Physikalisches Fortgeschrittenenpraktikum Versuchsprotokoll

Physikalisches Fortgeschrittenenpraktikum
Versuchsprotokoll
SQUID
Andreas Liehl
Maximilian Russ
Universität Konstanz
Betreuer: Florian Strigl
Konstanz, den 10.01.2014
Abstract
In this work we study the basic functionality of a DC-SQUID (Superconductive Quantum Interference Device). A SQUID is a device which can detect very
small magnetic fluxes, strictly speaking it can detect changes of a magnetic
flux density in orders of magnitude of ∆B ≈ 10−15 T. A DC-SQUID consists
of a superconductive ring which is disrupted by two Josephson junctions.
These are normal conductive junctions in which the superconductive particles,
so-called Cooper pairs, can tunnel. If the electric current through the SQUID
is higher than the critical current of the superconductor, there’s a voltage measurable between the two ends of the SQUID and that’s the observable to get
the magnetic flux.
We investigate the properties of the DC-SQUID, consisting of YBCO, e.g. the
transistion temperature of YBCO where it’s getting superconductive, the ciritcal parameters and the so-called modulation parameter. Furthermore, we check
the usual functionality of this SQUID when it’s driven at a current a bit higher than the critical current. At least, by placing a microwave emitter next to
the SQUID, there are some steps, the so-called Shapiro steps, visible in the
U − I−diagram of the SQUID. Thus, we can derive the ratio h/e.
As a result, it was possible to observe all these properties qualitatively but
sometimes there are some discrepances to the expected values.
ii
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Theoretische und experimentelle Grundlagen
2.1 Supraleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Grundlegende Experimentelle Befunde . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Charakteristische Größen von Supraleitern . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Klassifizierung von Supraleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Theoretische Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 London-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 BCS-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Übergang zur Supraleitung als thermodynamischer Phasenübergang
2.3 Magnetische Flussquantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Josephson-Kontakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 DC-Josephson-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 AC-Josephson-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 SQUID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Funktionsweise eines DC-SQUID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Modulationsparameter βL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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17
3 Versuchsaufbau und Durchführung
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4 Experimentelle Ergebnisse und Diskussion
4.1 Bestimmung der Sprungtemperatur von YBCO . . . . . . . . . . .
4.2 Charakteristische Größen im U − I−Diagramm . . . . . . . . . . .
4.2.1 Kritische Stromstärke Ic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Normalwiderstand RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Charakteristische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 U − Φ−Diagramm und Bestimmung des Modulationsparameters βL
4.4 Bestimmung von h/e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Fazit und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Literatur
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Abbildungsverzeichnis
31
iii
1
1 Einleitung
Im Jahre 1911 untersuchte H.K.Onnes die Temperaturabhängigkeit der elektrische Leitfähigkeit % von Metallen anhand von Quecksilber. Entgegen seiner Erwartung, dass der
elektrische Widerstand R nach Durchlaufen eines Minimums für sehr kleine Temperaturen sehr stark ansteigt1 [2], konnte er feststellen, dass unterhalb einer Temperatur von
T = 4,2 K der elektrische Widerstand nahezu verschwindet, was in Abbildung (1.1) gezeigt ist [3]. Dieses Phänomen tritt bei vielen verschiedenen Materialien auf und wird als
Supraleitung bezeichnet.
Supraleitung wird heutzutage vielseitig angewendet. In diesem Experiment wird ein sog.
SQUID (engl. Superconductive Quantum Interferenz Device) untersucht, ein Detektor, welcher mithilfe eines supraleitenden Materials betrieben wird und bedingt durch die Eigenschaften der Supraleitung, die im folgenden Kapitel beschrieben werden sehr kleine magnetische Flüsse detektieren kann. Von daher werden SQUIDs unter anderem in der Medizin
angewendet werden, da die elektrischen Ströme, die beispielsweise durch die elektrische
Aktivität des Gehirns hervorgerufen werden, sehr klein sind und deshalb sehr schwierig zu
detektieren. Doch auch in industrieller Anwendung finden sich SQUIDs [1].
Beide Autoren sind zu gleichen Teilen am Inhalt dieses Artikels verantwortlich.
Abbildung 1.1: Die Abbildung zeigt die
Original-Messkurve, die
H.K.Onnes im Jahre
1911 bei der Bestimmung
des elektrischen Widerstands von Quecksilber
bei niedrigen Temperaturen aufgenommen hat
[3].
1
Zur damaligen Zeit wurden neben dieser Theorie noch zwei weitere Modelle entwickelt, dergestalt, dass
der elektrische Widerstand für T → 0 gegen einen Grenzwert oder gegen Null strebt [1].
2 Theoretische und experimentelle Grundlagen
2
2 Theoretische und experimentelle Grundlagen
In diesem Kapitel werden die theoretischen und experimentellen Grundlagen der Supraleitung erläutert. Anhand dessen soll schließlich speziell die Funktionsweise und charakteristischen Eigenschaften eines SQUID dargelegt werden.
2.1 Supraleitung
2.1.1 Grundlegende Experimentelle Befunde
Supraleitung beschreibt allgemein das Phänomen, dass für bestimmte Materialien unterhalb einer gewissen Temperatur Tc , die auch als kritische Temperatur oder Sprungtemperatur bezeichnet wird, der elektrische Widerstand R sprungartig auf einen unmessbar
kleinen Wert sinkt (siehe auch Abbildung (1.1)). Der Restwiderstand ist dabei so klein,
dass in Experimenten ein Suprastrom ohne messbaren Ohmschen Verlust über ein Jahr
lang aufrechterhalten blieb [5]. Die Abklingzeit eines Suprastroms konnte von File und
Mills durch Hochpräzisionsexperimente schließlich auf über 100000 Jahre abgeschätzt
werden [6]. Die Sprungtemperatur ist dabei materialabhängig. Im Laufe der Jahre konnten immer mehr Materialien entdeckt werden, die unterhalb der kritischen Temperatur Tc
supraleitend werden, sowohl Elemente, als auch Verbindungen. Abbildung (2.1) zeigt eine Übersicht aller Element-Supraleiter sowie deren Sprungtemperatur, wobei bei manchen
Elementen der supraleitende Zustand erst durch Überatmosphärendruck erreicht werden
kann.
Primär ist die Forschung heutzutage daran interessiert, Materialien mit einer möglichst
hohen Sprungtemperatur zu finden, da dann der Kühlprozess zum Erreichen des supraleitenden Zustands bereits durch flüssigen Stickstoff realisiert werden könnte [7], anstatt mit
Abbildung 2.1: Die Abbildung zeigt alle supraleitenden Elemente im Periodensystem sowie
deren Sprungtemperatur [4].
3
2.1 Supraleitung
flüssigem Helium, wie H.K.Onnes es bei seiner Entdeckung tat. Man spricht dann auch von
Hochtemperatur-Supraleitern. Ein Beispiel hierfür ist YBCO (chemisch: YBa2 Cu3 O7−x 2 ),
wie es auch im Experiment verwendet wird. YBCO besitzt eine Sprungtemperatur im Bereich von Tc = 93 K und ist abhängig vom Anteil leerer Gitterplätze [9].
Neben dem Verschwinden des elektrischen Widerstands zeichnen sich supraleitende Materialien noch durch weitere Eigenschaften aus.
Eine sehr wichtige Eigenschaft ist dabei deren diamagnetisches Verhalten, so wird ein
Supraleiter unterhalb seiner Sprungtemperatur zu einem perfekten Diamagnet. Wird das
Material oberhalb der Sprungtemperatur von einem externen Magnetfeld durchsetzt und
anschließend durch Kühlung in den supraleitenden Zustand versetzt, so kann es in diesem
die magnetischen Feldlinien aus seinem Inneren komplett verdrängen. Dies wurde 1933 von
Meißner und Ochsenfeld anhand von Experimenten mit Blei und Zinn entdeckt und
wird daher auch als Meißner-Ochsenfeld-Effekt bezeichnet. Nachgewiesen konnte
diese Tatsache anhand der experimentellen Beobachtung, dass die magnetischen Feldlinien
außerhalb des Leiters im supraleitenden Zustand solch einen Verlauf annahmen, dass das
Innere des Supraleiters feldfrei sein muss [10]. Dieser Sachverhalt ist in Abbildung (2.2b)
dargestellt. Abbildung (2.2a) zeigt außerdem den Unterschied des perfekten Leiters zum
normalen Leiter. Während der perfekte Leiter die magnetischen Feldlinien aus seinem Inneren nur verdrängen kann, wenn er zuerst gekühlt und damit perfekt leitend gemacht wurde
und anschließend in einem externen Magnetfeld platziert wird, ist beim Supraleiter dieser
Prozess reversibel, man könnte Supraleiter daher auch als Superdiamagnete bezeichnen [4].
Eine weitere Eigenschaft im supraleitenden Zustand, die zur Erklärung einiger Phänomene
herangezogen wird, ist das Auftreten einer kleinen Bandlücke Eg um die Fermi-Energie
EF [5].
(a) Perfekter Leiter
(b) Supraleiter
Abbildung 2.2: Die Abbildung zeigt (a) das hysteresebehaftete diamagnetische Verhalten
von fiktiven perfekten Leitern (PL), sowie (b) das perfekte diamagnetische
Verhalten von Supraleitern (SL) [4].
2
Die Tatsache, dass Sauerstoff in dieser Verbindung nicht 7- sondern 7 − x-mal vorkommt beruht auf der
experimentellen Beobachtung, dass im Kristallgitter einige Gitterplätze, wo normalerweise Sauerstoff
liegen würde, frei bleiben [8].
4
2 Theoretische und experimentelle Grundlagen
2.1.2 Charakteristische Größen von Supraleitern
Um ein Material in den supraleitenden Zustand zu versetzen, müssen gewisse Bedingungen erfüllt sein. Dabei sind vor allem die folgenden drei materialabhängigen Größen von
entscheidender Bedeutung.
Kritische Temperatur bzw. Sprungtemperatur Wie bereits erwähnt, ist ein Material nur unterhalb der materialspezifischen Sprungtemperatur Tc supraleitend, wobei diese
für Elemente typischerweise im Bereich von T . 10 K ist und für bestimmte Verbindungen, z.B. Keramikoxide durchaus im Bereich von T ≈ 100 K oder noch höher sein kann.
