Zwischenwertsatz

Ana I
• Zwischenwertsatz: Sei f : [a, b] → R stetig mit f (a) < 0 < f (b). Dann besitzt f eine Nullstelle in (a, b).
• Mittelwertsatz Sei a < b und f : [a, b] → R stetig und in (a, b) differenzierbar. Dann gibt es ein x ∈ (a, b) mit
f (b) − f (a)
f 0 (x) =
.
b−a
• Wohlgeordneter Körper: Anordnungsaxiome: x > 0 ∨ x = 0 ∨ −x > 0
• Angeordnete Körper: R, Q. C ist nicht angeordnet.
• Dreiecksungleichung: |x + y| ≤ |x| + |y|
• Bernoullische Ungleichung: (1 + x)n ≥ 1 + n · x für n ∈ N und x ≥ −1
• Jede beschränkte monotone Folge konvergiert und jede konvergente Folge ist beschränkt
• Ein Intervall heisst kompakt, wenn es beschränkt und abgeschlossen ist. [Grenzen ex. und werden angenommen.]
• Riemannsche Umordnungssatz: Jede Umordung einer absolut konvergenten Reihe konvergiert gegen den selben
Grenzwert
• Konvergenz:
∗ Definition: zu jedem ε > 0 ∃ N ∈ N, so dass gilt: |an − a| < ε ∀ n > N
∗ Cauchy-Folge: sei (an )n eine Folge reeller oder komplexer Zahlen, dann gilt:
∞
m
P
P
an |< ε ∀k, m ≥ N
(an )n konv. ⇔ ∀ε > 0 ∃ N ∈ N, so dass |
n=1
n=k
∗ Jede konvergente Folge ist beschränkt
– Leibnizsche Konvergenzkriterium (alternierende Nullfolge):Sei (an )n eine monoton fallende Nullfolge
∞
P
nichtnegativer Zahlen, dann konvergiert
(−1)n an .
n=1
– Quotientenkriterium: Sei
α ∀ n > N , dann
∞
P
n=1
konvergiert an
∞
P
– Majorantenkriteium: sei
an eine Reihe mit an 6= 0 ∀ n ≥ N ∃ α mit 0 < α < 1, so dass |
absolut.
bn eine konvergente Reihe mit
n=1
bn > 0 und (an )n eine F olge reeller Zahlen mit | an |≤ bn f uer f ast alle n ∈ N.
∞
P
Dann konvergiert
an absolut.
n=1
– Minorantenkriterium: analog ⇒ divergente Folge.
∞
∞
P
P
• Cauchy-Produkt: sind
an und
bn absolut konvergent, so gilt
(
•
∞
P
an ) · (
n=0
∞
P
∞
P
n=0
bn ) =
n=0
∞
P
n=0
∞
P
cn mit cn =
n=0
n=0
ak bn−k und
∞
P
cn konvergiert absolut!
n=0
an konvergiert → lim an = 0 (Umkehrung gilt i.A. nicht!)
n→∞
n=1
• Existieren lim an und lim bn , so gilt :
n→∞
n→∞
∗ lim (an + bn ) = lim an + lim bn
n→∞
n→∞
n→∞
∗ lim (an · bn ) = lim an · lim bn
n→∞
n→∞
n→∞
an+1
an
|<
• einige wichtige konvergente Reihen:
∞
P
π2
1
∗
x2 = 6 (kann häufig als Majorante benutzt werden)
n=1
∞
∞
P
P
1
1
1
1
∗
n·(n+m) =
m · ( n − n+m ) (Teleskopsumme)
n=1
n=1
∞
P
∗ unendliche geometrische Reihe:
xn →
n=0
∗
∞
P
∗
n=1
∞
P
n=0
n2
2n
(n+1)2
sn+1
n2
2
n
=
( s1n +
(−1)
3k
∞
P
∗
n=1
∞
P
) ∗
1
n(n+1)
f alls | x | < 1
=2
n · xn =
n=1
1
1−x
x
(1−x)2
• wichtige konvergente Folge:
∗ Heron: sind α > 0 und x0 > 0 reelle Zahlen und ist
√
(xn )n def iniert durch x(n+1) = 12 · (xn + xαn ), dann konvergiert (xn )n gegen α
• Fibonacci-Zahlen (häufig Induktion benutzbar):
√
√
∗ Fn = √15 (w1n − w2n ) mit w1 = 12 (1 + 5) und w2 = 21 (1 − 5)
Fn+1
n→∞ Fn
∗ lim
= w1
(
1 falls x ∈ Q,
• Dirichlet-Funktion: ϑ : [0, 1] → {0, 1}, x 7→ ϑ(x) =
0 sonst.
