E1 – Mechanik ¨Ubungsblatt 5 - Fakultät für Physik
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Ludwig–Maximilians–Universität München – Fakultät für Physik Abgabe: 19.11.2013 E1 – Mechanik Übungsblatt 5 WS 2013 / 2014 Prof. J. Rädler, Prof. H. Gaub Anmerkung: Lehramtstudierende und Studierende mit Nebenfach (6ECTS) brauchen Aufgaben, die mit einem (*) gekennzeichnet sind, nicht zu bearbeiten. Präsenzaufgabe 1 Abstand zum Mond Der Mond benötigt etwa 27 Tage für einen Umlauf um die Erde. Gegeben seien der Erdradius RE = 6.37 · 106 m und die Erdbeschleunigung g = 9.81m/s2 . Wie weit ist der Mond von der Erde entfernt, wenn eine kreisförmige Umlaufbahn angenommen wird? Präsenzaufgabe 2 Fluchtgeschwindigkeit Unter der 1. kosmischen Geschwindigkeit versteht man die notwendige Geschwindikeit um einen Körper direkt an der Oberfläche antriebslos zu umkreisen. Die 2. kosmische Geschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, die benötigt wird, um das Gravitationsfeld eines Planeten zu verlassen (Fluchtgeschwindigkeit). a) Berechnen sie die 1. und 2. kosmische Geschwindigkeit der Erde. Die Masse der Erde beträgt ME = 5.974 · 1024 kg *b) Bei einem schwarzen Loch ist die gesamte Masse innerhalb des Schwarzschildradius konzentriert. Anschaulich bedeutet dies, dass die Fluchtgeschwindigkeit für solche Körper der Lichtgeschwindigkeit entspricht, alles innerhalb dieses Radius kann nicht mehr entkommen. Berechnen sie den Schwarzschildradius für einen Körper der Masse M Aufgabe 1 Weltuntergang? Ein Asteroid mit Masse MA = 5 · 1010 kg bewegt sich mit der Geschwindigkeit vA = 100 km s aus großer Entfernung auf das Sonnensystem zu und kollidiert mit der Erde frontal im sonnennahen Schnittpunkt der Umlaufbahn mit der grossen Halbachse (Perihel) (d.h. die Richtung der Erdund Asteroid-Geschwindigkeiten im Perihel sind exakt entgegengesetzt). 1 a) Wie groß ist die kinetische Energie des Asteroiden beim Aufprall auf die Erdoberfläche? Hinweise: Der Asteroid fällt im Gravitationsfeld der Erde. Reibungseffekte in der Atmosphäre sind zu vernachlässigen. Der Einfluss der Sonne soll nicht betrachtet werden. Wegen des großen Masseunterschieds von Erde und Asteroid kann im Schwerpunktsystem der Erde (ohne reduzierte Massen) gerechnet werden. b) Um wie viel ändert sich der Bahndrehimpuls der Erde bezüglich der Sonne durch den vollkommen inelastischen Stoß mit dem Asteroiden? 2 L *c) Zeichnen Sie qualitativ das effektive Potential Va = −G mM r + 2mr2 für die Radialbewegung der Erde (vor und nach dem Stoss), um zu entscheiden ob (i) sich die große Halbachse der Ellipse verändert und (ii) ob sich die Umlaufzeit um die Sonne verlängert, verkürzt oder konstant bleibt. Aufgabe 2 Marssonde Mangalyaan Mangalyaan wurde vor einer Woche gestartet und soll am 1.Dezember von der (hier mit r0 = 149Gm als kreisförmig angenommenen) Erdbahn aus in Bewegungsrichtung der Erde weiterfliegen, um den Mars im sonnennächsten Punkt seiner Bahn gerade zu erreichen. 2 a) Welche Anfangsgeschwindigkeit v1 bezüglich der Sonne muss die Marssonde (ausserhalb des Erdschwerefeldes) haben? b) Mit welcher Geschwindigkeit v2 erreicht Mangalyaan die Marsbahn? (Die Gravitationswirkung des Mars bleibe bis dahin unberücksichtigt) *c) Welche Zeit τ dauert der Flug der Sonde zum Mars? Kleinster Abstand Sonne - Mars: r2 = 207Gm, Masse der Sonne: MS = 1.99 · 1030 kg Aufgabe 3 Der Science-Fiction Schriftsteller R.A. Heinlein beschreibt einen Satelliten (”Weltraumaufzug”), der aus einem langen, direkt über dem Äquator plazierten Seil besteht. Das Seil ist entlang des Radius zum Erdinneren ausgerichtet und bewegt sich so, dass es dem Erdbeobachter scheint, als sei es an einem festen Punkt über dem Äquator aufgehängt. Das untere Seilende hängt direkt über der Erdoberfläche. a) Wie lang ist das Seil? *b) recherchieren Sie nach dem besten verfügbaren Werkstoff und schätzen Sie ab, bei welcher Länge das Seil spätestens zerreißen würde. Hinweise: Nehmen sie in Aufgabe a) an, dass die Masse des Seils über das Seil gleichverteilt sei und das Seil unzerreißbar sei. Der Radius der Erde ist RE = 6.4 · 106 m und die Erdmasse ME = 5.97 · 102 4kg. Für Aufgabe b) ein typischer Stahl hat eine Tragkraft von 350 N/mm2 und eine Dichte von 8000 kg/m3 . 3
