Elemententstehung - 2. Kernphysik

Kernphysik
Elemententstehung
2. Kernphysik
Cora Fechner
Universität Potsdam
SS 2014
Kernphysik
Kernphysik
Kernphysik
Kernphysikalische Grundlagen
Kernladungszahl:
Massenzahl:
Bindungsenergie:
Massendefekt:
Wärmetönung:
(Q-Wert)
Z = Anzahl der Protonen
A = Anzahl der Protonen + Anzahl der Neutronen
B = (Z (mp + me ) + (A − Z ) mn − M(A, Z )) c 2
∆M(A, Z ) = Z mp + (A − Z ) mn − M(A, Z )
Q = (MA + MB − MC − MD ) c 2
für Reaktion A + B → C + D
Kernphysik
Bindungsenergie
Kernphysik
Tröpfchenmodell
Beschreibung des Kerns als Tropfen mit konstanter Massendichte:
Coulomb-Abstoßung + anziehende Kernkräfte
M(Z , A) = (A − Z ) mn + Z (mp + me )
− a1 A
+ a2 A2/3
2
A
+ a3
− Z A−1
2
+ a4 Z 2 A−1/3
+ a5 δ A−3/4
Volumen
Oberfläche
Symmetrie
Coulomb
Parität
Kernphysik
Stabilitätstal
Z=
A
c + d A2/3
mit c =
2
≃ 1.98 und
1 + aq3
d = c·
a4
≃ 0.015
a3
q = (mn − mp − me ) c 2 = 0.7825 MeV
Z =A−Z
Z2
A
= 37
Z=
A
c+d A2/3
Kernphysik
Magische Zahlen
Kerne mit einer bestimmten Anzahl von Protonen und/oder
Neutronen sind besonders stabil.
Magische Zahlen:
2
8
20
28
50
besonders stabile Kerne:
Kern
Z
N
4 He
2
8
20
20
82
2
8
20
28
126
16 O
40 Ca
48 Ca
208 Pb
82
126
Kernphysik
Das Schalenmodell
Kernmodell analog zur
Elektronenhülle
◮
Nukleonen in einem
kugelsymmetrischen,
mittleren Potential
◮
Spin-Bahn-Kopplung
bewirkt Aufspaltung
von entarteten
Energieniveaus
Kernphysik
Wirkungsquerschnitt
Wirkungsquerschnitt σ:
(Reaktion: 1 + 2 → 3 + 4)
Wahrscheinlichkeit, mit der eine bestimmte Reaktion stattfindet
Fläche mit derselben Wahrscheinlichkeit, getroffen zu werden
klassisch:
σ1,2 = π (r1 + r2 )2
1/3
= π (1.2 · 10−13 (A1
1/3
+ A2 ) cm)2
∼ 10−24 cm2 ≡ 1 barn
semi-klassisch:
σ1,2 = (1 + δ12 ) π λ̄2 = (1 + δ12 ) π
∼ (1 + δ12 )
65.7
barn
A/amu · E /keV
~
mv
2
Kernphysik
Compoundkerne
Compoundkernreaktion: 1 + 2 → C → 3 + 4 + Q
Compoundkern C : hochangeregter Zwischenkern ohne Gedächtnis
(d.h. der Ausgangskanal ist nur von der Energie abhängig, nicht vom Eingangskanal)
Wirkungsquerschnitt: Wahrscheinlichkeit für Reaktion 1 + 2 → C
mal Wahrscheinlichkeit für Reaktion C → 3 + 4
σ = σtot ω |h3, 4|H II |C i hC |H I |1, 2i|2
mit
ω=
(2I 3 + 1)(2I 4 + 1)
(2I 1 + 1)(2I 2 + 1)
(statistisches Gewicht)
Teilchen müssen die Coulombbarriere überwinden!
Kernphysik
Gamov-Faktor
Wahrscheinlichkeit, die Coulombbarriere
zu überwinden: P ∝ e −G
a
b
b
b
E
b=
Z1 Z2 e 2
E
Z
2 bp
G=
2m (V (x) − E ) dx
~ a
√
Z r
2 2m E b b
=
− 1 dx
~
x
a
2π Z1 Z2 e 2
≈
~v
= 2π η
(ℓ = 0)
= B E −1/2
(klassischer Umkehrpunkt)
B=
√
2m πZ1 Z2 e 2
~
S-Faktor:
σ(E ) =
1
exp (−2π η) · S(E )
E
Kernphysik
Statistische Mechanik
Fermi-Dirac-Verteilung:
Ẽ 2 = m2 c 4 + p 2 c 2
4πp 2 dp
4πgi Ẽ (Ẽ 2 − m2 c 4 )1/2 d Ẽ
gi
=
ni = 3
h exp Ẽ −µ + 1
(hc)3 exp Ẽ −µ + 1
kT
kT
Gesamtanzahldichte: (nicht-entartetes, nicht-relativistisches Gas)
!
