Reibung zwischen festen Körpern, Haften und Gleiten

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Reibung zwischen festen Körpern, Haften und Gleiten
𝐹21 = −𝐹12
𝐹𝑖𝑥 = 0: − 𝐻 + 𝐺sin𝜑 = 0 → 𝐻 = 𝐺sin𝜑
𝐻 = 𝑁tan𝜑
𝐹𝑖𝑦 = 0: 𝑁 − 𝐺cos𝜑 = 0 → 𝑁 = 𝐺cos𝜑
Solange der Körper haftet, ist H eine Bedingungskraft,
sie ergibt sich aus den Gleichgewichtsbedingungen!
Mechanik IA
Haften:
Korrespondierende Berührungspunkte der beiden Kontaktpartner haben im betrachteten
Augenblick den gleichen Geschwindigkeitsvektor.
In der Statik heißt das: keine Relativbewegung der Kontaktpartner zueinander.
𝜑max = 𝜌𝐻 …Haftgrenzwinkel
Der Körper ist im Gleichgewicht, solange 𝜑 ≤ 𝜌𝐻 und
somit tan𝜑 ≤ tan𝜌𝐻 ,
also solange: |𝐻| ≤ |𝑁|tan𝜌𝐻
Definition: Haftgrenzzahl: 𝜇𝐻 = tan𝜌𝐻 ( 𝜇𝐻 ≡ 𝜇0 )
Die Haftbedingung lautet somit:
|𝐻| ≤ 𝜇𝐻 |𝑁|
N muss in den Körper hineinzeigen, ansonsten kommt es zum Abheben!
Wenn also N so (in den Körper zeigend) eingezeichnet wird, und die
Rechnung ergibt 𝑁 < 0, so kommt es zum Abheben.
Mechanik IA
Gleiten:
Die beiden Körper werden relativ zueinander bewegt.
𝐹𝑖𝑥 = 0: → 𝑅 = 𝑆
𝐹𝑖𝑦 = 0: → 𝑁 = 𝐺
Für Gleiten gilt: 𝑅 ist proportional zu 𝑁 , bzw. |𝑅| = |𝑁|tan𝜌𝐺
Definition: Gleitreibungskoeffizient: 𝜇𝐺 = tan𝜌𝐺 ( 𝜇𝐺 ≡ 𝜇)
Coulombsche Reibung:
𝑅 = 𝜇𝐺 |𝑁|
R zeigt stets gegen die Relativbewegung der Berührfläche ⇒ R ist eine eingeprägte Kraft!
Mechanik IA
Bemerkungen:
Die Haftgrenzzahl 𝜇𝐻 sowie der Gleitreibungskoeffizient 𝜇𝐺 sind unabhängig von N. Sie sind nur
eine Funktion der Materialpaarung!
Normalerweise ist 𝜇𝐺 etwas kleiner als 𝜇𝐻 . Das kann bei Reibkontaktproblemen zu
abwechselndem Haften und Gleiten führen.→ stick – slip
𝜇𝐻
𝜇𝐺
Stahl – Stahl
0,45 – 0,80
0,40 – 0,70
Stahl – Grauguss
0,18 – 0,24
0,17 – 0,24
0,027
0,014
0,50 – 0,65
0,20 – 0,50
Typische Werte:
Stahl - Eis
Holz – Metall
Zusammenfassung:
Haften:
|𝐻| ≤ 𝜇𝐻 |𝑁|
Coulomb-Morinsche Reibungsgesetze
Gleiten:
Mechanik IA
|𝑅| = 𝜇𝐺 |𝑁|
Grafische Interpretation:
Im Fall des Gleitens liegt K genau im
Mantel des Gleitreibungskegels:
Haften:
|𝐻|
≤ tan𝜌𝐻 →
|𝑁|
tan𝜑 ≤ tan𝜌𝐻 ⇒ 𝜑 ≤ 𝜌𝐻
Haften, solange K innerhalb des
Haftgrenzkegels liegt.
Mechanik IA
Zustände außerhalb gibt es nicht!
Bsp.: Eine (masselose) Leiter lehnt an
der Wand
Geg.: 𝛼, 𝜇𝐻,1 , 𝜇𝐻,2 , Länge 𝑙
Ges.: ab welcher Position x beginnt die
Leiter zu rutschen?
P
x
Mechanik IA
Bsp.: Eine (masselose) Leiter lehnt an
der Wand
Geg.: 𝛼, 𝜇𝐻,1 , 𝜇𝐻,2 , Länge 𝑙
Ges.: ab welcher Position x beginnt die
Leiter zu rutschen?
P
x
Mechanik IA
Bsp.: Eine (masselose) Leiter lehnt an
der Wand
Geg.: 𝛼, 𝜇𝐻,1 , 𝜇𝐻,2 , Länge 𝑙
Ges.: ab welcher Position x beginnt die
Leiter zu rutschen?
