wir nehmen an, dass N− ∩ N0 = ∅,
d.h. m− 6= n für alle m ∈ N, n ∈ N0 . Setze Z = N0 ∪ N− , also ist
Z = {. . . , 3− , 2− , 1− , 0, 1, 2, 3, . . .}
Wir setzen nun die auf N0 definierte Addition auf Z fort. Da p + q schon erklärt
ist, wenn p, q ∈ N0 , müssen wir die folgenden drei Fälle betrachten:
(1) Die Summe m− + n− für m, n ∈ N. Hier setzen wir
m− + n− = (m + n)− .
(2) Die Summe m− + n für m ∈ N, n ∈ N0 . Hier ist
(m − n)− falls n < m ,
−
m +n=
n − m falls m ≤ n .
(3) Die Summe m + n− für m ∈ N0 , n ∈ N. In diesem Fall ist
m − n falls n ≤ m ,
−
m+n =
(n − m)− falls m < n .
Die Addition ist also genauso definiert, wie man das in der Schule gelernt hat.
Man beachte, dass diese Definitionen einen Sinn machen: Sind m, n ∈ N, so ist
m + n ∈ N und damit ist (m + n)− definiert. Ist m ∈ N und n ∈ N0 , so gilt nach
Lemma 4.3 genau eine der Aussagen n < m und m ≤ n. Ist ferner n < m, so
ist nach Lemma 4.5 m − n ∈ N und damit ist (m − n)− definiert. Ist schließlich
m ∈ N0 und n ∈ N, so gilt nach Lemma 4.3 genau eine der Aussagen n ≤ m
und m < n. Ist ferner m < n, so ist nach Lemma 4.5 n − m ∈ N und damit ist
(n − m)− definiert.
Wir werden nun feststellen, dass die Addition auf Z den in Satz 4.3 aufgelisteten
Regeln (A1), (A2), (A3), (A4) und (T) unterliegt. Der Beweis dafür ist ziemlich
aufwändig und man braucht ihn nicht zu lernen oder richtig zu verstehen; er soll
nur andeuten, was gemacht werden muss, wenn man ehrlich nachweisen will, dass
die Addition von ganzen Zahlen diese Eigenschaften hat.
Lemma 4.8 Für alle n ∈ Z gilt n + 0 = 0 + n = n.
4 Konstruktion der ganzen Zahlen
17
Satz 4.3 Für die Addition auf Z gelten folgende Regeln:
(A1) Für alle ℓ, m, n ∈ Z ist (ℓ + m) + n = ℓ + (m + n).
(A2) Für alle m, n ∈ Z ist m + n = n + m.
(A3) Für jedes m ∈ Z ist 0 + m = m.
(A4) Zu jedem m ∈ Z gibt es eine eindeutige Zahl −m ∈ Z mit −m + m = 0.
Ferner ist −0 = 0 und für alle n ∈ N gilt −n = n− und −(n− ) = n.
(T) Für jedes m ∈ Z mit m 6= 0 ist (mindestens) eines von m und −m in N.
Wir setzen nun die auf N0 definierte Multiplikation auf Z fort. Da pq schon erklärt
ist, wenn p, q ∈ N0 , müssen wir die folgenden drei Fälle betrachten:
(1) Das Produkt m− n− für m, n ∈ N. Hier setzen wir
m− n− = mn .
(2) Das Produkt m− n für m ∈ N, n ∈ N0 . Hier ist
(mn)− falls n ∈ N ,
−
m n=
0
falls n = 0 .
(3) Das Produkt mn− für m ∈ N0 , n ∈ N. In diesem Fall ist
(mn)− falls m ∈ N ,
−
mn =
0
falls m = 0 .
Die Multiplikation ist also genauso definiert, wie man das in der Schule gelernt
hat.
Wir stellen nun fest, dass die Multiplikation auf Z den in Satz 4.4 aufgelisteten
Regeln (M1), (M2) und (M3) unterliegt. Wie bei der Addition ist der Beweis
dafür ziemlich aufwändig und man braucht ihn nicht zu lernen oder richtig zu
verstehen.
Lemma 4.9 Für alle n ∈ Z gilt n · 0 = 0 · n = 0.
Satz 4.4 Für die Multiplikation auf Z gelten folgende Regeln:
(M1) Für alle ℓ, m, n ∈ Z gilt (ℓm)n = ℓ(mn).
(M2) Für alle m, n ∈ Z gilt mn = nm.
4 Konstruktion der ganzen Zahlen
(M3) Für jedes m ∈ Z ist 1m = m.
Satz 4.5 Für die Addition und Multiplikation auf Z gilt folgende Regel:
(D) Für alle ℓ, m, n ∈ Z ist ℓ(m + n) = ℓm + ℓn.
Sei n ∈ N; da −n = n− , schreibt man meistens −n statt n− . Wir haben also
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} .
18
5
Die ganzen Zahlen
Die Menge {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} der ganzen Zahlen wird mit Z bezeichnet. Die
Menge N der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge von Z: Das heißt, dass jede
natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist. Ferner gibt es eine spezielle ganze Zahl
0, die keine natürliche Zahl ist, d.h. 0 ∈ Z \ N.
Ganze Zahlen kann man addieren; die Summe von m und n wird mit m + n
bezeichnet. Wenn man natürliche Zahlen m und n addiert als ganze Zahlen, so
ist ihre Summe m + n nichts anderes als ihre Summe als natürliche Zahlen. Unter
anderem bedeutet dies: Wenn man natürliche Zahlen m und n addiert als ganze
Zahlen, so ist ihre Summe m + n wieder eine natürliche Zahl.
Die Addition unterliegt den folgenden Regeln:
(A1) Für alle ℓ, m, n ∈ Z gilt (ℓ + m) + n = ℓ + (m + n).
(A2) Für alle m, n ∈ Z gilt m + n = n + m.