3
X
mkT 2
µ − mc 2
Ẽi − Ẽ1
n=
mit u =
gi exp −
u·exp
2π~
kT
kT
i
(innere Zustandssumme)
Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung:
!
1
m 3/2
2
mv
n(v ) dv
4πv 2 exp − 2
dv
=
n
2πkT
kT
Saha-Gleichung:
chemisches Gleichgewicht AB ⇌ A + B
uA uB mA mB kT 3/2
nA nB
(mAB − mA − mB ) c 2
=
· exp
nAB
uAB
mAB 2π~2
kT
Kernphysik
Reaktionsraten
Reaktionsrate : Γij = ni nj (1 + δij )−1 hσv iij
mittlere Lebensdauer : τi = P
1
n
j j hσv iij
Ratenkoeffizient: hσv i
(Mittelung über die Geschwindigkeit)
r
Z ∞
E
8
(kT )−3/2
E σ(E ) exp −
dE
hσv i =
πm
kT
0
r
Z ∞
E
8
exp −
=
(kT )−3/2 hS(E )i
− 2 πη dE
πm
kT
0
{z
}
|
f (E )
Kernphysik
Gamov-Peak
√
Maximum des Integranden
B = ~1 2m πZ1 Z2 e 2
B
E
E
− 2πη = exp −
+√
f (E ) = exp −
kT
kT
E
bei
E0 =
2/3
1
2 BkT
mit:
f (E0 ) = e −τ
τ =3
B
2kT
2/3
Gamov-Peak
Kernphysik
Resonanzen
Erhöhnung des Wirkungsquerschnitts bei der Energie eines
angeregten Zustands des Compoundkerns
Resonanzenergie: ER = EP + Q
Schwellenenergie Q
Wahrscheinlichkeitsverteilung (natürliche Linienbreite Γ, Lebensdauer τ ):
P(E ) dE =
Γ=
(E −
Γ
2π
ER ) 2
X
~
Γi
=
τ
+
Γ 2
2
dE
mögliche
Zerfallskanäle i
Breit-Wigner-Formel (Wirkungsquerschnitt für eine Resonanz):
Γa Γb
σ(E ) = π λ̄2 (EP ) (1 + δ12 ) ω
2
(E − EP )2 + Γ2
2I +1
ω = (2I 1 +1)(2I
2 +1)
Kernphysik
Inverse Reaktionen
Reaktion
1+2⇌3+4
Zeitinvarianz → Matrixelemente sind für beide Richtungen gleich
m3 m4 E34 (2I 3 + 1)(2I 4 + 1)(1 + δ12 )
σ12
=
σ34
m1 m2 E12 (2I 1 + 1)(2I 2 + 1)(1 + δ34 )
Mittelung über Maxwell-Verteilung:
hσv i34
(2I 1 + 1)(2I 2 + 1)(1 + δ34 )
=
hσv i12
(2I 3 + 1)(2I 4 + 1)(1 + δ12 )
m12
m34
3/2 Q
exp −
kT
Kernphysik
Kernspaltung
einfachster Zerfallsmodus:
α-Zerfall
Bindungsenergie:
B ≈ a1 A − a2 A2/3 − a4 Z 2 A−1/3
(Symmetrie und Parität vernachlässigt)
Aufspaltung in zwei gleiche Kerne:
∆Q ≃ a4 Z 2 A−1/3 (1 − 2−2/3 ) − a2 A2/3 (21/3 − 1)
{z
} |
{z
}
|
verringerte Coulombabstoßung
Coulombbarriere:
Ecoul ≃
2
Z
2e
1/3
2r0 A2
≃ 0.28 a4 Z 2 A−1/3
Bedingung für spontanen Zerfall:
⇒
Z2
A
&3
a2
∼ 67
a4
vergrößerte Oberfläche
∆Q & Ecoul
(Spaltungsparameter)
Kernphysik
Schwache Wechselwirkungen
isobarer (A = const) Zerfall in das β-Stabilitätstal durch
β − -Emission :
β + -Emission :
Elektroneneinfang :
Goldene Regel:
λ(Ef ) =
| {z }
Zerfallskonstante
=1/τ
n → p + e − + ν̄e
p → n + e + + νe
p + e − → n + νe
2π
| Vfi |2 ρ(Ef )
~ |{z} | {z }
Phasenraumfaktor
Matrixelement
Energiespektrum des Elektrons:
N(Te ) dTe = N(p) dp ∝ p 2 dp (Q−Te )2
Inverser β-Zerfall:
p + e − → n + νe
ν̄e + p → n + e +
νe +37Cl → 37Ar + e −