• wichtige Grenzwerte / Umformungen:
∗ lim
n→∞
log(n)
n
n√
n
n→∞
∗ lim
=0
∗ Endl. geom. Reihe:
m
P
n
x =
n=0
∗
n
P
j=
j=1
1
∗ lim 2sin(x)cos(x)
−2sin(2x) = − 2
=1
x→0
1−xm+1
1−x
n·(n+1)
2
∗
n
P
j2 =
j=1
∗ lim (1 + nx )n = exp(x)
(n+1)(2·n+1)n
6
∗ log(x) = o(x)
n→∞
• Exponentialfunktionen / trigonmetrische Funktionen:
∞
P
xn
x
∗ Exponentialreihe:
n! = e [ist abs. konvergent] [e ist irrational]
n=0
∗ Eulersche Formel: exp(ix) = cos(x) + i · sin(x)
∗ exp wächst schneller als jede Potenz von x
∗ xn = exp(n · log(x))
∞
P
x2n
– ∗ cos(x) =
(−1)n · (2n)!
n=0
sin(x)
x
= 1 + o(x2 )
∞
P
• sin(x) =
(−1)n ·
•
n=0
x2n+1
(2n+1)!
∗ exp(x + y) = exp(x) · exp(y) • log(x · y) = log(x) + log(y)
∗ Additionstheoreme:
∗ cos(x + y) = cos(x)cos(y) − sin(x)sin(y)
∗ sin(x + y) = cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y)
x−y
∗ sin(x) − sin(y) = 2 · cos( x+y
2 )sin( 2 )
∗ sin(2x) = 2sin(x) · cos(x)
∗ Ableitungen: (cos(x))0 = −sin(x), (sin(x))0 = cos(x), (tan(x))0 =
1
(cos(x))2
∗ cos(x) = 12 (exp(ix) + exp(−ix)),
1
sin(x) = 2i
(exp(ix) − exp(−ix))
∗ cos(−x) = cos(x), sin(−x) = − sin(x) (cos gerade, sin ungerade)
∗ cos(x) = sin( π2 − x), sin(x) = cos( π2 − x)
• Komplexe Zahlen: C
∗
∗
∗
∗
∗
z = a + bi, dabei gilt: a=Re(z), b=Im(z)
z̄ = a − bi
√
√
| z |= z z̄ = a2 + b2
(1 + i)2 = 2 · i , i2k = (−1)k , 1i = −i
1
a = 21 (z + z̄) , b = 2i
(z − z̄)
• Stetigkeit:
∗ Stetig: ’Grenzwert von links = Grenzwert von rechts = Funktionswert’
∗ Tipp: δ − ε-Kriterium zum Beweisen und Definition zum Wiederlegen
∗ f : D → R ist genau dann stetig in D, wenn gilt: Zu jedem ε > 0 ∃ δ > 0, so dass
| f (x) − f (a) | < ε ∀ x ∈ D mit | x − a |< δ
∗ f : D → R heisst gleichmässig stetig in D , wenn ∀ ε > 0 ein δ > 0 existiert,
so dass ∀ x, y ∈ D mit | x − y |< δ gilt: | f (x) − f (y) |< ε [Steigung geht nie gegen ∞]
• Differenzierbarkeit:
∗ f : D → R ist im Punkt x differnzierbar, wenn der Grenzwert
(x)
f 0 (x) := lim f (x+h)−f
existert
h
h→0
• Landau-Symbole
∗ f (x) = o(g(x)) ⇔ lim
f (x)
x→∞ g(x)
(x)|
∗ f (x) = O(g(x)) ⇔ lim sup |fg(x)
<∞
=0
x→∞
• Substitutionsregel: Sei f : I → R stetig und φ : [a, b] → R stetig differenzierbar mit φ([a, b]) ⊂ I. Dann gilt
Z
b
f (φ(t))φ0 (t)dt =
a
Z
φ(b)
f (x)dx
φ(a)
• Partielle Integration: Es seien f, g : [a, b] → R stetig differenzierbar. Dann gilt
Z
b
0
f (x)g (x)dx = f (x)g(x)
a
• jede stetige Funktion ist Riemanintegrierbar
|bx=a
Z
−
a
b
f 0 (x)g(x)dx
• Einige ’Zahlen’
∗ e0 = 1 ∗ e1 = 2, 71828
| 0 | π2 |
sin(x)
| 0 | 1 |
cos(x)
| 1 | 0 |
exp(ix) | 1 | i |
• sin(x) = 0 x = kπ
∗ log(1) = 0 ∗ log(e) = 1
π
0
−1
−1
| 3π
4
| −1
| 0
| −i
• cos(x) = 0 x = kπ +
π
2
• Binomialkoeffizient
n
) = ( nk ) =
– ( n−k
–
n
( k−1
)
+
( nk )
=
n!
n!(n−k)!
