Relationen

Relationen
Aufgabe 1. Überlegen Sie, wie man folgende Relationen R grafisch darstellen
könnte und entscheiden Sie, ob die Relationen reflexiv auf A, symmetrisch
bzw. transitiv sind. Geben Sie eine kurze Begründung.
R = {(a, b) | a, b ∈ Z, a 6= b},
A=Z
R = {(a, b) | a, b ∈ R, a + b = 1},
A=R
2
2
A=R
3
3
A=R
R = {(a, b) | a, b ∈ R, a < b },
R = {(a, b) | a, b ∈ R, a = b },
R = {(a, b) | a, b ∈ N0 , a − b ist gerade },
A = N0
R = {(a, b) | a, b ∈ N0 , a − b ist ungerade }, A = N0
R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)},
R = {(2, 1), (3, 2), (3, 1)},
A = {1, 2, 3}
A = {1, 2, 3}
R = ∅,
A=N
R = N × N,
A=N
Aufgabe 2. Finden Sie eine Relation auf {1, 2, 3}, die reflexiv und transitiv ist
aber nicht symmetrisch.
Aufgabe 3. Sei R die Verwandtschaftsrelation auf der Menge aller Menschen,
d.h. aRb genau dann wenn der Mensch a mit dem Mensch b verwandt ist.
Begründen Sie informell, dass R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Ein Spezialfall der Verwandtschaftsrelation ist die Vorfahrenrelation S,
d.h. aSb genau dann wenn a Vorfahre von b ist. Untersuchen Sie ob R und
S in einer Teilmengenbeziehung stehen. Ist S reflexiv, symmetrisch oder
transitiv? Welche Eigenschaften hat die Relation R \ S?
Aufgabe 4. Finden Sie eine Relation R und eine Menge A so dass
• R reflexiv auf A ist aber weder symmetrisch noch transitiv.
• R zwar symmetrisch aber weder reflexiv auf A noch transitiv ist.
• R zwar transitiv aber weder reflexiv auf A noch symmetrisch ist.
• R weder reflexiv auf A noch symmetrisch noch transitiv ist.
Hinweis: Es ist einfacher wenn man mit Relationen auf einer endlichen
Menge z.B. {1, 2, 3} spielt.
Aufgabe 5. Wie kann man am Schaubild einer Relation R ⊆ R×R sofort ablesen ob sie reflexiv ist? Woran sieht man dass sie symmetrisch ist? Hinweis:
Zeichnen Sie zuerst ein paar reflexive bzw. symmetrische Relationen und
suchen dann die Gemeinsamkeiten. (Transitivität lässt sich nicht so direkt
sehen, denken Sie aber trotzdem mal darüber nach).
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Aufgabe 6. Prüfen Sie ob folgende Relationen reflexiv auf N0 , symmetrisch
oder transitiv sind:
• ≡3 ∪ ≤N
• ≡3 \ ≤N
• ≤N \ ≡3
• ≡3 ∩ ≤N
Aufgabe 7. Für zwei beliebige Mengen A und B gilt
A ⊆ B genau dann wenn A ∈ P (B).
Sei A die Menge aller Objekte im Cantorschen Sinn. Erklären Sie in wiefern
man sagen kann, dass ∈ eine Relation auf A und P (A) ist. Erklären Sie
die Bedeutung der Ausdrücke
∈ ⊆ A × P (A)
∈ ∈ P (A × P (A))
und
(2, {1, 2, 3}) ∈ ∈ .
Wie würde man letzteren Ausdruck “normalerweise” schreiben? Was bedeutet
(2, {1, 2, 3}), ∈ ∈ ∈?
Aufgabe 8. Eine Relation R ⊆ A × A heißt antisymmetrisch, wenn
für alle x, y gilt
wenn xRy und yRx
dann ist x = y.
So ist z.B. die Relation ≤N antisymmetrisch, denn aus x ≤N y und y ≤N x
folgt x = y. Welche der folgenden Relationen sind antisymmetrisch?
<N , ≥Z , σ, ≡3 , ⊆, ∅, N × N, = .
Beschreiben Sie, wie man allgemein vorgeht um von einer Relation R zu
entscheiden ob sie antisymmetrisch ist und wie ein Beweis der Antisymmetrie beginnen würde.
Aufgabe 9. Eine Relation R ⊆ A×A heißt Halbordnung auf A, wenn R reflexiv
auf A, transitiv und antisymmetrisch ist. Welche der folgenden Relationen
sind Halbordnungen?
