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Springer-Lehrbuch
Dietlinde Lau
Algebra und
Diskrete Mathematik 1
Grundbegriffe der Mathematik,
Algebraische Strukturen 1,
Lineare Algebra und Analytische Geometrie,
Numerische Algebra und Kombinatorik
Dritte, korrigierte und erweiterte Auflage
123
Prof. Dr. Dietlinde Lau
Institut für Mathematik
Universität Rostock
Ulmenstraße 69, Haus 3
18057 Rostock
Deutschland
[email protected]
ISSN 0937-7433
ISBN 978-3-642-19442-9
e-ISBN 978-3-642-19443-6
DOI 10.1007/978-3-642-19443-6
Springer Heidelberg Dordrecht London New York
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
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Vorwort zur dritten Auflage
Die dritte Auflage stimmt bis einschließlich Kapitel 15 im wesentlichen mit
der zweiten Auflage überein. Teil III wurde durch ein 20seitiges Kapitel über
Kombinatorik ergänzt. Dadurch kam es auch zu Ergänzungen des Teils IV mit
den Übungsaufgaben.
Zeitgleich erscheint beim Springer Verlag das
Übungsbuch zur Linearen Algebra und analytischen Geometrie
in der zweiten Auflage, in dem die Lösungen der Übungsaufgaben des vorliegenden Buches zu finden sind.
Dank der Hinweise von Leserinnen und Lesern konnte die Zahl der Druckfehler weiter reduziert werden.
Mein besonderer Dank gilt meinen Kollegen Dr. Walter Harnau, Prof. Achill
Schürmann und den Diplommathematikern Matthias Böhm und Konrad Sperfeld, die dafür gesorgt haben, daß mein erster Entwurf für das KombinatorikKapitel an einigen Stellen überarbeitet und Schreibfehler korrigiert wurden.
Bedanken möchte ich mich auch bei meinen Kolleginnen Susann Dittmer und
Heike Schubert, die mir bei der technischen Herstellung des Manuskript (z.B.
bei Problemen mit Latex) schnell und effektiv geholfen haben.
Rostock, im Januar 2011
Dietlinde Lau
Vorwort zur zweiten Auflage
Die zweite Auflage unterscheidet sich von der ersten durch die Korrektur der inzwischen gefundenen Druckfehler, einigen Umformulierungen sowie
Ergänzungen zum Kapitel 1 und den Kapiteln des Teils IV, in dem die Übungsaufgaben zu den Kapiteln I–III zu finden sind.
Dem Wunsch einiger Leser folgend, habe ich in Ergänzung zum vorliegenden
Buch ein Buch mit den Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Teil IV geschrieben, das zeitgleich mit der vorliegenden zweiten Auflage beim Springer-Verlag
unter dem Titel
Übungsbuch zur Linearen Algebra und analytischen Geometrie
erscheint.
Sehr hilfreich beim Überarbeiten der ersten Fassung des vorliegenden Buches
waren die Hinweise von Herrn Prof. Dr. L. Berg (Rostock). Besonders dankbar bin ich Herrn Dr. W. Harnau (Dresden), der in den letzten Monaten das
gesamte Buch durchgearbeitet hat und dessen Änderungsvorschläge ich fast
alle beim Überarbeiten des Buches umgesetzt habe.
Mein Dank gilt natürlich auch allen Lesern, die mir ihre Meinung zur ersten
Auflage geschrieben haben und denen ich ebenfalls Hinweise auf Druckfehler
und Änderungsvorschläge verdanke.
Rostock, im Juni 2007
Dietlinde Lau
Vorwort zur ersten Auflage
Soll ich mich im allgemeinen Sinne über Pädago”
gik äußern, so will ich folgende Betrachtung vorausschicken: Man kann das pädagogische Problem mathematisch formulieren, indem man die individuellen Qualitäten des Lehrers und seiner n Schüler als ebensoviele
Unbekannte einführt und verlangt, eine Funktion von
(n + 1) Variablen F (x0 , . . . , xn ) unter gegebenen Nebenbedingungen zu einem Maximum zu machen. Ließe
sich dieses Problem eines Tages entsprechend den bisher realisierten Fortschritten der psychologischen Wissenschaft direkt mathematisch behandeln, so wäre die
(praktische) Pädagogik von da ab eine Wissenschaft, —
solange das aber nicht der Fall ist, muß sie als Kunst
gelten.“
(F. Klein (1849 – 1926) in seinem Vortrag: Über Auf”
gabe und Methode des mathematischen Unterrichts an
Universitäten“)
Das vorliegende Buch ist aus Vorlesungen entstanden, die die Autorin für
Physik-, Mathematik- und insbesondere Informatikstudenten zur Linearen Algebra und analytischen Geometrie bzw. im Rahmen eines Grundkurses Mathematik für die Informatikstudenten an der Universität Rostock gehalten
hat.