Verbindungen, die sogar bei Raumtemperatur supraleitend sind konnten hingegen noch
nicht beobachtet werden.
Kritische Stromdichte Es lässt sich ebenso feststellen, dass oberhalb einer sog. kritischen Stromdichte Jc durch das Material die Supraleitung zusammenbricht. Dies lässt sich
mithilfe der BCS-Theorie erklären, auf die in Abschnitt 2.2.2 noch eingegangen wird. Dort
werden wir feststellen, dass die Supraleitung durch Bildung von Elektronenpaaren, sog.
Cooper-Paaren zustande kommt. Durch die hohe Stromdichte erhöht sich die Energie der
Cooper-Paare, wodurch diese über die Bandlücke um die Fermi-Energie angeregt werden
können und aufbrechen, was zum Übergang in den normalleitenden Zustand führt [11].
Kritisches Feld Ebenso lässt ein zu großes externes Magnetfeld H, oberhalb des sog.
kritischen Felds Hc , die Supraleitung zusammenbrechen. Dies ist eine direkte Folge aus dem
Meißner-Ochsenfeld-Effekt. Im perfekten Diamagnet induzieren Oberflächenströme3
eine Magnetisierung M , die das externe Feld H im Innern kompensieren, wodurch Energie
verbraucht, also in Wärme umgewandelt wird. Eine ausführliche Energiebetrachtung zeigt,
dass es für das Material ab einer gewissen Temperatur energetisch günstiger ist, in den normalleitenden Zustand überzugehen [11]. Das kritische Feld Hc ist also temperaturabhängig
und es gilt Hc (Tc ) = 0. Dieser Sachverhalt ist qualitativ in Abbildung (2.3) dargestellt.
3
In Abschnitt 2.2.1 werden wir feststellen, dass die Supraströme im Innern des Supraleiters tatsächlich
nur an der Oberfläche und unmittelbar darunter fließen.
H
normalleitend
Hc (T)
supraleitend
Tc
T
Abbildung 2.3: Die Abbildung zeigt qualitativ den Zusammenhang zwischen kritischem
Feld und Temperatur, nach [11].
5
2.1 Supraleitung
Da die Ströme im Innern des Supraleiters das externe Magnetfeld kompensieren, steigt
mit wachsendem H auch die Stromdichte J an, d.h. diese beiden Größen sind stark korreliert. Bereits 1916 wurde von F.B.Silsbee die Hypothese aufgestellt, dass die kritische
Stromstärke genau dann erreicht ist, wenn ein externes Magnetfeld die kritische Feldstärke
aufweist. Heute ist diese Hypothese sehr gut bestätigt. Daraus folgt auch, dass die kritische
Stromdichte die gleiche Temperaturabhängigkeit wie das kritische Feld aufweist [1].
2.1.3 Klassifizierung von Supraleitern
Neben den im letzten Abschnitt diskutierten charakterisierenden Eigenschaften lassen sich
Supraleiter weiter in zwei Klassen aufteilen, wobei die Klassifizierung anhand ihres magnetischen Verhaltens während des Übergangs vom supraleitenden in den normalleitenden
Zustand beim Überschreiten des kritischen Felds Hc erfolgt.
Supraleiter erster Art Bei Supraleitern erster Art wächst die Magnetisierung im In~ =H
~ ext − B~ In an. Solange das Magnetfeld im Innern des
nern des Supraleiters gemäß M
µ0
~ In also verschwindet, ist M
~ ∝ H
~ ext . Sobald der Übergang in den normalSupraleiters B
~ In = µ0 H
~ ext , d.h. die Magnetisierung
leitenden Zustand erfolgt ist, gilt im Wesentlichen B
verschwindet. Dies ist in Abbildung (2.4a) dargestellt. Beispiele für Supraleiter erster Art
sind reines Quecksilber oder sehr reines Blei. Da jedoch bei Supraleitern erster Art der Wert
des kritischen Felds Hc meist recht gering ist, verwendet man für technische Anwendungen
in der Regel Supraleiter zweiter Art [1, 4].
Supraleiter zweiter Art Supraleiter zweiter Art weisen die Proportionalität von Magnetisierung und externem Magnetfeld nur bis zu einem unteren kritischen Feld Hc1 auf.
Danach geht der Supraleiter in einen Mischzustand über, wo das Innere des Supraleiters
M
M
supraleitend
normalleitend
Hc
(a) Supraleiter erster Art
supraleitend
Hext
Wirbelzustand
Hc1 Hc
normalleitend
Hc2
Hext
(b) Supraleiter zweiter Art
Abbildung 2.4: Die Abbildung zeigt die Magnetisierung M im Innern eines Supraleiters
in Abhängigkeit des externen Magnetfelds Hext für einen Supraleiter (a)
erster Art und (b) zweiter Art, nach [5].
2 Theoretische und experimentelle Grundlagen
6
nicht mehr vollständig feldfrei ist. Der Supraleiter ist von spiralförmigen Flußlinien durchsetzt, weshalb man diesen Zustand auch als Wirbelzustand bezeichnet. Erst ab einem
oberen kritischen Feld Hc2 geht das Material vollständig in den normalleitenden Zustand
über. Den Verlauf der Magnetisierung in Abhängigkeit des externen Felds zeigt Abbildung
(2.4b) [5]. Die Korrelation zwischen kritischem Feld und kritischer Stromdichte ist nun im
Wesentlichen durch das untere kritische Feld Hc1 gegeben [1].
Ein Beispiel für einen Supraleiter zweiter Art ist YBa2 Cu3 O7−x , wie es auch im Experiment
verwendet wird.
2.2 Theoretische Modelle
Zur theoretischen Beschreibung der Supraleitung wurden einige Modelle entwickelt. Das
heutzutage allgemein anerkannte Modell ist die sog. BCS-Theorie, die von Bardeen,
Cooper und Schrieffer 1957 publiziert wurde. Bereits 1934 gelang es jedoch den Gebrüdern London eine Theorie zu entwickeln [12], welche die wichtigsten Eigenschaften
der Supraleitung - die perfekte Leitfähigkeit und den idealen Diamagnetismus - auf Basis klassischer Elektrodynamik korrekt beschreiben. Eine vollständige quantenmechanische
Beschreibung liefert jedoch nur die BCS-Theorie.
2.2.1 London-Gleichungen
Zur Herleitung der London-Gleichungen bedient man sich des Drude-Modells, welches
die elektrische Leitfähigkeit von Metallen beschreibt. Für ein Elektron mit Geschwindigkeit
~v im Metall gilt dann die Bewegungsgleichung
d~v
~ − ms ~vD ,
= qs E
(2.1)
dt
τ
wobei hier anstatt der Elektronenmasse me und der Elementarladung jeweils die Masse
ms und Ladung qs der supraleitenden Teilchen eingesetzt wurde. Wie bereits in Abschnitt
2.1.2 angesprochen, werden wir später feststellen, dass dies keine einzelnen Elektronen,
sondern Elektronenpaare sind, woraus schließlich qs = −2e folgt.
Der zweite Summand der rechten Seite in Gleichung (2.1) ist ein Reibungsterm und entsteht
durch Stöße der Elektronen mit Atomrümpfen. ~vD bezeichnet dabei die Driftgeschwindigkeit und τ die mittlere Stoßzeit der Elektronen. Im supraleitenden Zustand liegt keine
Reibung mehr vor, d.h. es finden keine Stöße mehr statt. Es gilt also τ → ∞. Verwendet
man nun noch den Ausdruck für die Stromdichte ~j = ns qs~v wobei ns die Dichte der supraleitenden Teilchen ist, so folgt aus Gleichung (2.1) direkt die 1. London-Gleichung [4]
ms
~
~ = ms ∂ j
E
ns qs2 ∂t
(2.2)
~ welches eine Stromdichte nur in Anwesenheit
Im Gegensatz zum Ohmschen Gesetz ~j = σ E,
~ = 0 dennoch stationäre
eines elektrischen Felds zulässt, sind bei der Supraleitung für E
Ströme möglich [12]. Gleichung (2.2) beschreibt also den verlustfreien Stromtransport [4].
Anhand des Faradayschen Induktionsgesetz und Gleichung (2.2) folgt
∂ ~
ms ~
~
∇×
j +B =0
(2.3)
∂t
ns qs2
7
2.2 Theoretische Modelle
Integriert man diese Gleichung über eine beliebige Fläche innerhalb des Supraleiters, so
findet man, dass der magnetische Fluss Φ durch diese zeitlich konstant ist. Nach dem experimentellen Befund des Meißner-Ochsenfeld-Effekts jedoch verschwindet innerhalb
des Supraleiters nicht nur die Änderung, sondern das Magnetfeld selbst. Damit muss der
Ausdruck innerhalb der Klammer in Gleichung (2.3) verschwindet, was die 2. LondonGleichung liefert [4]
ms ~
~
~
B = −∇ ×
j
(2.4)
ns qs2
Wendet man nun auf diese Gleichung die beiden Maxwell-Gleichungen für das Magnetfeld an, so findet man eine Poisson-Gleichung für Letzteres und kann eine Eindringtiefe,
die sog. Londonsche Eindringtiefe, definieren [4]
r
ms
λL =
(2.5)
µ0 ns qs2
d.h. das Magnetfeld klingt im Supraleiter exponentiell ab. Daraus resultiert, dass sich die
Supraströme, die aufgrund des idealen Diamagnetismus des supraleitenden Materials das
Magnetfeld im Innern kompensieren, im Wesentlichen nur auf der Oberfläche des Supraleiters ausbilden.
Weiter lässt sich feststellen, dass die Londonsche Eindringtiefe temperaturabhängig ist
und es gilt der Zusammenhang [13]
1
4
1 − TTc
λL (T ) = λ0 r
(2.6)
wobei hier λ0 die Eindringtiefe bei T = 0 bezeichnet. Es soll nun noch die Größenordnung
der Londonschen Eindringtiefe abgeschätzt werden.
