Mikroökonomie I

Mikroökonomie I
Übungsaufgaben Preiswettbewerb
1. Betrachten Sie ein Bertrand-Duopol mit der Marktnachfrage p = D(q) = 50 − q.
Beide Duopolisten haben konstante Grenzkosten MC=20.
a) Wie hoch ist der Preis im Gleichgewicht?
P = M C = 20
b) Wie viel produzieren beide Firmen im Gleichgewicht?
Q = 50 − P
Q = 50 − 20 = 30
q1 = q2 = 15
c) Wie hoch ist der Gewinn der beiden Firmen im Cournot-Gleichgewicht?
π1
∂π1
∂q1
q1
q2
q1
q1
= (50 − q1 − q2 )q1 − 20q1
= 50 − 2q1 − q2 − 20 = 0
= 15 − q2 /2
= 15 − q1 /2
= 15 − (15 − q1 /2)/2
= 15/2 + q1 /4
15 × 4
q1 =
= 10 = q2
2×3
π1 = (50 − 10 − 10)10 − 20 × 10 = 300 − 200 = 100 = π2
d) Wie hoch ist der Preis und Gewinn unter Kollusion?
Π = (50 − Q)Q − 20Q
50 − 2Q − 20 = 0
Q = 15
P = 50 − 15 = 35
Π = (50 − 15)15 − 20 × 15 = 225 = π1 + π2
1
e) Zeigen Sie, dass Kollusion bei Bertrand Wettbewerb kein Gleichgewicht ist.
Der Kollusionspreis liegt oberhalb der Grenzkosten. Weicht ein
Wettbewerber vom Kollusionspreis ab (senkt seinen Preis auf z.B. 34) erhält
die gesamte Marktnachfrage und steigert damit seinen Gewinn:
π = (50 − 34)(34 − 20) = 16 × 14 = 224 > 225/2
Jeder der Wettbewerber hat damit einen Anreiz seinen Preis unter den
Kollusionspreis zu senken, der Kollusionspreis kann also kein Gleichgewicht
sein. Einzig bei Preis = Grenzkosten gibt es keinen Anreiz für eine
Preisenkung, da damit Verluste verbunden wären.
2. Angenommen, zwei identische Duopolisten haben konstante Grenzkosten von
M C = 10. Die Nachfrage für das Produkt von Firma 1 sei q1 = 100 − 2p1 + p2 ,
wobei q die Outputmenge und p1,2 der Preis von Firma 1 bzw. Firma 2 ist. Die
Nachfrage für Firma 2 sei q2 = 100 − 2p2 + p1 .
a) Berechnen Sie das Bertrand Gleichgewicht.
π1 = (100 − 2p1 + p2 )(p1 − 10)
100 − 4p1 + p2 + 20 = 0
4p1 = 120 + p2
p1 = 30 + p2 /4
p2 = 30 + p1 /4
p1 = 30 + (30 + p1 /4)/4
5
p1 = 30 + p1 /16
4
5 × 16
p1 =
30 = 40 = p2
4 × 15
b) Berechnen Sie das Bertrand Gleichgewicht unter der Annahme, dass die
konstanten Grenzkosten gleich M C = 0 sind.
= (100 − 2p1 + p2 )(p1 − 0)
=0
= 100 + p2
= 25 + p2 /4
= 25 + p1 /4
= 25 + (25 + p1 /4)/4
5
p1 = 25 + p1 /16
4
5 × 16
p1 =
25 = 100/3 = p2 ∼ 33, 33
4 × 15
π1
100 − 4p1 + p2
4p1
p1
p2
p1
2
c) Berechnen Sie das Bertrand Gleichgewicht unter der Annahme, dass die
konstanten Grenzkosten der Firma 1 gleich M C1 = 30 und der Firma 2
gleich M C2 = 10 sind.
π1 = (100 − 2p1 + p2 )(p1 − 30)
100 − 4p1 + p2 + 60 = 0
4p1 = 160 + p2
p1 = 40 + p2 /4
π2 = (100 − 2p2 + p1 )(p1 − 10)
100 − 4p2 + p1 + 20 = 0
4p2 = 120 + p1
p2 = 30 + p1 /4
p1 = 40 + (30 + p1 /4)/4
p1 = 52, 5 + p1 /4
p1 = 4 × 52, 5 × 16/15 = 56
p2 = 30 + 56/4 = 44
3. Betrachten Sie eine Industrie die durch ein dominantes Unternehmen (d) und
einige kompetitive Randfirmen (f) charakterisiert ist. Die Marktnachfrage sei
P = 208 − 4Q, wobei Q der gesamte Output der Industrie ist Q = qd + qf . Das
Angebot der Randfirmen sei Pf = 10 + 2qf und die Grenzkosten der dominanten
Firma sind M Cd = 4 + qd /3.
a) Leiten Sie die Residualnachfrage der dominanten Firma her.
Marktnachfrage:
P = 2008 − 4Q
4Q = 208 − P
Q = 52 − P/4
Randangebot:
P = 10 + 2qf
qf = P/2 − 5
qd = Q − qf
= 52 − P/4 − P/2 + 5
= 57 − 3P/4
P = 76 − 4qd /3
siehe auch Abbildung.
3
b) Welche Menge wird die dominante Firma produzieren und welchen Preis
wird sie dafür verlangen?
M Rd = 76 − 8qd /3
M Rd = M Cd
76 − 8qd /3 = 4 + qd /3
72 = 3qd
qd = 24
4
P = 76 − 24 = 44
3
c) Welche Menge werden die Randfirmen produzieren und welchen Preis
werden sie dafür erzielen?
qf = P/2 − 5
= 44/2 − 5 = 17
d) Zeigen Sie ihre Resulate in einem Graphen.
4. Angenommen, die Nachfrage in einer Industrie sei durch P1 = 100 − q1 − sq2 und
P2 = 100 − sq1 − q2 gegeben. Um Produktdifferenzierung zu modellieren, wird s
als Ähnlichkeitsindex definiert. Ist s = 1 befinden wir uns im Standard Cournot
Modell, ist s = 0 sind die Firmen unabhängige Monopolisten in je einem eigenen
Markt.
a) Nehmen Sie an der Ähnlichkeitsindex sei s = 0, 5 und die Grenz- und
Durchschnittskosten seien M C = AC = 0. Leiten Sie die
Reaktionsfunktionen her und bestimmen Sie das Cournot Gleichgewicht.
4
= 100 − 2q1 − 0, 5q2
= 50 − q2 /4
= 50 − q1 /4
= 50 − (50 − q1 /4)/4
3
q1 = 50 + q1 /16
4
3 × 16
50 = 40
q1 =
4 × 15
q2 = 40
M R1
q1
q2
q1
b) Vergleichen Sie Mengen, Preise und Gewinn für s = 0, s = 0, 5 und s = 1.
s=0
P1 = 100 − q1
M R = 100 − 2q1
MR = MC
q1 = 50 = q2
P1 = 100 − 50 = 50 = P2
π1 = 50 × 50 = 2500 = π2
s = 0, 5
q1 = 40 = q2
P1 = 100 − 40 − 0, 5 × 40 = 40 = P2
π1 = 40 × 40 = 1600 = π2
s=1
P1 = 100 − q1 − q2
M R1 = 100 − 2q1 − q2
q1 = 50 − q2 /2
q2 = 50 − q1 /2
q1 = 50 − (50 − q1 /2)/2
q1 = 25 + q1 /4
q1 = 100/3 = 33, 33 = q2
P1 = 100 − 33, 33 − 33, 33 = 33, 33 = P2
π1 = (100/3)2 = 1111, 11 = π2
5