Untitled - Discover Armenia
Werbung
Springer-Lehrbuch Dietlinde Lau Algebra und Diskrete Mathematik 1 Grundbegriffe der Mathematik, Algebraische Strukturen 1, Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Numerische Algebra und Kombinatorik Dritte, korrigierte und erweiterte Auflage 123 Prof. Dr. Dietlinde Lau Institut für Mathematik Universität Rostock Ulmenstraße 69, Haus 3 18057 Rostock Deutschland [email protected] ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-642-19442-9 e-ISBN 978-3-642-19443-6 DOI 10.1007/978-3-642-19443-6 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Mathematics Subject Classification (2010): 15-01, 51Nxx, 65Fxx c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2004, 2007, 2011 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com) Vorwort zur dritten Auflage Die dritte Auflage stimmt bis einschließlich Kapitel 15 im wesentlichen mit der zweiten Auflage überein. Teil III wurde durch ein 20seitiges Kapitel über Kombinatorik ergänzt. Dadurch kam es auch zu Ergänzungen des Teils IV mit den Übungsaufgaben. Zeitgleich erscheint beim Springer Verlag das Übungsbuch zur Linearen Algebra und analytischen Geometrie in der zweiten Auflage, in dem die Lösungen der Übungsaufgaben des vorliegenden Buches zu finden sind. Dank der Hinweise von Leserinnen und Lesern konnte die Zahl der Druckfehler weiter reduziert werden. Mein besonderer Dank gilt meinen Kollegen Dr. Walter Harnau, Prof. Achill Schürmann und den Diplommathematikern Matthias Böhm und Konrad Sperfeld, die dafür gesorgt haben, daß mein erster Entwurf für das KombinatorikKapitel an einigen Stellen überarbeitet und Schreibfehler korrigiert wurden. Bedanken möchte ich mich auch bei meinen Kolleginnen Susann Dittmer und Heike Schubert, die mir bei der technischen Herstellung des Manuskript (z.B. bei Problemen mit Latex) schnell und effektiv geholfen haben. Rostock, im Januar 2011 Dietlinde Lau Vorwort zur zweiten Auflage Die zweite Auflage unterscheidet sich von der ersten durch die Korrektur der inzwischen gefundenen Druckfehler, einigen Umformulierungen sowie Ergänzungen zum Kapitel 1 und den Kapiteln des Teils IV, in dem die Übungsaufgaben zu den Kapiteln I–III zu finden sind. Dem Wunsch einiger Leser folgend, habe ich in Ergänzung zum vorliegenden Buch ein Buch mit den Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Teil IV geschrieben, das zeitgleich mit der vorliegenden zweiten Auflage beim Springer-Verlag unter dem Titel Übungsbuch zur Linearen Algebra und analytischen Geometrie erscheint. Sehr hilfreich beim Überarbeiten der ersten Fassung des vorliegenden Buches waren die Hinweise von Herrn Prof. Dr. L. Berg (Rostock). Besonders dankbar bin ich Herrn Dr. W. Harnau (Dresden), der in den letzten Monaten das gesamte Buch durchgearbeitet hat und dessen Änderungsvorschläge ich fast alle beim Überarbeiten des Buches umgesetzt habe. Mein Dank gilt natürlich auch allen Lesern, die mir ihre Meinung zur ersten Auflage geschrieben haben und denen ich ebenfalls Hinweise auf Druckfehler und Änderungsvorschläge verdanke. Rostock, im Juni 2007 Dietlinde Lau Vorwort zur ersten Auflage Soll ich mich im allgemeinen Sinne über Pädago” gik äußern, so will ich folgende Betrachtung vorausschicken: Man kann das pädagogische Problem mathematisch formulieren, indem man die individuellen Qualitäten des Lehrers und seiner n Schüler als ebensoviele Unbekannte einführt und verlangt, eine Funktion von (n + 1) Variablen F (x0 , . . . , xn ) unter gegebenen Nebenbedingungen zu einem Maximum zu machen. Ließe sich dieses Problem eines Tages entsprechend den bisher realisierten Fortschritten der psychologischen Wissenschaft direkt mathematisch behandeln, so wäre die (praktische) Pädagogik von da ab eine Wissenschaft, — solange das aber nicht der Fall ist, muß sie als Kunst gelten.