Typische Elektronendichten in Metallen liegen im Bereich von ne ≈ 1028 m13 . In Abschnitt
2.2.2 werden wir feststellen, dass im Grundzustand (T = 0) alle Elektronen als supraleitende Elektronenpaare vorliegen, d.h. hier gilt ns = n2e . Damit sind typische Werte für
die Londonsche Eindringtiefe im Grundzustand nach Gleichung (2.5) im Bereich von4
λ0 ≈ 20 nm. Anhand Gleichung (2.6) stellt man fest, dass auch für relativ hohe Temperaturen die Londonsche Eindringtiefe immer noch im nm-Bereich liegt, so ist z.B. bei
T = 0,95Tc die Eindringtiefe λL ≈ 2,3λ0 . Abbildung (2.5) verdeutlicht diesen Zusammenhang nochmals.
Es wurde nun gezeigt, dass sowohl die perfekte Leitfähigkeit als auch der ideale Diamagnetismus von Supraleitern anhand der London-Gleichungen sehr gut beschrieben werden
kann. Der Übergang vom normalleitenden in den supraleitenden Zustand wurde dabei
ignoriert. Eine Erklärung, dass die Supraleitung nur unterhalb einer gewissen Sprungtemperatur auftritt, sowie die Tatsache, dass es sich bei den supraleitenden Teilchen um
Elektronenpaare handelt, liefert die BCS-Theorie.
Die London-Gleichungen lassen sich neben dem oben beschriebenen Weg auch anhand
4
Da an der Stelle nur eine Abschätzung gemacht wird, wurde für die Masse der Elektronenpaare zur
Vereinfachung ms = 2me eingesetzt. Korrekterweise müsste die effektive Masse der Elektronenpaare
eingesetzt werden.
8
2 Theoretische und experimentelle Grundlagen
5
4
λL 3
λ0
2
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
T
Tc
Abbildung 2.5: Die Abbildung zeigt graphisch den Zusammenhang aus Gleichung (2.6). Es
wird deutlich, dass auch für Temperaturen nahe der kritischen Temperatur die Eindringtiefe nicht um Größenordnungen über der Eindringtiefe im
Grundzustand liegt.
der Annahme herleiten, dass der supraleitende Grundzustand eine makroskopische Wellenfunktion besitzt. Diese Herleitung wurde bereits von London 1948 durchgeführt und
beinhaltet dabei grundlegende quantenmechanische Konzepte. Auf diesem Weg lässt sich
Supraleitung als makroskopisches Quantenphänomen interpretieren, was letztendlich experimentell durch die magnetische Flussquantisierung, die in Abschnitt (2.3) diskutiert wird,
nachgewiesen wurde [4].
2.2.2 BCS-Theorie
In diesem Abschnitt soll kurz qualitativ die Idee der BCS-Theorie erläutert werden, um
eine Vorstellung zu erhalten, wie es zur Bildung der supraleitenden Teilchen, den bereits
angesprochenen Cooper-Paaren, kommt. Es sei ausdrücklich darauf hingewiesen, dass das
im Folgenden beschriebene Modell nur eine sehr starke Vereinfachung darstellt. Eine ausführliche quantenmechanische Betrachtung findet sich in [14, 15].
Im Metall kann man in guter Näherung die Elektronen als freies Elektronengas ansehen,
die Besetzungswahrscheinlichkeit eines Zustands ist dann durch die Fermi-Verteilung gegeben. Sämtliche Wechselwirkungen werden also vernachlässigt und die Elektronen unterliegen nur dem Pauli-Prinzip.
Die Bildung von Elektronenpaaren kann durch eine Elektron-Elektron-Wechselwirkung erklärt werden. Klassisch ist diese Coulomb-Wechselwirkung abstoßend, es lässt sich jedoch
auch eine attraktive Wechselwirkung feststellen. In der genauen quantenmechanischen Behandlung ist der Ansatz hierfür eine Superposition der beiden Wellenfunktionen der Elektronen [4].
Qualitativ kann man sich die attraktive Wechselwirkung vorstellen, indem man ein Gitter aus positiv geladenen Atomrümpfen mit einem einzelnen Elektron betrachtet. Dieses
9
2.2 Theoretische Modelle
(a)
(b)
(c)
Abbildung 2.6: Die Abbildung verdeutlicht wie es zur Bildung von Cooper-Paaren
kommt. Zunächst zieht ein vorbeifliegendes Elektron die positiv geladenen
Atomrümpfe an (a), welche erst nach einer gewissen Zeit wieder relaxieren
(b), was zu einer effektiven Potentialmulde für ein weiteres Elektron führt
(c), nach [4].
Elektron deformiert das Gitter durch die Coulomb-Anziehung leicht, was lokal zu einer
erhöhten Dichte von positiven Ladungen und damit zu einer Potentialmulde für negative
Ladungen führt. Da sich das Elektron mit einer Geschwindigkeit ~v durch das Gitter bewegt, folgt diese Deformation ebenfalls der Bahn des Elektrons. Dies ist ein entscheidendes
Kriterium, da die oben angesprochene vertiefende quantenmechanische Betrachtung liefert,
dass die Paarung im Impulsraum stattfindet. Die schweren Atomrümpfe relaxieren nach
passieren des Elektrons wieder in ihre ursprüngliche Lage, jedoch deutlich langsamer als
das Elektron vorbeifliegt. Die schweren Ionen der Atomrümpfe schirmen die Ladung des
Elektrons also immer noch ab, obwohl dieses bereits nicht mehr am ursprünglichen Ort ist,
was auch als Überabschirmung bezeichnet wird. Ein zweites Elektron erfährt nun ein attraktives Potential vom deformierten Ionengitter, d.h. die Elektronen sind damit korreliert.
Die drei Phasen: Abschirmung der Ladung des vorbeifliegenden Elektrons (2.6a), Überabschirmung (2.6b) und das sich in der Potentialmulde befindende korrelierte Elektron (2.6c)
sind nochmals in Abbildung (2.6) dargestellt [4].
Der Austausch während der Wechselwirkung wird durch ein virtuelles Phonon, welches
nur während der Zeit der Wechselwirkung existiert, bereitgestellt. Man spricht daher auch
von Elektron-Elektron-Wechselwirkung via Phononen. Die BCS-Kohärenzlänge ξ0 , also die
Reichweite der Wechselwirkung beträgt typischerweise 100 − 1000 nm [1]. Die verhältnismäßig hohe Kohärenzlänge der Wechselwirkung ist deshalb von entscheidender Bedeutung,
da für sehr kleine Abstände die Coulomb-Wechselwirkung deutlich stärker wäre als die
oben erläuterte attraktive Wechselwirkung [4].
Mit der BCS-Theorie findet man schließlich, dass zwei so korrelierte Elektronen immer
entgegengesetzten Impuls und entgegengesetzten Spin besitzen [5]. Für T = 0 liegen alle
Elektronen als Cooper-Paare vor, für endliche Temperaturen hingegen führen thermische
Anregungen teilweise zum Aufbrechen der Cooper-Paare. Eine vereinfachte Erklärung dafür liegt darin, dass für T = 0 die Fermi-Verteilung eine Stufenfunktion ist und die Energie
aller Cooper-Paare damit unterhalb von EF − Eg /2 liegt, wobei Eg die in Abschnitt 2.1.1
10
2 Theoretische und experimentelle Grundlagen
5
kurz
erwähnte Bandlücke
n o
n isto. Für T 6= 0 ist es möglich, dass ein Elektron vom Zustand
~k, ↑ in den Zustand ~k 0 , ↑ angeregt wird. War das Elektron zuvor mit einem Elektron
n
o
im Zustand −~k, ↓ gepaart so bricht durch die Anregung dieses Cooper-Paar auf [16].
2.2.3 Übergang zur Supraleitung als thermodynamischer Phasenübergang
Die Temperaturabhängigkeiten der Phänomene der Supraleitung lassen vermuten, dass einige dieser sich auch anhand thermodynamischer Prozesse beschreiben lassen. Experimentell begründet sich dies ebenso durch den sprunghaften Anstieg der spezifischen Wärme
eines supraleitenden Materials bei Erreichen der Sprungtemperatur [11].
Der Übergang vom normalleitenden in den supraleitenden Zustand ist thermodynamisch
reversibel, d.h. er lässt sich als thermodynamischen Phasenübergang beschreiben. Man findet bei diesem Phasenübergang eine Abnahme der Entropie, d.h. einige der Elektronen
im Metall gehen in einen geordneteren Zustand über, was auf die Existenz der im vorigen
Abschnitt erläuterten Cooper-Paaren hinweist. Auch hier wird wieder die Supraleitung
als makroskopisches Quantenphänomen deutlich. Da die Thermodynamik die Supraleitung
als makroskopisches Phänomen beschreibt, muss also eine makroskopische Wellenfunktion
existieren, die den Zustand des Gesamtsystems beschreibt, wie bereits in Abschnitt 2.2.1
diskutiert [5].
2.3 Magnetische Flussquantisierung
Wie in den Abschnitten 2.2.1 und 2.2.3 bereits angesprochen, lässt sich die Supraleitung
auch als makroskopisches Quantenphänomen deuten. Demnach muss eine Wellenfunktion
existieren, die ψ(~r, t) = ψ0 (~r, t)eiθ(~r,t) mit Amplitude ψ0 und Phase θ erfüllt und den
makroskopischen Quantenzustand beschreibt. Die Suprastromdichte ergibt sich dann zu
[4]:
~j =
=
2
qs ~ ∗ ~
~ ∗ − qs ψψ ∗ A
~
ψ ∇ψ − ψ ∇ψ
2ms i
ms
qs ~ns ~
q 2 ns ~
∇θ − s A,
ms
ms
(2.7)
~ hier das Vektorpotential des externen Magnetfelds bezeichnet. In Abschnitt 2.2.1
wobei A
wurde die Londonsche Eindringtiefe eingeführt, wobei die Eindringtiefe des Magnetfelds
im nm-Bereich liegt, d.h. die Supraströme, die das Magnetfeld dort kompensieren fließen
im Wesentlichen an der Oberfläche des Leiters. Da in Experimenten der Supraleiter deutlich dicker als die Eindringtiefe ist, gilt im Innern des Leiters in guter Näherung ~j = 0.
