MECH NIK - Institut für Nichtlineare Mechanik

INSTITUT
FUR
MECH
NIK
26. Februar 2008
Vordiplomprüfung in Technischer Mechanik II
Wintersemester 2007/2008
Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnummer: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Studiengang: . . . . . . . . . . .
Fachsemester: . . . . . . .
E-Mail-Adresse: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wiederholer, bei denen eine mündliche Nachprüfung erforderlich wird, verpflichten sich, den
Vergabetermin für die mündlichen Nachprüfungen wahrzunehmen. Dieser wird in der zweiten
Vorlesungswoche durch Aushang am Institut für Angewandte und Experimentelle Mechanik
bekannt gegeben.
Bitte beachten Sie die folgenden Punkte:
• Die Prüfung besteht aus 13 Aufgaben. Bitte überprüfen Sie die Vollständigkeit Ihrer Prüfung.
Alle 13 Aufgaben sind zu bearbeiten.
• Verwenden Sie in Ihrer Ausarbeitung keine rote Farbe.
• Verwenden Sie für Ihre Skizzen Zirkel und Lineal.
• Schreiben Sie Ihre Ergebnisse nur in die dafür vorgesehenen Lösungsrahmen.
• Entfernen Sie keinesfalls die Klammer, welche die Blätter zusammenhält.
• Als Hilfsmittel zugelassen sind nur höchstens sechs Seiten DIN A4 selbst erstellte Formelsammlung. Werden unerlaubte Hilfsmittel bei Ihnen festgestellt, wird dies als Täuschungsversuch betrachtet, der zum Ausschluss von der weiteren Teilnahme an der Prüfung führt. In
diesem Fall wird die Prüfung als nicht bestanden (Note 5.0) gewertet.
• Geben Sie am Ende der Prüfung nur die ausgefüllten Aufgabenblätter und keine weiteren
Blätter ab.
Viel Erfolg!
Zur Kenntnis genommen:
..............................
(Unterschrift)
P
Aufgabe 1 (5 Punkte)
Ein Quader A (homogen, Masse m) gleitet auf einer
schiefen Ebene (Neigungswinkel α, Gleitreibungskoeffizient µ) und ist über ein Seil mit einem zweiten
Quader B (homogen, Masse m) verbunden. Das Seil
und die reibungsfrei drehbar gelagerte Rolle können
als masselos angenommen werden.
A
x1
µ
g
m
Geben Sie die Schwerpunktsätze für die beiden Quader an. Verwenden Sie die Größen aus den nebenstehenden Freikörperbildern.
α
B
mẍ1 =
m
x2
mẍ2 =
Freikörperbild A
Freikörperbild B
S
Wie groß ist die Normalkraft N ?
mg
R
N=
S
mg
N
Wie groß ist die Beschleunigung ẍ2 des Quaders B?
ẍ2 = (1 +
ẍ2 =
m
)g
µ
µ cos α
g
2
ẍ2 =
ẍ2 =
1+µ cos α
g
2
1−µ cos α
g
2
ẍ2 =
ẍ2 =
1+sin α−µ cos α
g
2
1−sin α−µ cos α
g
2
Aufgabe 2 (3 Punkte)
Ein Hebel (Länge ℓ) dreht sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω um O. Das x′ y ′ z ′ -Koordinatensystem ist fest
mit dem Hebel verbunden. Am freien Ende des Hebels ist eine
rotierende Scheibe zentrisch gelagert.
Geben Sie die Absolutgeschwindigkeit ~vP des Punktes P (Abstand r zum Mittelpunkt der Scheibe) in Abhängigkeit von den
gegebenen Größen und vom eingezeichneten Winkel ϕ und dessen Zeitableitung ϕ̇ im x′ y ′ z ′ -Koordinatensystem an.
~vP =
r
y′
Ω
P
x′
ϕ
O
z′
ℓ
Aufgabe 3 (2 Punkte)
Ein zylindrischer homogener Rotor ist schief auf eine
Welle aufgekeilt. Welche Elemente des Trägheitstensors


Θxx Θxy Θxz
~~ (O) 
Θ
= Θxy Θyy Θyz 
Θxz Θyz Θzz
y
x
O
bezüglich des eingezeichneten xyz-Koordinatensystems mit Ursprung O sind gleich Null?
Aufgabe 4 (4 Punkte)
Eine Punktmasse P (Masse m) bewegt sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω = ϕ̇ auf einer Kreisbahn um O mit Radius ℓ.
An der Punktmasse greifen die Kräfte E und F an.
