Formelsammlung Technischen Mechanik - Otto-von

Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
Prof. Dr.-Ing. Albrecht Bertram
Institut für Mechanik
Lehrstuhl Festigkeitslehre
Formelsammlung
zur
Technischen Mechanik
Ausgabe 2014
1
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
2
Formelsammlung Technische Mechanik
Ausgabe 2014
Lehrstuhl für Festigkeitslehre, Prof. Dr.-Ing. A. Bertram
Bemerkung. Alle Materialkonstanten in diesem Text sind lediglich als typische Werte
aufzufassen. Sie können im speziellen Fall abweichen.
Vektorrechnung
Definition: Ein (reeller) Vektorraum ist eine Menge, zwischen deren Elementen folgende
Verknüpfungen definiert sind für alle Vektoren a , b , c und alle reellen Zahlen α , β :
1.) eine Addition (oder Summe) mit folgenden Regeln:
a+b = b+a
(kommutativ)
(a + b) + c = a + (b + c)
(assoziativ)
a+o = a
(Nullvektor)
a + (–a) = o
(Negativelement)
2.) eine Multiplikation mit einem Skalar (reelle Zahl) mit folgenden Regeln:
(α β) a = α (β a)
(assoziativ)
1a = a
(Einselement)
α (a + b) = α a + α b
(distributiv)
(α + β) a = α a + β a
(distributiv)
3.) ein Skalarprodukt mit folgenden Regeln:
a⋅b = b⋅a
(kommutativ)
(α a) ⋅ b = α (a ⋅ b)
(assoziativ)
(a + b) ⋅ c = (a ⋅ c) + (b ⋅ c)
(distributiv)
a⋅a > 0
(positiv–definit)
für a ≠ o
Betrag oder die Länge eines Vektors v
⏐v⏐ = √ (v ⋅ v)
Winkel ϕ zwischen zwei von Null verschiedenen Vektoren v und w
(v ⋅ w) = ⏐v⏐⏐w⏐ cos ϕ .
Definition: Sind x1 , x2 , ... , xn , n > 0 , Vektoren und α1 , α2 , ... , αn reelle Zahlen, so
heißt der Vektor α1 x1 + α2 x2 + ... + αn xn Linearkombination von x1 , x2 , ... , xn .
Definition: Vektoren x1 , x2 , ... , xn heißen linear unabhängig, wenn der Nullvektor nur als
die triviale Linearkombination dargestellt werden kann
o = 0 x1 + 0 x2 + ... + 0 xn .
Andernfalls heißen die Vektoren x1 , x2 , ... , xn linear abhängig.
Dimension eines Vektorraums: maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren.
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Vektorbasis eines Vektorraums: {x1 , x2 , ... , xn} linear unabhängige Vektoren von der
Anzahl der Dimension.
Satz: Ist {x1 , x2 , ... , xn} eine Vektorbasis, so lässt sich jeder Vektor v eindeutig darstellen
als Linearkombination der Basisvektoren
v = v1 x1 + v2 x2 + ... + vn xn .
Die Skalare v i heißen Komponenten des Vektors v bezüglich der Basis {x1 , x2 , ... , xn}.
Orthonormalbasis (ONB): alle Basisvektoren sind
wechselseitig orthogonal
ei ⋅ ej = 0 für i ≠ j
und normiert
ei ⋅ ej = 1 für i = j
Vektor- oder Kreuzprodukt im Dreidimensionalen zwischen zwei Vektoren v und w
v×w = –w×v
(alternierend, antikommutativ)
(u + v) × w = u × w + v × w
(distributiv)
α (v × w) = (α v) × w
(assoziativ).
Winkel ϕ zwischen zwei von Null verschiedenen Vektoren v und w
⏐v × w⏐ = ⏐v⏐⏐w⏐ sin ϕ
Die Länge des Ergebnisvektors entspricht dem Flächeninhalt des von
aufgespannten Parallelogramms.
v
und
w
Für doppelte Kreuzprodukte gilt folgende Regel
a × (b × c) = b (a ⋅ c) – c (a ⋅ b) .
Bezüglich einer rechtsorientierten ONB {e1 , e2 , e3} gelten
e1 × e1 = o
e1 × e2 = e3
e1 × e3 = – e2
e2 × e1 = – e3
e2 × e2 = o
e2 × e3 = e1
e3 × e1 = e2
e3 × e2 = – e1
e3 × e3 = o
Spatprodukt im Dreidimensionalen zwischen drei Vektoren u , v und w
[u , v , w] : = u ⋅ (v × w)
ist linear in allen drei Argumenten
mit den Regeln
[u , v , w] = [v , w , u] = [w , u , v]
= – [v , u , w] = – [w , v , u] = – [u , w , v] .
Darstellung bezüglich einer rechtsorientierten Orthonormalbasis:
Addition
v + w = (v1 + w1, v2 + w2, ... , vn + wn)
Multiplikation mit Skalar
α v = (α v1 , α v2 , ... , α vn )
Skalarprodukt
v ⋅ w = v1 w1 + v2 w2 + ... + vn wn
Kreuzprodukt
Spatprodukt
v × w = (v2 w3 – v3 w2) e1 – (v1 w3 – v3 w1) e2 + (v1 w2 – v2 w1) e3
[u , v , w] = (v2 w3 – v3 w2) u1 – (v1 w3 – v3 w1) u2 + (v1 w2 – v2 w1) u3
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Kraftsysteme
Kraft: (F, r)
F
Kraftvektor in Richtung der Kraft und von der Länge proportional zur Kraft-Größe
r(X)
Ortsvektor des Angriffspunktes im Körperpunkt X
Definition: Moment der Kraft (F, r) bezüglich des Drehpunkts X mit Ortsvektor rX
MX : = (r – rX) × F .
VARIGNONs Momentenprinzip: Ist MX das Moment einer Kraft (F, r) bezüglich X und
MY dasjenige derselben Kraft bezüglich Y , so gilt
MY = MX + (rX – rY) × F.
(rX – rY) × F heißt Versetzungsmoment.
Definition: Zwei Kraftsysteme
{(F1 , r1) , (F2 , r2) , ... , (FK , rK)} und {(F1 , r1) , (F2 , r2) , ... , (FL , rL)}
heißen (statisch) äquivalent, falls die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:
KÄ) die Summen der Kraftvektoren sind gleich
F1 + F2 + ... + FK = F1 + F2 + ... FL
MÄ) die Summen der Momente der Kräfte bezüglich eines Punktes X sind gleich
K
L
MRX : = ∑ [(ri – rX) × Fi] = ∑ [(ri – rX) × Fi] = : MRX .
i =1
i =1
Definition: Die resultierende Kraft eines Kraftsystems ist diejenige Kraft (FR , rR) , die zu
dem Kraftsystem äquivalent ist, d. h.
K
FR = ∑ Fi
i =1
und
K
MRX : = (rR – rX) × FR = ∑ [(ri – rX) × Fi] .
i =1
Definition: Das Paar aus einer Kraft und einem freien Moment {(FR , rR) , M} heißt
äquivalentes Lastsystem zu einem Kraftsystem, falls gelten
K
FR = ∑ Fi
i =1
resultierender Kraftvektor
K
M + rR × FR = ∑ ri × Fi
i =1
M : freies Moment.
Definition: Ein Kraftsystem heißt Gleichgewichtssystem, falls gelten
K
FR = ∑ Fi = o
i =1
Kräftegleichgewicht
K
MRO = ∑ (ri – rO) × Fi = o
i =1
Momentengleichgewicht bez. O (beliebig)
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Gleichgewichtsbedingungen komponentenweise räumlich
FRx = F1x + F2x + ... + FKx = 0
(1)
FRy = F1y + F2y + ... + FKy = 0
(2)
FRz = F1z + F2z + ... + FKz = 0
(3)
MROx = 0
MROy = 0
MROz = 0
(4÷6)
oder eben
FRx = F1x + F2x + ... + FKx = 0
(1)
FRy = F1y + F2y + ... + FKy = 0
(2)
MROz = 0
(3)
Axiom: Bei einem Körper, der sich in Ruhe befindet, ist das Lastsystem ein Gleichgewichtssystem.
Gebietsintegrale
Bestimmtes Integral nach RIEMANN
F
b
a
n
:=
lim
∑
n → ∞ i=1
Δx→ 0
b
∫
f (ξi) Δxi =
f (x) dx = F(b) – F(a) .