“ (F. Klein (1849 – 1926) in seinem Vortrag: Über Auf” gabe und Methode des mathematischen Unterrichts an Universitäten“) Das vorliegende Buch ist aus Vorlesungen entstanden, die die Autorin für Physik-, Mathematik- und insbesondere Informatikstudenten zur Linearen Algebra und analytischen Geometrie bzw. im Rahmen eines Grundkurses Mathematik für die Informatikstudenten an der Universität Rostock gehalten hat. Eingedenk der Probleme, die insbesondere viele Studienanfänger mit dem Fach Mathematik als solches, der Umstellung von der Schulvermittlung des Fachs Mathematik zum (komprimierten) Vorlesungsstil an den Universitäten haben und wegen des Heranführens an die Beweistechniken der Mathematik, wird versucht, die wichtigsten Beweise sehr ausführlich darzustellen und sie durch Beispiele vor- und nachzubereiten. Wert wird außerdem darauf gelegt, Teile der Schulmathematik zu wiederholen und zu ergänzen. Anliegen des Buches ist es auch, diejenigen Teile des Vorlesungsstoffes, die aus Zeitgründen sehr kurz behandelt werden müssen, zu ergänzen. X Vorwort zur ersten Auflage Besonders wichtige Teile (meist gewisse Sätze) der einzelnen Kapitel sind schattiert, und Teile, die beim ersten Lesen übergangen werden können bzw. zu den zwar wichtigen, aber in Vorlesungen meist nicht angegebenen Teilen des hier vermittelten Stoffes gehören, sind im Kleindruck angegeben. Um möglichst eng an der Vorlesungsvermittlung des Stoffes zu sein, sind Definitionen und Sätze unter Verwendung von (platzsparenden) Symbolen — meist aus der mathematischen Logik — formuliert, die eingangs des ersten Kapitels erläutert werden. Für besonders oft auftretende Begriffe werden außerdem — wie in der Vorlesung — Abkürzungen1 eingeführt. Es sei darauf verwiesen, daß einzelne Kapitel auch unabhängig von den anderen Kapiteln lesbar sind, so daß man nicht gezwungen ist, zum Verständnis z.B. von Kapitel 3 die beiden vorherigen zu lesen. Die einzelnen Kapitel sind numeriert und sind wiederum in einzelne — mit einer neuen Zählung beginnende — Abschnitte untergliedert. Sätze und Lemmata aus Kapitel x, Abschnitt y, werden in der Form x.y.i fortlaufend numeriert. Das Ende eines Beweises wird durch kenntlich gemacht. Die Abkürzung ÜA steht für Übungsaufgabe. Da sich bekanntlich das Verständnis für Mathematik über das Bearbeiten von Aufgaben vertiefen läßt, sind nicht nur im nachfolgenden Text eine Reihe von Übungsaufgaben angegeben, sondern zu jedem der Kapitel 1 – 15 findet man in den Kapiteln 16 – 18 eine Zusammenstellung von Übungsaufgaben, anhand der die Leser testen können, ob sie den behandelten Stoff verstanden haben und ob sie ihn auch anwenden können. Die Anzahl der Aufgaben ist so gewählt, daß genügend Aufgaben für die zur Vorlesung gehörenden wöchentlichen Übungen und Hausaufgaben sowie für das Selbststudium vorhanden sind. Zum Inhalt: Kapitel 1 beginnt mit einer Zusammenstellung von mathematischen Begriffen (wie z.B. die Begriffe: Menge, Relation, Korrespondenz, Abbildung, Operation, Graph, ...), die in späteren Kapiteln, aber auch in vielen hier nicht behandelten Gebieten der Mathematik zu den Grundbegriffen gehören. Dem Anfänger wird erfahrungsgemäß die Abstraktheit“ dieser Begriffe etwas ” zu schaffen machen, jedoch ist es — eine langjährige Erfahrung — nur eine Frage der Zeit und der Übung, bis man sich daran gewöhnt hat bzw. man es lernt, den Nutzen dieser Begriffsbildungen zu erkennen. Den Lesern sei gerade für dieses Kapitel die Bearbeitung der Übungsaufgaben aus 16.1 empfohlen, um sich möglichst schnell diesen Begriffsapparat über die Anwendungen zu erschließen. Kapitel 2 führt kurz in die — für die Entwicklung der Mathematik der letzten zwei Jahrhunderte sehr wichtige — Denkweise, nämlich der in algebraischen ” Strukturen“, ein. Behandelt werden einige Grundlagen aus der Theorie der 1 Eine Liste der verwendeten Symbole und Abkürzungen sowie Hinweise, auf welcher Seite sie eingeführt wurden, findet man ab S. 497. Vorwort zur ersten Auflage XI Halbgruppen, Gruppen, Ringe, Körper, Verbände und Booleschen Algebren. Sie dienen außerdem als erste Vorbereitung auf Methoden und Denkweisen in der Theoretischen Informatik. Eine Fortsetzung findet dieses Kapitel im Teil III von Band 2, wo u.a. auch weitere Eigenschaften von Körpern hergeleitet werden und Anwendungen der Körpertheorie (z.B. in der Codierungstheorie) gezeigt werden. Der in den Kapiteln 3 – 11 behandelte Stoff wird allgemein zur sogenannten Linearen Algebra und analytischen Geometrie gerechnet und ist nach soviel Abstrakten“ in den ersten beiden Kapiteln eine Art Erholung“. Anwendun” ” gen dieser Teile der Mathematik sind entweder sofort oder leichter erkennbar. Da ein erster Schwerpunkt unserer Überlegungen Lösungsmethoden und Lösbarkeitskriterien für beliebige lineare Gleichungssysteme sind, werden im Kapitel 3 zunächst Hilfsmittel dazu — nämlich die Determinanten und Matrizen — vorgestellt und ihre Eigenschaften ermittelt. Die anschließende Untersuchung der linearen Gleichungssysteme ist dann sehr einfach und — spart man einmal den rein numerischen Aspekt (wie Rundungsfehler u.