Integriert man nun Gleichung (2.7) über einen beliebigen geschlossenen Weg C innerhalb
des Supraleiters, erhält man unter Berücksichtigung des Stokesschen Satzes [4]:
I
Z
qs
~ F~ = qs Φ
∇θd~s =
Bd
(2.8)
~ F
~
C
5
Eine genaue Betrachtung zeigt, dass alle Elektronen im supraleitenden Zustand einen Impuls im Bereich
von kF besitzen. Da die Elektronen im supraleitenden Zustand gepaart sind, also als Bosonen vorliegen,
ergibt sich hier kein Widerspruch zum Pauli-Prinzip [4].
11
2.4 Josephson-Kontakte
wobei F die vom geschlossenen Weg C umschlossene Fläche ist. Da Anfangs- und Endpunkt
einer geschlossenen Kurve gleich sind, könnte man vermuten, dass das Integral auf der
linken Seite von Gleichung (2.8) verschwindet. Dies ist aber nicht ganz richtig, ebenso
könnte sich die Phase der Wellenfunktion nach Durchlaufen des geschlossenen Wegs um
2πn unterscheiden, da dies die Wellenfunktion unverändert ließe. Daraus und aus der BCSTheorie, die qs = −2e liefert, folgt direkt die magnetische Flussquantisierung [4]:
Φ = n·
h
= n · Φ0
2e
h
= 2,068 · 10−15 Vs wird auch als Flussquant bezeichnet. Nach der
Die Größe Φ0 = 2e
Herleitung der London-Gleichungen durch die Beschreibung der Supraleitung als makroskopisches Quantenphänomen kann der magnetische Fluss innerhalb eines Supraleiters
durch eine beliebige Fläche also nur diskrete Werte annehmen. Dies konnte 1961 experimentell von Doll und Nähbauer an einem supraleitenden Ring [17], sowie von Deaver
und Fairbank, die zeitgleich das selbe Resultat an einem supraleitenden Zylinder erhielten [18], nachgewiesen werden. Abbildung (2.7) zeigt die Messergebnisse von Deaver
und Fairbank für die Messung des magnetischen Flusses Φ an einem Hohlzylinder mit
Wanddicke d = 10 µm λL (vgl. Abschnitt 2.2.1).
Abbildung 2.7: Die Abbildung zeigt die Messergebnisse der magnetischen Flussquantisierung von Deaver und Fairbank an einem Hohlzylinder mit Wanddicke
d = 10 µm. Zu beachten ist, dass das Flussquant hier einen Faktor c enthält, da die magnetische Feldstärke in Gauss-Einheiten skaliert ist [18].
2.4 Josephson-Kontakte
Ein Josephson-Kontakt bezeichnet eine Kontaktstelle zur Kopplung zweier Supraleiter.
Dazu wird zwischen zwei Supraleiter eine isolierende Schicht platziert. Ist die Schicht hinreichend schmal, so können Cooper-Paare durch die Barriere tunneln, was von Brian
D. Josephson 1962 erstmals postuliert wurde und ihm 1973 den Physik-Nobelpreis einbrachte [1]. Man unterscheidet zwischen dem DC- und dem AC-Josephson-Effekt, die im
Folgenden kurz erläutert werden.
12
2 Theoretische und experimentelle Grundlagen
2.4.1 DC-Josephson-Effekt
Beim DC-Josephson-Effekt wird an den Josephson-Kontakt keine externe Spannung
Uext angelegt. Man findet für den Tunnelstrom durch den Josephson-Kontakt [1]
(2.9)
IJ = Ic sin(ϕ),
wobei ϕ die Phasendifferenz zwischen den beiden makroskopischen Wellenfunktionen in
den beiden Supraleitern ist. Weiter gilt ϕ̇ ∝ Uext . Da beim DC-Josephson-Effekt keine
externe Spannung an den Josephson-Kontakt angelegt wird, ist also auch die Stromstärke
durch den Josephson-Kontakt konstant, wobei an dieser Stelle angemerkt sei, dass die
Tunnelstromstärke IJ durch den Josephson-Kontakt nicht mit der gesamten Stromstärke
I durch die Supraleiter zu verwechseln ist [11].
Solange für die Stromstärke durch die Supraleiter I < Ic gilt, können auch die CooperPaare durch den Josephson-Kontakt widerstandsfrei tunneln. Gilt jedoch I > Ic , so werden die Supraleiter normalleitend, d.h. die Cooper-Paare brechen auf. Es ist nun trotzdem
noch eine Tunnelstromstärke durch den Josephson-Kontakt messbar, was durch das tunneln von Einzelelektronen begründet ist. Die tunnelnden Einzelelektronen erfahren jedoch
im Kontakt nun einen Widerstand, wodurch gemäß des Ohmschen Gesetzes U = RI ein
Spannungsabfall im Kontakt messbar ist. Dies erklärt auch, warum die Proportionalitätskonstante in Gleichung (2.9) gerade Ic ist, da ein reiner Suprastrom durch die Anordnung
nur dann fließen kann, wenn I < Ic gilt. Der Zusammenhang zwischen Strom und am
Josephson-Kontakt abfallender Spannung ist nochmals in Abbildung (2.8a) dargestellt.
Abbildung (2.8b) zeigt den gleichen Zusammenhang, jedoch für einen Supraleiter zweiter
Art. Hier gilt, für I > Ic im Wesentlichen [19]
p
U = R I 2 − Ic2
(2.10)
und nur im Grenzfall I Ic gilt das Ohmsche Gesetz. Dieses Verhalten kann durch das
RCSJ-Modell beschrieben werden [1].
I
I
Ic
Ic
Uc
U
(a) Supraleiter erster Art
Uc
U
(b) Supraleiter zweiter Art
Abbildung 2.8: Die Abbildung veranschaulicht den Zusammenhang von Stromstärke I
durch die Supraleiter und Spannungsabfall U im Josephson-Kontakt für
(a) einen Supraleiter erster Art und (b) einen Supraleiter zweiter Art.
Oberhalb der kritischen Stromstärke in den Supraleitern erhält der Josephson-Kontakt einen Widerstand, wodurch dort ein Spannungsabfall
messbar wird, nach [1, 5].
13
2.5 SQUID
2.4.2 AC-Josephson-Effekt
Wird nun an den Josephson-Kontakt eine externe Spannung Uext angelegt, so gilt, da
ϕ̇ ∝ Uext und IJ ∝ sin(ϕ):
2eUext
IJ (t) = Ic sin ϕ0 −
t ,
(2.11)
~
wobei ϕ0 die Phasendifferenz der Wellenfunktionen im statischen Fall bezeichnet. Die
Stromstärke, die sich an den beiden Enden des Josephson-Kontakts messen lässt, oszilliert also mit der Frequenz
ω=
2eUext
~
(2.12)
Eine solche Messung ermöglicht eine präzise Messung von e/h, die wir im Experiment
vornehmen wollen [5, 11].
2.5 SQUID
Die außergewöhnlichen Eigenschaften von Supraleitern, insbesondere die magnetische Flussquantisierung sowie der Josephson-Effekt, bilden die Basis eines SQUID. Dies sind Geräte, die mit hoher Präzision kleinste magnetische Flüsse detektieren können [4]. Beträgt die
Fläche eines SQUID ca. 1 mm2 , so lassen sich Änderungen einer magnetischen Flussdichte
von ∆B ≈ 10−15 detektieren, was in etwa in der Größenordnung von Magnetfeldern, die
Hirnströme an der Oberfläche der Schädeldecke induzieren liegt. Wie bereits erwähnt finden aus diesem Grund SQUIDs unter anderem in der Medizin Anwendung, z.B. bei sog.
Magneto-Enzephalographie-Untersuchungen (MEG), wobei hier viele SQUID-Detektoren
um den Schädel platziert werden um die Hirnströme zu detektieren. Ebenso werden solche
SQUID-Vielkanalsysteme für Herzuntersuchungen durchgeführt, was etwas einfacher ist,
da Herzströme deutlich größer als Hirnströme sind.
Weiter werden SQUIDs auch in der Industrie angewendet, beispielsweise als Mikroskop,
wobei durch die hohe Empfindlichkeit auch sehr schwach magnetische Materialien abgebildet werden können. Eine andere Anwendung in der Industrie ist die Werkstoffprüfung, wo
Wirbelströme im zu untersuchenden Material erzeugt werden und die sehr schwache Flussänderung, die im Falle eines Defekts im Material hervorgerufen wird, kann durch einen
SQUID detektiert werden. Neben diesen Anwendungen existiert eine Vielzahl weiterer Anwendungen, auf die wir an dieser Stelle jedoch nicht weiter eingehen wollen [1].
Man unterscheidet in der Bauart DC- und RF-SQUIDs. Da im Experiment ein DC-SQUID
verwendet wird, werden wir uns im Folgenden auf diesen beschränken.
2.5.1 Funktionsweise eines DC-SQUID
Das Grundprinzip eines DC-SQUID ist in Abbildung (2.9) dargestellt. Grundsätzlich bestehen DC-SQUIDs aus einem supraleitenden Ring, der durch zwei gegenüberliegende Josephson-Kontakte (J1 und J2 in Abbildung (2.9)) unterbrochen ist6 . Der Ring wird senkrecht
6
Ein RF-SQUID ist ähnlich aufgebaut, jedoch wird der supraleitende Ring hier durch nur einen Josephson-Kontakt unterbrochen und das SQUID mit einem Wechselstrom betrieben.
2 Theoretische und experimentelle Grundlagen
14
U
J2
B
I
J1
Abbildung 2.9: Die Abbildung zeigt das Grundprinzip eines SQUID, nach [5].
von einem Magnetfeld B durchsetzt. Die Tatsache, dass es sich bei einem SQUID um eine
Art Interferometer handelt, kann man sich so vorstellen, dass sich die makroskopische Wellenfunktion der Cooper-Paare im Supraleiter in zwei Teilwellen aufspalten lässt, die nach
den Josephson-Kontakten wieder miteinander interferieren. Man kann sich dies analog
zur Zweistrahlinterferenz in der Optik vorstellen. Wird der supraleitende Ring von einem
magnetischen Fluss durchsetzt, erfahren die Teilwellen in den Josephson-Kontakten unterschiedliche Phasenverschiebungen, was zu Interferenzerscheinungen führt [4].