a
Sind die Funktion und die Grenzen von einer zweiten Variablen y abhängig
b( y )
F ba(( yy )) = ∫ f (x , y) dx ,
a( y )
so lautet die Ableitung des Integrals nach dieser zweiten Variablen
b ( y ) ∂f ( x , y )
d b( y )
db( y )
da ( y )
f
(
x
,
y
)
dx
=
dx +
f (b(y) , y) –
f (a(y) , y)
∫
∫
dy a ( y )
∂y
dy
dy
a( y )
•
Linienintegral
n
F(L ) = ∫ f (s) ds = lim
L
n→∞
ΔLi →0
f (x) = lim
ΔL→0
•
∑
xo
f (ξi) ΔLi = ∫ f (x) l (x) dx
xu
i=1
ΔF ( ΔL )
ΔL
Flächenintegral
n
F(A ) = ∫ f (x , y) dA = lim
A
n →∞
Δ Ai →0
f (x , y) = lim
ΔAi →0
∑
f (ξi , ηi) ΔAi =
i=1
ΔF ( ΔAi )
ΔAi
yo xo ( y )
∫
∫
yu xu ( y )
f (x , y) a (x , y) dx dy
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f
y
yo
xu ( y)
yo
y
x u ( y)
A
yu
x
•
xo(y)
xo(y)
A
yu
6
x
Volumenintegral
n
F(V ) = ∫ f (x , y , z) dV =
V
zo
y o ( z ) xo ( y , z )
zu
y u ( z ) xu ( y , z )
= ∫
n→∞
ΔVi → 0
∑
f (ξi , ηi , ζi) ΔVi
i=1
∫
f (x , y , z) v(x , y , z) dx dy dz
lim
ΔF ( ΔV )
ΔV
∫
f ( x , y , z) =
lim
ΔV →0
Integration über Vektorfelder
Komponentendarstellung des Vektorfeldes
f = f 1 e1 + f 2 e2 + f 3 e3
f i Skalarfelder, die von 1, 2 oder 3 KOO abhängen
• Linienintegral
xo
F(L ) = ∫ f ds
[∫
=
xu
L
xo
[∫
+
xu
xo
[∫
+
xu
f 1(x) l(x) dx] e1
f 2(x) l(x) dx] e2
f 3(x) l(x) dx] e3
• Oberflächenintegral
F(A ) = ∫ f dA
=
A
[
y o xo ( y )
∫
∫
f 1(x , y) a(x , y) dx dy] e1
y u xu ( y )
+
yo
xo ( y )
yu
xu ( y )
[∫
∫
f 2(x , y) a(x , y) dx dy] e2
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+
yo
xo ( y )
yu
xu ( y )
[∫
∫
7
f 3(x , y) a(x , y) dx dy] e3
• Volumenintegral
zo
yo ( z ) xo ( y ,z )
zu
yu ( z ) xu ( y ,z )
zo
yo ( z ) xo ( y ,z )
zu
yu ( z ) xu ( y ,z )
zo
yo ( z ) xo ( y ,z )
zu
yu ( z ) xu ( y ,z )
F(V ) = ∫ f dV =
[∫
+
[∫
V
[∫
+
∫
f 1(x , y , z) v(x , y , z) dx dy dz] e1
∫
∫
∫
∫
∫
f 2(x , y , z) v(x , y , z) dx dy dz] e2
f 3(x , y , z) v(x , y , z) dx dy dz] e3
m(V ) = ∫ ρ dV
Masse eines Körper
V
ρ (X) =
(Massen-)Dichte
dm
Δm
: = lim
dV
ΔV → 0 ΔV
für einige ausgewählte Materialien bei Raumtemperatur in g/cm3 = 1000 kg/m3
Aluminium
2,7
Eisen
7,9
Kupfer
8,9
Glass
2,6
Eichenholz
0,9
Buchenholz
0,7
Tannenholz
0,5
Marmor
2,7
Wassereis bei 0°C
0,917
NEWTONsches Gravitationsgesetz: Zwei Massen m1 und m2 im Abstand r ihrer Mittelpunkte ziehen sich an mit einer Kraft der Größe
FG = Γ
m1 m2
r2
mit der universellen Gravitationskonstante Γ = 6,67 10–11 N m2 kg–2.
Gewichtskraft im Gravitationsfeld der Erde
FG = Γ
mit
ME m
Γ ME
e↓ ≈
m e↓ = g m e↓
2
( RE + h)
RE 2
m
Masse des Körpers
ME
Erdmasse
RE
mittlerer Erdradius
h
Höhe des Körpers über Erdnullniveau (für h << RE )
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g: =
Γ ME
RE
2
e↓
8
irdische Gravitationskonstante (meistens als 9,81 m/s2 angenommen)
lotrechter Einheitsvektor.
Volumenmittelpunkt des Körpers
rV : =
1
∫ r dV
V V
Massenmittelpunkt des Körpers
rM : =
1
∫ r dm
mV
Schwerpunkt des Körpers
rS : =
1
∫ r g dm
FG V
komponentenweise
rVi : =
1
V
∫ xi dx1 dx2 dx3 ,
i = 1, 2, 3
V
rMi : =
1
∫ xi ρ dx1 dx2 dx3 ,
m V
rSi : =
1
∫ xi g ρ dx1 dx2 dx3 ,
FG V
i = 1, 2, 3
i = 1, 2, 3
Satz: Besitzt ein Körper eine Symmetrie-Achse oder -Ebene bezüglich seiner Form und seiner
Massenverteilung, so liegt der Massenmittelpunkt auf dieser.
Satz: Ist ein Körper aus n Teilkörpern mit den Massen mi und den Massenmittelpunkten
rMi zusammengesetzt, so gilt für dessen Massenmittelpunkt
rM =
1 n
∑ m r
m i =1 i Mi
mit
n
m = ∑ mi .
i =1
Reibung
Haftreibungsgesetz: Zwei Körper in Kontakt haften aneinander, solange für die tangentiale
(Haft-) Reibungskraft R gilt
|R| < μ0 N
mit der Haftreibungszahl μ0 > 0 und der Normalkraft N .
Stahl auf Stahl
μ0 = 0,15
Holz auf Holz
μ0 = 0,4 ÷ 0,6
Holz auf Metall
μ0 = 0,6 ÷ 0,7
Gummi auf Asphalt μ0 = 0,7 ÷ 0,8
COULOMBsches Gleitreibungsgesetz: Die Größe der (Gleit-) Reibungskraft R ist
proportional zur Andrückkraft N
|R| = μ N
mit der (Gleit-) Reibungszahl μ > 0 .
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Stahl auf Stahl
μ = 0,09
Holz auf Holz
μ = 0,2 ÷ 0,4
Holz auf Metall
μ = 0,4 ÷ 0,5
Gummi auf Asphalt μ = 0,5 ÷ 0,6
Auflager
Lagerungen für ebene Tragwerke (Auswahl)
Symbol
Reaktionskräfte
Pendelstütze
(einwertig)
Gleitlager
(einwertig)
gelenkiges Lager
(zweiwertig)
Parallelführung
(zweiwertig)
Schiebehülse
(zweiwertig)
Einspannung
(dreiwertig)
Lagerungen für räumliche Tragwerke (Auswahl)
Symbol
Gleitlager
(einwertig)
gelenkiges Lager
(dreiwertig)
Loslager
(vierwertig)
Einspannung
(sechswertig)
Reaktionskräfte
9
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10
Randbedingungen (ebener Fall)
N
Q
M
0
0
0
≠0
0
≠0
0
≠0
Schiebehüls
0
≠0
Einspannung
≠0
≠0
freies Ende
0
gelenkiges Lager
≠0
Parallelführung
≠0
≠0
Schnittlasten an Stäben
F(x)
– M(x)
x
M(x)
positives Schnittufer
Schnittkraft
F(x)
– F(x)
negatives Schnittufer
= Fx(x) ex + Fy(x) ey + Fz(x) ez
= N(x) ex + Qy(x) ey + Qz(x) ez
M(x) = Mx(x) ex + My(x) ey + Mz(x) ez
Schnittmoment
mit
N = Fx
Normalkraft (-Komponente)
Qy = Fy
Querkraft (-Komponente) in y-Richtung
Qz = Fz
Querkraft (-Komponente) in z-Richtung
Mx
axiales oder Torsionsmoment
My
Biegemoment (-Komponente) in y-Richtung
Mz
Biegemoment (-Komponente) in z-Richtung.
ebenes Problem ( x und z in die Zeichenebene)
N = Fx
Normalkraft (-Komponente)
Q = Fz
Querkraft (-Komponente) in z-Richtung
M = My
Biegemoment (-Komponente) in y-Richtung.
Gestrichelte-Faser-Konvention dient zur Festlegung des Koordinatensystems
y
x N
My
Qz
Qz
My
N
z
negatives Schnittufer
positives Schnittufer
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
11
Merkregel: ein positives Biegemoment führt zu einer Stabkrümmung, die die gestrichelte
Faser streckt.
Schnittlasten-Differentialgleichungen
N(x) ′ = – n(x)
My(x) ′′ = Qz(x) ′ = – qz(x)
Mz(x) ′′ = – Qy(x) ′ = qy(x)
Seile und Bögen
x
q(x)
l
w(x)
h
z
l
L = ∫ ds = ∫ √[1 + w(x)′2] dx
Bogenlänge des Seils
L
0
N(0)
q(x)
x
w(x)
H(x)
N(x)
z
V(x)
Seil-Differentialgleichungen
H(x) = H(0)
also konstant
V(x)′ = – q(x)
w(x)″ = –
q( x )
H
Seilreibung
S(α)′ = μ0 S(α)
Seil-Reibungs-Differentialgleichung
S(α) = So e μ0 α
allgemeine Lösung
α : Umschlingungswinkel in Bogenmaß
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Zug- und Druckstäbe
ΔN ( x )
ΔA→ 0 ΔA( x )
σ (x) : =
Normalspannung
lim
Bemessung nach zulässiger Normalspannung
Stahl St37
σzul+ = 140 ÷ 180 MPa
Stahl St52
σzul+ = 210 ÷ 270 MPa
Spannstähle
σzul+ =
Aluminium
σzul+ = 100 MPa
Kupfer
σzul+ = 40 MPa
Beton
σzul– = 8 ÷ 15 MPa
÷ 900 MPa
Holz in Faserrichtg. σzul = 6 ÷ 14 MPa
ε (x) : = u(x)′ =
Längsdehnung
HOOKEsches Gesetz
du( x )
dx
σ=Eε
mit dem Elastizitätsmodul E von der Dimension [Spannung]
Eisen und Stahl
E = 210 GPa
Aluminium
E = 70 GPa
Kupfer
E = 120 GPa
Messing
E = 100 GPa
Nickel
E = 200 GPa
Zinn
E = 50 GPa
Glas
E=
70 GPa
Beton
E=
30 GPa
Holz
E = 8 ÷ 16 GPa
(Durchschnittswerte bei Raumtemperatur) GPa = 109 Pa = 109 N/m2
Wärmedehnung
εT = α Δθ
mit
εT
Wärmedehnung [dimensionslos]
Δθ
Temperaturdifferenz [Kelvin K]
α
thermischer Ausdehnungskoeffizient [K –1]
12
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Aluminium
α = 23 ⋅ 10–6 K–1
Blei
α = 29,4 ⋅ 10–6 K–1
Eisen, Stahl
α = 12 ⋅ 10–6 K–1
Kupfer
α = 16,8 ⋅ 10–6 K–1
Nickel
α = 12,8 ⋅ 10–6 K–1
Stahl
α = 11,7 ⋅ 10–6 K–1
Zinn
α = 27 ⋅ 10–6 K–1
Messing
α = 18 ⋅ 10–6 K–1
Beton
α = 10 ⋅ 10–6 K–1
Glas
α = 0,5 ⋅ 10–6 K–1
Keramik
α=4
Holz
α = 3 ÷ 9 ⋅ 10–6 K–1
⋅ 10–6 K–1
ε =
thermoelastisches Gesetz
13
σ
+ α Δθ
E
für Stäbe
u′ =
N
+ α Δθ
EA
Balkenbiegung
BERNOULLISCHE Hypothese
Die Balkenquerschnitte bleiben eben und senkrecht zur Balkenachse.
