Diplomvorprüfung Technische Mechanik III und IV im Studiengang

Name, Vorname
Matrikelnr.
1
2
3
Mit dem Aushang des Prüfungsergebnisses unter meiner Matrikelnr.
bin ich 2 einverstanden 2 nicht einverstanden.
4
5
Σ
Note
Unterschrift
Diplomvorprüfung
Technische Mechanik III und IV
im Studiengang Maschinenbau
Lehrstuhl für Technische Mechanik
Prof. Dr.–Ing. habil. G. Kuhn
11.10.2007
8:30 — 10:30 Uhr
Mensa Süd
Als Hilfsmittel sind zugelassen:
Skripten TM III und TM IV,
handgeschriebene Formelsammlung (≤ 6 Seiten DIN A4), Taschenrechner
Keine rote Farbe verwenden!
1. Aufgabe
(ca. 20 min)
Eine in ihrem Mittelpunkt A drehbar gelagerte Kreisscheibe rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit Ω. Auf der Scheibe ist im Punkt B (Abstand R vom Mittelpunkt A) ein
Stab der Länge r drehbar befestigt, der sich mit der gegenüber der Scheibe relativen
Winkelgeschwindigkeit ω dreht. Am Ende des Stabes befindet sich der Punkt P.
Das körperfeste (x, y, z)-Koordinatensystem ist im Mittelpunkt A der Kreisscheibe fest
mit dieser verbunden.
P
ωt
r
y
x
A
B
R
Ω
Gegeben: R, r, Ω, ω
→
Bestimmen Sie den Vektor der Absolutgeschwindigkeit −
v P (t) sowie den Vektor der
−
→
Absolutbeschleunigung a P (t) im (x, y, z)-Koordinatensystem.
2. Aufgabe
(ca. 15 min)
Eine Punktmasse (Masse m0 ) trifft mit der Geschwindigkeit v0 auf einen zunächst
stehenden Wagen der Masse m1 . Nach dem vollplastischen Stoß rollt der Wagen
reibungsfrei, wird aber durch eine masselose Feder (Federsteifigkeit c) abgebremst,
über die er mit einem auf dem Boden liegenden Klotz der Masse m2 verbunden ist.
Zwischen Klotz und Boden liegt der Haftreibungskoeffizient µH vor. Der Federweg soll
lang genug sein, dass zu keinem Zeitpunkt Kontakt zwischen Wagen und Klotz auftritt.
m0, v0
m1
c
m2
µH
g
Gegeben: m0 , m1 , m2 , v0 , c, µH , g
Bestimmen Sie
2.1 die Geschwindigkeit V1 des Wagens unmittelbar nach dem Stoß;
2.2 den maximalen Federweg xmax und die maximale Federkraft Fmax für den Fall,
dass der Klotz m2 nicht gleitet;
2.3 die maximal erlaubte Geschwindigkeit v0max der Punktmasse vor dem Stoß, so
dass der Klotz nicht zu gleiten beginnt.
3. Aufgabe
(ca. 15 min)
Gegeben ist das dargestellte schwingungsfähige System. Es besteht aus einem dünnen Kreisring (Radius R, Masse m), welcher über einen masselosen Steg AB im
Punkt A drehbar gelagert ist, einer masselosen Feder (Federsteifigkeit c) und einem
geschwindigkeitsproportionalen Dämpfer (Dämpfungskonstante k). Der Abstand zwischen Kreisringmittelpunkt und Lagerpunkt A beträgt e. Feder und Dämpfer sind
ober- und unterhalb des Kreisringmittelpunktes mit dem Kreisring verbunden. Das
System führt um die skizzierte statische Ruhelage Schwingungen kleiner Amplitude
aus.
c
Gegeben: R, e, m, c, k, g
m
Bestimmen Sie
e
masselos
ϕ
A
R
g
k
B
3.1 mit Hilfe des d’Alembertschen
Prinzips
die
SchwingungsDifferentialgleichung (Koordinate ϕ);
3.2 die Eigenkreisfrequenz ω des ungedämpften Systems, das Lehr’sche
Dämpfungsmaß D sowie die Eigenkreisfrequenz ωD des gedämpften Systems.
4. Aufgabe
(ca. 40 min)
Betrachtet wird die im Punkt A drehbar aufgehängte Glocke bestehend aus einem
Glockenkörper und einem Klöppel. Der Glockenkörper hat die Masse M und das Massenträgheitsmoment JS um seinen Schwerpunkt S, welcher im Abstand a unterhalb des
Aufhängepunkts A liegt. Im Abstand b unterhalb des Aufhängepunkts A ist im Punkt
B drehbar mit dem Glockenkörper der Klöppel verbunden. Dieser besteht aus einem
als masselos anzunehmenden Stab der Länge c und einer an dessen Ende im Punkt
C befindlichen Punktmasse m. Im Aufhängepunkt A ist das raumfeste kartesische
Koordinatensystem (x, y, z) verankert.
y
b
c
x
A
α B
masselos
β
a
S
C
Klöppel
(m)
g
Glocke
( M, JS )
Gegeben: m, M , JS , g, a, b, c
Bestimmen Sie
4.1 die Anzahl der Freiheitsgrade des Systems sowie den Vektor der generalisierten
Koordinaten;
4.2 die Ortsvektoren ~rS und ~rC im (x, y, z)-Koordinatensystem für den Schwerpunkt
S des Glockenkörpers und die Punktmasse des Klöppels;
4.3 den Betrag |~vC | der Geschwindigkeit der Punktmasse;
4.4 die im System enthaltene kinetische Energie Ekin und potentielle Energie Epot
(Epot (y = 0) = 0);
4.5 mit Hilfe der Lagrange’schen Gleichungen 2. Art eine der zur Beschreibung
des Systems notwendigen Bewegungsgleichungen. (Wirklich nur eine!)
Hinweis: cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
5. Aufgabe
(ca. 30 min)
Der dargestellte vertikale Stab (Länge 2l, Dehnsteifigkeit EA) ist an beiden Enden fest
eingespannt. Er wird durch eine vertikale Kraft, die im Mittelpunkt angreift, belastet.
1l
l
al
2l
x̄
F
l
bl
3l
y
x
Gegeben: l, EA, F
5.1 Bestimmen Sie mit dem Rayleigh-Ritz-Verfahren eine Näherung für den Verschiebungsverlauf ū(x̄) unter Verwendung der Ansatzfunktion ϕ1 (x̄) = (l2 − x̄2 )
bezüglich der gegebenen Koordinate x̄, und geben sie damit die Näherungslösung für die Verschiebung des Kraftangriffspunkts an.
5.2 Bestimmen Sie im Rahmen des Matrix-Verschiebungsgrößenverfahrens unter Verwendung der angegebenen Knoten- und Elementnummerierung die Gesamtsteifigkeitsformulierung für den Stab und damit die exakte Verschiebung des Kraftangriffspunkts.