Sommersemester 2015

Prüfung in Technischer Mechanik 2+3
Sommersemester 2015
27. August 2015, 08:00-10:00 Uhr
MUSTERLÖSUNG
MUSTERLÖSUNG
MUSTERLÖSUNG
MUSTERLÖSUNG
MUSTERLÖSUNG
Bitte beachten Sie die folgenden Punkte:
• Die Prüfung besteht aus 9 Aufgaben. Bitte überprüfen Sie die Vollständigkeit Ihrer
Prüfung. Alle 9 Aufgaben sind zu bearbeiten.
• Verwenden Sie in Ihrer Ausarbeitung keine rote Farbe, da mit Rot korrigiert wird.
• Geben Sie alle Lösungen in Abhängigkeit von den in den Aufgaben- bzw. Fragestellungen gegebenen Größen an.
• Trigonometrische Funktionen für gegebene Winkelwerte müssen explizit ausgewertet
werden (z. B. sin(30◦ ) = sin( π6 ) = 12 ).
• Schreiben Sie Ihre Ergebnisse nur in die dafür vorgesehenen Lösungsrahmen.
• Entfernen Sie keinesfalls die Klammer, welche die Blätter zusammenhält.
• Als Hilfsmittel zugelassen sind nur höchstens sechs Seiten DIN A4 selbst erstellte
Formelsammlung. Werden unerlaubte Hilfsmittel bei Ihnen festgestellt, wird dies
als Täuschungsversuch betrachtet, der zum Ausschluss von der weiteren Prüfung
führt. In diesem Fall wird die Prüfung als nicht bestanden (Note 5,0) gewertet.
• Geben Sie am Ende der Prüfung nur die ausgefüllten Aufgabenblätter und keine
weiteren Blätter ab.
• Bitte nehmen Sie das oberste Blatt Hinweise zu Prüfungsergebnissen und Terminen
mit.
Viel Erfolg!
Zur Kenntnis genommen:
Version A
Unterschrift
P
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Ein Quader (homogen, Masse M ) wird wie skizziert durch
einen vertikalen Stab P Q (unbelastete Länge a, Masse vernachlässigbar, Dehnsteifigkeit EA) und eine horizontale
Feder RS (entspannte Länge a, Federkonstante c, Masse vernachlässigbar) gegen eine vertikale Wand gedrückt.
Wände und Boden sind rau (Haftreibkoeffizient µ0 ). In der
Ruhelage des Quaders sind der Stab und die Feder um jeweils 10 % ihrer unbelasteten Länge verkürzt.
Welche Kraft FS übt der Stab auf den Quader aus?
1
FS = ±0.1EA
Welche Kraft FF übt die Feder auf den
Quader aus?
1
FF = ±0.1ac
m
m
m
Wie groß muss der Haftreibkoeffizient µ0 mindestens sein, damit der Quader nicht nach
unten rutschen kann?
µ0 ≥
m
2
10M g − EA
ac
bang-bang
'$
Aufgabe 2 (6 Punkte)
&%
Eine Aufzugkabine (Masse M ) bewegt sich in einem Aufzugschacht senkrecht nach unten. Das als masselos anzusehende
undehnbare Aufzugseil wird dabei von einer motorgetriebenen
Trommel (homogen, Gesamtmasse m, Radius r, Trägheitsradius r bezüglich der Trommelachse) mit dem Antriebsmoment A
abgespult.
Stellen Sie den Schwerpunktsatz für die Aufzugkabine in vertikaler Richtung auf. Verwenden Sie S für die Zugkraft im Seil.
1
M ẍ = M g − S
m
Stellen Sie den Drallsatz für die Trommel bezüglich ihrer Drehachse auf. Verwenden Sie
S für die Zugkraft im Seil.