Δx0
z
Δx
Δx0
R<0
z
R>0
Δx0
positiv gekrümmt
ungekrümmt
Beziehung zwischen Spannung und Biegemoment
σ (x , z) =
My( x )
Iy( x )
Biegelinien-Differentialgleichung
z
My(x) = – E(x) Iy(x) w(x)′′
z
negativ gekrümmt
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14
Flächenträgheitsmomente
Iy : = ∫ z2 dA
• axiale Trägheitsmomente
Iz : = ∫ y2 dA
A
• Deviationsmomente
A
Iyz : = Izy : = – ∫ y z dA
A
Beispiele (bezogen auf Flächenmittelpunkte):
b
2r
y
h
y h
y
z
b
h
z
b
z
b h3
Iy =
12
h b3
Iz =
12
z
y
z
Rechteckquerschnitt
Iyz = 0
rechtwinkliger Dreiecksquerschnitt
Iy =
b h3
36
Iz =
h b3
36
Iyz =
h2 b2
72
b3 h
48
Iyz = 0
gleichschenkliger Dreiecksquerschnitt
b h3
Iy =
36
Iz =
Kreisquerschnitt
Iy = Iz =
π r4
4
Iyz = 0
Superpositionsprinzip der Verschiebungen für linear-elastische Systeme
Die Verschiebungen u(x) und w(x) in jedem Punkt infolge einer Kombination von Lasten
sind gleich der Summe der Verschiebungen infolge jeder einzelnen Last.
Proportionalität für linear-elastische Systeme
Die α-fache Last bewirkt die α-fachen Verschiebungen α u(x) und α w(x) .
Prinzip von de SAINT-VENANT
In hinreichender Entfernung vom Angriffsbereich eines Lastsystems hängt dessen Wirkung
auf die mechanischen Größen nur noch von dessen statisch Resultierenden ab.
Satz von STEINER
Die Trägheitsmomente des Gesamtquerschnitts ergeben sich aus denjenigen der
Teilquerschnitte gemäß
n
Iy = ∑ (Iyi + z0i2 Ai)
i =1
Iz =
n
∑ (Izi + y0i2 Ai)
i =1
n
Iyz = ∑ (Iyzi – y0i z0i Ai)
i =1
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mit
{y0i , z0i}
Koordinaten des Teilschwerpunktes Si von Ai bez. S
Ai
Flächeninhalt des Teilquerschnitts Ai
Iyi = ∫ zi2 dA
Ai
Izi =
∫
Ai
Trägheitsmomente der Teilquerschnitte Ai
yi2 dA
bezogen auf deren
Iyzi = – ∫ yi zi dA
Flächenschwerpunkte
Ai
Transformationsformeln bei Koordinatendrehung
y = r cosϕ + s sinϕ
z = – r sinϕ + s cosϕ
Iy = ½ (Ir + Is) + ½ (Ir – Is) cos 2ϕ + Irs sin 2ϕ
Iz = ½ (Ir + Is) – ½ (Ir – Is) cos 2ϕ – Irs sin 2ϕ
– ½ (Ir – Is) sin 2ϕ + Irs cos 2ϕ
Iyz =
Definition: KOO-Achsen, bezüglich derer Iyz = 0 ist, heißen Hauptträgheitsachsen (HTA)
des Querschnitts.
Hauptträgheitsachsen lassen sich für jeden Querschnitt finden.
Achsen, die senkrecht auf Hauptträgheitsachsen stehen, sind ebenfalls Hauptträgheitsachsen.
Der Winkel zwischen einem beliebigen KOOS {x, r, s} und Hauptträgheitsachsen ist
ϕ0 = ½ arctan
Hauptträgheitsmomente
2I rs
Ir − I s
I H1,2 = ½ (Ir + Is) ± {¼ (Ir – Is)2 + Irs2}½
Schiefe Biegung
Biegelinien-Differentialgleichungen
My = E Iyz v ′′ – E Iy w ′′
Mz = E Iz v ′′ – E Iyz w ′′
oder äquivalent
E v ′′ =
− M z I y + M y I yz
I yz 2 − I y I z
Normalspannungen im Querschnitt σ (x, y, z) =
E w ′′ =
und
I yz 2 − I y I z
( M z I y − M y I yz ) y − ( M y I z − M z I yz )z
Bezüglich Hauptträgheitsachsen (Iyz ≡ 0) gelten
My = – E IyH w ′′
M y I z − M z I yz
Mz = E IzH v ′′
I yz 2 − I y I z
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σ (x , y , z) =
M y ( x)
z −
I yH
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M z ( x)
y
I zH
Knickstäbe
F
w(l)
w(l)
F
F
w(x)
F
w(x)
a
a
Q
Q
M
M
N
N
x
x
Fall I
ohne Exzentrizität
mit Exzentrizität
1. Ordnung
3. Ordnung o. E
Fk
2. Ordnung mit
Exzentrizität
und ohne
w(l)
kleinste kritische Last
Fk =
mit der reduzierten Knicklänge
EI
⋅α
l2
=
lred =
πl
α
π 2 EI
2
lred
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F
F
F
F
l
x
Fall I
x
x
x
Fall II
Fall III
Fall IV
EULER-Fall
Fk =
π 2 EI
20 ,19 EI
4l 2
l2
l2
4π 2 EI
l2
π2
transz.
4π 2
9,87
20,19
39,48
π2
α =
4
α≈
lred
l
π 2 EI
2,46
=
2
≈ 0,7
1
1/2
Spannungs-Analyse
Spannungsmatrix
⎡σ
σ xy σ xz ⎤
⎢ xx
⎥
S : = ⎢σ yx σ yy σ yz ⎥
⎢
⎥
⎢⎣σ zx σ zy σ zz ⎥⎦
Spur der Spannungsmatrix
s : = σxx + σyy +σzz
BOLTZMANNsches Axiom: Die Schubspannungen in einer j-Fläche in i-Richtung sind
gleich den Schubspannungen in einer i-Fläche in j-Richtung.
σxy = σyx
σxz = σzx
σyz = σzy
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
18
y
σyy +
∂σ yy
σxy
σyx +
σxx +
∂σ yx
∂x
∂σ yz
σyz +
(–½ dx) + ...
∂σ xx
(–½ dx) + ...
∂x
σxz +
∂z
(½ dy) + ...
∂y
∂σ xy
+
(½ dy) + ...
∂y
dz
σyx +
(½ dz) + ...
∂σ xz
(½ dz) + ...
∂z
x
dy
z
dx
σxy +
σyy +
∂σ yy
∂y
∂σ xy
∂y
(–½ dy) + ...
(–½ dy) + ...
lokale Gleichgewichtsbedingungen für die Kräfte
∂σ xy
∂σ xx
∂σ xz
+
+ f Mx ρ = 0
+
∂y
∂z
∂x
∂σ yx
∂σ yz
∂σ yy
+
+
+ f My ρ = 0
∂x
∂y
∂z
∂σ zy
∂σ zx
∂σ zz
+
+
+ f Mz ρ = 0
∂x
∂y
∂z
∂σ yx
σxx +
∂x
(½ dx) + ...
∂σ xx
(½ dx) + ...