(A3) Für jedes m ∈ Z ist 0 + m = m.
(A4) Zu jedem m ∈ Z gibt es eine eindeutige Zahl −m ∈ Z mit −m + m = 0.
(T) Für jedes m ∈ Z mit m 6= 0 ist (mindestens) eines von m und −m in N.
Wir untersuchen nun, welche weiteren Eigenschaften von der Addition ganzer
Zahlen aus diesen Regeln logisch folgen.
Lemma 5.1 (1) Es gilt −0 = 0.
(2) Für alle m, n ∈ Z gilt −(m + n) = −m + −n.
(3) Es gilt −(−n) = n für alle n ∈ Z.
(4) Für alle m, n ∈ Z gilt −m = −n genau dann, wenn m = n.
(5) Für alle n ∈ Z mit n 6= 0 ist −n 6= 0.
Lemma 5.2 (Kürzungsregeln) (1) Aus p + m = p + n folgt m = n.
(2) Aus m + p = n + p folgt m = n.
Man beachte: Der Beweis für Lemma 5.2 ist ganz anders als der Beweis für die
Kürzungsregeln in Kapitel 3.
Seien m, n ∈ Z; dann wird die Zahl m + −n meistens mit m − n bezeichnet.
Lemma 5.3 Seien m, n ∈ Z; dann ist m − n die eindeutige Zahl k ∈ Z mit
m = n + k: Es gilt also m = n + (m − n) und ist k ∈ Z eine Zahl mit m = n + k,
so ist k = m − n. Ferner ist m − n = 0 genau dann, wenn m = n.
19
5 Die ganzen Zahlen
20
Lemma 5.4 (1) Es gilt n − 0 = n und 0 − n = −n für alle n ∈ Z.
(2) Für alle m, n ∈ Z ist n − m = −(m − n) und auch n − m = −m − (−n).
(3) Für alle ℓ, m, n ∈ Z ist m − ℓ = (m − n) + (n − ℓ).
(4) Für alle m, n, p, q ∈ Z ist (n + q) − (m + p) = (n − m) + (q − p).
Bisher haben wir Regel (T) noch nicht gebraucht. Ab jetzt spielt sie aber eine
wichtige Rolle.
Lemma 5.5 Für jedes k ∈ Z gilt genau eine der Aussagen:
(1) k = 0.
(2) k ∈ N.
(3) −k ∈ N.
Satz 5.1 Für alle m, n ∈ Z gilt genau eine der Aussagen:
(1) Die Zahlen m und n sind gleich: Es gilt m = n.
(2) m − n ∈ N.
(3) n − m ∈ N.
Erinnerung: Sind m, n ∈ N, so schreiben wir m < n, wenn es ein ℓ ∈ N gibt, so
dass n = m + ℓ. Wir setzen nun diese Kleiner-Relation für natürliche Zahlen auf
die ganzen Zahlen fort. Seien m, n ∈ Z; wir schreiben m < n, wenn es ein ℓ ∈ N
gibt, so dass n = m + ℓ und sagen, dass m kleiner ist als n. Man beachte (und
dies ist sehr wichtig): Sind m, n ∈ N, so gilt m < n als ganze Zahlen genau dann,
wenn m < n als natürliche Zahlen gilt.
Man kann hier auch n > m schreiben und sagen, dass n größer ist als m.
Wir haben hier die Kleiner-Relation für die ganzen Zahlen in Anlehnung an die
Definition für die natürlichen Zahlen eingeführt. Für die ganzen Zahlen kann man
aber die Definition besser ausdrücken: Seien m, n ∈ Z; gilt n = m + ℓ, so ist nach
Lemma 5.3 ℓ = n − m, und dies bedeutet, dass m < n genau dann gilt, wenn
n − m ∈ N.
Satz 5.2 (Trichotomie) Für alle m, n ∈ Z gilt genau eine der Aussagen:
(1) Die Zahlen m und n sind gleich: Es gilt m = n.
(2) m ist kleiner als n: Es gilt m < n.
(3) n ist kleiner als m: Es gilt n < m.
5 Die ganzen Zahlen
21
Lemma 5.6 Für n ∈ Z gilt n > 0 (d.h. 0 < n) genau dann, wenn n ∈ N.
Satz 5.3 (1) Sind ℓ, m, n ∈ Z mit ℓ < m und m < n, so ist ℓ < n.
(2) Sind m, n ∈ Z mit m < n, so ist m + p < n + p für alle p ∈ Z.
(3) Sind m, n, p, q ∈ Z mit m < n und p < q, so ist m + p < n + q.
(4) Sind m, n ∈ Z mit m < n, so ist −n < −m.
Wie bei den natürlichen Zahlen ist es nützlich, nicht nur die Kleiner-Relation,
sondern auch die Kleiner-gleich-Relation zur Verfügung zu haben. Seien m, n ∈ Z;
wir schreiben m ≤ n, wenn entweder m < n oder m = n und sagen, dass m
kleiner gleich n ist. Man kann hier auch n ≥ m schreiben und sagen, dass n
größer gleich m ist.
Seien m, n ∈ Z; dann gilt m < n genau, wenn n − m ∈ N und nach Lemma 5.3
gilt m = n genau dann, wenn m − n = 0. Folglich gilt m ≤ n genau dann, wenn
m − n ∈ N0 , wobei N0 = N ∪ {0} = {0, 1, 2, . . .}.
Satz 5.4 (1) Für alle m, n ∈ Z gilt m ≤ n oder n ≤ m.
(2) Es gilt m ≤ n und n ≤ m genau dann, wenn m = n.
(3) Sind ℓ, m, n ∈ Z mit ℓ ≤ m und m ≤ n, so ist ℓ ≤ n. Ferner ist ℓ = n genau
dann, wenn ℓ = m und m = n.