( n+1
k )
=(
n−1
k−1
)+(
n−1
k
)
• Ergänzungen
– logc a =
logb a
logb c
– surjektiv: limes links und rechts; Fkt. stetig; Zwischenwertsatz: jeder wert wird min einma angenommen
– Ex. limes an und bn , d.h. an und bn sind konvergent
– an ≤ bn =⇒ lim an ≤ lim bn
n→∞
n→∞
– Bolzano-Weierstrass: Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt konvergente Teilfolge
∞
P
–
an mit an ≥ 0 konvergiert genau dann, wenn Folge der Partialsummen (d.h. die Reihe) beschränkt ist.
n=1
– Verknüpfung zweier stetiger/differenzierbarer Funktionen ist wieder stetig/differenzierbar:
∗ f + g ∗ f · g ∗ fg ∗ f ◦ g
– rationale Funktionen sind stetig im Defbereich
• ein paar Ableitungen:
– (ln(x))0 = x1
– (arcsin(x))0 =
–
–
√ 1
1−x2
1
(arccos(x))0 = − √1−x
2
1
(arctan(x))0 = 1+x
2
• Sinus-/Cosinus Hyperbolicus:
– sinh(x) =
– cosh(x) =
ex −e−x
2
ex +e−x
2
Ana II
•
Metrik:
– d(x, y) = 0 ⇔ x = y
d(y, x) ≥ 0 ∀ x, y ∈ R
– d(x, y) = d(y, x) ∀ x, y (Symmetrie)
– d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ∀ x, y, z (4-Ungleichung)
n
– triviale Metrik: d(x, y) = 0,x=y
1,x6=y
•
–
–
–
–
Norm: (Abb. V → R)
kxk = 0 ⇔ x = 0
kλxk = |λ| · kxk ∀ x ∈ V, λ ∈ K
kx + yk ≤ kxk + kyk ∀ x, y ∈ V
qP
p
n
2
Euklidische Norm: kxk = hx, xi =
j=1 xj
√
– Maximums-Norm: k.k∞ := max {|x1 | , ..., |xn |} k.k∞ ≤ k.k ≤ n k.k∞
– Supremums-Norm: kf kx := sup {|f (x)| | x ∈ X}
2
P
n
n
P
n
2 P
2
aj bj ≤
|aj | ·
|bj |
• Cauchy-Schwarz-Ungleichung: an , bn ∈ C : j=1
j=1
j=1
• Topologische Grundbegriffe: (X, d) metrischer Raum, E ⊂ X
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Innerer Punkt: ∃ Umgebung U von a mit U ⊂ E
Häufungspunkt: Jede ε−Umgebung von a ∈ X enthält ein (a 6=)b ∈ E
Isolierter Punkt: a ∈ E und kein Häufungspunkt von E
offen: jeder Punkt ist ein innerer Punkt von E (Bsp. für nicht offen: Folge mit Konvergenz auf Rand)
abgeschlossen: jeder Häufungspunkt von E liegt in E
E abgeschlossen ⇔ Jede Folge xn konvergiert in E mit GW a = lim xn ∈ E
E dicht in X: jedes a ∈ X Häufungspunkt oder Punkt von E (Bsp. Q in R)
Randpunkt: in jeder Umgebung liegt ein Punkt von E als auch von X\E
beschränkt: endlicher Diameter
Diam (U) = sup kx − yk = sup {d(x, y) | x, y ∈ A}
x,y∈U
– kompakt: in K ⊂ Rn : [⇔] abgeschlossen und beschränkt
– kompakt: allgemein
⇔ jede offene Überdeckung hat endl. Teilüberdeckung (Gegenbsp.)
⇔ jede Folge aus X konvergiert in X
⇒ beschränkt und abgeschlossen
– Kompaktheit überträgt sich auf abgeschl. Teilmengen
– Sei X ein metrischer Raum. Dann gelten:
(i) E ⊂ X ist offen \ abgeschlossen ⇐⇒ E c ist abgeschlossen \ offen.