Der Schwerpunktsatz in Polarkoordinaten für das System lautet
ω
P
2
−mℓω = −F cos ϕ
mℓω̇ = F sin ϕ − E .
Zeichnen Sie in das untenstehende Freikörperbild die Kräfte E
und F ein.
Geben Sie zudem im Freikörperbild die Winkel an, welche die
Kräfte E und F mit der Hilfslinie OP einschließen.
ϕ
O
P
ϕ
O
ℓ
Aufgabe 5 (5 Punkte)
Auf einem gespannten Katapult (Federkonstante c, Katapultarm masselos) liegt ein keilförmiger
Klotz (Masse m, Trägheitsmoment Θ bezüglich Schwerpunkt S). Die Abmessungen der Vorrichtung
können der unten links stehenden Abbildung entnommen werden.
Nachdem das Katapult ausgelöst wurde (rechte
Abbildung), ist die Feder in der skizzierten Lage 2
entspannt, und der Klotz fliegt mit der Schwerpunktsgeschwindigkeit v durch die Luft und dreht
sich dabei mit der Winkelgeschwindigkeit ω.
g
ω
v
30◦
30
◦
h
ℓ
S
ℓ
c
Lage 1
Lage 2
Bestimmen Sie die kinetische Energie T und die potentielle Energie U des Systems in den Lagen 1
bzw. 2.
T1 =
T2 =
U1 =
U2 =
In welcher Höhe h befindet sich der Schwerpunkt des Klotzes zum in Lage 2 betrachteten Zeitpunkt?
h=
Aufgabe 6 (5 Punkte)
c
Ein Pendel, bestehend aus einem Stab (homogen,
Länge 4a, Masse m) und einer Punktmasse (Masse
M ), ist im Punkt D reibungsfrei drehbar gelagert. In
der vertikalen Lage (ϕ = 0) sind die mit dem Pendel
verbundenen Federn (Federsteifigkeit jeweils c) entspannt. Die Kraft F (t) greift an dem Pendel an der
eingezeichneten Stelle in horizontaler Richtung an.
a
Wie groß ist das Rotationsträgheitsmoment Θ(D) des
Pendels bezüglich des Punkts D?
a
Θ(D) =
a
Im Folgenden muss das berechnete Θ(D) nicht eingesetzt werden.
ϕ(t)
F (t)
a
Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Pendels für
kleine Winkel ϕ in der auf die Winkelbeschleunigung
ϕ̈ normierten Form auf. Von Schwerkrafteinflüssen
soll dabei abgesehen werden.
ϕ̈ +
D
m
c
M
=
Berechnen Sie die Eigenkreisfrequenz ω0 der freien Rotationsschwingungen des Pendels.
ω0 =
Aufgabe 7 (3 Punkte)
Ein homogener Quader (Masse m) liegt auf einer horizontalen
Unterlage (Gleitreibungskoeffizient µ) und ist über eine Feder
(Federsteifigkeit c) mit der Wand verbunden. Bei x = 0 ist die
Feder bereits um die Strecke s zusammengepresst. Der Körper
wird aus der Ruhe heraus losgelassen.
Welche Strecke x legt der Quader zurück, bevor seine Geschwindigkeit zum ersten Mal wieder Null wird?
x=
g
x
c
m
µ
Aufgabe 8 (3 Punkte)
Mit der skizzierten Anordnung aus einer Stufenscheibe (Radien 2r und 4r), einer Umlenkrolle (Radius r,
Mittelpunkt P) und hinreichend oft umgeschlungenen
Seilen soll ein quaderförmiger Klotz gezogen werden.
Die Stufenscheibe rollt dabei ohne zu gleiten auf dem
Boden ab.
v0
v1
r
2r
P
4r
Am oberen Seil wird mit der Geschwindigkeit v0 gezogen. Mit welcher Geschwindigkeit v1 bewegt sich
dann der Klotz?
v1 =
Der Momentanpol der Umlenkrolle liegt dabei
in ihrem Drehpunkt P,
oberhalb ihres Drehpunktes P,
unterhalb ihres Drehpunktes P.
Aufgabe 9 (3 Punkte)
Eine Kreisscheibe dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um eine Achse senkrecht zur Scheibe und durch den exzentrisch liegenden Punkt A. Auf
der Scheibe bewegt sich ein Massepunkt P auf einer
Kreisbahn (Radius r) um den Scheibenmittelpunkt O
mit der konstanten Relativgeschwindigkeit vrel . Zur
Beschreibung der Bewegung von P wird das skizzierte scheibenfeste x′ y ′ z ′ -Koordinatensystem herangezogen.