ä.) bei der Behandlung von Gleichungssystemen aus, mit denen wir uns später befassen werden — für die nachfolgenden Kapitel ausreichend behandelt. Es sei hier bereits darauf verwiesen, daß die Matrizen und Determinanten auch Anwendungen haben, die weit über die hier behandelten hinausgehen. Mit den im Kapitel 4 eingeführten Vektorraumbegriff wird einer der grundlegenden und Verbindungen schaffender Begriff aus der Algebra, Analysis, Geometrie und mathematischen Physik behandelt. So lassen sich z.B. die Anschauungsebene bzw. der Anschauungsraum, in denen man Geometrie betreiben kann, mit Hilfe des Vektorraumbegriffs einheitlich beschreiben und zu sogenannten affinen Punkträumen verallgemeinern, was im Kapitel 5 gezeigt wird. Wir beginnen in diesem Abschnitt auch mit der Wiederholung geometrischer Grundaufgaben. Besonders wichtig und interessant sind Vektorräume mit Skalarprodukt, die im Mittelpunkt des Kapitels 6 stehen. Auch hier soll die Leistungsfähigkeit der neuen Begriffen zunächst anhand von Anwendungen in der Geometrie — genauer bei der Behandlung der euklidischen und unitären affinen Punkträume — im Kapitel 7 erläutert werden. In Vorbereitung auf Kapitel 9 behandeln wir im Kapitel 8 die sogenannten Eigenwerte, Eigenvektoren und Normalformen von Matrizen. Auch hier behandeln wir Begriffe und Sätze, die nicht nur in der Linearen Algebra eine Rolle spielen. Es sei hier schon angemerkt, daß für das Verständnis von Kapitel 9 nur die Aussagen über die Eigenwerte, Eigenvektoren und Normalformen von symmetrische Matrizen aus Kapitel 8 benötigt werden. Die Ergebnisse über Normalformen für beliebige Matrizen (u.a. die Jordansche Normalform) werden im Kapitel 10 verwendet. Im Kapitel 9 geht es u.a. um die Frage, welche geometrischen Objekte durch Gleichungen, in denen (grob gesagt) die Variablen höchstens im Quadrat vor- XII Vorwort zur ersten Auflage kommen, beschrieben werden können. Das hierbei entwickelte Verfahren — die sogenannte Hauptachsentransformation — wird es uns ermöglichen, ausgehend von gewissen Gleichungen, die Bedingungen für die Koordinaten gewisser geometrischer Objekte angeben — durch reines Rechnen — Lage und Typ dieser Objekte zu erfassen. Eingesetzt werden dabei auch viele in vorherigen Kapitel eingeführten Hilfsmittel (wie z.B. die Matrizen), durch die unsere durchzuführenden Überlegungen und Rechnungen erst übersichtlich und durchschaubarer werden. Mit den Kapiteln 3 – 9 (mit Ausnahme gewisser Aussagen über Normalformen von Matrizen) haben wir einen gewissen Grundstandard, den man auch in vielen anderen Büchern über Lineare Algebra und analytischer Geometrie findet, behandelt. Um den Leser den Einstieg in weiterführende Literatur2 zu ermöglichen, sind in den Kapiteln 10 und 11 Begriffe und Sätze zusammengestellt, die in meist für Mathematiker geschriebenen Büchern viel früher eingeführt werden, um den hier in den Kapitel 3 – 9 behandelten Stoff allgemeiner zu erarbeiten. Konkret geht es im Kapitel 10 um Eigenschaften sogenannter lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen und im Kapitel 11 um Eigenschaften affiner Abbildungen zwischen Punkträumen. Da in der Vorlesung meist nicht viel Zeit ist, den Inhalt von Kapitel 10 und 11 sowie den von gewissen Teilen von Kapitel 8 ausführlich zu behandeln, seien diese Kapitel den Lesern insbesondere für das Selbststudium empfohlen. Der Inhalt der Kapitel 12 – 14 wird üblicherweise der Numerischen Mathematik zugeordnet. Unter Numerischer Mathematik bzw. unter Numerik versteht man diejenigen Teile der Mathematik, in denen mathematische Größen aus gegebenen Zahlen auch zahlenmäßig berechnet werden. Insbesondere beschäftigt sich die Numerik mit dem Aufstellen von Rechenvorschriften, nach denen aus Eingangsdaten, die oft mit (bekannten) Fehlern behaftet sind, die gewünschten Ausgangsdaten mit abschätzbarer Genauigkeit berechnet werden. Die Numerik setzt in der Regel dort ein, wo ein Problem (z.B. der Algebra oder Analysis) als gelöst angesehen werden kann, weil z.B. die Existenz einer Lösung nachgewiesen oder ein Lösungsalgorithmus (möglicherweise aus unendlich vielen Schritten bestehend) gefunden wurde. Bei der konkreten Ermittlung der Lösung eines Problems ergeben sich dann aber eine Reihe von Schwierigkeiten, die numerische Verfahren erfordern. Welche Schwierigkeiten dies sind und welche Lösungsansätze es zum Beheben dieser Schwierigkeiten gibt, wird im Kapitel 12 erläutert. Im Kapitel 13 geht es um Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen. Grundlage fast aller angegebenen Verfahren ist dabei der sogenannte Banachsche Fixpunktsatz. 