∂x
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
ebene Koordinaten-Transformation
19
η
y
dx = dη sin ϕ
dy = dη cos ϕ
ϕ
dz = dζ
σyx
σxx
ex = cos ϕ eξ – sin ϕ eη
σηξ
dy
dη
dx
ey = sin ϕ eξ + cos ϕ eη
σxy
σyy
ez = eζ
Transformations-Formeln des ebenen Spannungszustandes bei KOO-Drehung
σξξ = ½ (σxx + σyy) + ½ (σxx – σyy) cos(2ϕ) + σxy sin(2ϕ)
σηη = ½ (σxx + σyy) – ½ (σxx – σyy) cos(2ϕ) – σxy sin(2ϕ)
σηξ = ½ (σyy – σxx) sin(2ϕ) + σxy cos(2ϕ)
MOHRscher Kreis
τ
V
σξξ
σ
O
2ϕ
2ϕ0
H
M
ξξ
σ xx + σ yy
σ xx − σ yy
2
2
Kreismittelpunkts-KOO
τM = 0 ; σ M =
σ xx + σ yy
2
V´
σξξ
F
σξη σxy
F´ σHηη
σ
ξ
ϕ
x
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
Radius
r =
20
2
⎛ σ xx − σ yy ⎞
2
⎟ + σ xy
⎜
2
⎠
⎝
σ
Winkel mit HSA
ϕ0 = ½ arctan
ξξ
,σ
2
⎛ σ xx − σ yy ⎞
2
⎟ + σ xy
= ½(σxx + σyy) ± ⎜
2
⎠
⎝
Hauptspannungen
H
H
ηη
2σ xy
σ xx − σ yy
τextr. = ± r
extremale Schubspannungen
Deformationsgeometrie
Deformationen
εxx : =
∂u
∂x
εyy : =
∂v
∂y
εzz : =
∂w
∂z
⎛ ∂u ∂v ⎞
+ ⎟
⎝ ∂y ∂x ⎠
εxy = εyx : = ½ ⎜
⎛ ∂v ∂w ⎞
+
⎟
⎝ ∂z ∂y ⎠
εyz = εzy : = ½ ⎜
⎛ ∂u ∂w ⎞
+
⎟
⎝ ∂z ∂x ⎠
εxz = εzx : = ½ ⎜
Dehnungsmatrix
⎡ε xx ε xy ε xz ⎤
⎢
⎥
⎢ε yx ε yy ε yz ⎥
⎢
⎥
⎢⎣ε zx ε zy ε zz ⎥⎦
Spur der Dehnungsmatrix
e : = εxx + εyy + εzz
ebener Verzerrungszustand in x-y-Ebene
εxz = εyz = εzx = εzy = εzz = 0
Transformations-Formeln des ebenen Deformationszustandes bei KOO-Drehung
εξξ = ½ (εxx + εyy) + ½ (εxx – εyy) cos(2ϕ) + εxy sin(2ϕ)
εηη = ½ (εxx + εyy) – ½ (εxx – εyy) cos(2ϕ) – εxy sin(2ϕ)
εηξ = ½ (εyy – εxx) sin(2ϕ) + εxy cos(2ϕ)
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
21
Elastizitätstheorie
thermoelastisches HOOKEsches Gesetz
εxx =
1 + ν
ν
[σxx –
s ] + α Δθ
E
1 + ν
εyy =
1 + ν
ν
[σyy –
s ] + α Δθ
E
1 + ν
εzz =
1 + ν
ν
[σzz –
s ] + α Δθ
E
1 + ν
εxy =
1 + ν
σxy
E
εyz =
1 + ν
σyz
E
εzx =
1 + ν
σzx
E
inverses HOOKEsches Gesetz
σxx = 2G [εxx +
σyy = 2G [εyy +
σzz = 2G [εzz +
ν
1 − 2ν
ν
1 − 2ν
ν
1 − 2ν
σxy = 2G εxy
e –
1+ν
α Δθ]
1 − 2ν
e –
1+ν
α Δθ]
1 − 2ν
e –
1+ v
α Δθ]
1 − 2v
σxz = 2G εxz
ν := −
Querkontraktionszahl (dimensionslos)
Stahl
ν = 0,34
Aluminium
ν = 0,32 ÷ 0,35
Kupfer
ν = 0,33 ÷ 0,36
Glas
ν = 0,21 ÷ 0,27
Gummi
ν = 0,49 ÷ 0,5
Schubmodul G : =
E
2( 1 + ν )
σyz = 2G εyz
ε quer
ε längs
Kompressionsmodul K : =
E
3( 1 − 2ν )
spezifische elastische Energie für HOOKEsches Material
w(εij) = 1/2{2G [ε11 +
+ 2G [ε22 +
+ 2G [ε33 +
ν
1 − 2ν
ν
1 − 2ν
ν
1 − 2ν
(ε11 + ε22 + ε33)] ε11
(ε11 + ε22 + ε33)] ε22
(ε11 + ε22 + ε33)] ε33
+ 2G [ε122 + ε232 + ε312 + ε212 + ε322 + ε132]}
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
w = wK + wG
Zerlegung der Energie
•
22
in Kompressions- oder Dilatationsenergie
wK = – 1/2 p e = 1/6 (σxx + σyy + σzz) (εxx + εyy + εzz)
•
und Gestaltänderungsenergie
3
1 3
2
∑ σ 'ij
4G i, j =1
wG = 1/2 ∑ σ 'ij εij =
i, j = 1
=
(Deviatorspannungen)
1
[(σxx – σyy)2 + (σyy – σzz)2 + (σzz – σxx)2 + 6(τxy2 + τxz2 + τyz2)]
12 G
Federenergie W = ½ c x2
⇒
F = cx =
dW
dx
Li = W • =
⇒
dW •
x = F x•
dx
Formänderungsenergie des Biegebalkens ohne Schub
L
W =
∫
1
/2 E (A u'
2
+ Iy w''
0
2
M y2
M z2 ⎞⎟
1 ⎛⎜ N 2
+ Iz v'' ) dx = ∫
+
+
dx
⎜
Iy
I z ⎟⎠
0 2E ⎝ A
L
2
mit der
• Dehnungsenergie
1 L N2
1 L
1 L
2
dx =
∫
∫ N u′ dx =
∫ E A u′ dx
2 0 EA
2 0
2 0
• Biegeenergie
2
1 L My
1 L
1 L
2
dx = –
∫
∫ My w ′′ dx =
∫ E Iy w ′′ dx
2 0
2 0
2 0 EI y
• Biegeenergie
1 L M z2
1 L
1 L
2
dx =
∫
∫ Mz ν ′′ dx =
∫ E Iz ν ′′ dx
2 0 EI z
2 0
2 0
Schubspannungen am Balken bei ebener Biegung
τzx(x, z) =
Qz ( x ) S y ( z )
I y b( z )
mit dem statischem Moment
Sy(z) : = – ∫
z
y2 ( z )
z0
y1 ( z )
z dA = – ∫
A3
∫
z dy dz =
z0
y2 ( z )
z
y1 ( z )
∫
Schubspannungsverteilung am Rechteckvollquerschnitt mit Höhe h
2
3 Qz (x) ⎡
⎛ z ⎞ ⎤
τzx(x , z) =
⎢1 − ⎜
⎟ ⎥
2A
⎝ h / 2 ⎠ ⎦⎥
⎣⎢
und am Vollkreisquerschnitt mit Radius R
4 Qz (x)
τzx(x , z) =
3A
2
⎡
⎛z⎞ ⎤
⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥
⎝ R ⎠ ⎥⎦
⎢⎣
∫
z dy dz
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
spez. Scherenergie
23
w = ½ (τxz εxz + τzx εzx) = ½ τ γ = ½ G γ 2 = ½ τ 2 / G
W = ∫ w dV =
Scherenergie des Stabes
V
mit der dimensionslosen Formzahl β : =
β
L
2G A
x =0
A
∫
I y2 A
2
∫ Qz dx
S y ( z )2
b( z )2
dA
β = 6/5 für Rechteckquerschnitte
β =
10
/9 für Kreisquerschnitte
Schubmittelpunkt
2 s1
ys =
∫ AF (s) b(s) z(s) ds
Iy 0
s
mit
AF (s) : = ∫
0
1
2
zs = –
Iz
s1
∫ AF (s) b(s) y(s) ds
0
/2 ex ⋅ r(s) × et(s) ds
Satz: Greift die Resultierende der äußeren Kräfte an einer Stelle x des Stabes im
Schubmittelpunkt an, so erzeugt sie keine Torsion.
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
24
DE SAINT-VENANTschen Torsionstheorie
ϑ : Torsions- oder Drillwinkel
v = – z ϑ (x) w = y ϑ(x)
planare Verschiebungen
Drillung
D := ϑ′ =
dϑ
dx
BREDTsche Torsionstheorie für einzellige Hohlstäbe mit dünnen Wänden
et
rp
en
r⊥
Am
Schubfluss
t : = τsx(s) b(s)
1. BREDTsche Formel
τsx(s) = τxs(s) =
2. BREDTsche Formel ϑ ′ =
Mt
2 Am b( s )
mit
Am : = 1/2 ∫ r⊥ ds
Mt
4 Am2
mit dem Torsionsflächenmoment It : =
ds
G It
∫
b( s )
dickwandige und Vollprofile
dMt = G D dIt
mit
dIt : =
4 Am2
ds
∫
db
τxs =
dM t
2 Am db
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
Mt = ∫
A
dMt = G D ∫ dIt = G D It
mit
A
A
Drillung für Kreisquerschnitte
D =
ra
π
ri
2
Schubspannungen für Kreisquerschnitte
π
(
2 Mt
ra4
It = ∫ dIt
A
It = ∫ d It = ∫ 2 π r3 dr =
Kreisquerschnitte
25
(ra4 – ri4)
)
− ri4 G
τxs =
Mt
r
It
dünnwandige Vollquerschnitte mit parallelen Rändern
Am ≈ 2 q h
τxs = 2 G D q = 6
It =
b 3h
3
D =
3 Mt
G b3 h
2Mt
Mt
q =
q
3
It
bh
zusammengesetzte dünnwandige Vollquerschnitte
Mt = G D I t
mit
It = It1 + It2 + ... + Itn
spez. Torsionsenergie für dünnwandige Hohlquerschnitte w =
Mt2
8 G Am2 b 2
globale Torsionsenergie des Torsionsstabes zwischen x1 und x2 für dünnwandige
Hohlquerschnitte und für dünnwandige Vollquerschnitte mit parallelen Rändern
W = ∫ w dV = 1/2 Mt D (x2 – x1)
V
Festigkeits-Hypothesen
•
Normalspannungs-Hypothese
σzul – ≤ σmax ≤ σzul+
• Schubspannungs-Hypothese
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
26
τmax ≤ τzul
• Formänderungsenergie-Hypothese
wmax ≤ wzul
• Gestaltänderungsenergie-Hypothese
wG max ≤ wG zul
⇒
⏐σ⏐ ≤
6 G wG zul bei einachsigem Zug
Kinematik der Punktbewegungen
Bahn eines (bewegten) Punktes P
→
r(t) : = OP
= x1 ( t ) e1 + x2 ( t ) e2 + x3 ( t ) e3
dr( t )
= x1 ( t ) • e1 + x2 ( t ) • e2 + x3 ( t ) • e3
dt
Geschwindigkeit
v(t) : = r(t)• =
Beschleunigung
a(t) : = v(t)• = r(t)•• = x1(t)•• e1 + x2(t)•• e2 + x3(t)•• e3
s
Bogenlänge
t
t0
t
: = ∫ v(τ) dτ
t0
Zerlegung der Beschleunigung
a(t) = at(t) + an(t)
in Tangentialbeschleunigung
at(t) : = (a ⋅ et) et = s•• et = v• et
und Normal- oder Zentripetalbeschleunigung an(t) : = a(t) – at(t) =
an
an
Normalen(einheits)vektor
en ( t ) : =
Binormalen(einheits)vektor
eb ( t ) : = et ( t ) × en ( t )
Krümmung der Bahnkurve
κ (s) : = e t ′ =
Krümmungsradius
ρ (s) : =
1
κ( s )
de t ( s)
ds
=
1
e ′t
Zylinderkoordinaten {r , ϕ , z}
r =
x2 + y2
y
ϕ = arc tan /x
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
Ortsvektor
r(t) = r(t) er(ϕ (t)) + z(t) ez
Geschwindigkeit
v(t) = r• er + r ϕ• eϕ + z• ez
Beschleunigung
a(t) = (r•• – r ϕ•2) er + (2r• ϕ• + r ϕ•• ) eϕ + z•• ez
s•2
ρ
en =
v2
ρ
en
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
27
Relativbewegung
e* 3
P
e3
O
e1
r* ( t )
r( t )
e* 2
r0 ( t )
O*
*
e1
e2
(Absolut-) Geschwindigkeit
v = vr + vf
mit Relativgeschwindigkeit
vr : = ∑ x*i• e*i
3
i=1
und Führungsgeschwindigkeit des bewegten BZS
vf : = r0• + ω × r*
a(t) = af + ac + ar
(Absolut-) Beschleunigung
mit
•
af : = r0•• + ω• × r* + ω × (ω × r*)
Führungsbeschleunigung
(Translations- + Quer- + Zentripetalbeschleunigung)
•
CORIOLIS-Beschleunigung
ac : = 2 ω × vr
•
Relativbeschleunigung
ar : = ∑ x*i•• e*i
3
i=1
Kinetik des starren Körpers
Seien O raumfester und P, Q körperfeste Punkte
→
Ortsvektor
→
→
rP = OP = OQ + QP = rQ + x
EULERsche Geschwindigkeitsformel
→
vP = vQ + ω × QP
ω
Beschleunigung
mit
Winkelgeschwindigkeit
aP = aQ + ω• × x + ω × (ω × x)
aQ
Bezugsbeschleunigung
ω• × x
Winkelbeschleunigung
ω × (ω × x)
Zentripetalschleunigung
Definition: Ein Punkt Mp mit vMp ≡ o heißt Momentanpol (Momentanzentrum).