mr2
1

ω̇
1
= A + Sr
Welche Beschleunigung ẍ erfährt die Aufzugkabine damit?
ẍ =
M g + Ar
M +m
1
m
m
m
Welche Beschränkung ergibt sich für das
Antriebsmoment A, wenn das Aufzugseil zu
jedem Zeitpunkt gespannt sein soll?
A
≤
1
mgr
m
m
1
'$
&%
Aufgabe 3 (5 Punkte)
Zwei Zylinder (jeweils Länge l, Radien 2r bzw. r,
Elastizitätsmodul E) sind zum skizzierten Gesamtkörper zusammengesetzt. Der Körper wird an den
Stirnflächen jeweils mit der Kraft F in Richtung der
Längsachse zusammengedrückt.
Um welche Strecke ∆L verkürzt sich der Körper unter dieser Belastung?
∆L = ±
2
5 Fl
4 πr2 E
bang-bang
Zwischen beide Zylinder wird nun ein Kegelstumpf (Länge l, Radien 2r bzw. r, Elastizitätsmodul E) gesetzt.
m
Bestimmen Sie die Querschnittsfläche A(x)
im Bereich des Kegelstumpfs, das heißt für
0 ≤ x ≤ l.
x
A(x) = π 2r − r
l
2
m
1
Hinweis:
Z
1
1
dx = −
2
(x + a)
x+a
m
m
Wie groß ist bei gleicher Belastung F die Verkürzung ∆l des Kegelstumpfs?
∆l =
− πr2 2 FEl
1 Fl
∆l = − 2πr
2 E
∆l =
2
F
∆l = − lnπr(2)
2 E
− πr3 2 FEl
∆l =
m
1 Fl
− 3πr
2 E
F 2l
∆l = − πr1 2 E
e
∆l = − 2r12 FEl
∆l = − πr1 2 FEl
1 F
∆l = − 2πr
E
'$
Aufgabe 4 (5 Punkte)
&%
Ein Bumerang (homogen, Gesamtmasse 2m)
wird vereinfacht als eine Struktur bestehend
aus zwei gleichen rechteckigen Platten I und
II konstanter Dicke modelliert.
m
Berechnen Sie die Massenträgheitsmomente
(S)
(S)
I Θzz und II Θzz der Platten um die z-Achse
bezüglich ihrer Schwerpunkte S.
(S)
I Θzz
m
m
1
5 2
= II Θ(S)
zz = ma
6
m
Berechnen Sie die Massenträgheitsmomente I Θ(O)
zz und
Achse bezüglich des Punktes O.
(O)
I Θzz
=
37 2
ma
12
2
bang-bang
(O)
II Θzz
=
(O)
II Θzz
der Teilkörper um die z-
169 2
ma
12
2
m
'$
bang-bang
&%
Aufgabe 5 (6 Punkte)
Ein Quader (Masse m) bewegt sich wie skizziert an einem
masselosen, undehnbaren, dauerhaft straffen vertikalen Seil,
das mehrfach um eine Scheibe (homogen, Masse m, Radius
r) geschlungen ist. Die Scheibe ist reibungsfrei drehbar in ihrer Mittenachse gelagert. Zum Bremsen der Abwärtsbewegung
des Quaders wird ein Bremsklotz mit einer konstanten Kraft F
gegen die Scheibe gepresst. Zwischen Bremsklotz und Scheibe
tritt Gleitreibung auf (Gleitreibungskoeffizient µ).
Zum Zeitpunkt t = 0 sind x(0) = 0 und ẋ(0) = 2v0 , und die
potentielle Energie des Quaders ist für das angegebene Nullniveau NN gerade U (0) = 0. Die konstante Bremskraft F ist so,
dass der Quader nach genau zwei Umdrehungen der Scheibe
zum Zeitpunkt t∗ zum Stillstand kommt. Somit gilt ẋ(t∗ ) = 0.
Ermitteln Sie die gesamte Energie E(t) im System zu den Zeitpunkten t = 0 und t = t∗ .
E(0) =
3mv02
1
∗
E(t ) = −4πrmg
1
m
m
m
Wie groß ist die Arbeit W (x), welche durch
die Reibung verrichtet wurde, während sich
der Quader nach dem Zeitpunkt t = 0 um
x nach unten bewegt hat? Bitte achten Sie
auf das Vorzeichen.
W (x) = −µF x
2
VZ:−1
Bestimmen Sie die benötigte konstante
Kraft F , welche die Abwärtsbewegung des
Quaders nach genau zwei Umdrehungen
der Scheibe zum Stillstand bringt.
m
m
m
F =
3 mv02 mg
+
4 πrµ
µ
2
bang-bang
'$
&%
Aufgabe 6 (5 Punkte)
In einem Planetengetriebe rollen wie skizziert
ein Sonnenrad (Radius r), Planetenräder (jeweils Radius r) auf einem Planetenträger und
ein umschließendes Hohlrad (Radius 3r) jeweils
aufeinander ab ohne zu gleiten.
In einem Parallelhybrid-Pkw wird das Sonnenrad von einem Verbrennungsmotor über die
zur Radebene senkrechte Mittenachse mit der
Drehgeschwindigkeit ω1 angetrieben. Der parallel dazu arbeitende Elektroantrieb treibt den
Planetenträger über eine konzentrische Achse
mit der Drehgeschwindigkeit ω2 an.
Welche translatorischen Geschwindigkeiten
v1 weisen alle Peripheriepunkte des Sonnenrades auf?
v1 = rω1
1
Welche translatorischen Geschwindigkeiten
vM weisen alle Mittelpunkte der Planetenräder auf?
vM = 2rω2
1
Welche translatorischen Geschwindigkeiten vH weisen alle Peripheriepunkte des Hohlrades
auf (in Abhängigkeit von ω1 und ω2 )?
vH = rω1 + 4rω2
2
bang-bang
Welche Drehgeschwindigkeit Ω kann dann am Hohlrad von einer dritten konzentrischen
Achse für den Pkw-Antrieb von diesem als sogenanntes Summiergetriebe arbeitenden
Planetengetriebe abgenommen werden (in Abhängigkeit von ω1 und ω2 )?
Ω=
ω1 + 4ω2
3
m
m
m
m
m
1
'$
&%
Aufgabe 7 (8 Punkte)
Ein Träger (Länge a) ist durch sein Eigengewicht (örtlich konstante Streckenlast q0 ) und eine weitere dreiecksverteilte Streckenlast wie skizziert belastet.
Er wird an seinem linken Ende durch
ein vertikales Seil (masselos, Länge 2l,
Dehnsteifigkeit EA) gehalten und ist an
seinem rechten Ende gelenkig gelagert.
Im gänzlich (!) unbelasteten Zustand
liegt er so gerade horizontal.
Ermitteln Sie mit Hilfe des nebenstehenden Freikörperbildes die Seilkraft S
und die Lagerkraft B, die für statisches
Gleichgewicht notwendig sind.
1
3
S = aq0
4
1
3
B = aq0
4
Die errechneten Werte sollen im Folgenden nicht eingesetzt werden.
Geben Sie mit Föppl-Symbolen den Verlauf der Flächenlast qz (x) für 0 ≤ x < a an.
8q0
a
qz (x) = q0 hxi +
x−
a
4
0
1
16q0
a
−
x−
a
2
1
8q0
3a
+
x−
a
4
2
1
je falschem Term: −1
VZ: −1
m
m
Berechnen Sie den Verlauf der Querkraft Qz (x) für 0 ≤ x < a mit Föppl-Symbolen.
m
4q0
a
Qz (x) = S hxi − q0 hxi −
x−
| {z }
a
4
|
0
1
2
1
2Sl
EA
2
m
4q0
3a 2
−
x−
a
4 }
m
1
Welche Durchbiegung w(0) stellt sich bei
dem belasteten Träger links ein?
w(0) =
8q0
a
+
x−
2
{za
1
m
Geben Sie die Randbedingung(en) für die
Biegelinie des belasteten Trägers an seinem
rechten Ende an.
w(a) = 0
m
m
1
'$
&%
Aufgabe 8 (5 Punkte)
Eine Stufenscheibe (homogen, Gesamtmasse
M , Trägheitsradius k, Radien r1 und r2 ) rollt
im Punkt B ohne zu gleiten auf einem horizontalen raumfesten Träger ab. Um die äußere
Scheibe ist hinreichend oft ein masseloses, undehnbares Seil gewickelt. Das Seil ist über eine
masselose, reibungsfrei drehbar gelagerte Umlenkrolle geführt. Am freien Seilende hängt ein
Klotz (homogen, Masse m). Die Drehung der
Stufenscheibe soll durch die Winkelgeschwindigkeit ω und die vertikale Lage des Klotzes
durch die Koordinate x beschrieben werden.
Das System wird aus der Ruhe heraus losgelassen.
Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
A bewegt sich. . .
nach links.
1
nach rechts.
nicht.
Stellen Sie den Schwerpunktsatz für den Klotz in vertikaler Richtung auf. Verwenden Sie
S für die Zugkraft im Seil.
1
mẍ = mg − S
Stellen Sie den Drallsatz für die Stufenscheibe bezüglich ihres Momentanpols auf. Verwenden Sie gegebenenfalls S für die Zugkraft im Seil sowie R und N für die Reibkraft
bzw. Normalkraft zwischen Stufenscheibe und Träger.