Es wird nun ein elektrischer Strom I durch das SQUID geleitet. Wie in Abschnitt 2.3 diskutiert, muss für die Phasendifferenz ∆ϕ der Gesamtwellenfunktion nach Integration über
eine geschlossene Kurve innerhalb des Supraleiters
∆ϕ = 2πn =
2e
·Φ
~
(2.13)
gelten, wobei Φ hier den gesamten magnetischen Fluss darstellt. Dieser setzt sich zusammen
aus dem magnetischen Fluss des externen Magnetfelds, sowie dem magnetischen Fluss, der
durch die elektrischen Ströme im Ring induziert wird. Die Phasendifferenz der Gesamtwellenfunktion in Gleichung (2.13) setzt sich aus den Phasensprüngen δ1 und δ2 der beiden
Teilwellen in den Zweigen 1 und 2 des supraleitenden Rings zusammen. Dabei erhält eine
der beiden ein negatives Vorzeichen, da bei Integration um einen geschlossenen Weg die
beiden Josephson-Kontakte in unterschiedlicher Richtung durchlaufen werden. Demnach
gilt
2e
Φ
~
e
e
δ1 = δ0 + φ und δ2 = δ0 − Φ
~
~
δ1 − δ2 =
bzw
(2.14)
mit einer konstanten Phase δ0 . Die Gesamtstromstärke I setzt sich gemäß der Kirchhoffschen Regel additiv aus den Stromstärken der beiden Zweigen des Rings zusammen.
Dabei müssen nur die Ströme durch die Josephson-Kontakte berücksichtigt werden. Es
existiert zwar auch ein Ringstrom, jedoch hat dieser in den beiden Zweigen ein unterschiedliches Vorzeichen und leistet daher keinen Beitrag. Weiter gilt wie in Abschnitt 2.4.1
15
2.5 SQUID
bereits diskutiert Ii = Ic sin (δi ) woraus schließlich folgt:
I = I1 + I2
e Φ
~ Φ
= 2Ic sin (δ0 ) cos π
Φ0
= 2Ic sin (δ0 ) cos
(2.15)
Hierbei sei angemerkt, dass diese Gleichheit nur unter der Annahme zweier identischer
Josephson-Kontakte gültig ist. Praktisch ist dies meistens kaum realisierbar. Zur Vereinfachung nehmen wir - sofern nicht anders angegeben - stets zwei identische JosephsonKontakte im DC-SQUID an.
Der elektrische Strom I durch den Ring sowie der magnetische Fluss, welcher unter Vernachlässigung des durch den Ringstrom induzierten Magnetfelds durch das externe Magnetfeld gegeben ist, lässt sich manuell regeln, d.h. Gleichung (2.15) lässt sich dadurch
erfüllen, indem der Parameter δ0 kontrolliert wird. Dies geht allerdings nur in einem gewissen Parameterbereich, da sin(δ0 ) ∈ [−1,1]. Der maximale Strom in Abhängigkeit des
externen Magnetfelds bzw. des externen magnetischen Flusses, der durch die Anordnung
fließen kann ist also:
Φ Imax = 2Ic cos π
(2.16)
Φ0 Dieser Strom ist periodisch im magnetischen Fluss mit einer Periodenlänge des magnetischen Flussquants. Beträgt der externe magnetische Fluss gerade ein Vielfaches des Flussquants, so ist der Strom durch die Anordnung maximal mit Imax = 2Ic und der Ringstrom
verschwindet in diesem
Fall. Umgekehrt verschwindet der Strom durch die Anordnung
wenn Φ = n + 12 Φ0 und der Ringstrom ist nun maximal mit IRing = ±Ic [1].
In Abschnitt 2.4.1 wurde die Strom-Spannung-Charakteristik eines Josephson-Kontakts
diskutiert (siehe Abbildung (2.8)). Man findet eine Abhängigkeit der Charakteristik vom
externen magnetischen Fluss. Der Zusammenhang
für die zwei Grenzwerte des magneti
1
schen Flusses Φ = nΦ0 und Φ = n + 2 Φ0 was auch als Strom-Spannungs-Kennlinie
bezeichnet wird, ist in Abbildung (2.10) dargestellt.
Betreibt man nun das SQUID mit einem Strom Ibias leicht oberhalb des kritischen Stroms
was auch als Biasstrom bezeichnet wird, so ist das SQUID normalleitend und stets mit einem leichten Widerstand behaftet. Da der Strom in Abhängigkeit des magnetischen Flusses
mit der Periode Φ0 oszilliert, oszilliert also auch die Spannung des so betriebenen SQUID
mit der gleichen Periode, was ebenfalls in Abbildung (2.10) dargestellt ist [1].
Bisher wurde am SQUID generell der DC-Josephson-Effekt untersucht. Es lässt sich jedoch auch der AC-Josephson-Effekt beobachten. Dazu wird das SQUID in einem oszillierendem elektrischen Feld platziert. Nun fällt am Kontakt nicht nur eine Gleichspannung
U0 ab, sondern diese ist zusätzlich durch die oszillierende Spannung überlagert, d.h. die
abfallende Spannung ist nun U = U0 + U1 cos (ωt), wobei ω die Frequenz des oszillierenden
elektrischen Felds ist. Damit ergibt sich analog zu Gleichung (2.11) die Stromstärke durch
den Josephson-Kontakt zu [20]
I(t) = I0 sin δ0 −
2πU0 t
Φ0
−
2πU1 t
Φ0 ω
sin (ωt)
(2.17)
16
2 Theoretische und experimentelle Grundlagen
Abbildung 2.10: Die Abbildung zeigt die Strom-Spannungs-Kennlinien an einem DCSQUID für die Grenzwerte Φ = nΦ0 und Φ = n + 12 Φ0 des externen magnetischen Flusses (links) sowie die periodische Abhängigkeit der
Spannung am Josephson-Kontakt des SQUID (rechts). Es sei darauf hingewiesen, dass im Vergleich zu Abbildung (2.8) die Achsen hier vertauscht
sind [20].
Verwendet man nun die Identitäten [21]
sin (X sin θ) = 2
cos (X sin θ) = 2
∞
X
n=0
∞
X
J2n (X) sin (2nθ)
J2n−1 (X) cos ((2n − 1) θ)
n=0
n
(2.18)
J−n (x) = (−1) Jn (x),
wobei Jn (x) die Bessel-Funktion n-ter Ordnung ist, so ergibt sich für die Stromstärke
I(t) = I0
∞
X
n=−∞
n
(−1) Jn
2πU1
Φ0 ω
2πU0
sin δ0 + nω −
t
Φ0
Falls nun
U0 =
Φ0 ωn
2π
erfüllt ist, so beobachtet man im Strom-Spannungs-Diagramm einigen Bereiche konstanter Spannung. Diese kontanten Regionen werden als Shapiro-Stufen bezeichnet [20]. Der
Verlauf einer solchen Charakteristik ist in Abbildung (2.11) dargestellt. Der Abstand zweihω
0ω
er Shapiro-Stufen beträgt dabei jeweils ∆U = Φ2π
= 4πe
. Ebenso ist dort die StromSpannungs-Charakteristik für den statischen Fall (U1 = 0) aufgetragen (gestrichelte Linie),
wobei hier für I > Ic nur die Asymptotik gezeigt ist. Es sei angemerkt, dass die Asymptotik
nicht ganz korrekt ist, eigentlich müsste positive und negative Ströme der gleichen Asymptote wie in Abbildung (2.8b) folgen, jedoch trägt dies hier nicht weiter zum Verständnis
bei und wurde von daher vernachlässigt [20].
17
2.5 SQUID
U
U1  0
U1 = 0
I
Abbildung 2.11: Die Abbildung zeigt die Ausbildung von Shapiro-Stufen im StromSpannungs-Diagramm eines SQUID im oszillierenden E-Feld, nach [20].
Auch hier sind wie in Abbildung (2.10) im Vergleich zu Abbildung (2.8)
die Achsen vertauscht.
2.5.2 Modulationsparameter βL
Im vorigen Abschnitt wurde diskutiert, dass der magnetische Fluss durch das SQUID im
Wesentlichen durch das externe Magnetfeld gegeben ist. Dies ist in der Realität jedoch
nicht ganz korrekt, so induziert der Suprastrom durch den Ring ebenfalls ein Magnetfeld,
welches mit dem externen Magnetfeld superponiert. Gemäß der Lenzschen Regel hemmt
das induzierte Magnetfeld, was effektiv zu einer geringeren kritischen Stromdichte führt.
Der maximale Ringstrom beträgt Ic , von daher verwendet man als Maß für den Einfluss
dieses induzierten Magnetfeld den sog. dimensionslosen Modulationsparameter
βL =
2Ic L
,
Φ0
(2.19)
wobei hier L die Eigeninduktivität des Rings bezeichnet. Je größer also L, desto kleiner
wird Ic [1].
Um den Modulationsparameter zu bestimmen, wird aus einem Strom-Spannungs-Diagramm
zunächst das Produkt aus kritischem Strom Ic und Widerstand in normalleitendem Zustand RN bestimmt, da die Bestimmung der Eigeninduktivität L relativ schwierig wäre.
Wird nun noch die maximale Peak-to-peak Spannungsdifferenz ∆U im Spannungs-FlussDiagramm (siehe Abbildung (2.10)) bestimmt, so gilt in guter Näherung:
βL =
4Ic RN
−1
π∆U
(2.20)
Es sei erneut darauf hingewiesen, dass diese Näherung nur für zwei identische JosephsonKontakte sowie den Fall vernachlässigbarer thermischer Effekte gilt [20].