P
x
Mechanik IA
Bsp.: Eine (masselose) Leiter lehnt an
der Wand
Geg.: 𝛼, 𝜇𝐻,1 , 𝜇𝐻,2 , Länge 𝑙
Ges.: ab welcher Position x beginnt die
Leiter zu rutschen?
P
xmax
Mechanik IA
Bsp.: Eine Masse auf einer schiefen Ebene wird durch eine Kraft P im Gleichgewicht gehalten.
Geg.: 𝜑 > 𝜌𝐻 , G
Ges.: 𝑃min < 𝑃 < 𝑃max für Gleichgewicht
Mechanik IA
𝐹𝑖𝑥 = 0: − 𝑃 + 𝐺sin𝜑 + 𝐻 = 0
→ 𝐻 = 𝐺sin𝜑 − 𝑃
𝐹𝑖𝑦 = 0: 𝑁 − 𝐺cos𝜑 = 0
→ 𝑁 = 𝐺cos𝜑
Für Haften muss |𝐻| ≤ 𝜇𝐻 𝑁 gelten, also:
für 𝐺sin𝜑 − 𝑃 > 0: 𝐺sin𝜑 − 𝑃 < 𝜇𝐻 𝐺cos𝜑 ⇒ 𝑃 > 𝐺(sin𝜑 − 𝜇𝐻 cos𝜑) = 𝑃min
für 𝐺sin𝜑 − 𝑃 < 0: 𝑃 − 𝐺sin𝜑 < 𝜇𝐻 𝐺cos𝜑 ⇒ 𝑃 < 𝐺(sin𝜑 + 𝜇𝐻 cos𝜑) = 𝑃max
𝐺(sin𝜑 − 𝜇𝐻 cos𝜑) < 𝑃 < 𝐺(sin𝜑 + 𝜇𝐻 cos𝜑)
Mechanik IA
Bsp.: Ein zylindrischer Bolzen steckt in einer Bohrung und wird exzentrisch belastet.
𝐹𝑖𝑥 = 0: − 𝑁1 + 𝑁2 = 0 → 𝑁1 = 𝑁2 = 𝑁
𝐹𝑖𝑦 = 0: 𝐻1 + 𝐻2 − 𝑃 = 0
Für Haften gilt |𝐻1 | ≤ 𝜇𝐻 |𝑁1 |, |𝐻2 | ≤ 𝜇𝐻 |𝑁2 |
→ 2𝜇𝐻 𝑁 ≥ 𝑃 → 𝑁 ≥
𝑃
2𝜇𝐻
𝑀𝑖2 = 0: 𝑁1 ℎ + 𝐻1 2𝑟 − 𝑃(𝑟 + 𝑒) = 0
→
𝑃ℎ
𝑃
+ 𝜇𝐻
2𝑟 − 𝑃(𝑟 + 𝑒) ≤ 0
2𝜇𝐻
2𝜇𝐻
Selbstsperrung, Selbsthemmung
𝑃ℎ
ℎ
− 𝑃𝑒 ≤ 0 ⇒ 𝑒 ≥
2𝜇𝐻
2𝜇𝐻
Mechanik IA
Die Selbstsperrung hat in der Technik sehr viele Anwendungen, z.B. bei Schrauben, oder
Schraubzwingen:
Selbsthemmung
Mechanik IA
Selbsthemmung
Seilreibung
Ein Seil wird über
eine
festgehaltene
Rolle gezogen
𝑑𝑁 − 𝑆𝑑𝜑 = 0 → 𝑆 =
Gleichgewicht in radialer Richtung:
Gleichgewicht in Umfangsrichtung:
Gleiten!
−𝑆 + 𝑆 +
𝑑𝑁
𝑑𝜑
𝑑𝑆
𝑑𝑆
𝑑𝑁
𝑑𝜑 − 𝑑𝑅 = 0 →
− 𝜇𝐺
=0
𝑑𝜑
𝑑𝜑
𝑑𝜑
𝜇 𝑑𝑁
𝐺
𝑆2
𝑑𝑆
𝑑𝑆
− 𝜇𝐺 𝑆 = 0 →
= 𝜇𝐺 𝑑𝜑 →
𝑑𝜑
𝑆
𝑑𝑆
=
𝑆
𝑆1
also:
Mechanik IA
𝑆2 = 𝑆1 𝑒 𝜇𝐺 𝛼
𝛼
𝜇𝐺 𝑑𝜑 → ln𝑆2 − ln𝑆1 = 𝜇𝐺 𝛼 → ln
0
Seilreibungsgleichung nach (Euler-) Eytelwein
𝑆2
𝑆2
= 𝜇𝐺 𝛼 → = 𝑒 𝜇𝐺 𝛼
𝑆1
𝑆1
Im Falle des Haftens des Seiles an der Rolle gilt obige Herleitung analog. Es ergibt sich dann:
𝑆2 ≤ 𝑆1 𝑒 𝜇𝐻 𝛼
Praktische Anwendung, z.B. Schiffspoller:
Mechanik IA
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