(ii) E ⊂ X offen ⇒ nicht abgeschlossen
(iii) ∅ und X sind sowohl offen als auch abgeschlossen. S
(iiv) Für jede Familie E = {Ej } von offenen Mengen ist Ej offen;
j
ist E endlich, so ist
n
T
Ej offen.
j=1
(v) Für jede Familie F = {Fk } von abgeschlossenen Mengen ist
ist F endlich, so ist
n
S
T
Fk abgeschl;
k
Fk abgeschlossen.
k=1
– Sei X ein metrischer Raum und E ⊂ X. Dann gilt
1. E\∂E ist offen (Rand: ∂E; abgeschl. Hülle: E)
2. E = E ∪ ∂E ist abgeschlossen
3. ∂E ist abgeschlossen
◦
4. E := E\∂E Innere von E
5. E = E ⇔ E ist abgeschlossen
6. Für jede abgeschlossene Menge F ⊂ X mit E ⊂ F gilt E ⊂ F
– Insbesondere ist E die kleinste abgeschlossene Teilmenge von X, die E enthält.
– Einheitsspähre: $n−1 := ∂B = {x ∈ Rn | kxk = 1}
• konvergente Folgen
(xn ) konvergiert gegen a ∈ X [lim xn = a], falls zu jedem e > 0∃N ∈ N mit d(xn , a) < ε ∀ n ≥ N
jede konvergente Folge in einem metrischen Raum ist beschränkt
Vollständigkeit: im vollständigen Raum konvergiert jede Cauchy-Folge (Gegenbsp. Q; Bsp. Rn )
Satz 2.4 (Intervall-Schachtelungsprinzip) (X, d) vollständiger metrischer Raum und A0 ⊃ A1 ⊃ A2 ⊃ ... eine
absteigende Folge abgeschlossener Mengen An ⊂ X 6= ∅ mit lim diam(An ) = 0, dann ∃ a ∈ A0 , ..., An
– E ist vollkommen, wenn abgeschlossen und jeder Pkt. von E gleich Häufungspunkt von E [E 0 = E]
–
–
–
–
• Stetigkeit
– Kriterien
∗ Def.: stetig in einem Punkt a: lim f (x) = f (a), fuer jede Folge xn mit lim xn = a
x→a
n→∞
Funktion stetig: stetig in jedem Punkt
∗ δ − ε−Kriterium: f : X → Y ist genau dann stetig in a ∈ X, wenn gilt:
Zu jedem ε > 0 ∃ δ > 0, so dass dY (f (x), f (a)) < ε ∀ x ∈ X mit dX (x, a) < δ (für R siehe Ana I)
– Folgerungen aus Stetigkeit
∗ f : X → R, f stetig, X kompakt und metrisch ⇒ f beschränkt und Min u. Max werden angenommen
∗ f stetig ⇒ lim f (xn ) = f ( lim xn )
n→∞
n→∞
∗ f stetig ⇒ Kompaktheit überträgt sich von Urbild auf Bild
∗ f stetig auf X ⇔ Urbild f −1 (V ) jeder offenen/abgeschlossenen Teilmenge V ( Im(f ) ist offen/abgeschlossen
in X
∗ f linear ⇒ f stetig, wenn f stetig in 0
– gleichmässig stetig:
∗ f : X → Y ist glm stetig ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 mit dY (f (x), f (y)) < ε ∀ x, y ∈ X mit dX (x, y) < δ
∗ f : X → Y stetig, X kompakt ⇒ f gleichmässig stetig
• Differenzierbarkeit
(x)−Ahk
– total diffbar im Punkt x: lim kf (x+h)−f
= 0, A = Jacobi-Martix
khk
n→0


a11 · · · a1m
 ..
.. ; a = ∂fi ;
..
– Jacobi-Matrix: (Df ) =  .
.
