Blatt 5: Kinematik, Punktbewegung - Institut für Nichtlineare Mechanik

Institut für Angewandte
und Experimentelle Mechanik
Technische Mechanik II
Sommersemester 2012 ZÜ 5.1
Aufgabe 5.1
B
y
v
S
ϕ
r
K
x
Bei dem skizzierten Kreuzschleifengetriebe dreht sich
die Scheibe S mit dem Bolzen B mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω = v/r .
a) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit vx (ϕ) der
Kreuzschleife K .
b) Ermitteln Sie die Geschwindigkeit vy (ϕ) , mit
welcher der Bolzen im Schlitz gleitet.
c) Geben Sie die zugehörigen Beschleunigungen
ax (ϕ) und ay (ϕ) an.
Aufgabe 5.2
Bei der Anfahrt eines Triebwagens aus der Ruhe sei die Beschleunigung a in Abhängigkeit des ab
der Anfahrt zurückgelegten Wegs s durch die folgende Beziehung beschrieben:
a(s) =
3c √
s.
4
a) Ermitteln Sie die Konstante c für einen gegebenen Anfahrweg s1 und der dabei erreichten
Geschwindigkeit v1 .
b) Berechnen Sie die Konstante c mit Ihrem Ergebnis aus a) zahlenmäßig für s1 = 900 m und
v1 = 108 km
.
h
c) Bestimmen Sie zunächst v(s) , und berechnen Sie daraus s(t) , v(t) und a(t) für den beschriebenen Anfahrvorgang.
Aufgabe 5.3
Zwei PKWs fahren zum Zeitpunkt t0 =0 mit der Geschwindigkeit v0 nebeneinander. Während
PKW 2 mit
der konstanten Geschwindigkeit weiterfährt , erfährt PKW 1 die Beschleunigung
a(v) = a0 1 − cv0 , wobei a0 und c0 Konstanten sind.
a) Geben Sie die Geschwindigkeit v1 (t) des PKW 1 als Funktion der Zeit an.
b) Berechnen Sie die Differenz ∆s(t) = s1 (t)−s2 (t) der von beiden PKWs zurückgelegten Wege
als Funktion der Zeit.
Institut für Angewandte
und Experimentelle Mechanik
Technische Mechanik II
Sommersemester 2012 ZÜ 5.2
Lösung zur Aufgabe 5.1
Die Koordinaten des Bolzens B im angegebenen Koordinatensystem sind
r cos ϕ
xB
.
=
~rB =
r sin ϕ
yB
(1)
a) Die Geschwindigkeit vx der Kreuzschleife ist gleich
der x-Komponente der Bolzengeschwindigkeit
y
vx B
v
vx = ẋB = −rϕ̇ sin ϕ = −rω sin ϕ = −v sin ϕ (2)
b) Analog dazu erhält man
vy
ϕ
vy = ẏB = v cos ϕ
(3)
x
c) Die zweite Ableitung ergibt mit ϕ̈ = 0 :
r
ax = ẍB = −rϕ̈ sin ϕ − rϕ̇2 cos ϕ = −
ay = ÿB = −
v2
sin ϕ
r
v2
cos ϕ (4)
r
(5)
Lösung zur Aufgabe 5.2
a) Bei eindimensionaler Bewegung gilt zwischen a(s) und der Geschwindigkeit v der Zusammenhang:
a=
dv
dv ds
dv
=
·
=
v
dt
ds dt
ds
Damit gilt:
v
dv
3 √
= c s
ds
4
nach Separation der Variablen erhält man
Zv1
0
vdv =
Zs1
3 √
c sds
4
(1)
0
s
v12
3 2 3 1
= c s2
2
4 3
0
q
v2
v12 = c s31 ⇒ c = p1 3
s1
(2)
Institut für Angewandte
und Experimentelle Mechanik
b) Durch Einsetzen von s1 = 900 m und v1 = 108 km
=
h
man:
√
m
v12
c = p 3 = 0, 033 2
s
s1
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Sommersemester 2012 ZÜ 5.3
108 m
3,6 s
= 30 ms in Gleichung 2 erhält
c) Wählt man bei Gleichung 1 als Integrationsgrenzen s und v , so folgt:
Z s
Z v
√
3c
s̄ ds̄,
v̄ dv̄ =
4 0
0
(3)
(4)
und damit
v(s) =
p
3
c · s2 =
√
3
c · s4 .
(5)
Der Verlauf von s(t) lässt sich berechnen aus
dt =
ds
ds
=√
3 .
v(s)
c · s4
(6)
Die Integration von
Z t
Z s
1
1
dt̄ = √
ds̄ ,
c 0 s̄ 34
0
(7)
ergibt eine Gleichung für t, die nach s aufgelöst zu s(t) führt:
4 1
t = √ s4
c
oder s(t) =
c2 4
t .
256
(8)
Differentiation von (8) führt auf:
ds
c2 3
v(t) =
= t
dt
64
(9)
Durch erneutes Ableiten nach der Zeit erhält man schließlich
a(t) =
3c2 2
d2 s
=
t
dt2
64
(10)
Lösung zur Aufgabe 5.3
dv
v
a) Für Pkw 1 gilt: a =
Nach der Trennung der Variablen erhält man
= a0 1 −
dt
c0
Z
Z v1
a0 t
c0 − v1
a0
dv
=
dτ oder − ln
=
t.
(1)
c0 0
c0 − v0
c0
v0 (c0 − v)
Die Geschwindigkeit des PKW 1 lautet dann
a
v1 (t) = c0 − (c0 − v0 )e
− c0 t
0
.
(2)
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Technische Mechanik II
Sommersemester 2012 ZÜ 5.4
b) Für den zurückgelegten Weg gilt bei v = v(t) allgemein
Z t
s(t) − s(t0 ) =
v(τ )dτ .
(3)
t0
Mit (2) und t0 = 0 erhält man für PKW 1
i
c0 h − ac0 t
e 0 − 1 + s(t0 ) .
s1 (t) = c0 t + (c0 − v0 )
a0
(4)
PKW 2 fährt mit konstanter Geschwindigkeit v0 , es gilt also
s2 (t) = v0 t + s(t0 ) .
Somit ergibt sich für den Wegunterschied
c0 − ac0 t
∆s(t) = s1 (t) − s2 (t) = (c0 − v0 ) t +
.
e 0 −1
a0
(5)
(6)