(4) Sind m, n, p, q ∈ Z mit m ≤ n und p ≤ q, so ist m + p ≤ n + q. Ferner ist
m + p = n + q genau dann, wenn m = n und p = q.
(5) Sind m, n ∈ Z mit m ≤ n, so ist −n ≤ −m.
Ganze Zahlen kann man multiplizieren; das Produkt von m und n wird mit m · n
oder lediglich mit mn bezeichnet. Wenn man natürliche Zahlen m und n multipliziert als ganze Zahlen, so ist ihr Produkt mn nichts anderes als ihr Produkt als
natürliche Zahlen. Unter anderem bedeutet dies: Wenn man natürliche Zahlen m
und n multipliziert als ganze Zahlen, so ist ihr Produkt mn wieder eine natürliche
Zahl.
Die Multiplikation unterliegt den folgenden Regeln:
(M1) Für alle ℓ, m, n ∈ Z gilt (ℓm)n = ℓ(mn).
(M2) Für alle m, n ∈ Z gilt mn = nm.
(M3) Für jedes m ∈ Z ist 1m = m.
5 Die ganzen Zahlen
22
Für die Addition und Multiplikation gilt ferner die folgende Reegel:
(D) Für alle ℓ, m, n ∈ Z ist ℓ(m + n) = ℓm + ℓn.
Lemma 5.7 (1) Für alle ℓ, m, n ∈ Z ist (m + n)ℓ = mℓ + nℓ.
(2) Für alle m, n, p, q ∈ Z ist (m + n)(p + q) = mp + (mq + (np + nq)).
Lemma 5.8 Es gilt n0 = 0n = 0 für alle n ∈ Z.
Satz 5.5 (1) Es gilt (−m)n = −(mn) = m(−n) für alle m, n ∈ Z.
(2) Für alle m, n ∈ Z gilt (−m)(−n) = mn.
Satz 5.6 Seien m, n ∈ Z mit m 6= 0 und n 6= 0. Dann ist mn 6= 0.
Lemma 5.9 Für alle m, n, p ∈ Z ist p(m − n) = pm − pn.
Lemma 5.10 (Kürzungsregeln) (1) Ist p 6= 0, so folgt m = n aus pm = pn.
(2) Ist p 6= 0, so folgt m = n aus mp = np.
Für die ganzen Zahlen gibt es im Allgemeinen keine Ergebnisse, die Satz 3.5 und
Satz 3.6 entsprechen. Zum Beispiel ist −1 < 1 und −2 < 1, aber (−1)(−2) < 1 · 1
gilt nicht.
6
Die rationalen Zahlen
In diesem Kapitel werden die rationalen Zahlen diskutiert. Eng verbunden mit
ihnen sind ihre konkreten Manifestationen als Brüche (und in der Praxis ist die
Rechnung mit rationalen Zahlen eigentlich Bruchrechnung.)
Ein Bruch ist ein Ausdruck der Form m/n mit m, n ∈ Z und n 6= 0. Brüche kann
man addieren und multiplizieren, wie man das in der Schule schon gelernt hat.
Brüche sind keine rationalen Zahlen, sie werden aber verwendet, um rationale
Zahlen darzustellen.
Wir werden nicht explizit sagen, was rationale Zahlen sind, werden aber erklären,
wie man sich diese anschaulich vorstellen kann. Dafür wird das Bild der Zahlengeraden verwendet. Die Zahlengerade ist eine in beiden Richtungen unendliche
Gerade, auf der bestimmte Punkte mit Zahlen identifiziert sind. Zunächst werden
die ganzen Zahlen in ihrer natürlichen Reihenfolge und mit den gleichem Abstand
zwischen einer Zahl und der nächsten auf die Zahlengerade gelegt:
−3
−2
−1
0
1
2
3
Die rationalen Zahlen füllen dann zu einem bestimmten Grad die Punkte auf der
Zahlengeraden auf. Jeder Bruch beschreibt, wie ein Punkt auf der Zahlengeraden
konstruiert werden kann, und die Punkte, die auf diese Weise entstehen, sind die
rationalen Zahlen.
Erinnerung: Ist n ∈ Z mit n 6= 0, so ist nach Lemma 5.5 genau eines von n und
−n in N.
Sei zunächst m/n ein Bruch mit n ∈ N; dann wird die entsprechende rationale
Zahl auf der Zahlengeraden durch das folgende Verfahren konstruiert:
(1) Das Intervall zwischen 0 und 1 wird in n gleiche Teilintervalle geteilt und das
erste, das 0 als linken Endpunkt hat, wird als Meß-Einheit benutzt.
↓ ↓
−2
−1
0
1
2
(In diesem Beispiel ist n = 5. Die Endpunkte des ersten Teilintervalls werden mit
Pfeilen markiert.)
(2) Ist m ∈ N, so reihen wir m Kopien von der Meß-Einheit in der positiven
Richtung aneinander. Das erste Intervall hat 0 als linken Endpunkt und der rechte
Endpunkt eines Intervalls ist der linke Endpunkt des nächsten Intervalls. Der
rechte Endpunkt des letzten Intervalls ist dann die rationale Zahl, die durch
den Bruch konstruiert wird. (Im folgenden Beispiel ist n = 5 und m = 8. Der
konstruierte Punkt wird mit einem Pfeil markiert.)
23
6 Die rationalen Zahlen
24
↓
−2
−1
0
1
2
(3) Ist −m = p ∈ N, so reihen wir p Kopien von der Meß-Einheit in der negativen
Richtung aneinander. Das erste Intervall hat 0 als rechten Endpunkt und der linke
Endpunkt eines Intervalls ist der rechte Endpunkt des nächsten Intervalls. Der
linke Endpunkt des letzten Intervalls ist dann die rationale Zahl, die durch den
Bruch konstruiert wird. (Im folgenden Beispiel ist n = 5 und m = −7. Der
konstruierte Punkt wird mit einem Pfeil markiert.)