Eingedenk der Probleme, die insbesondere viele Studienanfänger mit dem Fach
Mathematik als solches, der Umstellung von der Schulvermittlung des Fachs
Mathematik zum (komprimierten) Vorlesungsstil an den Universitäten haben
und wegen des Heranführens an die Beweistechniken der Mathematik, wird
versucht, die wichtigsten Beweise sehr ausführlich darzustellen und sie durch
Beispiele vor- und nachzubereiten. Wert wird außerdem darauf gelegt, Teile
der Schulmathematik zu wiederholen und zu ergänzen.
Anliegen des Buches ist es auch, diejenigen Teile des Vorlesungsstoffes, die
aus Zeitgründen sehr kurz behandelt werden müssen, zu ergänzen.
X
Vorwort zur ersten Auflage
Besonders wichtige Teile (meist gewisse Sätze) der einzelnen Kapitel sind
schattiert, und Teile, die beim ersten Lesen übergangen werden können bzw.
zu den zwar wichtigen, aber in Vorlesungen meist nicht angegebenen Teilen
des hier vermittelten Stoffes gehören, sind im Kleindruck angegeben.
Um möglichst eng an der Vorlesungsvermittlung des Stoffes zu sein, sind Definitionen und Sätze unter Verwendung von (platzsparenden) Symbolen —
meist aus der mathematischen Logik — formuliert, die eingangs des ersten
Kapitels erläutert werden. Für besonders oft auftretende Begriffe werden außerdem — wie in der Vorlesung — Abkürzungen1 eingeführt.
Es sei darauf verwiesen, daß einzelne Kapitel auch unabhängig von den anderen Kapiteln lesbar sind, so daß man nicht gezwungen ist, zum Verständnis z.B. von Kapitel 3 die beiden vorherigen zu lesen. Die einzelnen Kapitel
sind numeriert und sind wiederum in einzelne — mit einer neuen Zählung
beginnende — Abschnitte untergliedert. Sätze und Lemmata aus Kapitel x,
Abschnitt y, werden in der Form x.y.i fortlaufend numeriert. Das Ende eines
Beweises wird durch kenntlich gemacht.
Die Abkürzung ÜA steht für Übungsaufgabe. Da sich bekanntlich das Verständnis für Mathematik über das Bearbeiten von Aufgaben vertiefen läßt, sind
nicht nur im nachfolgenden Text eine Reihe von Übungsaufgaben angegeben,
sondern zu jedem der Kapitel 1 – 15 findet man in den Kapiteln 16 – 18 eine
Zusammenstellung von Übungsaufgaben, anhand der die Leser testen können,
ob sie den behandelten Stoff verstanden haben und ob sie ihn auch anwenden
können. Die Anzahl der Aufgaben ist so gewählt, daß genügend Aufgaben
für die zur Vorlesung gehörenden wöchentlichen Übungen und Hausaufgaben
sowie für das Selbststudium vorhanden sind.
Zum Inhalt:
Kapitel 1 beginnt mit einer Zusammenstellung von mathematischen Begriffen
(wie z.B. die Begriffe: Menge, Relation, Korrespondenz, Abbildung, Operation,
Graph, ...), die in späteren Kapiteln, aber auch in vielen hier nicht behandelten Gebieten der Mathematik zu den Grundbegriffen gehören.
Dem Anfänger wird erfahrungsgemäß die Abstraktheit“ dieser Begriffe etwas
”
zu schaffen machen, jedoch ist es — eine langjährige Erfahrung — nur eine
Frage der Zeit und der Übung, bis man sich daran gewöhnt hat bzw. man es
lernt, den Nutzen dieser Begriffsbildungen zu erkennen. Den Lesern sei gerade
für dieses Kapitel die Bearbeitung der Übungsaufgaben aus 16.1 empfohlen,
um sich möglichst schnell diesen Begriffsapparat über die Anwendungen zu
erschließen.