Für Supraleiter mit relativ niedrigen Sprungtemperaturen konnte Gleichung (2.20) experimentell relativ gut bestätigt werden. Für Hochtemperatur-Supraleiter gilt die Gleichung
jedoch nicht mehr, was dadurch begründet ist, dass thermische Effekte nun nicht mehr vernachlässigt werden können. Konkret spiegelt sich dies dadurch wieder, dass die thermische
Energie kB T nun nicht mehr klein gegenüber der Energie des Flussquantums Φ0 /L ist. Unter Berücksichtigung thermischer Effekte nimmt der Modulationsparameter nun folgende
2 Theoretische und experimentelle Grundlagen
18
Gestalt an [20]
4Ic RN
βL =
π∆U
√
kB T L
1 − 3,57
Φ0
−1
(2.21)
Ebenso besitzt ein Josephson-Kontakt stets eine nicht verschwindende Kapazität C deren Einfluss durch den ebenfalls dimensionslosen Stewart-McCumber-Parameter. Diese
beiden Faktoren haben einen leichten Einfluss auf die Strom-Spannungs-Kennlinien des
SQUID [1].
19
3 Versuchsaufbau und Durchführung
In diesem Abschnitt soll kurz der Versuchsaufbau und die Durchführung des Experiments
beschrieben werden.
Der Aufbau des Experiments besteht im Wesentlichen aus einem Dewar, welches mit flüssigem Stickstoff gefüllt ist und das SQUID darin im Experiment abgesenkt wird. Das SQUID
ist mit einer Diode an einem Chip befestigt, wobei die Diode zur Berechnung der Temperatur benötigt wird.
Zur Temperaturberechnung wird an der Diode ein konstanter Strom angelegt und die
abfallende Spannung abgelesen. Da der Zusammenhang zwischen an Diode abfallender
Spannung und Temperatur linear ist, beschränken wir uns auf die Aufnahme zweier Messpunkte, einen bei Raumtemperatur und einen im flüssigen Stickstoff, wo die Temperatur
T = 77 K, die Siedetemperatur von Stickstoff, beträgt.
Anschließend wird die Sprungtemperatur von YBCO bestimmt. Dazu wird das SQUID
stückweise immer weiter in das Dewar abgesenkt, die Temperatur mit Hilfe der Diode
und der Widerstand über ein mit der SQUID-Kontrolleinheit verbundenem Oszilloskop
bestimmt, sobald das thermische Gleichgewicht eingetreten ist. Dabei ist es wichtig, dass
die Diode auf gleicher Höhe wie das SQUID befestigt ist, um eine möglichst hohe Genauigkeit der Temperatur sicherzustellen. Dies ist in Abbildung (3.1) dargestellt. Auf dem
Oszilloskop wird eine Strom-Spannungs-Kennlinie (im Folgenden auch: U − I−Kurve) aufgenommen, der elektrische Widerstand des SQUID ergibt sich aus der Steigung um den
Ursprung dieser Kurve.
Weiter wird sowohl die U − I− als auch die U − Φ−Charakteristik des SQUID untersucht.
Dazu wird das SQUID vollständig in den flüssigen Stickstoff getaucht, d.h. das SQUID
arbeitet bei einer Temperatur von T = 77 K, was, gemessen am Literaturwert der Sprungtemperatur von YBCO, weit unterhalb dieser ist.
Das U − I−Diagramm kann dabei über die SQUID-Kontrolleinheit optimiert werden.
Die SQUID-Kontrolleinheit stellt dabei automatisch sicher, dass ein gewisser Bereich von
Abbildung 3.1: Die Skizze zeigt die Position von SQUID und Diode auf der Halterung, die
in das Dewar mit flüssigem Stickstoff abgesenkt wird.
3 Versuchsaufbau und Durchführung
20
Stromstärken automatisch durchlaufen wird (sog. Sweep-Strom). Die Amplitude wird hierbei soweit vergrößert bis der Detektor in beiden Seiten in die Sättigung gerät. Die Kurve
lässt sich ebenfalls über die Kontrolleinheit mit Hilfe eines zusätzlichen Offsets um den
Ursprung zentrieren.
Aus den aufgenommenen U −I−Diagrammen lassen sich kritische Stromstärke Ic , Normalwiderstand RN und daraus eine charakteristische Spannung Uc bestimmen. Zur Bestimmung des Normalwiderstands werden zwei Diagramme aufgenommen, jeweils eines mit
starkem Offset für positive und negative Werte des elektrischen Stroms I, um die Asymptote des Zusammenhangs aus Gleichung (2.10) bzw. Abbildung (2.8b) besser auflösen zu
können.
Das U − Φ−Diagramm wird ebenfalls mit Hilfe der Kontrolleinheit und dem Oszilloskop
aufgenommen. Auch hier stellt die Kontrolleinheit das automatische Durchlaufen eines gewissen Bereichs magnetischer Flüsse sicher. Das U − Φ−Diagramm liefert die maximale
Modulationstiefe ∆U des SQUID, welches gemäß Gleichungen (2.20) und (2.21) zur Berechnung des Modulationsparameters βL notwendig ist. Entscheidend hierbei ist, dass das
U − Φ−Diagramm bei einer Stromstärke durch das SQUID minimal oberhalb der kritischen Stromstärke aufgenommen wird, was bereits in Abschnitt 2.5.1, Abbildung (2.10)
diskutiert wurde. Dafür wird Amplitude des elektrischen Stroms durch das SQUID an dessen Kontrolleinheit soweit verringert, dass im U − I−Diagramm nur noch ein einzelner
Punkt zu sehen ist. Anschließend wird der Offset der Stromstärke so angepasst, dass eine
minimale Spannung abfällt, d.h. die Stromstärke ist jetzt minimal größer als die kritische
Stromstärke.
Im letzten Versuchsteil soll noch der AC-Josephson-Effekt beobachtet werden. Hierfür
wird ein Mikrowellen-Generator, welcher bei einer Frequenz von ν = 44 GHz emittiert, in
das Dewar getaucht und erneut ein U − I−Diagramm aufgenommen. Aus den sich ausbildenden Shapiro-Stufen kann schließlich das Verhältnis h/e bestimmt werden.
21
4 Experimentelle Ergebnisse und Diskussion
In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse des Experiments präsentiert und diskutiert.
4.1 Bestimmung der Sprungtemperatur von YBCO
Zur Bestimmung der Sprungtemperatur ist zunächst ein Verfahren notwendig, um die aktuelle Temperatur des SQUID zu bestimmen. Dazu bedient man sich einer Diode, wie
in Abschnitt 3 erläutert wurde. Zur Kalibrierung der Diode wurden die beiden ebenfalls
in Abschnitt 3 erläuterten Messpunkte bei Raumtemperatur und im flüssigen Stickstoff
bei T = 77 K aufgenommen. Der daraus resultierende lineare Zusammenhang zwischen
Temperatur T und Diodenspannung U ist in Abbildung (4.1) dargestellt. Der lineare Zusammenhang lautet:
T (U ) = ((−377,5 ± 0,9) · U + (454,1 ± 1,0)) K
(4.1)
Die Unsicherheiten für Steigung und Achsenabschnitt ergeben sich aus den Ablesefehlern
gemäß der Fehlerfortpflanzung.
Damit kann nun die Sprungtemperatur bestimmt werden. Die Temperatur des SQUID,
welcher sich auf gleicher Höhe mit der Diode befindet, wird jeweils mit Gleichung (4.1)
bestimmt. Den Widerstand des SQUID bei gegebener Temperatur T erhält man, wie bereits in Abschnitt 3 angedeutet, aus der Analyse des aufgenommenen U − I−Diagramms.
Die Messwerte um den Ursprung in Letzterem werden an eine Gerade gefittet und die
Steigung der Geraden liefert den Widerstand R. Im Falle eines endlichen Widerstands
zeigt sich, dass keine Abweichungen entstehen, wenn alle Messwerte anstatt nur jenen um
400
Messwerte
Kalibrierungsgerade
Temperatur T /K
350
300
250
200
150
100
50
0
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Spannung U/V
Abbildung 4.1: Die Abbildung zeigt den gemessenen linearen Zusammenhang zwischen Diodenspannung U und Temperatur T .
22
4 Experimentelle Ergebnisse und Diskussion
40
Messwerte
Widerstand R/Ω
35
30
25
20
15
10
5
0
0
50
100
150
200
250
300
Temperatur T /K
Abbildung 4.2: Die Abbildung zeigt die gemessene Abhängigkeit zwischen elektrischem Widerstand R und Temperatur T des SQUID. Der Literaturwert der Sprungtemperatur im Bereich von T = 93 K konnte dabei nicht exakt bestimmt
werden.
den Ursprung an eine Gerade gefittet werden. Für den supraleitenden Fall dürfen nur die
Messwerte um den Ursprung beitragen, da für zu hohe Ströme (I > Ic ) wieder ein endlicher Widerstand auftritt, wie in Kapitel 2 ausführlich diskutiert. Im supraleitenden Fall
gilt folglich R = 0 Ω. Die aufgenommene Abhängigkeit zwischen elektrischem Widerstand
R und Temperatur T ist in Abbildung (4.2) dargestellt. Die Fehlerbalken wurden in der
Abbildung aus Übersichtsgründen weggelassen.
Wir wollen an dieser Stelle unsere Messergebnisse anhand einer vergleichbaren Messung
aus [9] diskutieren. Ebenso wie in [9, Fig. 1] ist für Temperaturen oberhalb der Sprungtemperatur die Abhängigkeit näherungsweise linear und nach dem sprunghaften Abfall bei
der Sprungtemperatur der elektrische Widerstand R = 0 Ω. Qualitativ deckt sich unsere
Messung mit den Messergebnisse aus [9] Die zu erwartende Sprungtemperatur im Bereich
von T = 93 K (siehe auch Abschnitt 2.1.1) konnte dabei jedoch nicht korrekt bestimmt
werden.
Eine mögliche Fehlerquelle ist hierbei die Diode, welche im Experiment möglicherweise
einen Wackelkontakt zu haben schien. Dadurch könnte die Kalibrierung nicht ganz korrekt
oder ein zusätzlicher Offset entstanden sein, was die Diskrepanz erklärt.
Eine andere Erklärung für die Diskrepanz könnte eine nicht ganz gemäß Abbildung (3.1)
korrekt angebrachte Diode sein. Ist die Diode etwas zu hoch auf dem Chip angebracht, so
registriert sie eine zu hohe Temperatur, was die Abweichung nach oben erklären könnte.
Die in diesem Experiment bestimmte Sprungtemperatur liegt bei
T = (100,4 ± 1,8) K,
(4.2)
was aus oben genannten Gründen jedoch nicht als Widerlegung des Literaturwerts gesehen
werden kann.