M (k 2 + r12 )
1

ω̇
= S (r2 − r1 )
1
m
m
m
m
Wie lautet der kinematische Zusammenhang zwischen ẋ(t) und ω(t)?
ẋ(t) = ω(t) (r2 − r1 )
1
m
'$
&%
Aufgabe 9 (6 Punkte)
Im November 2014 konnte die ESA erfolgreich den Lander
„Philae“ von der Sonde „Rosetta“ absetzen auf dem nur
wenige Kilometer großen Kometen „67P TschurjumowGerassimenko“, kurz „Tschuri“ genannt. Den Abstieg von
„Philae“ (Masse m) können wir uns vorstellen als einen
geradlinigen freien Fall aus der Ruhe von „Rosetta“ aus
unter der Wirkung der „Tschuri“-Gravitation gT = dγ2 ,
in der γ eine Gravitationskonstante und d der „Philae“Abstand vom Mittelpunkt von „Tschuri“.
Geben Sie die Bewegungsgleichung von „Philae“ an.
1
ms̈ = mgT
Bestimmen Sie die Geschwindigkeit v(s)
von „Philae“.
Mit welcher Geschwindigkeit vL landete
„Philae“ dann auf „Tschuri“?
m
2
2γs
(R + D)(R + D − s) bang-bang
s
v(s) =
s
vL =
1
2γD
R(R + D)
m
Welche Zeit TL benötigte „Philae“ bis zur Landung auf „Tschuri“ für R = 0?
TL = π2 D
q
q
D3
2γ
TL = π
TL = D
Formeln:
q
πD
2γ
Z s
Z
D
2γ
2
D3
2γ
2
m
TL =
π
2
TL =
q
2D
gT
TL = 12 D
TL =
q
2Dd2
γ
TL = π2 D
q
a−x
dx = x(a − x) + a arctan
x
dx
1
=
+C
2
(a − x)
a−x
TL = 2
3
s
m
q
D
2γ
q
D
γ
m
m
!
x
+ C,
a−x
'$
&%