Satz vom Momentanpol: Das Geschwindigkeitsfeld eines starren Körpers bei einer ebenen
Bewegung läßt sich zu jedem Zeitpunkt als Rotation um einen Punkt Mp, den Momentanpol,
auffassen, falls ω ≠ 0 , gemäß
vP = ω e3 × x .
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
allgemeiner Fall
28
reines Gleiten
reines Rollen
ϕ
Mp
y
e2
e1
vQ Q
Mp
Massenträgheitsmomente
axiale
Θ11 : = ∫
(x22 + x32) dm = ∫ r⊥12 dm mit
r⊥ 1 : = √ ( x2 2 + x3 2 )
Θ22 : = ∫
(x12 + x32) dm = ∫ r⊥22 dm mit
r⊥ 2 : = √ ( x3 2 + x1 2 )
Θ33 : = ∫
(x12 + x22) dm = ∫ r⊥32 dm mit
r⊥ 3 : = √ ( x1 2 + x2 2 )
V
V
V
V
V
V
deviatorische Θ12 : = – ∫ x1 x2 dm = : Θ21
V
Θ23 : = – ∫ x2 x3 dm = : Θ32
V
Θ13 : = – ∫ x1 x3 dm = : Θ31
V
Beispiele
•
Quader mit konstanter Massendichte ρ und Seitenlängen a , b , c in den Richtungen 1,
2, 3
m 2
Θ11 =
( b + c2 )
Θ12 = Θ23 = Θ13 = 0
12
•
Kreisringzylinder mit Länge l , Außenradius ra , Innenradius ri
Θaxial =
m
(ra2 + ri2)
2
Θquer =
m
(ra2 + ri2 + 1/3 l 2)
4
• schlanker Stab der Länge l mit Achsenrichtung in x
Θyy = Θzz =
•
Θxy = Θyz = Θxz = 0
dünne Kreisscheibe mit Radius r und x senkrecht zur Scheibe
Θxx =
•
m 2
l
12
m 2
r
2
Θyy = Θzz =
Hohlkugel mit Außenradius ra , Innenradius ri
m 2
r
4
Θxy = Θyz = Θxz = 0
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
Θxx = Θyy = Θzz =
(
2m ra − ri
3
3
5 ra − ri
(
5
5
)
)
29
Θxy = Θyz = Θxz = 0
STEINERsche Gleichungen
Θ0ii = r⊥i2 m + ΘMii
Θ0ij = – rMi rMj m + ΘMij
für i ≠ j
EULERsche Kreiselgleichungen bezogen auf Massenmittelpunkt und körperfestes System
M1 = Θ11 ω 1• + Θ12 ω 2• + Θ13 ω 3•
– (Θ12 ω 1 + Θ22 ω 2 + Θ23 ω 3) ω 3 + (Θ13 ω 1 + Θ23 ω 2 + Θ33 ω 3) ω 2
M2 = Θ12 ω 1• + Θ22 ω 2• + Θ23 ω 3•
+ (Θ11 ω 1 + Θ12 ω 2 + Θ13 ω 3) ω 3 – (Θ13 ω 1 + Θ23 ω 2 + Θ33 ω 3) ω 1
M3 = Θ13 ω 1• + Θ23 ω 2• + Θ33 ω 3•
– (Θ11 ω 1 + Θ12 ω 2 + Θ13 ω 3) ω 2 + (Θ12 ω 1 + Θ22 ω 2 + Θ23 ω 3) ω 1
EULERsche Kreiselgleichungen bezogen auf Massenmittelpunkt und HTA
MR1 = Θ H1 ω1• + (Θ H3 – Θ H2) ω 2 ω 3
MR2 = Θ H2 ω 2• + (Θ H1 – Θ H3) ω 3 ω 1
MR3 = Θ H3 ω 3• + (Θ H2 – Θ H1) ω 1 ω 2
kinetische Energie des starren Körpers
K = Ktrans + Krot
Ktrans : = ½
mit
vM2
(translatorisch + rotatorisch)
m
3
Krot : = – ½ ω ⋅ ∫ [(x ⋅ ω) x – ω x2] dm = ½ ∑ ω i ΘMij ω j
i, j = 1
V
Definition: Als Anzahl der Freiheitsgrade eines kinematischen Systems bezeichnet man die
Mindestanzahl von skalaren Größen, die die Lage des Systems determinieren.
Ein Punkt besitzt
•
im Raum
3 Freiheitsgrade
•
auf einer Fläche
2 Freiheitsgrade
•
auf einer Bahnkurve
1 Freiheitsgrad
Der starre Körper besitzt
•
im Raum
6 Freiheitsgrade
•
in der Ebene
3 Freiheitsgrade
•
bei der Drehung um einen festen Punkt
3 Freiheitsgrade
•
bei der Drehung um eine feste Achse
1 Freiheitsgrad
Ein deformierbarer Körper hat unendlich viele Freiheitsgrade.
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
30
Kinetik deformierbarer Körper
Definition: Der Impuls des Körpers zur Zeit t ist
p(t) : = ∫ v(P, t) dm .
V
Definition: Der Drall (Drehimpuls) des Körpers zur Zeit t bez. eines Bezugspunktes O ist
d0(t) : = ∫ r0(P, t) × r0(P, t)• dm .
V
Definition: Die kinetische Energie des deformierbaren Körpers ist
K = ½ ∫ v•2 dm = ½ vM2 m + ½ ∫ x•2 dm .
V
V
Impuls-Bilanz: Die zeitliche Änderung des Impulses p eines Körpers bezüglich eines raumfesten Bezugssystems ist gleich der resultierend auf ihn wirkenden Kraft F
p• = F .
Drall-Bilanz: Die zeitliche Änderung des Dralls d0 eines Körpers bezüglich eines
raumfesten Bezugssystems mit Bezugspunkt O ist gleich dem resultierend auf ihn wirkenden
Moment M0 bezüglich O
d0• = M0 .
lokale Form der Impuls-Bilanz
∂σ xy
∂σ xx
∂σ xz
+
+
+ ρ f Mx = ρ ax
∂y
∂x
∂z
∂σ yx
∂x
+
∂σ yy
∂y
+
∂σ yz
∂z
+ ρ f My = ρ ay
∂σ zy
∂σ zx
∂σ zz
+
+
+ ρ f Mz = ρ az
∂x
∂y
∂z
lokale Form der Drall-Bilanz (BOLTZMANNsches Axiom)
σxy = σyx
σxz = σzx
σyz = σzy
Leistung
Leistung der äußeren Kräfte
La : = ∫ f A ⋅ v dA + ∫ f M ⋅ v dm +
A
mit
f
A
V
K
∑
i =1
Fi ⋅ vi +
L
∑
i =1
oberflächenverteilte Kraft
fM
massenverteilte Kraft
Fi
Einzelkräfte (am starren Körper)
Mi
Einzelmomente (am starren Körper)
Leistung der (inneren) Spannungen
Li : =
3
∑
•
∫ σik εik dV
i,k = 1 V
Mi ⋅ ω
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
31
Leistungs-Bilanz: Für jeden Körper gilt
La = Li + K •.
Arbeit
t1
Arbeit der äußeren Kräfte
Aa : = ∫ La dt
La = Aa•
⇔
t0
F1
Aa* : = ∫ u ⋅ dF
äußere Ergänzungsarbeit
F0
Für konservative Kräfte F gibt es ein Potential U(r) mit
F = – grad U =
∂U
∂U
∂U
e1 +
e2 +
e3
∂x 2
∂x 3
∂x1
⇒
La = – U •
Potential der Gewichtskraft: die potentielle Energie der Gravitation
U = mgh
h Höhe über Nullniveau
t1
Spannungsarbeit
⇔
Ai : = ∫ Li dt
t0
Ai• = Li
Arbeits-Bilanz: Während der Bewegung eines Körpers in einen beliebigen Zeitintervall
[t0 , t1] gilt die Arbeitsbilanz
Aa = Ai + ΔK
t1
mit
Aa = ∫ La dt
Arbeit der äußeren Kräfte
t0
t1
Ai = ∫ Li dt
Spannungsarbeit
ΔK = K(t1) – K(t0)
Differenz der kinetischen Energie.
t0
Energie-Bilanz: Bei konservativen Systemen ist die Summe der potentiellen Energie der
äußeren Kräfte, der elastischen Energie und der kinetischen Energie konstant
U + W + K = konstant.
Variationsprinzipe der Mechanik
Prinzip der virtuellen Leistung (PdvL)
Für einen Körper sind die Bewegungsgesetze genau dann erfüllt, wenn die virtuelle
Leistungsbilanz
δ Lav = δ Li
für alle virtuellen Geschwindigkeitsfelder δv erfüllt ist mit
• der virtuellen Leistung der äußeren verlorenen Kräfte
δ Lav : = ∫ f A ⋅ δv dA + ∫ (f M – a) ⋅ δv dm
A
V
• und der virtuellen Leistung der Spannung
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
δ Li : = ∫
V
3
∑ σik
i,k = 1
32
∂ (δ vk )
1 ∂ (δ vi )
(
+
) dV.
2 ∂xk
∂xi
Die virtuelle Leistung der Trägheitskräfte von starren Körpern bei ebener Bewegung um eine
HTA ist bezüglich des Massenmittelpunktes M
•
∫ a ⋅ δv dm = aM ⋅ δvM m + ΘM ω δω .
