Probeklausur zur Statistik II für WiWi

Dr. Christina Surulescu
20.07.2009
http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/
WiS − Surulescu − SS09/stat2.shtml
Probeklausur zur Statistik II für WiWi
Aufgabe 1:
(i) Sei X eine Zufallsvariable, welche nur die Werte −1 , 0 , 1 , 2 mit den jeweiligen
Wahrscheinlichkeiten 0.1 , 0.3 , 0.1 und 0.5 annehmen kann. Berechnen Sie
P (|X − E(X)| ≤ Var(X)).
(ii) Bestimmen Sie die positive Konstante a , so daß folgende Funktion
{
a ln x, x ∈ [1, e]
f (x) =
0,
sonst
die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariable Y ist und berechnen Sie E(Y )
und Var(Y ) .
(6 Punkte)
Aufgabe 2:
Sei X ∼ N (µ, σ) eine normalverteilte Zufallsvariable, welche mit Wahrscheinlichkeit
0.6915 einen Wert annimmt, der mindestens 5 ist, und mit Wahrscheinlichkeit 0.1587
einen Wert annimmt, der kleiner als 2 ist. Berechnen Sie den Erwartungswert µ und
die Standardabweichung σ der Zufallsvariable X .
(5 Punkte)
Aufgabe 3:
Ein Binomialereignis hat n = 60 Versuche. Die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Versuch ist p = 0.4 . Sei X die Anzahl der Erfolge für das Ereignis während der 60 Versuche. Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X .
(2 Punkte)
Aufgabe 4:
Sei X ∼ N (13, 0.45) eine normalverteilte Zufallsvariable. Charakterisieren Sie die Verteilung der Zufallsvariable 2 − 4X .
(3 Punkte)
Aufgabe 5:
Seien X, Y zwei Zufallsvariablen, über deren gemeinsame Verteilung folgendes bekannt
ist:
↓ X|Y → -1
0
2
-2
∗
0.05 0.15 0.3
0
∗
∗
0.1
∗ .
2
0.25
∗
∗
∗
0.4
∗
0.3
-Bitte wenden!-
Außerdem sei der Erwartungswert E(X − Y ) = 0 bekannt.
(i) Ergänzen Sie die Tabelle mit den fehlenden Wahrscheinlichkeiten der gemeinsamen
Verteilung und den entsprechenden Randverteilungen.
(ii) Überprüfen Sie, ob die beiden Zufallsvariablen korreliert sind. Falls ja, welche Art
von Korrelation ist das (positiv/negativ)? Wie kann man das interpretieren?
(iii) Sind X und Y unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort.
Hinweis. Bei (ii) ist die genaue Berechnung des Korrelationskoeffizienten nicht nötig, die
Kovarianz reicht.
(9 Punkte)
Aufgabe 6: [Schnellfragen: Richtig oder falsch?]
Welche der folgenden Behauptungen sind richtig und welche sind falsch?
(Begründung nicht erforderlich)
1. Folgende Tabelle stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariable dar:
X
1
2
3
4
P(X) 0.2 0.3 0.4 0.5
2. Bei einer Poisson-verteilten Zufallsvariable ist der Erwartungswert gleich mit der
Varianz.
3. Die Summe zweier binomialverteilten Zufallsvariablen ist ebenfalls binomialverteilt.
4. Die Varianz einer Zufallsvariable ist eine lineare Funktion.
5. Der Logarithmus einer log-normal verteilten Zufallsvariable ist normalverteilt.
6. Die Summe von n unabhängigen, standardnormalverteilten Zufallsvariablen, welche dieselbe Verteilung haben, ist χ2 (n) -verteilt.
(6 Punkte)
Aufgabe 7:
Die Lebensdauer X einer bestimmten Elefantenspezies ist eine normalverteilte Zufallsvariable X ∼ N (µ, σ) . Bestimmen Sie ein 99% -Konfidenzintervall für µ . Dazu stehen
Ihnen folgende Ergebnisse der Auswertung einer Langzeitstudie mit n = 25 Elefanten
zur Verfügung:
25
∑
x̄ = 42,
(xi − x̄)2 = 16 · 24.
i=1
(6 Punkte)
-Bitte wenden!-
Aufgabe 8:
Eine Meßgröße sei N (µ, σ0 ) -verteilt, mit σ0 = 16 . Testen Sie die Hypothese
H0 :
µ ≤ 70
H1 :
µ ≥ 75,
gegen die Hypothese
wobei die irrtümliche Ablehnung von H0 nur mit einer Wahrscheinlichkeit von α = 0.05
und eine irrtümliche Ablehnung von H1 nur mit einer Wahrscheinlichkeit von β = 0.1
erfolgen soll.
Zu welchem Testergebnis kommen Sie, wenn die Auswertung einer Stichprobe vom Umfang
64 einen Durchschnittswert x̄ = 72 ergibt?
(6 Punkte)
Aufgabe 9:
Die durchschnittliche Anzahl von Öltankern, die an einem Tag in einen Hafen ankommen
ist 10 . In demselben Hafen können pro Tag 15 Öltanker abgefertigt werden. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, daß an einem Tag Öltanker abgewiesen werden?
15
∑
10k
Hinweis. e−10 = 4.54 · 10−5 ,
= 20941.88697 , 20952.88697 · 4.54 = 95126.10684 .
k!
k=2
(7 Punkte)
Hinweis. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten.
Alle Aufgaben mit Ausnahme von Aufgabe 6 sind mit dem vollständigen Lösungsweg zu
behandeln. Bei Aufgabe 6 werden nur die Antworten bewertet. Zum Bestehen der Klausur
werden 25 Punkte benötigt.