↓
−2
−1
0
1
2
(4) Ist m = 0, so ist der Nullpunkt 0 die rationale Zahl, der durch den Bruch
konstruiert wird.
↓
−2
−1
0
1
2
Ist nun m/n ein Bruch mit −n ∈ N, so konstruiert m/n die gleiche rationale Zahl
wie den Bruch (−m)/(−n).
Die rationale Zahl, die durch den Bruch m/n konstruiert wird, werden wir mit
[m/n] bezeichnen.
Insbesondere ist jede ganze Zahl eine rationale Zahl, und es gilt m = [m/1] für
jedes m ∈ Z, d.h. der Bruch m/1 konstruiert die ganze Zahl m.
Nun ist es möglich, dass zwei verschiedene Brüche die gleiche rationale Zahl
konstruieren. Zum Beispiel ist [n/n] = [1/1] für alle n ∈ N. Um dieses Problem
zu analysieren, brauchen wir zwei Beobachtungen, die anschaulich klar sein sollen:
(1) Sind p, q, n ∈ Z mit n 6= 0, so gilt [p/n] = [q/n] genau dann, wenn p = q.
(2) Es gilt [(mk)/(nk)] = [m/n] für alle m, n, k ∈ Z mit n 6= 0, k 6= 0 (und nach
Satz 5.6 ist dann nk 6= 0).
(Im folgenden Beispiel ist n = 5, m = 8 und k = 2. Unterhalb der Geraden wird
die Konstruktion für den Bruch 8/5 und oberhalb der Geraden die Konstruktion
für den Bruch 16/10 = (8 · 2)/(5 · 2) abgebildet.)
↓
−2
−1
0
1
2
6 Die rationalen Zahlen
25
Lemma 6.1 Nehme an, dass (1) und (2) richtig sind und seien m/n, p/q zwei
Brüche. Dann gilt [m/n] = [p/q] genau, wenn mq = pn.
Wir sagen, dass Brüche m/n und p/q äquivalent sind und schreiben m/n ≈ p/q,
wenn mq = pn. Also konstruieren zwei Brüche die gleiche rationale Zahl genau
dann, wenn sie äquivalent sind.
Aus der Tatsache, dass m/n ≈ p/q genau dann gilt, wenn [m/n] = [p/q], folgen
drei Eigenschaften von der Relation ≈. Erstens gilt m/n ≈ m/n für jeden Bruch
m/n, (da [m/n] = [m/n]), und zweitens gilt p/q ≈ m/n, wenn m/n ≈ p/q (da
[p/q] = [m/n], falls [m/n] = [p/q]). Die dritte Eigenschaft ist: Sind m/n, p/q
und r/s Brüche mit m/n ≈ p/q und p/q ≈ r/s, so ist auch m/n ≈ r/s. (Aus
[m/n] = [p/q] und [p/q] = [r/s] folgt [m/n] = [r/s].)
Die Herleitung dieser Eigenschaften benutzt Lemma 6.1 und hängt also von Aussagen über die Zahlengerade ab. Andererseits hat die Definition von ≈ selbst
nichts mit der Zahlengeraden zu tun. Wie zeigen nun, dass die drei Eigenschaften
direkt aus den Regeln für die Multiplikation in Z folgen. Zunächst aber werden
wir mehrmals die folgenden Fakten brauchen:
Lemma 6.2 (1) Für alle a, b, c ∈ Z gilt (ab)c = (ac)b.
(2) Für alle a, b, c, d ∈ Z gilt (ab)(cd) = (ac)(bd).
Im Folgenden wird (⋆) (bzw. (D′ )) benutzt, um anzudeuten, dass wir Lemma 6.2
(bzw. Lemma 5.7 (1)) verwendet haben.
Lemma 6.3 (1) Es gilt m/n ≈ m/n für alle Brüche m/n.
(2) Sind m/n und p/q Brüche mit m/n ≈ p/q, so ist p/q ≈ m/n.
(3) Sind m/n, p/q und r/s Brüche mit m/n ≈ p/q und p/q ≈ r/s, so ist auch
m/n ≈ r/s.
Die folgenden Aussagen fassen die Beziehung zwischen Brüchen und rationalen
Zahlen zusammen:
(Q1) Jedem Bruch m/n wird eine rationale Zahl zugeordnet, die mit [m/n] bezeichnet wird.
(Q2) Für Brüche m/n und p/q gilt [m/n] = [p/q] genau dann, wenn m/n ≈ p/q.
(Q3) Zu jeder rationalen Zahl r gibt es einen Bruch m/n mit r = [m/n].
6 Die rationalen Zahlen
26
(Q4) Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl.
(Q5) Für jedes n ∈ Z ist n = [n/1].
Sämtliche Eigenschaften von den rationalen Zahlen, mit denen wir uns im Rest des
Kapitels befassen werden, folgen allein aus diesen fünf Aussagen. Man beachte,
dass die Zahlengerade hier nicht mehr explizit vorkommt.
Die Menge der rationalen Zahlen wird mit Q bezeichnet. Nach (Q4) ist Z eine Teilmenge von Q. Ist r eine rationale Zahl und m/n ein Bruch mit r = [m/n], dann
sagen wir, dass m/n die Zahl r darstellt oder dass r durch m/n dargestellt wird
. Nach (Q3) läßt sich jede rationale Zahl durch einen Bruch darstellen, aber diese
Darstellung ist nie eindeutig: Ist r eine rationale Zahl mit r = [m/n], so ist nach
(Q2) auch r = [(mp)/(np)] für alle p ∈ N, da (mp)/(np) ≈ m/n.
Lemma 6.4 (Existenz eines gemeinsamen Nenners) Seien r, s ∈ Q; dann
gibt es ℓ, m, n ∈ Z mit n 6= 0, so dass r = [ℓ/n] und s = [m/n].