V
Prinzip der virtuellen Verrückungen (PdvV)
Für einen Körper sind die Gleichgewichtsbedingungen genau dann erfüllt, wenn die virtuelle
Arbeitsbilanz
δ Aa = δ Ai
für alle Vektorfelder δu , den virtuellen Verrückungen, erfüllt ist mit
• dem virtuellen Arbeitsinkrement der äußeren Kräfte
δ Aa : = ∫ f A ⋅ δu dA + ∫ f M ⋅ δu dm
A
V
• und dem virtuellen Arbeitsinkrement der Spannungen
δ Ai : = ∫
V
3
∑ σik
i,k = 1
∂ ( δ uk )
1 ∂ (δ ui )
(
+
) dV.
2
∂xk
∂xi
Prinzip vom stationären Wert der potentiellen Energie
Ein konservatives System mit Potential U der äußeren Kräfte und Potential W der
Spannungen befindet sich genau dann im Gleichgewicht, wenn die Variation des
Gesamtpotentials
δ (W + U) : = δ W + δ U = 0
ist für alle virtuellen Verrückungen δu .
HALMILTONsches Prinzip vom stationären Wert der LANGRANGE-Funktion
Die Bewegungsgleichungen eines konservativen Systems sind für eine Bewegung im Zeitintervall [t0, t1] genau dann erfüllt, wenn
t1
∫ δ L dt = 0
t0
ist für alle virtuellen Bewegungen δu, die den Anfangs-, End- und Rand-Bedingungen
genügen, mit der LAGRANGE-Funktion
L := K – U – W.
LAGRANGEsche Bewegungsgleichungen 2. Art
d ∂L
∂L
–
= 0
dt ∂qi•
∂qi
für i = 1, ... , n
oder mit generalisierten Kräften
∂ (U + W )
d ∂K
∂K
R
–
+
Q
=
i
dt ∂qi •
∂qi
∂qi
für i = 1, ... , n .
Voraussetzungen für das Folgende: Statische und isotherme Probleme von linear-elastischen
Körpern unter Einzellasten, die in Richtung konstant sind.
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
33
Definition: Die Einflusszahl αij ist die Größe der Verschiebung des Kraftangriffspunktes
ri der Kraft Fi in deren Sinne (Richtung) infolge einer Einskraft Fj ≡ 1 an der Stelle rj .
Vertauschungssatz von MAXWELL und BETTI
Eine Kraft (Fi , ri) von der Größe 1 bewirkt eine Verschiebung von rj im Sinne einer Kraft
(Fj , rj) von derselben Größe wie umgekehrt.
1. Satz von CASTIGLIANO
Die partielle Ableitung der Formänderungsenergie nach der Einzelverschiebung ui im Sinne
einer Kraft Fi ergibt deren Betrag Fi
∂W ( u1 ,...,un )
∂ui
Fi =
für i = 1, ... , n .
2. Satz von CASTIGLIANO
Drückt man die Formänderungsenergie durch die Kraftbeträge F1, ... , Fn aus, so ist deren
partielle Ableitung nach einem Fi die Verschiebung von deren Angriffspunkt im Sinne von F
∂W ( F1 ,...,Fn )
ui =
für i = 1, ... , n .
∂Fi
CASTIGLIANOsche Beziehungen gelten analog für Einzelmomente
∂W
∂M i
ϕi =
Mi =
∂W
∂ϕi
Stoßvorgänge
k =
Stoßzahl (dimensionslos)
(v 2e − v 1e ) ⋅ n
(v1a − v 2a ) ⋅ n
=
Holz auf Holz
k = 0,5
Stahl auf Stahl
k = 0,8
Elfenbein auf Elfenbein
k = 0,89
Glas auf Glas
k = 0,95
v2 en − v1en
v1an − v2an
Geschwindigkeiten nach dem glatten, zentralen Stoß
v1en =
(
)
v1an m1 − k m2 + v2an m2 (1 + k )
m1 + m2
v2en =
v2an (m2 − k m1 ) + v1an m1 (1 + k )
m2 + m1
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
34
Schwingungslehre
periodischer Vorgang u(t) mit Periode T
u(t) = u(t + T)
mit
T
Periode
1
f =
T
Frequenz
2π
Kreisfrequenz
T
A = 1/2 (umax – umin) Amplitude
ω = 2πf =
Beispiel: harmonische Schwingung
u(t) = A cos(ω t +ϕ 0)
ϕ0
mit
Nullphasenwinkel
linearer ungedämpfter Einmassenschwinger
u•• + ω 2 u = 0
mit
ω2 =
c
m
vollständige Lösung
u(t)
= C1 e
+i ω t
+ C2 e–
iωt
= (C1 + C2) cos(ω t) + (C1 – C2) i sin(ω t)
= A1 cos(ω t) + A2 sin(ω t)
= A cos(ω t + ϕ0) = A sin(ω t + ϕ0 + π/2)
u
A
ωT
ϕ0
A
ω T = 2π
Gesamtenergie
K + W = ½ A2 [m ω2 sin2(ω t + ϕ0) + c cos2(ω t + ϕ0)]
= ½ A2 c [sin2(ω t + ϕ0) + cos2(ω t + ϕ0) = ½ A2 c
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
35
u
A
ω t + ϕ0
W
K
K
Kmax
1
W
W
/2 Kmax
W
K
K
W
K
0
Kmax=Wmax
A
-A
u
K
2π
W
linearer gedämpfter Einmassenschwinger
m u•• + r u• + c u = 0
Differentialgleichung
c
m
r
D =
2 m ω0
allgemeine Lösung
ω0 =
mit
u(t) = C1 e
λ1 t
Eigenfrequenz des ungedämpften Systems
LEHRsches Dämpfungsmaß
+ C2 e λ2 t
Fallunterscheidung
a) starke Dämpfung: D > 1
Es handelt sich um keine Schwingung, sondern um eine Kriechbewegung, die gegen die
statische Ruhelage konvergiert.
b) "aperiodischer Grenzfall": D = 1
allgemeine Lösung
u(t) = C1 e
λt
λ1,2 = – ω 0
⇒
+ C2 t e
λt
= e–
u
u0
v0 > 0
v0 = 0
v0 < 0
t
ωo t
(C1 + C2 t)
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
c) schwache Dämpfung: D < 1
Abklingkoeffizient
D 2 − 1 imaginär
⇒
Eigenfrequenz des gedämpften Systems
δ : = ω0 D =
36
ω : = ω0
1 − D2 < ω 0
r
> 0
2m
allgemeine Lösung
u(t) = e– δ t (C1 ei ω t + C2 e– i ω t)
= e–δ t [A1 cos(ω t) + A2 sin(ω t)]
Periode
= e– δ t A cos(ω t + ϕ0)
2π
T =
ω
Verhältnis zweier aufeinander folgender Maxima ist konstant:
ϑ : = ln
logarithmisches Dekrement
un
e −δ t
= −δ ( t + T ) = eδ T
un +1
e
un
= δT
un + 1
Erzwungenen Schwingung mit Krafterregung
Erregerkraft F(t)
Schwingungs-Differentialgleichung
allgemeine Lösung
m u•• + r u• + c u = F(t)
u(t) = uh(t) + up(t)
homogene Lösung wie bei freier Schwingung
harmonischen Erregerkraft F(t) = F cos(Ω t)
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
37
mit
F
der Erregerkraft-Amplitude
Ω
der Erregerkreisfrequenz
c
r
Schwingungs-Differentialgleichung
u•• + 2 D ω 0 u• + ω 02 u = ω 02 u F cos(Ω t)
mit
m
F(t)
c
m
r
D :=
2m ω0
F
u F : =
c
LEHRsches Dämpfungsmaß
η :=
Abstimmung
ω0 : = √
Eigenfrequenz des ungedämpften Systems
Ω
ω0
Fallunterscheidung
a) ungedämpfter Fall
D ≡ 0 ≡ r
partikuläre Lösung
up(t) = u cos(Ω t)
ω02
1
u F
2
2 uF =
1 − η2
ω0 − Ω
η < 1:
1
V (η) : =
Vergrößerungsfunktion
1−η
2
=
u
u F
unterkritische Erregung
hochabgestimmter Schwinger schwingt gleichphasig mit der Erregung
η = 1:
ω0 = Ω ⇒ V = ± ∞
Resonanz
Wird diese Stelle von kleineren Abstimmungen zu höheren durchlaufen, wächst die
Amplitude (theoretisch) beliebig an. Bei längerer Verweildauer im Resonanzpunkt wird der
stationäre Ansatz bedeutungslos. Beim Durchlaufen des Resonanzpunktes springt die Phase
von gleich auf gegenphasig.
η > 1:
überkritische Erregung
tiefabgestimmter Schwinger schwingt gegenphasig zur Erregung.