Kapitel 2 führt kurz in die — für die Entwicklung der Mathematik der letzten
zwei Jahrhunderte sehr wichtige — Denkweise, nämlich der in algebraischen
”
Strukturen“, ein. Behandelt werden einige Grundlagen aus der Theorie der
1
Eine Liste der verwendeten Symbole und Abkürzungen sowie Hinweise, auf welcher Seite sie eingeführt wurden, findet man ab S. 497.
Vorwort zur ersten Auflage
XI
Halbgruppen, Gruppen, Ringe, Körper, Verbände und Booleschen Algebren.
Sie dienen außerdem als erste Vorbereitung auf Methoden und Denkweisen in
der Theoretischen Informatik. Eine Fortsetzung findet dieses Kapitel im Teil
III von Band 2, wo u.a. auch weitere Eigenschaften von Körpern hergeleitet
werden und Anwendungen der Körpertheorie (z.B. in der Codierungstheorie)
gezeigt werden.
Der in den Kapiteln 3 – 11 behandelte Stoff wird allgemein zur sogenannten
Linearen Algebra und analytischen Geometrie gerechnet und ist nach soviel
Abstrakten“ in den ersten beiden Kapiteln eine Art Erholung“. Anwendun”
”
gen dieser Teile der Mathematik sind entweder sofort oder leichter erkennbar.
Da ein erster Schwerpunkt unserer Überlegungen Lösungsmethoden und Lösbarkeitskriterien für beliebige lineare Gleichungssysteme sind, werden im Kapitel 3 zunächst Hilfsmittel dazu — nämlich die Determinanten und Matrizen —
vorgestellt und ihre Eigenschaften ermittelt. Die anschließende Untersuchung
der linearen Gleichungssysteme ist dann sehr einfach und — spart man einmal
den rein numerischen Aspekt (wie Rundungsfehler u.ä.) bei der Behandlung
von Gleichungssystemen aus, mit denen wir uns später befassen werden — für
die nachfolgenden Kapitel ausreichend behandelt. Es sei hier bereits darauf
verwiesen, daß die Matrizen und Determinanten auch Anwendungen haben,
die weit über die hier behandelten hinausgehen.
Mit den im Kapitel 4 eingeführten Vektorraumbegriff wird einer der grundlegenden und Verbindungen schaffender Begriff aus der Algebra, Analysis,
Geometrie und mathematischen Physik behandelt. So lassen sich z.B. die Anschauungsebene bzw. der Anschauungsraum, in denen man Geometrie betreiben kann, mit Hilfe des Vektorraumbegriffs einheitlich beschreiben und zu
sogenannten affinen Punkträumen verallgemeinern, was im Kapitel 5 gezeigt
wird. Wir beginnen in diesem Abschnitt auch mit der Wiederholung geometrischer Grundaufgaben.
Besonders wichtig und interessant sind Vektorräume mit Skalarprodukt, die
im Mittelpunkt des Kapitels 6 stehen.
Auch hier soll die Leistungsfähigkeit der neuen Begriffen zunächst anhand von
Anwendungen in der Geometrie — genauer bei der Behandlung der euklidischen und unitären affinen Punkträume — im Kapitel 7 erläutert werden.
In Vorbereitung auf Kapitel 9 behandeln wir im Kapitel 8 die sogenannten
Eigenwerte, Eigenvektoren und Normalformen von Matrizen. Auch hier behandeln wir Begriffe und Sätze, die nicht nur in der Linearen Algebra eine
Rolle spielen. Es sei hier schon angemerkt, daß für das Verständnis von Kapitel 9 nur die Aussagen über die Eigenwerte, Eigenvektoren und Normalformen
von symmetrische Matrizen aus Kapitel 8 benötigt werden. Die Ergebnisse
über Normalformen für beliebige Matrizen (u.a. die Jordansche Normalform)
werden im Kapitel 10 verwendet.
Im Kapitel 9 geht es u.a. um die Frage, welche geometrischen Objekte durch
Gleichungen, in denen (grob gesagt) die Variablen höchstens im Quadrat vor-
XII
Vorwort zur ersten Auflage
kommen, beschrieben werden können. Das hierbei entwickelte Verfahren —
die sogenannte Hauptachsentransformation — wird es uns ermöglichen, ausgehend von gewissen Gleichungen, die Bedingungen für die Koordinaten gewisser geometrischer Objekte angeben — durch reines Rechnen — Lage und
Typ dieser Objekte zu erfassen. Eingesetzt werden dabei auch viele in vorherigen Kapitel eingeführten Hilfsmittel (wie z.B. die Matrizen), durch die
unsere durchzuführenden Überlegungen und Rechnungen erst übersichtlich
und durchschaubarer werden.