2 Damit ist nicht nur Literatur zur Linearen Algebra und analytischen Geometrie, sondern auch Literatur zur Funktionalanalysis gemeint. Vorwort zur ersten Auflage XIII Kapitel 14 setzt unsere Untersuchungen zu linearen Gleichungssystemen (kurz: LGS), die jeweils nur genau eine Lösung besitzen, fort. Es wird erläutert, warum für LGS mit sogenannter schlechter Kondition unsere Lösungsverfahren aus Kapitel 3 beim praktischen Rechnen (auf dem Computer oder per Hand) i.w. unbrauchbar sind und Näherungsverfahren für das Lösen solcher LGS entwickelt, die nicht nur für schlecht konditionierte LGS geeignet sind. Im kurzen Kapitel 15 über Interpolation wird (unter Verwendung von zwei Ergebnissen aus Kapitel 3) das Interpolationsproblem mit Polynomen gelöst. Anwenden lassen sich die hierbei erzielten Resultate z.B. bei der numerischen Integration. Die in den Kapiteln 13 – 15 vorgestellten Verfahren gehören bereits zur angewandten Mathematik. Mehr über die Anwendungen der in diesem Band zusammengestellten mathematischen Gebiete sowie eine Fortsetzung der Theorie findet der Leser dann im Band 2, der aus den Teilen • • • Lineare Optimierung Graphen und Algorithmen Algebraische Strukturen und Allgemeine Algebra mit Anwendungen besteht. Große Teile der im Band 2 behandelten Gebiete rechnet man zur sogenannten Diskreten Mathematik. Das Wort diskret“ steht hierbei natürlich nicht ” für verschwiegen“ oder unauffällig“, sondern charakterisiert Teilbereiche der ” ” Mathematik, die sich vorrangig mit endlichen Mengen beschäftigen. Dies geschieht zwar in fast jedem Teilbereich der Mathematik, jedoch hat die Entwicklung der elektronischen Datenverarbeitung dazu geführt, daß früher (wegen des großen Rechenaufwandes“) nicht praktikable Algorithmen inzwischen ” ihre Anwendungen und Verbesserungen erfahren haben. Seit einigen Jahren ist es deshalb üblich, Gebiete der Mathematik, die gewisse Anwendungen in der Informatik besitzen oder die sich durch den enormen Aufschwung der elektronischen Datenverarbeitung entwickelten, unter dem Oberbegriff Diskrete ” Mathematik“ zusammenzufassen. Inzwischen ist die Diskrete Mathematik mit ihren Kernbereichen Kombinatorik, Graphentheorie, Algorithmentheorie, Optimierung und Theorie der diskreten Strukturen eine Grundlagenwissenschaft für Mathematiker und Informatiker. Anliegen von Band 2 wird es sein – aufbauend auf Band 1 – für ausgewählte Gebiete der Diskreten Mathematik dies nachzuweisen. Insbesondere soll gezeigt werden, wie effektiv sich der vorher behandelte mathematische Apparat“ beim Lösen der verschiedensten — ins” besondere auch praktischen — Aufgaben einsetzen läßt. Nicht versäumen möchte ich es, mich bei Herrn Dipl.-Math. Hans-Christian Pahlig zu bedanken, der die erste LATEX–Fassung des vorliegenden Buches aus einer — von der Verfasserin von einigen Jahren auf dem PC 1715 geschriebenen — alten Computervariante entwickelt hat, wobei insbesondere von ihm sämtliche Zeichnungen neu entworfen und programmiert wurden. XIV Vorwort zur ersten Auflage Meinen Rostocker Kollegen Herrn Prof. Dr. R. Knörr, Herrn Dr. F. Leitenberger und Frau Dr. K. Mahrhold gilt mein Dank für die kritische Durchsicht einzelner Kapitel und einiger Änderungs- und Ergänzungsvorschläge. Bei den Mitarbeitern des Springer-Verlages möchte ich mich für die sehr angenehme Zusammenarbeit bedanken. Rostock, im November 2003 Dietlinde Lau Inhaltsverzeichnis Teil I Grundbegriffe der Mathematik und Algebraische Strukturen 1 Mathematische Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Logische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Elemente der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Korrespondenzen, Abbildungen und Verknüpfungen . . . . . . . . . 1.5 Mächtigkeiten, Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Boolesche Funktionen und Prädikate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 15 21 27 35 51 2 Klassische algebraische Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Halbgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Ringe und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Verbände und Boolesche Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 60 66 82 93 Teil II Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 Lineare Gleichungssysteme, Determinanten und Matrizen . . 