Reibung zwischen festen Körpern, Haften und Gleiten πΉ21 = −πΉ12 πΉππ₯ = 0: − π» + πΊsinπ = 0 → π» = πΊsinπ π» = πtanπ πΉππ¦ = 0: π − πΊcosπ = 0 → π = πΊcosπ Solange der Körper haftet, ist H eine Bedingungskraft, sie ergibt sich aus den Gleichgewichtsbedingungen! Mechanik IA Haften: Korrespondierende Berührungspunkte der beiden Kontaktpartner haben im betrachteten Augenblick den gleichen Geschwindigkeitsvektor. In der Statik heißt das: keine Relativbewegung der Kontaktpartner zueinander. πmax = ππ» …Haftgrenzwinkel Der Körper ist im Gleichgewicht, solange π ≤ ππ» und somit tanπ ≤ tanππ» , also solange: |π»| ≤ |π|tanππ» Definition: Haftgrenzzahl: ππ» = tanππ» ( ππ» ≡ π0 ) Die Haftbedingung lautet somit: |π»| ≤ ππ» |π| N muss in den Körper hineinzeigen, ansonsten kommt es zum Abheben! Wenn also N so (in den Körper zeigend) eingezeichnet wird, und die Rechnung ergibt π < 0, so kommt es zum Abheben. Mechanik IA Gleiten: Die beiden Körper werden relativ zueinander bewegt. πΉππ₯ = 0: → π = π πΉππ¦ = 0: → π = πΊ Für Gleiten gilt: π ist proportional zu π , bzw. |π | = |π|tanππΊ Definition: Gleitreibungskoeffizient: ππΊ = tanππΊ ( ππΊ ≡ π) Coulombsche Reibung: π = ππΊ |π| R zeigt stets gegen die Relativbewegung der Berührfläche ⇒ R ist eine eingeprägte Kraft! Mechanik IA Bemerkungen: Die Haftgrenzzahl ππ» sowie der Gleitreibungskoeffizient ππΊ sind unabhängig von N. Sie sind nur eine Funktion der Materialpaarung! Normalerweise ist ππΊ etwas kleiner als ππ» . Das kann bei Reibkontaktproblemen zu abwechselndem Haften und Gleiten führen.→ stick – slip ππ» ππΊ Stahl – Stahl 0,45 – 0,80 0,40 – 0,70 Stahl – Grauguss 0,18 – 0,24 0,17 – 0,24 0,027 0,014 0,50 – 0,65 0,20 – 0,50 Typische Werte: Stahl - Eis Holz – Metall Zusammenfassung: Haften: |π»| ≤ ππ» |π| Coulomb-Morinsche Reibungsgesetze Gleiten: Mechanik IA |π | = ππΊ |π| Grafische Interpretation: Im Fall des Gleitens liegt K genau im Mantel des Gleitreibungskegels: Haften: |π»| ≤ tanππ» → |π| tanπ ≤ tanππ» ⇒ π ≤ ππ» Haften, solange K innerhalb des Haftgrenzkegels liegt. Mechanik IA Zustände außerhalb gibt es nicht! Bsp.: Eine (masselose) Leiter lehnt an der Wand Geg.: πΌ, ππ»,1 , ππ»,2 , Länge π Ges.: ab welcher Position x beginnt die Leiter zu rutschen? P x Mechanik IA Bsp.: Eine (masselose) Leiter lehnt an der Wand Geg.: πΌ, ππ»,1 , ππ»,2 , Länge π Ges.: ab welcher Position x beginnt die Leiter zu rutschen? P x Mechanik IA Bsp.: Eine (masselose) Leiter lehnt an der Wand Geg.: πΌ, ππ»,1 , ππ»,2 , Länge π Ges.: ab welcher Position x beginnt die Leiter zu rutschen? P x Mechanik IA Bsp.: Eine (masselose) Leiter lehnt an der Wand Geg.: πΌ, ππ»,1 , ππ»,2 , Länge π Ges.: ab welcher Position x beginnt die Leiter zu rutschen? P xmax Mechanik IA Bsp.: Eine Masse auf einer schiefen Ebene wird durch eine Kraft P im Gleichgewicht gehalten. Geg.: π > ππ» , G Ges.: πmin < π < πmax für Gleichgewicht Mechanik IA πΉππ₯ = 0: − π + πΊsinπ + π» = 0 → π» = πΊsinπ − π πΉππ¦ = 0: π − πΊcosπ = 0 → π = πΊcosπ Für Haften muss |π»| ≤ ππ» π gelten, also: für πΊsinπ − π > 0: πΊsinπ − π < ππ» πΊcosπ ⇒ π > πΊ(sinπ − ππ» cosπ) = πmin für πΊsinπ − π < 0: π − πΊsinπ < ππ» πΊcosπ ⇒ π < πΊ(sinπ + ππ» cosπ) = πmax πΊ(sinπ − ππ» cosπ) < π < πΊ(sinπ + ππ» cosπ) Mechanik IA Bsp.: Ein zylindrischer Bolzen steckt in einer Bohrung und wird exzentrisch belastet. πΉππ₯ = 0: − π1 + π2 = 0 → π1 = π2 = π πΉππ¦ = 0: π»1 + π»2 − π = 0 Für Haften gilt |π»1 | ≤ ππ» |π1 |, |π»2 | ≤ ππ» |π2 | → 2ππ» π ≥ π → π ≥ π 2ππ» ππ2 = 0: π1 β + π»1 2π − π(π + π) = 0 → πβ π + ππ» 2π − π(π + π) ≤ 0 2ππ» 2ππ» Selbstsperrung, Selbsthemmung πβ β − ππ ≤ 0 ⇒ π ≥ 2ππ» 2ππ» Mechanik IA Die Selbstsperrung hat in der Technik sehr viele Anwendungen, z.B. bei Schrauben, oder Schraubzwingen: Selbsthemmung Mechanik IA Selbsthemmung Seilreibung Ein Seil wird über eine festgehaltene Rolle gezogen ππ − πππ = 0 → π = Gleichgewicht in radialer Richtung: Gleichgewicht in Umfangsrichtung: Gleiten! −π + π + ππ ππ ππ ππ ππ ππ − ππ = 0 → − ππΊ =0 ππ ππ ππ π ππ πΊ π2 ππ ππ − ππΊ π = 0 → = ππΊ ππ → ππ π ππ = π π1 also: Mechanik IA π2 = π1 π ππΊ πΌ πΌ ππΊ ππ → lnπ2 − lnπ1 = ππΊ πΌ → ln 0 Seilreibungsgleichung nach (Euler-) Eytelwein π2 π2 = ππΊ πΌ → = π ππΊ πΌ π1 π1 Im Falle des Haftens des Seiles an der Rolle gilt obige Herleitung analog. Es ergibt sich dann: π2 ≤ π1 π ππ» πΌ Praktische Anwendung, z.B. Schiffspoller: Mechanik IA