Mit den Kapiteln 3 – 9 (mit Ausnahme gewisser Aussagen über Normalformen von Matrizen) haben wir einen gewissen Grundstandard, den man auch
in vielen anderen Büchern über Lineare Algebra und analytischer Geometrie
findet, behandelt.
Um den Leser den Einstieg in weiterführende Literatur2 zu ermöglichen, sind
in den Kapiteln 10 und 11 Begriffe und Sätze zusammengestellt, die in meist
für Mathematiker geschriebenen Büchern viel früher eingeführt werden, um
den hier in den Kapitel 3 – 9 behandelten Stoff allgemeiner zu erarbeiten.
Konkret geht es im Kapitel 10 um Eigenschaften sogenannter lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen und im Kapitel 11 um Eigenschaften affiner
Abbildungen zwischen Punkträumen. Da in der Vorlesung meist nicht viel Zeit
ist, den Inhalt von Kapitel 10 und 11 sowie den von gewissen Teilen von Kapitel 8 ausführlich zu behandeln, seien diese Kapitel den Lesern insbesondere
für das Selbststudium empfohlen.
Der Inhalt der Kapitel 12 – 14 wird üblicherweise der Numerischen Mathematik zugeordnet. Unter Numerischer Mathematik bzw. unter Numerik versteht man diejenigen Teile der Mathematik, in denen mathematische Größen
aus gegebenen Zahlen auch zahlenmäßig berechnet werden. Insbesondere
beschäftigt sich die Numerik mit dem Aufstellen von Rechenvorschriften,
nach denen aus Eingangsdaten, die oft mit (bekannten) Fehlern behaftet
sind, die gewünschten Ausgangsdaten mit abschätzbarer Genauigkeit berechnet werden. Die Numerik setzt in der Regel dort ein, wo ein Problem (z.B.
der Algebra oder Analysis) als gelöst angesehen werden kann, weil z.B. die
Existenz einer Lösung nachgewiesen oder ein Lösungsalgorithmus (möglicherweise aus unendlich vielen Schritten bestehend) gefunden wurde. Bei der konkreten Ermittlung der Lösung eines Problems ergeben sich dann aber eine Reihe von Schwierigkeiten, die numerische Verfahren erfordern. Welche Schwierigkeiten dies sind und welche Lösungsansätze es zum Beheben dieser Schwierigkeiten gibt, wird im Kapitel 12 erläutert.
Im Kapitel 13 geht es um Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen.
Grundlage fast aller angegebenen Verfahren ist dabei der sogenannte Banachsche Fixpunktsatz.
2
Damit ist nicht nur Literatur zur Linearen Algebra und analytischen Geometrie,
sondern auch Literatur zur Funktionalanalysis gemeint.
Vorwort zur ersten Auflage
XIII
Kapitel 14 setzt unsere Untersuchungen zu linearen Gleichungssystemen (kurz:
LGS), die jeweils nur genau eine Lösung besitzen, fort. Es wird erläutert,
warum für LGS mit sogenannter schlechter Kondition unsere Lösungsverfahren aus Kapitel 3 beim praktischen Rechnen (auf dem Computer oder per
Hand) i.w. unbrauchbar sind und Näherungsverfahren für das Lösen solcher
LGS entwickelt, die nicht nur für schlecht konditionierte LGS geeignet sind.
Im kurzen Kapitel 15 über Interpolation wird (unter Verwendung von zwei
Ergebnissen aus Kapitel 3) das Interpolationsproblem mit Polynomen gelöst.
Anwenden lassen sich die hierbei erzielten Resultate z.B. bei der numerischen
Integration.
Die in den Kapiteln 13 – 15 vorgestellten Verfahren gehören bereits zur angewandten Mathematik. Mehr über die Anwendungen der in diesem Band zusammengestellten mathematischen Gebiete sowie eine Fortsetzung der Theorie
findet der Leser dann im Band 2, der aus den Teilen
•
•
•
Lineare Optimierung
Graphen und Algorithmen
Algebraische Strukturen und Allgemeine Algebra mit Anwendungen
besteht.