• ≤N auf N.
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• <N auf N.
• ≥Z auf Z.
• σ auf N.
• ≡3 auf N0 .
• ⊆ auf der Menge aller Mengen.
• ∅ auf N.
• N × N auf N.
• =Q auf Q.
Aufgabe 10. Eine Relation R ⊆ A × A heißt totale Ordnung auf A, wenn R
Halbordnung ist und außerdem je zwei Elemente von A vergleichbar sind,
d.h.
für alle x, y gilt
wenn x, y ∈ A
dann xRy oder yRx.
Welche der folgenden Relationen sind totale Ordnungen?
• ≤N auf N.
• <N auf N.
• ≥Z auf Z.
• σ auf N.
• ≡3 auf N0 .
• ⊆ auf der Menge aller Mengen.
• ∅ auf N.
• N × N auf N.
• =Q auf Q.
Aufgabe 11. Finden Sie jeweils 3 Elemente der Mengen
<N × ≥Z
(≡3 )2
Aufgabe 12. Sei A = {1, 2, 3}. Finden Sie eine Relation auf A, die zwar reflexiv
und symmetrisch aber nicht transitiv ist.
Aufgabe 13. Bestimmen Sie eine Relation R ⊆ R2 , deren grafische Darstellung der grauen Fläche in Bild 1 links entspricht. Hinweis: Definieren Sie
zunächst Relationen für das mittlere und das rechte Bild und verwenden
Sie dann Mengenoperationen.
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Abbildung 1: Grafische Darstellung von zweistelligen Relation auf R.
Aufgabe 14. Bestimmen Sie jeweils 3 Elemente der folgenden Relationen:
≤N ,
(≤N )3 ,
≤N × ≥N ,
≤N ∩ ≥N
Aufgabe 15. Die Relation R ist definiert durch
R = {(a, b) | a, b ∈ R, ab = 1}.
Ist R reflexiv auf R, transitiv, symmetrisch bzw. antisymmetrisch? Geben
Sie jeweils eine kurze Begründung (1 Satz) oder ein Gegenbeispiel.
Aufgabe 16. Sei
R = ≤N × ≥N .
Machen Sie sich klar, dass R eine Relation auf N2 ist, d.h.
R ⊆ N2 × N2 .
So ist z.B.
(1, 2), (7, 3) ∈ R
da (1, 2) ∈≤N und (7, 3) ∈≥N . Zeigen Sie durch Angabe eines Gegenbeispiels, dass R weder reflexiv auf N2 noch symmetrisch ist. Beweisen Sie
ausführlich, dass R transitiv ist.
Welche der Eigenschaften reflexiv auf N2 , symmetrisch, transitiv hat die
Relation
S = (≤N )2 ?
Aufgabe 17. Die Relation <N ist definiert als
<N = {(a, b) | a, b ∈ N ∧ ∃x ∈ N a + x = b}.
Beweisen Sie unter Verwendung dieser Definition ausführlich, dass <N
transitiv ist.
Aufgabe 18. Definieren Sie die Eigenschaften reflexiv auf A, symmetrisch,
transitiv und antisymmetrisch von Relationen.
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Aufgabe 19. Formulieren Sie folgende Aussage in der Sprache der Logik:
“Für jede Menge A und jede Relation R ⊆ A × A gilt:
Wenn R symmetrisch und antisymmetrisch ist, dann ist R ⊆ =A .”
Setzen Sie auch logische Formeln für die Begriffe symmetrisch und antisymmetrisch ein. Beweisen Sie dann die Aussage ausführlich.
Aufgabe 20. In relationalen Datenbanken wird oft mit Tabellen gearbeitet,
z.B.
Typ
Ford
VW
Fiat
Kennzeichen
HN-DA-8190
S-KR-7618
MOS-RT-1783
Farbe
rot
blau
grün
Baujahr
1995
2001
2003
Dass eine solche Tabelle tatsächlich eine Relation ist, erkennt man wenn
man die beteiligten Mengen identifiziert:
Typ
= {Ford, VW, Fiat, . . .}
Kennzeichen =
{HN-DA-8190, S-KR-7618, MOS-RT-1783, . . .}
Farbe = {rot, blau, grün, . . .}
Baujahr = N.
Die oben als Tabelle dargestellte Relation ist dann die Menge der Quadrupel
R =
(Ford, HN-DA-8190, rot, 1995),
(VW, S-KR-7618, blau, 2001),
(Fiat, MOS-RT-1783, grün, 2003)
Somit gilt
R ⊆ Typ × Kennzeichen × Farbe × Baujahr.