107 3.1 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.2 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.3 Rang von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 3.4 Lösbarkeitskriterien und Lösungsverfahren für LGS . . . . . . . . . 143 4 Vektorräume über einem Körper K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.1 Die Definition eines Vektorraums über K, Beispiele . . . . . . . . . 157 4.2 Untervektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.3 Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . 164 4.4 Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 XVI 4.5 Inhaltsverzeichnis 4.6 4.7 Lineare Unabhängigkeit und Basen über einem Untervektorrraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Dimensionssätze, Isomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Koordinaten, Basistransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 4.8 Anwendungen für Vektoren aus V2 bzw. V3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 → → 5 Affine Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.1 Die Definition eines affinen Raumes, Beispiele . . . . . . . . . . . . . . 189 5.2 Koordinaten und Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5.3 Affine Unterräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 5.4 Schnitt und Verbindung affiner Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.5 Parallele affine Unterräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6 Vektorräume mit Skalarprodukt (unitäre und euklidische VRe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 → → Das Skalarprodukt in V2 bzw. V3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Das Skalarprodukt in Vektorräumen über den Körpern R oder C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Norm (Betrag) von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Winkel zwischen Vektoren (in euklidischen Vektorraumen) . . . . 221 ¨ Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Das Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 7 Euklidische und unitäre affine Punkträume . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 7.1 Abstandsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 7.2 Winkel- und Volumenmessung in euklidischen Punkträumen . . 244 7.3 Koordinatentransformationen in kartesischen Koordinatensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 8 Eigenwerte, Eigenvektoren und Normalformen von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 8.1 Motivation, Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 8.2 Eigenwerte von Matrizen und Nullstellen von Polynomen . . . . . 259 8.3 Verallgemeinerte Eigenräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 8.4 Überführung von symmetrischen Matrizen in Diagonalgestalt . 279 8.5 Jordansche Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 9 Hyperflächen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 9.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 9.2 Hauptachsentransformation (Beweis von Satz 9.1.1) . . . . . . . . . 300 9.3 Klassifikation der Kurven 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 9.4 Klassifikation der Flächen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Inhaltsverzeichnis XVII 10 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 10.1 Allgemeines über lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 10.2 Adjungierte Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 10.3 Normale Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 10.4 Selbstadjungierte und antiselbstadjungierte Abbildungen . . . . . 344 10.5 Unitäre und orthogonale Abbildungen, Isometrien . . . . . . . . . . . 345 10.6 Normalformen linearer Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 10.7 Gruppen aus linearen Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 11 Affine Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 11.1 Allgemeines über affine Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 11.2 Gruppen gewisser affiner Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 11.3 Einige Invarianten affiner Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 Teil III Numerische Algebra und Kombinatorik 12 Einführung in die Numerische Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 12.1 Fehlertypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 12.2 Fehlerfortpflanzung bei differenzierbaren Funktionen . . . . . . . . . 