Große Teile der im Band 2 behandelten Gebiete rechnet man zur sogenannten
Diskreten Mathematik. Das Wort diskret“ steht hierbei natürlich nicht
”
für verschwiegen“ oder unauffällig“, sondern charakterisiert Teilbereiche der
”
”
Mathematik, die sich vorrangig mit endlichen Mengen beschäftigen. Dies geschieht zwar in fast jedem Teilbereich der Mathematik, jedoch hat die Entwicklung der elektronischen Datenverarbeitung dazu geführt, daß früher (wegen des großen Rechenaufwandes“) nicht praktikable Algorithmen inzwischen
”
ihre Anwendungen und Verbesserungen erfahren haben. Seit einigen Jahren
ist es deshalb üblich, Gebiete der Mathematik, die gewisse Anwendungen in
der Informatik besitzen oder die sich durch den enormen Aufschwung der elektronischen Datenverarbeitung entwickelten, unter dem Oberbegriff Diskrete
”
Mathematik“ zusammenzufassen. Inzwischen ist die Diskrete Mathematik mit
ihren Kernbereichen Kombinatorik, Graphentheorie, Algorithmentheorie, Optimierung und Theorie der diskreten Strukturen eine Grundlagenwissenschaft
für Mathematiker und Informatiker. Anliegen von Band 2 wird es sein – aufbauend auf Band 1 – für ausgewählte Gebiete der Diskreten Mathematik dies
nachzuweisen. Insbesondere soll gezeigt werden, wie effektiv sich der vorher
behandelte mathematische Apparat“ beim Lösen der verschiedensten — ins”
besondere auch praktischen — Aufgaben einsetzen läßt.
Nicht versäumen möchte ich es, mich bei Herrn Dipl.-Math. Hans-Christian
Pahlig zu bedanken, der die erste LATEX–Fassung des vorliegenden Buches aus
einer — von der Verfasserin von einigen Jahren auf dem PC 1715 geschriebenen — alten Computervariante entwickelt hat, wobei insbesondere von ihm
sämtliche Zeichnungen neu entworfen und programmiert wurden.
XIV
Vorwort zur ersten Auflage
Meinen Rostocker Kollegen Herrn Prof. Dr. R. Knörr, Herrn Dr. F. Leitenberger und Frau Dr. K. Mahrhold gilt mein Dank für die kritische Durchsicht
einzelner Kapitel und einiger Änderungs- und Ergänzungsvorschläge.
Bei den Mitarbeitern des Springer-Verlages möchte ich mich für die sehr angenehme Zusammenarbeit bedanken.
Rostock, im November 2003
Dietlinde Lau
Inhaltsverzeichnis
Teil I Grundbegriffe der Mathematik und Algebraische Strukturen
1
Mathematische Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Logische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Elemente der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4
Korrespondenzen, Abbildungen und Verknüpfungen . . . . . . . . .
1.5
Mächtigkeiten, Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6
Boolesche Funktionen und Prädikate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7
Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
15
21
27
35
51
2
Klassische algebraische Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Halbgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Ringe und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
Verbände und Boolesche Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
60
66
82
93
Teil II Lineare Algebra und analytische Geometrie
3
Lineare Gleichungssysteme, Determinanten und Matrizen . . 107
3.1
Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.2
Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.3
Rang von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.4
Lösbarkeitskriterien und Lösungsverfahren für LGS . . . . . . . . . 143
4
Vektorräume über einem Körper K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.1
Die Definition eines Vektorraums über K, Beispiele . . . . . . . . . 157
4.2
Untervektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.3
Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . 164
4.4
Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
XVI
4.5
Inhaltsverzeichnis
4.6
4.7
Lineare Unabhängigkeit und Basen über einem
Untervektorrraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Dimensionssätze, Isomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Koordinaten, Basistransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.8
Anwendungen für Vektoren aus V2 bzw. V3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
→
→
5
Affine Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.1
Die Definition eines affinen Raumes, Beispiele . . . . . . . . . . . . . . 189
5.2
Koordinaten und Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.3
Affine Unterräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.4
Schnitt und Verbindung affiner Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.5
Parallele affine Unterräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6
Vektorräume mit Skalarprodukt (unitäre und euklidische
VRe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
→
→
Das Skalarprodukt in V2 bzw. V3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Das Skalarprodukt in Vektorräumen über den Körpern R
oder C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Norm (Betrag) von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Winkel zwischen Vektoren (in euklidischen Vektorraumen)
. . . . 221
¨
Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Das Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
7
Euklidische und unitäre affine Punkträume . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.1
Abstandsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.2
Winkel- und Volumenmessung in euklidischen Punkträumen . . 244
7.3
Koordinatentransformationen in kartesischen
Koordinatensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8
Eigenwerte, Eigenvektoren und Normalformen von
Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
8.1
Motivation, Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
8.2
Eigenwerte von Matrizen und Nullstellen von Polynomen . . . . . 259
8.3
Verallgemeinerte Eigenräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
8.4
Überführung von symmetrischen Matrizen in Diagonalgestalt . 279
8.5
Jordansche Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9
Hyperflächen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
9.1
Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
9.2