23
4.2 Charakteristische Größen im U − I−Diagramm
4.2 Charakteristische Größen im U − I−Diagramm
4.2.1 Kritische Stromstärke Ic
Nun sollen anhand der aufgenommenen U − I−Diagramme die charakteristischen Größen
des SQUID bestimmt werden. Zunächst wird die kritische Stromstärke Ic bestimmt. Dazu
betrachtet man das Plateau in der Mitte des U −I−Diagramms im supraleitenden Zustand.
Das aufgenommene U − I−Diagramm ist in Abbildung (4.3) dargestellt.
Wie bereits in Abschnitt 2.4.1, Abbildung (2.8) diskutiert, beträgt die Breite des Plateaus für einen gewöhnlichen DC-Josephson-Kontakt ∆I˜ = 2Ic . Es sei an dieser Stelle
angemerkt, dass in diesem Experiment im Vergleich zu den Diagrammen in Abbildung
(2.8) die Achsen vertauscht sind, weshalb von einem Plateau die Rede ist. Weiter ist zu
beachten, dass die Stromstärke I im U − I−Diagramm den gesamten Strom durch das
SQUID bezeichnet. Wie in Abschnitt 2.5.1, Gleichung (2.16) diskutiert, beträgt dieser gerade Imax = 2Ic , d.h. die Breite des Plateaus in der Mitte ist in diesem Fall ∆I = 4Ic . Dies
ist auch dadurch zu erklären, dass nun zwei Josephson-Kontakte parallel geschaltet sind.
Die Breite des Plateaus lässt sich ermitteln, indem die Messwerte kurz vor dem Knick im
Graphen (siehe Abbildung (4.3)) an eine Gerade gefittet werden. Entgegen der Diskussion
in Abschnitt 2.4.1, Abbildung (2.8b) ist der Fit keine nahezu senkrechte Gerade, wie es
auch anhand Gleichung (2.10) zu erwarten wäre. Dies ist einerseits dadurch zu erklären,
dass im YBCO-Kristall des SQUID Defekte auftreten und andererseits könnte die Diskrepanz aufgrund zusätzlicher externer Magnetfelder unbekannten Ursprungs auftreten.
Die kritische Stromstärke wird nun bestimmt, indem die Nullstellen der beiden Fitgeraden
−4
5
x 10
Spannung U/V
Messwerte
lineare Fits
Knick
0
Knick
4Ic
−5
−2
−1
0
1
Strom I/A
2
−4
x 10
Abbildung 4.3: Die Abbildung zeigt das aufgenommene U −I−Diagramm zur Bestimmung
der kritischen Stromstärke Ic .
24
4 Experimentelle Ergebnisse und Diskussion
bestimmt werden und der Abstand dieser durch vier geteilt. Es ergibt sich ein Wert von
(4.3)
Ic = (59,2 ± 7,4) µA
Die hohe Unsicherheit ergibt sich hier aus der hohen Unsicherheit der Fitparameter.
4.2.2 Normalwiderstand RN
Ebenso lässt sich aus dem U − I−Diagramm der Normalwiderstand RN des SQUID bestimmen. Dazu betrachtet man die Asymptote im U − I−Diagramm für I Ic . Gemäß
Gleichung (2.10) sollte dies eine Gerade mit Steigung RN ergeben, was auch in Abbildung
(2.8b) zu sehen ist. Da der Detektor hier relativ schnell in die Sättigung geriet, wurde, wie
bereits in Abschnitt 3 erwähnt, jeweils die Asymptotik für positive und negative Stromstärken separat aufgenommen und der dazu benötigte Offset wieder herausgerechnet. Das
so erhaltene U − I−Diagramm zeigt Abbildung (4.4).
Zur Bestimmung des Normalwiderstands wurde nun an beiden Seiten an die äußersten
Messwerte eine Gerade gefittet, der Normalwiderstand ist die Steigung der Fitgerade, wobei
hier beachtet werden muss, dass das aufgenommene U − I−Diagramm die Charakteristik
des gesamten SQUID aufzeichnet. Um den Normalwiderstand eines einzelnen JosephsonKontakts zu erhalten muss der Wert aus dem Fit also verdoppelt werden. Beide Geraden
liefern nahezu identische Ergebnisse und der Mittelwert der beiden Steigungen liefert einen
Normalwiderstand von
(4.4)
RN = (4,40 ± 0,08) Ω
−3
x 10
Messwerte
lineare Fits
Spannung U/V
1
0.5
0
−0.5
−1
−5
0
Strom I/A
5
−4
x 10
Abbildung 4.4: Die Abbildung zeigt das aufgenommene U −I−Diagramm zur Bestimmung
des Normalwiderstands RN . Das Diagramm setzt sich dabei eigentlich aus
zwei aufgenommenen Messungen für beide Asymptotiken separat zusammen.
25
4.2 Charakteristische Größen im U − I−Diagramm
Auffallend in Abbildung (4.4) ist, dass die beiden Fitgeraden nicht übereinstimmen, wie
gemäß der Diskussion um Abbildung (2.8b) zu erwarten wäre. Eine mögliche Erklärung
hierfür wäre, dass der Messbereich noch immer zu klein ist, d.h. die U − I−Kurve sich
noch nicht ausreichend der Asymptote angenähert hat. Dies ist jedoch einerseits von daher
sehr unwahrscheinlich, als dass die äußersten Messwerte in Abbildung (4.4) so aussehen,
als ob die Asymptotik bereits erreicht wäre, andererseits lässt sich dies auch rechnerisch
überprüfen. Die Stromstärke durch das SQUID beträgt in den äußersten Messwerten in
etwa I ≈ 9 · Ic (vgl. Gleichung (4.3)). Setzt man diesen Wert in Gleichung (2.10) ein, so
zeigt sich, dass für solche Stromstärken die Abweichung der Steigung der U − I−Kurve
von dessen Asymptote weniger als 1% betragen müsste.
Dies wird außerdem durch Abbildung (4.5) bestätigt, in der die linke Seite der symmetrischen U − I−Charakteristik dargestellt ist. Dort sind sowohl Messwerte, als auch die Theoriekurve gemäß Gleichung (2.10) unter idealen Versuchsbedingungen, insbesondere unter
Annahme eines idealen Kristalls, dargestellt. Die Asymptote wurde dabei als Ursprungsgerade mit der Steigung aus Gleichung (4.4) angesetzt, wobei die Hälfte des Wertes aus
Gleichung (4.4) als Steigung genommen werden muss, da dort ja der Normalwiderstand
eines einzelnen Josephson-Kontakts berechnet wurde. Auch hier wird deutlich, dass der
Messbereich eigentlich ausreichen müsste, um die Asymptotik weitestgehend aufzulösen.
Die Erklärung für die Verschiebung der beiden Fitgeraden ist vermutlich der Knick der
U − I−Kurve (siehe Abbildung (4.3)), der, wie bereits erwähnt, nicht ganz der theoretisch
zu erwartenden Form wie in Abbildung (2.8b)
entspricht. Dennoch ist die horizontale Ver−5
schiebung der Geraden mit ∆I ≈ 6 · 10
A relativ gering, weshalb wir im Folgenden
mit dem in Gleichung (4.4) angegebenen Wert für den Normalwiderstand weiter rechnen.
−4
x 10
Messwerte
Asymptote
Theoriekurve
16
Spannung U/V
14
12
10
8
6
4
2
0
0
2
4
Strom I/A
6
8
−4
x 10
Abbildung 4.5: Die Abbildung zeigt die Messwerte zusammen mit der Theoriekurve und
theoretisch erwarteter Asymptote.
26
4 Experimentelle Ergebnisse und Diskussion
4.2.3 Charakteristische Spannung
Aus den in den beiden vorangegangenen Abschnitten charakteristischen Größen lässt sich
noch eine charakteristische Spannung gemäß
(4.5)
Uc = Ic RN
berechnen. Setzt man die Werte aus Gleichungen (4.3) und (4.4) ein, erhält man einen
Wert von
(4.6)
Uc = (260 ± 33) µV
Die Unsicherheit ergibt sich wieder aus der Fehlerfortpflanzung. Dieser Wert kann später
zur Berechnung des Modulationsparameters verwendet werden.
4.3 U − Φ−Diagramm und Bestimmung des Modulationsparameters βL
Nun soll ein aufgenommenes U − Φ−Diagramm genauer analysiert werden und anhand
dessen schließlich der Modulationsparameter βL bestimmt werden. Wie in Abschnitt 2.5.1,
Abbildung (2.10) diskutiert, erwarten wir einen periodischen Zusammenhang zwischen am
SQUID abfallender Spannung und magnetischem Fluss Φ. Das gemessene U −Φ−Diagramm
ist in Abbildung (4.6) dargestellt. Der magnetische Fluss ist in beliebigen Einheiten dargestellt, da die Kontrolleinheit des SQUID diesen bereits automatisch mit der Periode eines
−5
x 10
Messwerte
Sinus−Fit
5
Spannung U/V
4.5
4
3.5
3
2.5
−3
−2
−1
0
1
2
3
Magn. Fluss Φ/a.u.
Abbildung 4.6: Die Abbildung zeigt die gemessene periodische Abhängigkeit von abfallender Spannung U am SQUID und das SQUID durchsetzenden magnetischen
Fluss Φ, wenn die Stromstärke durch das SQUID leicht oberhalb der kritischen Stromstärke liegt.
27
4.3 U − Φ−Diagramm und Bestimmung des Modulationsparameters βL
Flussquants moduliert und deshalb die Untersuchung der Periode auf ein Flussquant obligatorisch erscheint. Die Messwerte wurden an eine Sinus-Kurve gefittet um die maximale
Peak-to-Peak-Spannung ∆U zu bestimmen, welche sich als zweifachen Wert der Amplitude
errechnet. Um als Fitkurve möglichst die Einhüllende der Messwerte zu erhalten, was nötig
ist um die tatsächliche Peak-to-Peak-Spannung zu erhalten, wurden Messwerte im Bereich
der Extrema beim Fit stärker gewichtet. Die maximale Modulationstiefe beträgt
∆U = (18,1 ± 0,1) µV
(4.7)
Laut Herstellerangaben liegt die maximale Modulationstiefe bei diesem SQUID im Bereich
von 10 bis 30 µV [20], was durch den experimentell bestimmten Wert in Gleichung (4.7)
sehr gut bestätigt wird. Dies zeigt, dass die notwendige Stromstärke leicht oberhalb der kritischen Stromstärke, was zur Maximierung der Modulationstiefe nötig ist und in Abschnitt
3 bereits erwähnt wurde, sehr gut getroffen wurde. Ebenso repräsentiert die gemessene
Kurve in Abbildung (4.6) sehr gut die theoretische Kurve (Abbildung (2.10)), dergestalt,
dass die minimale Spannung leicht oberhalb von null liegt.