b) gedämpfter Fall
up(t) = u cos(Ω t + ϕA)
partikuläre Lösung
tan ϕA =
mit
u =
sin ϕ A
2 Dη
= –
cos ϕ A
1 − η2
û F
(1 −η ) − 2Dη tan ϕ A
2
1
cos ϕ A
= V ( η ) uˆ F
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
38
V (η) = 1 / √ [(1 – η2)2 + (2 D η)2]
Vergrößerungsfunktion
Sonderfälle:
Ω = ω0 ⇔ η = 1
1. Fall
ungedämpfter Resonanzfall
Erregerfrequenz = Eigenfrequenz des ungedämpften Systems
V =
Vergrößerungsfunktion
m ω0
1
=
=
r
2D
mc
r
V
1
η
1
unterkritisch
überkritisch
Vergrößerungsfunktion
2. Fall
maximale Vergrößerung
Ihr Maximum erreicht die Vergrößerungsfunktion an der Stelle
ηr =
1 − 2D2
Die Vergrößerungsfunktion hat hier den maximalen Wert
V(ηr) = 1 / √ [4 D4 + 4 D2 (1 – 2 D2)] = 1 / (2 D
3. Fall
Ω = ω = ω0
1 − D2
Erregerfrequenz gleich Eigenfrequenz des gedämpften Systems
ηd =
Ω
ω
=
=
ω0
ω0
1 − D2
1 − D2 )
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
39
Liste der wichtigsten Bezeichnungen
Symbol
Bezeichnung
Dimension
Einheit
A
A
Flächeninhalt
Flächengebiet
Länge2
m2
a
Beschleunigung
Länge
m
Zeit
2
s2
Aa
Arbeit der äußeren Lasten
Kraft × Länge J = Nm =
Ai
Arbeit der Spannungen
Kraft × Länge J = N m =
d
Drall
D
Drillung
E
Elastizitätsmodul
e
ei
f
Spur der Dehnungsmatrix
kartesischer Basisvektor
Frequenz
fA
Flächenkraftdichte
fM
Massenkraftdichte
F
(Einzel-) Kraftvektor
g
Gravitationskonstante
FG = G
Gewichtskraft
Iij
Flächenträgheitsmomente
K
kinetische Energie
l
Länge
La
Leistung der äußeren Lasten
la
spez. Leistung der äußeren Lasten
Li
Spannungsleistung
li
spez. Spannungsleistung
Länge 2 × Masse
m2 kg
s2
m2 kg
s2
m2 kg
Zeit
Länge-1
Kraft
Fläche
-
s
m-1
Zeit-1
Kraft
Fläche
Kraft
Masse
Masse × Länge
s-1
N
Pa =
m2
Pascal
-
Zeit 2
Länge
Zeit 2
Masse × Länge
Zeit 2
Länge4
N
Pa =
m2
N
kg
N=
kg m
s2
s2
N=
kg m
s2
4
m
m2 kg
Zeit 2
Länge
Masse × Länge 2
s2
Zeit 3
Masse
Zeit 3 × Länge
Masse × Länge 2
Zeit 3
Masse × Länge 2
3
Newton
m
Länge 2 × Masse
Zeit
Joule
Meter
kg m2
W = 3 Watt
s
kg
m
s3 m
W=
kg
s3 m
kg m2
s3
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
L
LAGRANGE-Funktion
M
Mp
M
m
Massenmittelpunkt
Momentanpol
Moment
Masse
n(x)
Streckenlast in Normalrichtung
n
Normalenvektor
N
Normalkraft
o
O
Nullvektor
raumfester Punkt
p
Druck
p
Impuls
qy(x) , qz(x)
Streckenlasten in Querrichtungen
Q
Querkraft
r
s
Ortsvektor
Bogenlänge
s
Spur der Spannungsmatrix
S
T
t
statisches Moment
Periode
Zeit
t
Schubfluss
U
u
V
V
Potential der äußeren Kräfte
Verschiebungsvektor
Volumeninhalt
Volumengebiet
v
Geschwindigkeitsvektor
W
elastische Formänderungsenergie
w
spez. Formänderungsenergie
W
*
w*
Formänderungs-Ergänzungsenergie
Länge 2 × Masse
m2 kg
Zeit 2
s2
Kraft × Länge
Masse
Kraft
Länge
Masse × Länge
Zeit
2
Kraft
Fläche
Länge × Masse
Zeit
Kraft
Länge
Masse × Länge
2
Zeit
Länge
Länge
Kraft
Fläche
Länge3
Zeit
Zeit
Kraft
Länge
Kraft × Länge
Länge
Länge3
Länge
Zeit
Länge 2 × Masse
Zeit 2
Kraft
Nm
kg
N
m
N=
Kilogramm
kg m
s2
N
Pa =
m2
s
N
m
N=
kg m
Pa =
m3
s
s
N
m
Nm
m
m3
N
m2
Sekunde
m
s
m2 kg
s2
N
Länge 2 × Masse
m2 kg
Länge 2
Länge
s2
m
m
m2
Zeit 2
Kraft
Pascal
m kg
Länge 2
spez. Formänderungs-Ergänzungsenergie
x, y, z oder xi kartesische Koordinaten
40
s2
N
m2
m
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
41
Größen am Balken
A
Querschnittsflächeninhalt
x
Balkenachsenkoordinate
y, z
Koordinaten in Querrichtung
u, v, w
Verschiebungskomponenten
{N, Qy ,Qz} = {FN , FQy , FQz}
Schnittkraft
{Mx , My , Mz}= {Mt , Mby , Mbz}
Schnittmoment
{n , qy , qz}
Streckenlasten
griech. Alphabet (klein)
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
ϑ
ι
κ
λ
μ
ν
ξ
ο
π
ρ
σ
τ
υ
ϕ
χ
ψ
ω
α
γ
δ
ε
ϑ
θ
griech. Alphabet (groß)
Α
Β
Γ
Δ
Ε
Z
Η
θ
Ι
Κ
Λ
Μ
Ν
Ξ
Ο
Π
Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω
therm. Ausdehnungskoeffizient
Schub
Variation
Dehnung
Torsionsdrehwinkel
Temperatur
Bezeichnung
alpha
beta
gamma
delta
epsilon
zeta
eta
theta
jota
kappa
lambda
my
ny
xi
omikon
pi
rho
sigma
tau
ypsilon
phi
chi
psi
omega
Temperatur-1
-
K-1
-
Temperatur
K
Kelvin
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
Θij
κ
μ
ν
π
Massenträgheitsmomente
Krümmung
Reibungskoeffizient
Querkontraktionszahl
3,14...
ρ
Dichte
σ
Spannung
Σ
Summenzeichen
τ
Schubspannung
ϕi
ω
Koordinate
Winkelgeschwindigkeit, Kreisfrequenz
Winkelgeschwindigkeitsvektor
Erreger-Kreisfrequenz
ω
Ω
Abkürzungen
BZS
Dgl.
EV
EW
HSA
HTA
KOO(S)
ONB
Bezugssystem
Differenzialgleichung
Eigenvektor
Eigenwert
Hauptspannungsachsen
Hauptträgheitsachsen
Koordinaten(system)
Orthonormalbasis
=
:=
≡
≈
≅
÷
Gleichheit
Definition
Identifikation
ungefähr gleich
Entsprechung
bis
42
Masse × Länge2
Länge-1
Masse
kg m2
m-1
kg
Länge 3
Kraft
Fläche
m3
Kraft
Fläche
Zeit-1
Zeit-1
Zeit-1
Pa =
Pa =
N
m2
N
m2
s-1
s-1
s-1
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
43
Lehrbücher zur Technischen Mechanik
Allen, J. H.: Statik für Maschinenbauer für Dummies. Wiley-VCH Verlag (2012)
Allen, J. H.: Festigkeitslehre für Dummies. Wiley-VCH Verlag (2013)
Assmann, B.; Selke, P.: Technische Mechanik. 3 Bände und Aufgabensammlung.
Oldenbourg Wissensch.Vlg. (verschiedene Auflagen)
Balke, H.: Einführung in die Technische Mechanik. Bd. 1: Statik, Bd. 2: Kinetik. Bd.3:
Festigkeitslehre. Springer-Verlag, Berlin (2005, 2006, 2008)
Berger, J.: Technische Mechanik für Ingenieure. Vieweg, Braunschweig, 1991 (mehrere
Bände)
Böge, A.: Technische Mechanik. Vieweg, Wiesbaden, 2006.
Brommundt, E.; Sachs, G.: Technische Mechanik. Springer-Verlag, Berlin, 1991.
Bruhns, O.; Lehmann, T: Elemente der Mechanik I - III und Aufgabensammlung, Band I:
Einführung, Statik, Band II: Elastostatik, Band III: Kinetik. Vieweg, Braunschweig 1993,
1994, neuere Auflagen im Shaker-Verlag, Aachen.
Dankert, H. und J.: Technische Mechanik. Teubner, Stuttgart, 2006.
Franeck, H.: Starthilfe Technische Mechanik. Teubner, Wiesbaden 1996.
Gabbert, U.; Raecke, I.: Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure. Fachbuchverlag
Leipzig 2003.
Göldner, H.; Holzweißig, F.: Leitfaden der Technischen Mechanik. Fachbuchverlag Leipzig,
1989.
Göldner, H.; Witt, D.: Lehr- und Übungsbuch Technische Mechanik. Carl Hanser Verlag.
Band I: Statik und Festigkeitslehre, 1993.
Band II: Kinematik / Kinetik, Systemdynamik, Mechatronik. 1997.
Gross, D.; Hauger; W., Schnell, W.; Wriggers, P.; u. a.: Technische Mechanik. Band I:
Statik, Band II: Elastostatik, Band III: Kinetik, Band IV: Hydromechanik, Elemente der
Höheren Mechanik, Numerische Methoden. Springer-Verlag, Berlin (4 Bände und
Aufgabensammlung)
Gummert, P.; Reckling, K.-A.: Mechanik. Vieweg, Braunschweig, 1994 (versch. Auflagen).
Hagedorn, P.: Technische Mechanik. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt/M., 1993 (mehrere
Bände).
Hahn, H. G.: Technische Mechanik. Carl Hanser Verlag, München, 1992.
Hibbeler, R. C.: Technische Mechanik 1, 2, 3. Pearson, München, 2004.
Holzmann, G.; Meyer, H.; Schumpich, G.: Technische Mechanik (3 Bände). Teubner,
Stuttgart.
Kabus, K.: Mechanik und Festigkeitslehre. Carl Hanser Verlag, 1993.
Knappstein, G.: Statik, insbesondere Schnittprinzip. Verlag Harri Deutsch, 4. Aufl. 2011.
Knappstein, G.: Kinematik und Kinetik. Verlag Harri Deutsch, 3. Aufl. 2011.
Kühorn, A.; Silber, G.: Technische Mechanik für Ingenieure. Hüthing Verlag, Heidelberg
2000.
Kulisch, W.: Technische Mechanik für Dummies. Wiley-VCH Verlag (2012)
Magnus, K.; Müller-Slany, H. H.: Grundlagen der Technischen Mechanik. Teubner,
Stuttgart, 7. Aufl. 2005.
Mahnken, R.: Lehrbuch der Technischen Mechanik - Dynamik. Springer-Verlag, Heidelberg
(2010)
Mayr, M.: Technische Mechanik. Statik, Kinematik, Kinetik, Schwingungen, Festigkeitslehre.
Carl Hanser Verlag, 1900.
Müller, W. H.; Ferber, F.: Technische Mechanik für Ingenieure. Fachbuchverlag Leipzig,
2003.
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
44
Parkus, H.: Mechanik der festen Körper. Springer-Verlag, Wien, 1981 (versch. Auflagen).