Wir werden nun die Addition und Multiplikation von rationalen Zahlen einführen.
Dafür beginnen wir bei den Brüchen. Seien m/n und p/q Brüche; die Summe
m/n+ p/q und das Produkt (m/n)(p/q) von m/n und p/q werden definiert durch
m/n + p/q = (mq + pn)/(nq) ,
(m/n)(p/q) = (mp)/(nq) .
Man beachte: Da n 6= 0, q 6= 0, ist nach Satz 5.6 auch nq 6= 0 und dies bedeutet,
dass (mq + pn)/(nq) und (mp)/(nq) Brüche sind.
Lemma 6.5 Seien a/b, c/d, m/n, p/q Brüche mit a/b ≈ m/n und c/d ≈ p/q.
Dann gilt a/b + c/d ≈ m/n + p/q und (a/b)(c/d) ≈ (m/n)(p/q).
Seien r, s ∈ Q; nach (Q3) gibt es dann Brüche m/n und p/q mit r = [m/n] und
s = [p/q]. Wir definieren die Summe r + s und das Produkt rs von r und s durch:
r + s = [m/n + p/q] und rs = [(m/n)(p/q)] .
Nach Lemma 6.5 macht dies einen Sinn: Sind a/b und c/d weitere Brüche mit
r = [a/b] und s = [c/d], so gilt nach (Q2), dass a/b ≈ m/n und c/d ≈ p/q, damit
ist nach Lemma 6.5 a/b + c/d ≈ m/n + p/q und (a/b)(c/d) ≈ (m/n)(p/q) und
dann ist nach (Q2) [a/b + c/d] = [m/n + p/q] und [(a/b)(c/d)] = [(m/n)(p/q)].
Die Definitionen von r + s und rs hängen also nicht davon ab, welche Brüche
man wählt, um r und s darzustellen.
6 Die rationalen Zahlen
27
Seien m, n ∈ Z; da nach (Q5) m = [m/1] und n = [n/1], ist die Summe von m
und n als rationale Zahlen gegeben durch
[m/1] + [n/1] = [(m · 1 + n · 1)/(1 · 1)] = [(m + n)/1] = m + n .
(Aus (M2) und (M3) für die Multiplikation in Z gilt auch p · 1 = p für alle p ∈ Z.)
Wenn man ganze Zahlen m und n addiert als rationale Zahlen, so ist ihre Summe
m + n nichts anderes als ihre Summe als ganze Zahlen. Genauso ist ihr Produkt
mn als rationale Zahlen nichts anderes als ihr Produkt als ganze Zahlen, da
[m/1][n/1] = [(mn)/(1 · 1)] = [(mn)/1] = mn .
Folgendes hat man sicherlich in der Schule oft verwendet:
Lemma 6.6 Seien r, s ∈ Q; nach Lemma 6.4 gibt es also ℓ, m, n ∈ Z mit n 6= 0,
so dass r = [ℓ/n] und s = [m/n], und dann ist r + s = [(ℓ + m)/n].
Wir untersuchen jetzt, welchen Regeln die Addition und die Multiplikation von
rationalen Zahlen unterliegen. Zunächst aber brauchen wir einige Eigenschaften
von der Addition und Multiplikation von Brüchen.
Lemma 6.7 Für die Addition und Multiplikation von Brüchen gilt Folgendes:
(a1) Für alle Brüche k/ℓ, m/n, p/q gilt
(k/ℓ + m/n) + p/q = k/ℓ + (m/n + p/q) .
(a2) Für alle Brüche m/n, p/q gilt m/n + p/q = p/q + m/n.
(a3) Für jeden Bruch m/n ist 0/1 + m/n = m/n.
(a4) Für jeden Bruch m/n ist (−m)/n + m/n = 0/(nn).
(m1) Für alle Brüche k/ℓ, m/n, p/q gilt
((k/ℓ)(m/n))(p/q) = (k/ℓ)((m/n)(p/q)) .
(m2) Für alle Brüche m/n, p/q gilt (m/n)(p/q) = (p/q)(m/n).
(m3) Für jeden Bruch m/n ist (1/1)(m/n) = m/n.
(d)
Für alle Brüche k/ℓ, m/n, p/q gilt
((kℓ)/(ℓℓ))(m/n + p/q) = (k/ℓ)(m/n) + (k/ℓ)(p/q) .
Lemma 6.8 Für einen Bruch m/n gilt [m/n] = 0 genau dann, wenn m = 0.
6 Die rationalen Zahlen
28
Satz 6.1 Die Addition und Multiplikation von rationalen Zahlen unterliegen den
folgenden Regeln:
(A1) Für alle r, s, t ∈ Q gilt (r + s) + t = r + (s + t).
(A2) Für alle r, s ∈ Q gilt r + s = s + r.
(A3) Für alle r ∈ Q ist 0 + r = r, wobei 0 die Null in Z ist.
(A4) Zu jedem r ∈ Q gibt es ein eindeutiges Element −r ∈ Q mit (−r) + r = 0.
(M1) Für alle r, s, t ∈ Q gilt (rs)t = r(st).
(M2) Für alle r, s ∈ Q gilt rs = sr.
(M3) Für alle r ∈ Q ist 1r = r, wobei 1 die Eins in Z ist.
(M4) Zu jedem r ∈ Q mit r 6= 0 gibt es ein eindeutiges Element r −1 ∈ Q mit
r −1 r = 1.
(D) Für alle r, s, t ∈ Q ist r(s + t) = rs + rt.
Lemma 6.9 Sei r ∈ Q und sei m/n ein Bruch mit r = [m/n].
(1) Es gilt −r = [(−m)/n].
(2) Ist r 6= 0 (und damit ist nach Lemma 6.8 m 6= 0), so ist r −1 = [n/m].