.  ij
∂x
j
an1 · · · anm
– gradient: Jacobi-Matrix fuer K n → K;
∂f
– Kritische Punkte: a ist KP ⇔ grad f (a) = 0 (grad f :
) [notw. Bed für Extremum]
∂xi
– stetig partiell diffbar ⇒ (total) diffbar ⇒ f stetig und f partiell diffbar
– Kettenregel: D(g ◦ f )(x) = (Dg)(f (x)) · Df (x)
– Richtungsableitung: Dv (x) =
d
dt f (x
(x)
+ tv) = lim f (x+tv)−f
=< v, gradf (x) > (wenn kvk = 1)
t
t→0
– Satz von Schwarz: f 2 mal stetig partiell diffbar ⇒ Vertauschbarkeit der part. Ableitungen
• Konvergenz von Funktionen
– punktweise Konvergenz: lim fn (x) = f (x)
n→∞
– gleichmässige Konvergenz: ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N, so dass |fn (x) − f (x)| < ε ∀ n ≥ N ∀ x
(d.h. lim max(|fn (x) − f (x)|) = 0)
n→∞
• fn gleichmässig konvergent gegen f : fn stetig ⇒ f stetig
• Banach’scher Fixpunktsatz
– f : X → X, d(f (x), f (y)) ≤ c · d(x, y) ∀ x, y ∈ X mit c < 1 (f ist Kontraktion)
⇒ f hat genau einen Fixpunkt f (x∗ ) = x∗
• Kurven im Rn :
– Länge einer Kurve im Rn : Ist γ : [a, b] → Rn stetig diffbar, so gilt Λ(γ) =
– regulär / nicht-singulär: γ(t) stetig diffbar und γ 0 (t) 6= 0
– singulär: Wert t mit γ 0 (t) = 0
Rb
a
kγ 0 (t)k dt
• Potenzreihen
∞
P
– Def.:
an (z − a)n (a ist Entwicklungspunkt)
n=0
– Def. Konvergenzradius: % = sup (|z − a| :
∞
P
an (z − a)n konvergiert)
n=0
– Berechnung von %:
∗ % = lim
|an |
wenn Grenzwert existent und an 6= 0 ∀ n > N
n→∞ |an+1 |p
∗ % = ( lim sup
n
n→∞
|an |)−1
– Potenzreihe beliebig oft diffbar im Konv.radius
∞
∞
P
P
– Identitätssatz: f (z) =
an z n ; g(z) =
bn z n ; f (z) = g(z) ⇒ an = bn
n=1
n=1
• Taylor-Approximation
– f (x) = Tk (x) + Rk (x) mit Tk (x) =
k
P
m=0
f (m) (a)
m! (x
− a)m und Rk (x) =
1
k!
Rx
(x − t)k f (k+1) (t)dt
a
– Sei a ∈ R und f (x) Potenzreihe mit pos. Konvergenzradius. Dann ist die Taylor-Reihe gleich der Potenzreihe,
innerhalb von %.
– mehrdimensional:
P Dα f (x) α
k
∗ f (x + h) =
h + o(khk ) (fuer h → 0)
α!
|α|6k
– Hesse-Matrix:
2
f
∗ Sei f : Rn → R 2 mal stetig diffbar, so ist die Matrix (Hessf ) := ( ∂x∂i ∂x
)n
die zugehoerige Matrix.
j i,j=1
T
∗ (Hess f) ist symmetrisch und Q(h) := h ((Hessf )(x))h =< h, (Hessf )(x)h > heisst Hesse-Form
– f 2 mal stetig diffbar, a krit. Punkt von f, dann gilt:
∗ (Hess f)(a) pos. definit ⇒ a striktes lok. Minimum
∗ (Hess f)(a) neg. definit ⇒ a striktes lok. Maximum
∗ (Hess f)(a) indefinit ⇒ a kein lok. Extremum (Sattelpunkt)
• Lokale Umkehrbarkeit
– Seien U, V ( Rn offen, f : U → V bijektiv und in a ∈ U diffbar mit det f 0 (a) 6= 0. Weiter sei f −1 : V → U in
f (a) stetig, dann gilt: (f −1 )0 (f (a)) = (f 0 (a))−1
• Extremwerte unter Nebenbedingungen
– Sei rgDf = k∀x ∈ V . Ist a ein lokales Extremum von F unter Nebenbedingungen, dann gilt
gradF (a) = λ1 grad(f1 )(a) + λ2 grad(f2 )(a) + · · · + λk grad(fk )(a) fuer gewisse λ1 , λ2 , · · · , λk ∈ R.
fi (x) ist die i-te Nebenbedingung als =0 umgeformt und als Funktion aufgefasst.
– Vorgehensschema: die k Nebenbedingungen ergeben zusammen mit der Gradientenbedingung n + k Gleichungen; es gibt k unbekannte λi und der unbekannte Punkt a setzt sich aus n unbekanten Komponenten zusammen
–> es ergibt sich ein (n + k) × (n + k) Gleichungssystem, dessen Lösung alle ’potentiellen Kandidaten’ fuer
Extrema sind. Man muss anschließend noch pruefen, ob die ’kritischen Punkte’ auch Extrema sind und die Art
des Extremums bestimmen.