Modulationsparameter
Aus den bisherigen Messergebnissen lässt sich schließlich der Modulationsparameter bestimmen. Dafür eignen sich mehrere Methoden, die erste davon ist die direkte Bestimmung
über die Eigeninduktivität des supraleitenden Rings des SQUID, welche laut Herstellerangaben L = 73 pH beträgt [20]. Gemäß Gleichung (2.19) und dem Literaturwert des
magnetischen Flussquants ergibt sich:
βL = 4,2 ± 0,5
(4.8)
Die andere Möglichkeit zur Bestimmung des Modulationsparameters wurde ebenfalls in
Abschnitt 2.5.2 kurz erläutert und basiert auf der Bestimmung der maximalen Modulationstiefe ∆U und der charakteristischen Spannung. Nach Gleichung (2.20) und den Messwerten aus den vorangegangenen Abschnitten ergibt sich:
βL0 = 17,2 ± 2,3
(4.9)
Abgesehen von der Tatsache, dass die beiden Werte sehr stark voneinander abweichen,
bleibt zu überprüfen, ob thermische Effekte vernachlässigbar sind. Bis zur Entdeckung von
Hochtemperatur-Supraleitern lieferten Gleichungen (2.19) und (2.20) zufriedenstellende
Ergebnisse des Modulationsparameters, bei hohen Temperaturen bricht dies jedoch zusammen. Insbesondere wenn die thermische Energie kB T nicht mehr klein gegenüber der
Φ2
Energie eines Flussquants L0 ist, müssen die thermischen Effekte berücksichtigt werden
[20]. Im Experiment gilt für die beiden Energien mit T = 77 K und L = 73 pH
kB T
Φ20
L
≈ 6,6 meV
≈ 365,7 meV
d.h. der Unterschied beträgt in etwa eineinhalb Größenordnungen. Da jedoch das Verhältnis
der beiden Energien mit dem Faktor 3,57 und unter einer Wurzel in die thermische Korrektur eingeht (Gleichung (2.21)), erhält man dennoch einen deutlich veränderten Wert,
28
4 Experimentelle Ergebnisse und Diskussion
wenn die thermischen Effekte berücksichtigt werden. Es ergibt sich hier ein Wert von
βL00 = 8,4 ± 1,2
(4.10)
Dieses Ergebnis weicht erneut sehr stark von den beiden bisherigen Resultaten hab, trifft
den genauen Wert jedoch vermutlich deutlich besser als der Wert aus Gleichung (4.9).
Ebenso ist der Vertrauensbereich des Wertes aus Gleichung (4.8) sehr fragwürdig, da die
Eigeninduktivität des Herstellers ohne Fehlerangabe ist. Praktisch scheint es jedoch unmöglich sehr viele SQUIDs mit identischer Eigeninduktivität herzustellen. Weiter ist hier
zu berücksichtigen, dass Gleichung (2.19) nur für zwei identische Josephson-Kontakte
korrekt ist, was in der Realität jedoch höchstwahrscheinlich nicht der Fall ist.
Aus diesem Grund kann der Wertebereich für βL mit βL ∈ [2, 10] abgeschätzt werden.
Eine genauere Angabe des Wertes lassen die Messergebnisse hier nicht zu. Grundsätzlich
liefert die Bestimmung des Modulationsparameters hier leider kein zufriedenstellendes und
konsistentes Ergebnis.
4.4 Bestimmung von h/e
Im letzten Versuchsteil soll noch das Verhältnis h/e bestimmt werden. Dazu wird, wie
in Abschnitt 3 geschildert, wieder ein U − I−Diagramm aufgenommen und die ShapiroStufen beobachtet. Abbildung (4.7) zeigt ein typisches aufgenommenes Bild anhand dessen
nun das Verhältnis bestimmt wird. Dazu werden zunächst manuell die Höhen der Plateaus
abgelesen. Das Plateau in der Mitte ist hier nur sehr schwach ausgeprägt und wird deswegen
nicht berücksichtigt. Die anderen Plateaus sind, wie in Abschnitt 2.5.1, Abbildung (2.11)
−4
x 10
4
Messwerte
Shapiro−Stufen
Spannung U/V
3
2
hν
2e
1
0
−1
−2
−3
−4
−2
−1
0
Strom I/A
1
2
−4
x 10
Abbildung 4.7: Die Abbildung zeigt das gemessene U − I−Diagramm unter Einfluss von
Mikrowellenstrahlung. Es sind deutlich die Shapiro-Stufen zu erkennen.
29
4.5 Fazit und Ausblick
diskutiert, alle äquidistant und es gilt für den vertikalen Abstand zweier Plateaus ∆U =
hω
hν
4πe = 2e . Für jede Shapiro-Stufe wird das Verhältnis h/e bestimmt und anschließend der
Mittelwert, behaftet mit der Standardabweichung, gebildet. Es ergibt sich ein Wert von
h
Js
= (4,18 ± 0,15) · 10−15
e
C
(4.11)
Die Messung dieses Verhältnisses wurde erstmals von W.H.Parker et al. durchgeführt
und lieferte ein Ergebnis von he = (4,135725 ± 0,000026) · 10−15 Js
C [22]. Dieses Ergebnis
stimmt sehr gut mit dem in diesem Experiment erhaltenen Ergebnis überein.
4.5 Fazit und Ausblick
Es wurden im experimentellen Teil die Eigenschaften des SQUID überprüft. Qualitativ
konnten dabei fast alle Phänomene korrekt beobachtet werden. Quantitative Diskrepanzen
ergeben sich hingegen bei der Bestimmung der Sprungtemperatur und in der Tatsache, dass
bei der Bestimmung des Normalwiderstands ein leichter Offset zu beiden Seiten hin vorliegen zu scheint. Dies wurde bereits ausführlich in den Abschnitten 4.1 und 4.2 diskutiert.
Ebenso konnte der Modulationsparameter nicht mit ausreichender Genauigkeit bestimmt
werden, was ebenfalls bereits erläutert wurde.
Nichtsdestotrotz können wir abschließend sagen, dass SQUIDs sich hervorragend zur Detektion kleinster magnetischer Flüsse eignen, so konnte beispielsweise die Modulationstiefe
sehr gut maximiert werden und die Funktion des SQUID, wenn es leicht oberhalb des kritischen Stroms betrieben wird, was die Grundlage zur Detektion magnetischer Flüsse ist, damit hervorragend demonstriert werden. Ebenso konnte nachgewiesen werden, dass SQUIDs
sich sehr gut zur Bestimmung des Verhältnisses von Elementarladung e und Planckschem
Wirkungsquantum h eignen. Der Fehler aus der erstmaligen Messung dieses Verhältnisses
[22] ist deutlich geringer als in unserem Experiment, d.h. hier - und in weiteren Versuchsteilen ebenfalls - wäre es durchaus sinnvoll die Messungen zu wiederholen und ggf. äußere
Einflüsse zu minimieren um eine höhere Präzision zu erreichen.
Literatur
30
Literatur
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KNAW.
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31
Abbildungsverzeichnis
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[22] Parker, W.H., B.N. Taylor und D.N. Langenberg: Measurement of 2e/h Using
the AC Josephson Effekt and its Implications for Quantum Electrodynamics. Phys.
Rev. Lett., 18(8):287–291, February 1967.
Abbildungsverzeichnis
1.1
Original-Messkurve von H.K.Onnes zur Entdeckung der Supraleitung an
Quecksilber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.1 Element-Supraleiter im Periodensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Diamagnetisches Verhalten von perfekten Leitern und Supraleitern . . . . . 3
2.3 Qualitativer Zusammenhang zwischen kritischem Feld und Temperatur . . . 4
2.4 Magnetisierung eines Supraleiters erster und zweiter Art in Abhängigkeit
des externen Magnetfelds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Temperaturabhängigkeit der Londonschen Eindringtiefe . . . . . . . . . . . 8
2.6 Verdeutlichung des Mechanismus zur Bildung von Cooper-Paaren . . . . . 9
2.7 Messergebnisse der magnetischen Flussquantisierung von Deaver und Fairbank an einem Hohlzylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.8 Zusammenhang von Stromstärke I durch die Supraleiter und Spannungsabfall U im Josephson-Kontakt beim DC-Josephson-Effekt . . . . . . . . . 12
2.9 Grundprinzip eines SQUID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.10 Strom-Spannungs-Kennlinien eines DC-SQUID für Φ = nΦ0 und Φ = n + 12 Φ0
sowie die periodische Abhängigkeit der Spannung am SQUID . . . . . . . . 16
2.11 Ausbildung von Shapiro-Stufen im Strom-Spannungs-Diagramm eines SQUID
im oszillierenden E-Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1 Position von SQUID und Diode auf der Halterung, die in das Dewar mit
flüssigem Stickstoff abgesenkt wird . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1 Linearer Zusammenhang zwischen Diodenspannung U und Temperatur T . 21
4.2 Gemessene Abhängigkeit zwischen elektrischem Widerstand R und Temperatur T des SQUID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 Aufgenommenes U − I−Diagramm zur Bestimmung der kritischen Stromstärke Ic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Abbildungsverzeichnis
4.4
4.5
4.6
4.7
Aufgenommenes U − I−Diagramm zur Bestimmung des Normalwiderstands
RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messwerte im U −I−Diagramm mit Theoriekurve und theoretisch erwarteter
Asymptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gemessenes U − Φ−Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gemessenes U − I−Diagramm unter Einfluss von Mikrowellenstrahlung:
Ausbildung der Shapiro-Stufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
24
25
26
28