363 12.3 Maschinenzahlen, Rundungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 12.4 Intervallarithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 13 Gleichungsauflösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 13.1 Problemstellung, geometrische Deutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 13.2 Der Banachsche Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 13.3 Das Newton-Verfahren, die Regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 13.4 Polynomgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 13.4.1 Abschätzungen für Polynomnullstellen . . . . . . . . . . . . . . 384 13.4.2 Das Horner-Schema und das zweizeilige Horner-Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 13.4.3 Verfahren zur Nullstellenberechnung von pm . . . . . . . . . 388 14 Lineare Gleichungssysteme mit genau einer Lösung . . . . . . . . . 391 14.1 Der Gauß-Algorithmus (mit Pivotisierung) . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 14.2 Vektor- und Matrixnormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 14.3 Die Kondition von LGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 14.4 Elementare Iterationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 14.4.1 Das Jacobi-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 14.4.2 Das Gauß-Seidel-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 14.4.3 Konvergenzbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 14.5 Projektionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 14.5.1 Grundidee der Projektionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 14.5.2 Projektion auf Hyperebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 14.5.3 Gradientenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 XVIII Inhaltsverzeichnis 15 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 15.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 15.2 Interpolation mit Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 16 Grundlagen der Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 16.1 Grundregeln des Abzählens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 16.2 Permutationen, Kombinationen und Variationen . . . . . . . . . . . . 422 16.2.1 Permutationen (Anordnungen) von M . . . . . . . . . . . . . . 422 16.2.2 Permutationen mit Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 16.2.3 Variationen mit Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 16.2.4 Variationen ohne Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 16.2.5 Kombinationen ohne Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 16.2.6 Kombinationen mit Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 16.2.7 Einige Beispiele für Anwendungen obiger Formeln . . . . 426 16.3 Das Prinzip der Inklusion-Exklusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 16.4 Mächtigkeiten von einigen Abbildungsmengen . . . . . . . . . . . . . . 431 16.5 Lineare Rekursionsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 Teil IV Übungsaufgaben 17 Übungsaufgaben zum Teil I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 17.1 Aufgaben zum Kapitel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 17.2 Aufgaben zum Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 18 Übungsaufgaben zum Teil II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 18.1 Aufgaben zum Kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 18.2 Aufgaben zum Kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 18.3 Aufgaben zum Kapitel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 18.4 Aufgaben zum Kapitel 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 18.5 Aufgaben zum Kapitel 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 18.6 Aufgaben zum Kapitel 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 18.7 Aufgaben zum Kapitel 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 18.8 Aufgaben zum Kapitel 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 18.9 Aufgaben zum Kapitel 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 19 Übungsaufgaben zum Teil III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 19.1 Aufgaben zum Kapitel 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 19.2 Aufgaben zum Kapitel 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 19.3 Aufgaben zum Kapitel 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 19.4 Aufgaben zum Kapitel 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 19.5 Aufgaben zum Kapitel 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 Inhaltsverzeichnis XIX Glossar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