Sei n ∈ N; nach (A4) für die Addition in Z gibt es eine eindeutige ganze Zahl
−n ∈ Z, so dass −n+n = 0. Aber dann gilt ebenfalls −n+n = 0 in Q und daraus
folgt nach der Eindeutigkeit in Regel (A4) für Q, dass −n auch die eindeutige
rationale Zahl ist mit −n + n = 0. Für eine ganze Zahl n gibt es also keine
Zweideutigkeit mit der Bedeutung von −n.
Sind r, s ∈ Q mit s 6= 0, so schreibt man oft r/s oder rs statt s−1 r. Insbesondere
ist dann 1/s eine andere Schreibweise für s−1 (da 1/s = s−1 · 1 = s−1 ).
Hier muss man aber aufpassen: Seien m, n ∈ Z mit n 6= 0; dann sind m und n
rationale Zahlen und folglich gibt es die rationale Zahl n−1 m, die mit der neuen
Schreibweise mit m/n bezeichnet wird. Andererseits bezeichnet m/n auch einen
Bruch und in der Tat ist [m/n] = m/n, d.h. der Bruch m/n stellt die rationale
Zahl m/n dar. (Setze r = [m/n]. Dann ist
(n/1)(m/n) = (nm)/(1 · n) = (nm)/n ≈ m/1
und daraus ergibt sich nach (Q2), dass
nr = [n/1][m/n] = [(n/1)(m/n)] = [m/1] = m ,
6 Die rationalen Zahlen
29
d.h. es gilt nr = m in Q und damit ist r = 1 · r = (n−1 n)r = n−1 (nr) = n−1 m.
Folglich ist r = m/n.)
Die Regeln, denen die Addition und Multiplikation in Q unterliegen, stimmen fast
mit den Regeln überein, denen die Addition und Multiplikation in Z unterliegen.
Es fehlt die Regel (T) aber es gibt die neue Regel (M4) für die Multiplikation in
Q. Dies bedeutet: Alle Aussagen über die Addition und Multiplikation in Z, die
wir ohne Verwendung von (T) hergeleitet haben, müssen auch für die Addition
und Multiplikation in Q gelten. Wir listen nun diese Aussagen auf. (Man soll aber
nachprüfen, dass die Beweise für die entsprechenden Aussagen in Kapitel 5 Regel
(T) nicht verwenden.)
Lemma 6.10 (1) Es gilt −0 = 0.
(2) Für alle r, s ∈ Q gilt −(r + s) = −r + −s.
(3) Es gilt −(−s) = s für alle s ∈ Q.
(4) Für alle r, s ∈ Q gilt −r = −s genau dann, wenn r = s.
(5) Für alle s ∈ Q mit s 6= 0 ist −s 6= 0.
Lemma 6.11 (Kürzungsregeln) (1) Aus t + r = t + s folgt r = s.
(2) Aus r + t = s + t folgt r = s.
Seien r, s ∈ Q; dann wird die Zahl r + −s meistens mit r − s bezeichnet.
Lemma 6.12 Seien r, s ∈ Q; nach Lemma 6.4 gibt es also ℓ, m, n ∈ Z mit
n 6= 0, so dass r = [ℓ/n] und s = [m/n], und dann ist r − s = [(ℓ − m)/n].
Lemma 6.13 Seien r, s ∈ Q; dann ist r − s die eindeutige Zahl t ∈ Q mit
r = s + t: Es gilt also r = s + (r − s) und ist t ∈ Q eine Zahl mit r = s + t, so
ist t = r − s. Ferner ist r − s = 0 genau dann, wenn r = s.
Seien m, n ∈ Z; wegen der Eindeutigkeit in Lemma 5.3 und in Lemma 6.13 ist die
Differenz m − n von m und n als ganze Zahlen nichts anderes als ihre Differenz
als rationale Zahlen.
Lemma 6.14 (1) Es gilt s − 0 = s und 0 − s = −s für alle s ∈ Q.
(2) Für alle r, s ∈ Q ist s − r = −(r − s) und auch s − r = −r − (−s).
(3) Für alle t, r, s ∈ Q ist r − t = (r − s) + (s − t).
(4) Für alle r, s, p, q ∈ Q ist (s + q) − (r + p) = (s − r) + (q − p).
(5) Für alle r, s, p, q ∈ Q ist sq − rp = r(q − p) + (s − r)q.
6 Die rationalen Zahlen
30
Lemma 6.15 (1) Für alle t, r, s ∈ Q ist (r + s)t = rt + st.
(2) Für alle r, s, p, q ∈ Q ist (r + s)(p + q) = rp + (rq + (sp + sq)).
Lemma 6.16 Es gilt r0 = 0r = 0 für alle r ∈ Q.
Satz 6.2 (1) Es gilt (−r)s = −(rs) = r(−s) für alle r, s ∈ Q.
(2) Für alle r, s ∈ Q gilt (−r)(−s) = rs.
Sind m, n ∈ Z mit m 6= 0 und n 6= 0, so ist nach Satz 5.6 mn 6= 0, und die
entsprechende Aussage gilt auch für rationale Zahlen. Um dies zu zeigen, wird
zum ersten Mal die Regel (M4) verwendet.
Satz 6.3 Seien r, s ∈ Q mit r 6= 0 und s 6= 0. Dann ist rs 6= 0.
Lemma 6.17 Für alle r, s, p ∈ Q ist p(r − s) = pr − ps.
Lemma 6.18 (Kürzungsregeln) (1) Ist p 6= 0, so folgt r = s aus pr = ps.
(2) Ist p 6= 0, so folgt r = s aus rp = sp.