Ermitteln Sie für den Massepunkt P die Beträge der
Relativbeschleunigung arel , der Eulerbeschleunigung
aEuler und der Coriolisbeschleunigung aCoriolis .
arel =
aEuler =
aCoriolis =
y′
vrel
r
ω
ϕ
A
O
P
x′
Aufgabe 10 (5 Punkte)
Ein Quader A (homogen, Masse 2m) gleitet auf einer
schiefen Ebene (Neigungswinkel α, Gleitreibungskoeffizient µ) und ist über ein Seil mit einer Stufenscheibe B (homogen, Masse m, Radien r und 2r, Schwerpunkt C, Trägheitmoment Θ(C) bezüglich des Schwerµ
punkts C) wie skizziert verbunden. Das Seil ist ausreichend oft um die kleinere Scheibe gewickelt. Es kann
ebenso wie die reibungsfrei drehbar gelagerte Rolle
als masselos angenommen werden.
A
x1
g
B
m, Θ(C)
α
2m
P Q C
Geben Sie die Schwerpunktsätze für den Quader und
die Stufenscheibe an. Verwenden Sie die Größen aus
den nebenstehenden Freikörperbildern.
2mẍ1 =
x2
ω
Freikörperbild A
Freikörperbild B
S
mẍ2 =
2mg
S
mg
R
Geben sie den Drallsatz für die Stufenscheibe bezüglich deren Schwerpunkt C an. Verwenden Sie die Größen aus nebenstehenden Freikörperbildern.
N
Θ(C) ω̇ =
Wie lautet allgemein der kinematische Zusammenhang zwischen ẋ1 , ẋ2 und ω̇?
ẋ1 = ẋ2
ẋ1 = −ẋ2
ẋ1 = −ẋ2 + ωr
ẋ1 = −ẋ2 − ωr
Wo auf der Geraden PQC befindet sich für den Fall ẋ1 > 0 und ẋ2 > 0 der Momentanpol der
Stufenscheibe?
links von P
zwischen P und Q
in Q
zwischen Q und C
in C
rechts von C
Aufgabe 11 (3 Punkte)
Die Beschleunigung a eines Flugzeuges während des Starts hängt wie folgt von der Geschwindigkeit v
ab:
a(v) = a0 − cv 2 > 0 .
Zum Zeitpunkt t = 0 befindet sich das Flugzeug in Ruhe, es gilt also v(t = 0) = 0 und zudem
s(t = 0) = 0. Geben Sie die Geschwindigkeit des Flugzeugs als Funktion der zurückgelegten Strecke s
an.
v(s) =
Kann das Flugzeug beliebig schnell werden?
ja
nein
Aufgabe 12 (5 Punkte)
Eine homogene Scheibe ist an eine gedämpfte Torsionsfeder gekoppelt und wird in freie Schwingungen versetzt. Die Dynamik
des Systems wird durch die folgende Differentialgleichung beschrieben:
ϕ̈ + aϕ̇ + bϕ = 0
a, b > 0
In welchem Verhältnis müssen die Konstanten a und b stehen,
damit das System eine schwach gedämpfte Schwingung ausführt?
2a > b
a2 < 4b
a < 2b2
ab < 0
a=b
a2 + b 2 = 1
Berechnen Sie die Eigenfrequenz ω des gedämpften Systems.
ϕ(t)
ω=
Das System wird mit der Anfangsauslenkung ϕ(0) = ϕ0 aus der Ruhe losgelassen. Nach der Zeit T hat
das System genau eine Schwingungsperiode vollzogen und erreicht die Hälfte der Anfangsauslenkung.
Bestimmen Sie das Logarithmische Dekrement Λ.
Λ=
Bestimmen Sie die Konstante a ausschließlich in Abhängigkeit von T .
a=
Aufgabe 13 (4 Punkte)
Bei der skizzierten Pendelanordnung trifft eine Gewehrkugel
(Punktmasse m) auf einen ruhenden Klotz (Punktmasse M ).
Dabei bleibt die Kugel im Klotz stecken.
Bestimmen Sie die Geschwindigkeit v2+ des Klotzes direkt nach
dem Aufprall.
m
v1 −
M
v2+ =
Die Anordnung soll nun zur Bestimmung der Aufprallgeschwindigkeit v1− der Gewehrkugel herangezogen werden. Dazu wird die
Höhe h gemessen, die der Klotz bei maximaler Auslenkung erreicht.
Wie groß ist die Aufprallgeschwindigket v1− in Abhängigkeit von
der Höhe h?
v1 − =
g
h