Pestel, E.; Wittenburg, J.: Technische Mechanik. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim
Band I: Statik, Reibung, Festigkeitslehre
Band II: Festigkeitslehre, Kinematik, Kinetik, Hydromechanik
Band III: Thermodynamik, Festigkeitslehre, Schwingungen
Richard, H. A.; Sander, M.: Technische Mechanik. Statik. Vieweg, Braunschweig, 2005.
Romberg, O.; Hinrichs, N.: Keine Panik vor Mechanik! Vieweg, Braunschweig, 1999.
Sayir, M. B.; Dual, J.; Kaufmann, S.: Ingenieurmechanik Teubner, Stuttgart, 2004-5
Bd. 1: Grundlagen der Statik
Bd. 2: Deformierbare Körper
Bd. 3: Dynamik
Sirrenberg, E.: Technische Mechanik: Kinematik. Ein interaktives eBook für Maple. Verlag
Harri Deutsch, 2007.
Steger, H. G.; Sieghart, J.; Glauninger, E.: Technische Mechanik, Teubner, Stuttgart, 1990
(mehrere Bände).
Szabo, I.: Einführung in die Technische Mechanik. Springer-Verlag, Berlin (versch.
Auflagen).
Szabo, I. : Höhere Technische Mechanik. Springer-Verlag, Berlin (versch. Auflagen).
Wittenburg, J.; Richard, H. A.; Zierep, J.; Bühler, K.: Das Ingenieurwissen: Technische
Mechanik. Springer Vieweg, 2014.
Wohlhart, K.: Statik, Dynamik, Vieweg, Braunschweig, 1998.
Wriggers, P.; Nackenhorst, U.; Beuermann, S.; Spiess, H.; Löhnert, S.: Technische
Mechanik kompakt. Teubner, Stuttgart, 2005.
Ziegler, F.: Technische Mechanik der festen und flüssigen Körper. Springer-Verlag, Wien,
1985.
Übungsbücher zur Technischen Mechanik
Assmann, B.; Selke, P.: Aufgaben zur Festigkeitslehre. Oldenbourg Wissensch.Vlg.
(verschiedene Auflagen)
Assmann, B.; Selke, P.: Aufgaben zur Kinematik und Kinetik. Oldenbourg Wissensch.Vlg.
(verschiedene Auflagen)
Böge, A.; Schlemmer, W.: Aufgabensammlung Technische Mechanik. Vieweg, Wiesbaden,
2001. sowie: Lösungen zur Aufgabensammlung. Vieweg, Wiesbaden, 2001.
Bruhns, O.: Aufgabensammlung Technische Mechanik. Band 1 (Statik). Band 2
(Festigkeitslehre), Vieweg, Braunschweig, 1996.
Hahn, H. G.; Barth, F. J.; Fritzen, C.-P.: Aufgaben zur Technische Mechanik. Carl Hanser
Verlag, München, 1995.
Franeck, H.: Klausurtraining Technische Mechanik. Teubner, Wiesbaden 2000.
Gross, D., W.; Ehlers, W.; Wriggers, P.: Formeln und Aufgaben zur Technische Mechanik.
Springer-Verlag, Berlin (3 Bände).
Hagedorn, P.: Aufgabensammlung Technische Mechanik, Teubner, Wiesbaden 1992.
Hardtke, H.-J.; Heimann, B.; Sollmann, H.: Lehr- und Übungsbuch Technische Mechanik.
Hanser, Leipzig 1997.
Hauger, W.; Lippmann, H.; Mannl, V.: Aufgaben zu Technische Mechanik 1-3. SpringerVerlag, Berlin, 1991 und weitere Auflagen.
Kabus, K.: Mechanik und Festigkeitslehre - Aufgaben. Carl Hanser Verlag, 1993.
Knappstein, G.: Aufgaben zur Festigkeitslehre - ausführlich gelöst. Verlag Harri Deutsch, 5.
Aufl. 2010.
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
45
Mayr, M.: Mechanik-Training. Carl Hanser Verlag, 2000.
Müller, W. H.; Ferber, F.: Übungsaufgaben zur Technische Mechanik. Fachbuchverlag
Leipzig, 2005.
Richard, H. A.; Sander, M.: Technische Mechanik Festigkeitslehre. Vieweg, Braunschweig,
2006.
Szabo, I.: Repetitorium und Übungsbuch der Technische Mechanik. Springer-Verlag, Berlin
(versch. Auflagen).
Ulbrich, H.; Weidemann, H.-J.; Pfeiffer, F.: Technische Mechanik in Formeln, Aufgaben
und Lösungen. Teubner, 2006.
Weidemann, H.-J.; Pfeiffer, F.: Technische Mechanik in Formeln, Aufgaben und Lösungen.
Teubner, Wiesbaden 1995.
Zimmermann, K.: Technische Mechanik - multimedial. Übungsbuch mit MultimediaSoftware. Carl Hanser Verlag, 2000.
Formelsammlungen zur Technischen Mechanik
Birnbaum, H.; Denkmann, N.: Taschenbuch der Technischen Mechanik, Verlag Harri
Deutsch, Frankfurt/MJ. 1997.
Böge, A.: Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik. Vieweg, Braunschweig, 2000.
Will, P.; Lämmel, B.: Kleine Formelsammlung Technische Mechanik. Carl Hanser Verlag,
1998.
Winkler, J.; Aurich, H.: Taschenbuch der Technischen Mechanik. Carl Hanser Verlag,
2006.
Literatur zur Ingenieur-Mathematik
Arens, T., Hettlich, F., Karpfinger, C., Kockelkorn, U., Lichtenegger, K., Stachel, H.:
Mathematik. Springer 2008.
Benker, H.: Ingenieurmathematik kompakt - Problemlösungen mit MATLAB : Einstieg und
Nachschlagewerk für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer, 2010.
Brauch, W.; Dreyer, H.-J.; Haacke, W.: Mathematik für Ingenieure. Teubner, 2006.
Burg, K.; Haf, H.; Wille, F.: Höhere Mathematik für Ingenieure. mehrere Bände. Teubner.
Dürrschnabel, K.: Mathematik für Ingenieure. Teubner, 2004.
Erven, J.; Erven, M.; Hörwick, J.: Vorkurs Mathematik. Oldenbourg Verlag, 2004.
Hoffmann, A.; Marx, B.; Vogt, W.: Mathematik für Ingenieure 1. Pearson, 2005.
Kemnitz, A.: Mathematik zum Studienbeginn. Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge. Vieweg
Verlag, 2004.
Schäfer, W.; Georgi, K.; Trippler, G.: Mathematik-Vorkurs - Übungs- und Arbeitsbuch für
Studienanfänger. Teubner Verlag, 2002.
Papula, L.:
Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, 3 Bände, 2001.
Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Klausur- und Übungsaufgaben, 2004.
Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Anwendungsbeispiele, 2004.
Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Formalsammlung, 2003.
Vieweg Verlag
Rapp; H.: Mathematik für die Fachschule Technik. Vieweg Verlag, versch. Auflagen.
Rießinger, T.: Mathematik für Ingenieure. Springer, 2011
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
46
Schäfer, W.; Georgi, K.; Trippler, G.: Mathematik-Vorkurs. Teubner, 2006.
Schirotzek, W.; Scholz, S.: Starthilfe Mathematik. Teubner, 2005.
Smirnow, W. I.: Lehrbuch der höheren Mathematik. 7 Bände. Verlag Harri Deutsch (versch.
Auflagen)
Wendeler, J.: Vorkurs der Ingenieurmathematik. Verlag Harri Deutsch, 2007.
Westermann, T.: Mathematik für Ingenieure. Springer, 2011
Formelsammlungen zur Mathematik
Bronstein, I. N.; Semendjajew, K. A.; Musiol, G.; Mühlig, H.: Taschenbuch der
Mathematik. Verlag Harri Deutsch (versch. Auflagen)
Gnörich, B. : Formelsammlung Mathematik. 2006,gratis download von
http://www.gnoerich.de/formelsammlung/formelsammlung.html
Göhler, W.: Formelsammlung Höhere Mathematik. Verlag Harri Deutsch (versch. Auflagen)
Grosche, G.; Ziegler, V.; Zeidler, E.; Ziegler, D.: Teubner-Taschenbuch der Mathematik. 2
Bände, 2003
Merziger, G.; Mühlbach, G.; Wille, D.; Wirth, T.: Formeln + Hilfen zur Höheren
Mathematik. Binomi Verlag; Auflage: 2. Aufl. 1996
Papula, L.: Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler.
Vieweg Fachbücher der Technik, 2006
Wolfram Mathworld, internet-Formelsammlung einsehbar unter
http://mathworld.wolfram.com/
weitere Internet-Quellen unter: http://www.mathematik.net/0-formelsammlung/index.htm
Literatur zur Geschichte der Mechanik
Benvenuto, E.: An Introduction to the History of Structural Mechanics. Part I, II. SpringerVerlag, New York, 1991.
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Fierz, M.: Vorlesungen zur Entwicklungsgeschichte der Mechanik. Springer-Verlag, Berlin,
1972.
Hund, F.: Geschichte der physikalischen Begriffe. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1968.
Kurrer, K.-E.: Geschichte der Baustatik. Ernst & Sohn, Berlin, 2002.
Szabo, I.: Geschichte der mechanischen Prinzipien. Birkhäuser, Basel, 1977.
Timoshenko, S. P.: History of Strength of Materials. McGraw-Hill, 1953
Truesdell, C. A.: Essays on the History of Mechanics. Springer-Verlag, Berlin, 1968.
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III
Lebensdaten einiger bedeutender Mechaniker
Stevin, Simon
1548 - 1620
Galilei, Galileo
1564 - 1642
Guericke, Otto von
1602 - 1686
Hooke, Robert
1635 - 1703
Newton, Isaac
1643 - 1727
Leibniz, Gottfried W.
1646 - 1716
Bernoulli, verschiedene
etwa 1650 - 1800
Euler, Leonhard
1707 - 1783
d´Alembert, Jean le Rond
1717 - 1783
Lagrange, Joseph Louis
1736 - 1813
Coulomb, Charles Augustin
1736 - 1806
Saint-Venant, Barre de
1797 - 1886
Navier, Louis Marie Henri
1785 - 1836
Cauchy, Augustin L.
1789 - 1857
Hamilton, William Rowan
1805 - 1865
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