Sind r, s ∈ Q mit r 6= s, so ist es anschaulich klar, dass entweder r links von s oder
s links von r auf der Zahlengeraden liegt. Wie bei den ganzen Zahl können wir
also eine Trichotomie im Sinne von Satz 5.2 erwarten, wobei hier r < s bedeutet,
dass r links von s liegt. Um diese Aussage genauer zu formulieren, überlegen wir
zunächst, was es bedeutet, dass eine rationale Zahl rechts vom Nullpunkt auf der
Zahlengeraden liegt.
Wir brauchen folgende Verfeinerung von Lemma 6.4:
Lemma 6.19 Seien r, s ∈ Q; dann gibt es ℓ, m ∈ Z und n ∈ N, so dass r = [ℓ/n]
und s = [m/n].
Ein Spezialfall von Lemma 6.19 ist mit r = s: Für jedes r ∈ Q gibt es m ∈ Z und
n ∈ N, so dass r = [m/n]. (Es ist immer möglich, den Nenner aus N zu wählen.)
6 Die rationalen Zahlen
31
Lemma 6.20 Seien m/n und p/q Brüche mit n, q ∈ N und m/n ≈ p/q. Dann
gilt m ∈ N genau, wenn p ∈ N.
Sei r ∈ Q \ {0}; nach dem Spezialfall von Lemma 6.19 gibt es einen Bruch m/n
mit n ∈ N, so dass r = [m/n] und nach Lemma 6.8 ist dann m 6= 0. Wir sagen,
dass r positiv ist, wenn m ∈ N. Nach Lemma 6.20 macht diese Definition einen
Sinn: Ob r positiv ist, hängt nicht davon ab, welchen Bruch (mit Nenner aus N)
man wählt, um r darzustellen. Anschaulich ist eine rationale Zahl positiv, wenn
sie rechts von 0 auf der Zahlengeraden liegt.
Da m = [m/1] für jedes m ∈ Z, ist eine ganze Zahl m positiv als rationale Zahl
genau dann, wenn m ∈ N.
Satz 6.4 Für jedes r ∈ Q \ {0} ist genau eines von r und −r positiv.
Satz 6.5 Für positive rationale Zahlen r, s sind r + s und rs ebenfalls positiv.
Seien r, s ∈ Q; wir schreiben r < s, wenn s − r positiv ist und sagen, dass r
kleiner ist als s. Man beachte (und dies ist sehr wichtig): Sind m, n ∈ Z, so gilt
m < n als rationale Zahlen genau dann, wenn m < n als ganze Zahlen gilt. (Die
Differenz n − m ist eine ganze Zahl und also ist n − m positiv genau dann, wenn
n − m ∈ N. Nach Lemma 5.3 gilt aber m < n als ganze Zahlen genau dann, wenn
n − m ∈ N.)
Gilt r < s, so schreibt man auch s > r und sagt, dass s größer ist als r.
Lemma 6.21 Seien r, s ∈ Q; nach Lemma 6.19 gibt es also ℓ, m ∈ Z und n ∈ N,
so dass r = [ℓ/n] und s = [m/n], und dann ist r < s genau, wenn ℓ < m.
Lemma 6.22 Für r ∈ Q gilt r > 0 (d.h. 0 < r) genau dann, wenn r positiv ist.
Nach Lemma 6.22 sind die Aussagen ‘r ist positiv’ und ‘r > 0’ äquivalent. Im
Folgenden werden wir meistens die Letztere verwenden. (In der Tat schreibt man
‘r > 0’ aber sagt ‘r ist positiv’.) Insbesondere gilt r > s genau dann, wenn
r − s > 0.
Satz 6.6 (Trichotomie) Für alle r, s ∈ Q gilt genau eine der Aussagen:
(1) Die Zahlen r und s sind gleich: Es gilt r = s.
(2) r ist kleiner als s: Es gilt r < s.
(3) s ist kleiner als r: Es gilt s < r.
6 Die rationalen Zahlen
32
Satz 6.7 (1) Sind r, s, t ∈ Q mit r < s und s < t, so ist r < t.
(2) Sind r, s ∈ Q mit r < s, so ist r + t < s + t für alle t ∈ Q.
(3) Sind r, s, p, q ∈ Q mit r < s und p < q, so ist r + p < s + q.
(4) Sind r, s ∈ Q mit r < s, so ist −s < −r.
Es ist nützlich, nicht nur die Kleiner-Relation, sondern auch die Kleiner-gleichRelation zur Verfügung zu haben. Seien r, s ∈ Q; wir schreiben r ≤ s, wenn
entweder r < s oder r = s und sagen, dass r kleiner gleich s ist. Man kann hier
auch s ≥ r schreiben und sagen, dass s größer gleich r ist.
Satz 6.8 (1) Für alle r, s ∈ Q gilt r ≤ s oder s ≤ r.
(2) Es gilt r ≤ s und s ≤ r genau dann, wenn r = s.
(3) Sind r, s, t ∈ Q mit r ≤ s und s ≤ t, so ist r ≤ t. Ferner ist r = t genau
dann, wenn r = s und s = t.
(4) Sind r, s, p, q ∈ Q mit r ≤ s und p ≤ q, so ist r + p ≤ s + q. Ferner ist
r + p = s + q genau dann, wenn r = s und p = q.
(5) Sind r, s ∈ Q mit r ≤ s, so ist −s ≤ −r.
Seien r, s ∈ Q; nach Lemma 6.13 und Lemma 6.22 gilt r ≥ s genau dann, wenn
r − s ≥ 0. Setze Q+ = {r ∈ Q : r ≥ 0}.
Lemma 6.23 Seien r, s ∈ Q+ ; dann ist r + s ∈ Q+ und rs ∈ Q+ . Ferner ist
r + s = 0 genau dann, wenn r = 0 und s = 0.
Satz 6.9 (1) Sind r, s, p, q ∈ Q+ mit r ≤ s und p ≤ q, so ist rp ≤ sq. Ist ferner
r > 0 und p > 0, so gilt rp = sq genau dann, wenn r = s und p = q.