Hauptachsentransformation (Beweis von Satz 9.1.1) . . . . . . . . . 300
9.3
Klassifikation der Kurven 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
9.4
Klassifikation der Flächen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
Inhaltsverzeichnis
XVII
10 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
10.1 Allgemeines über lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
10.2 Adjungierte Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
10.3 Normale Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
10.4 Selbstadjungierte und antiselbstadjungierte Abbildungen . . . . . 344
10.5 Unitäre und orthogonale Abbildungen, Isometrien . . . . . . . . . . . 345
10.6 Normalformen linearer Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
10.7 Gruppen aus linearen Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
11 Affine Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
11.1 Allgemeines über affine Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
11.2 Gruppen gewisser affiner Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
11.3 Einige Invarianten affiner Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
Teil III Numerische Algebra und Kombinatorik
12 Einführung in die Numerische Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
12.1 Fehlertypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
12.2 Fehlerfortpflanzung bei differenzierbaren Funktionen . . . . . . . . . 363
12.3 Maschinenzahlen, Rundungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
12.4 Intervallarithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
13 Gleichungsauflösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
13.1 Problemstellung, geometrische Deutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
13.2 Der Banachsche Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
13.3 Das Newton-Verfahren, die Regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
13.4 Polynomgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
13.4.1 Abschätzungen für Polynomnullstellen . . . . . . . . . . . . . . 384
13.4.2 Das Horner-Schema und das zweizeilige
Horner-Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
13.4.3 Verfahren zur Nullstellenberechnung von pm . . . . . . . . . 388
14 Lineare Gleichungssysteme mit genau einer Lösung . . . . . . . . . 391
14.1 Der Gauß-Algorithmus (mit Pivotisierung) . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
14.2 Vektor- und Matrixnormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
14.3 Die Kondition von LGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
14.4 Elementare Iterationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
14.4.1 Das Jacobi-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
14.4.2 Das Gauß-Seidel-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
14.4.3 Konvergenzbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
14.5 Projektionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
14.5.1 Grundidee der Projektionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
14.5.2 Projektion auf Hyperebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
14.5.3 Gradientenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
XVIII Inhaltsverzeichnis
15 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
15.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
15.2 Interpolation mit Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
16 Grundlagen der Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
16.1 Grundregeln des Abzählens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
16.2 Permutationen, Kombinationen und Variationen . . . . . . . . . . . . 422
16.2.1 Permutationen (Anordnungen) von M . . . . . . . . . . . . . . 422
16.2.2 Permutationen mit Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
16.2.3 Variationen mit Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
16.2.4 Variationen ohne Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
16.2.5 Kombinationen ohne Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
16.2.6 Kombinationen mit Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
16.2.7 Einige Beispiele für Anwendungen obiger Formeln . . . . 426
16.3 Das Prinzip der Inklusion-Exklusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
16.4 Mächtigkeiten von einigen Abbildungsmengen . . . . . . . . . . . . . . 431
16.5 Lineare Rekursionsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
Teil IV Übungsaufgaben
17 Übungsaufgaben zum Teil I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
17.1 Aufgaben zum Kapitel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
17.2 Aufgaben zum Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
18 Übungsaufgaben zum Teil II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
18.1 Aufgaben zum Kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
18.2 Aufgaben zum Kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
18.3 Aufgaben zum Kapitel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
18.4 Aufgaben zum Kapitel 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
18.5 Aufgaben zum Kapitel 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
18.6 Aufgaben zum Kapitel 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
18.7 Aufgaben zum Kapitel 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
18.8 Aufgaben zum Kapitel 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
18.9 Aufgaben zum Kapitel 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
19 Übungsaufgaben zum Teil III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
19.1 Aufgaben zum Kapitel 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
19.2 Aufgaben zum Kapitel 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
19.3 Aufgaben zum Kapitel 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
19.4 Aufgaben zum Kapitel 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
19.5 Aufgaben zum Kapitel 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
Inhaltsverzeichnis
XIX
Glossar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
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