(2) Für jedes r ∈ Q \ {0} ist rr > 0.
(3) Ist r ∈ Q mit r > 0, so ist auch r −1 > 0.
(4) Sind r, s ∈ Q mit r > 0, s > 0 und r < s, so ist s−1 < r −1 .
7
Teilbarkeit
Lemma 7.1 Für jedes n ∈ N mit n 6= 1 gibt es ein m ∈ N, so dass n = m + 1.
Lemma 7.2 (1) Für jedes n ∈ N mit n 6= 1 ist 1 < n.
(2) Sind m, n ∈ N mit n < m, so ist n + 1 ≤ m.
Lemma 7.3 Sind m, n ∈ N mit mn = 1, so ist m = n = 1.
Satz 7.1 Ist M eine Teilmenge von N, die mindestens eine Zahl enthält, so
enthält M eine kleinste Zahl: Es gibt eine Zahl b ∈ M, so dass b ≤ m für alle
m ∈ M.
Sei M eine Teilmenge von N; eine Zahl a ∈ N heißt obere Schranke für M, wenn
m ≤ a für jedes m ∈ M. Die Teilmenge M heißt beschränkt , wenn es eine obere
Schranke für M gibt. (In der Tat ist eine Teilmenge M von N beschränkt genau
dann, wenn sie endlich ist. Es ist aber zu aufwendig hier zu erklären, was eine
endliche Menge ist.)
Satz 7.2 Ist M eine beschränkte Teilmenge von N, die mindestens eine Zahl
enthält, so enthält M eine größte Zahl: Es gibt eine Zahl b ∈ M, so dass m ≤ b
für alle m ∈ M.
Seien m, n ∈ N; man sagt, dass m die Zahl n teilt , oder dass m ein Teiler von
n ist, wenn es ein k ∈ N gibt, so dass n = km. In diesem Fall schreibt man
m | n und sagt auch, dass n ein Vielfaches von m ist. (Zum Beispiel gilt 3 | 6,
da 6 = 2 · 3, und 4 | 120, da 120 = 30 · 4; also ist auch 6 ein Vielfaches von 3 und
120 ein Vielfaches von 4.) Insbesondere sind 1 und n stets Teiler von n, da nach
(M2) und (M3) n = 1 · n = n · 1.
Ist m ein Teiler von n ist, dann gibt es ein k ∈ N, so dass n = km, und k ist die
eindeutige Zahl mit dieser Eigenschaft: Gilt auch n = ℓm für ein ℓ ∈ N, so ist
km = ℓm und daraus folgt nach Lemma 3.4 (2), dass k = ℓ. Ferner ist k auch ein
Teiler von n, da nach (M2) n = mk.
Lemma 7.4 (1) Sind ℓ, m, n ∈ N mit ℓ | m und m | n, so ist ℓ | n.
(2) Sind ℓ, m, n ∈ N mit ℓ | m und ℓ | n, so ist ℓ | (m + n).
(3) Sind m, n ∈ N mit m | n, so gilt m | pn und m | np für alle p ∈ N.
(4) Sind m, n ∈ N mit m | n und n | m, so ist m = n.
33
7 Teilbarkeit
34
Lemma 7.5 Für alle m, k ∈ N ist m ≤ km. Insbesondere gilt m ≤ n für jeden
Teiler m von n.
Sind m, n, k, r ∈ N mit n = km + r, so ist nach Lemma 7.5 und Satz 3.4 (3)
m < n.
Lemma 7.6 Seien m, k, r ∈ N mit r < m und setze n = km + r. Dann ist n
kein Vielfaches von m.
Satz 7.3 (Division mit Rest) Sei m ∈ N und sei n ∈ N eine Zahl mit m < n,
die kein Vielfaches von m ist. Dann gibt es Zahlen k, r ∈ N mit r < m, so dass
n = km + r. Sind ferner ℓ, s ∈ N mit s < m und n = ℓm + s, so ist k = ℓ und
r = s.
Lemma 7.7 Seien m, n ∈ N; dann gilt genau eine der folgenden Aussagen:
(1) Es ist m < n.
(2) Die Zahl n ist ein Vielfaches von m.
(3) Es gibt eindeutige Zahlen k, r ∈ N mit r < m, so dass n = km + r.
Seien m, n, k ∈ N. Gilt k | m und k | n, so heißt k ein gemeinsamer Teiler von m
und n. (Zum Beispiel ist 5 ein gemeinsamer Teiler von 10 und 35.) Insbesondere
ist 1 stets ein gemeinsamer Teiler von m und n.
Lemma 7.8 Seien m, k, r ∈ N und setze n = km + r. Dann gilt:
(1) Jeder gemeinsame Teiler von r und m ist ein Teiler von n und damit ein
gemeinsamer Teiler von m und n.
(2) Jeder gemeinsame Teiler von m und n ist ein Teiler von r und damit ein
gemeinsamer Teiler von r und m.
Für m, n ∈ N sei Gm,n die Menge der gemeinsamen Teiler von m und n. Nach
Lemma 7.5 ist m eine obere Schranke für Gm,n und Gm,n enthält mindestens die
Zahl 1. Nach Satz 7.2 enthält Gm,n also ein größtes Element. Diese Zahl heißt der
größte gemeinsame Teiler von m und n und wird mit ggT(m, n) bezeichnet.
Lemma 7.9 Ist m ein Teiler von n, so besteht Gm,n aus genau allen Teilern von
m und insbesondere ist ggT(m, n) = m. Dies bedeutet, dass jeder gemeinsame
Teiler von m und n ein Teiler von m und damit ein Teiler von ggT(m, n) ist.
Satz 7.4 Seien m, n ∈ N; dann ist jeder gemeinsame Teiler von m und n ein
Teiler von ggT(m, n).