Es gibt natürlich mehrere Autos des selben Herstellers, mehrere mit der
selben Farbe und auch mehrere mit dem selben Baujahr. Andererseits
gibt es aber zu gegebenem Kennzeichen höchstens ein Auto mit diesem
Kennzeichen. Das Attribut Kennzeichen wird daher auch Schlüssel der Tabelle genannt. Formulieren Sie in der Sprache der Logik, dass das Attribut
Kennzeichen Schlüssel der Relation R ist.
Aufgabe 21. Eine Relation R heißt antisymmetrisch, wenn
∀a ∀b (aRb ∧ bRa) → a = b
Ist diese Formel äquivalent zu
∀a ∀b aRb → ¬bRa?
Geben Sie einen Beweis oder finden Sie ein Gegenbeispiel.
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Aufgabe 22. Wieviele unterschiedliche Relationen
R⊆A×B
gibt es für
A
= {1, 2}
B
= {1, 2, 3}?
Aufgabe 23. Ein aktuelles Thema in der Informatik ist das “Semantic Web”,
insbesondere die Verbesserung von Suchmaschinen. Derzeitige Suchmaschinen basieren im Wesentlichen darauf, Dokumente zu suchen, in denen ein gegebenes Wort vorkommt. Problematisch hierbei ist, dass ein
Wort unterschiedliche Bedeutungen haben kann (Zweideutigkeiten). So
kann z.B. das Wort “Bremse” sowohl ein Insekt als auch ein Fahrzeugteil bezeichnen. Interessiert man sich also für Maßnahmen gegen Insektenstiche und gibt das Wort “Bremse” in eine Suchmaschine ein, ist die
Wahrscheinlichkeit groß, dass man viele Dokumente bekommt, die einen
gar nicht interessieren. Weiterhin können unterschiedliche Worte die selbe
Bedeutung haben (Synonyme). Die Worte “Handy” und “Mobiltelefon”
haben die gleiche Bedeutung. Möchte man sich also über Mobiltelefone
informieren und gibt das Wort “Mobiltelefon” in eine Suchmaschine ein,
entgehen einem alle Dokumente, in denen das Wort “Handy” statt “Mobiltelefon” verwendet wurde. Sei nun
Syntax
Semantik
=
Menge aller Worte der Deutschen Sprache
= Menge aller Dinge, die man durch Worte beschreiben kann.
Sei weiterhin
R ⊆ Syntax × Semantik
die Relation, die die Beziehung zwischen Worten und ihrer Bedeutung
herstellt, d.h.
R = {(x, y) | eine Bedeutung von Wort x ist y }.
Elemente von R sind z.B.
(“Bremse”, das Insekt Bremse)
(“Bremse”, das Fahrzeugteil Bremse)
(“Handy”, das tragbare schnurlose Telefon)
(“Mobiltelefon”, das tragbare schnurlose Telefon)
Formulieren Sie durch prädikatenlogische Ausdrücke die o.g. problematischen Eigenschaften der Relation R, dass
• ein und das selbe Wort mehrere Bedeutungen haben kann
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• unterschiedliche Worte die selbe Bedeutung haben können.
Mit anderen Worten: R ist weder rechtseindeutig noch linkseindeutig.
Transformieren Sie die Formeln so dass einmal nur Existenzquantoren und
einmal nur Allquantoren darin vorkommen.
Aufgabe 24. Eine Relation R heißt rechtseindeutig wenn gilt
∀x, y1 , y2 (xRy1 ∧ xRy2 ) → y1 = y2 .
Analog heißt R linkseindeutig, wenn gilt
∀x1 , x2 , y (x1 Ry ∧ x2 Ry) → x1 = x2 .
• Definieren Sie eine endliche Relation R ⊆ N × N, die weder rechtsnoch linkseindeutig ist.
• Definieren Sie eine unendliche Relation R ⊆ N × N, die weder rechtsnoch linkseindeutig ist.
Aufgabe 25. Im Internet findet man heute sehr viel unseriöse oder falsche
Information. Als Lösung zu diesem Problem wurde das sog. “Web of Trust”
vorgeschlagen. Die Idee dabei ist, dass eine Organisation x explizit ihr
Vertrauen in eine andere Organisation y aussprechen kann, d.h. x sagt,
dass sie sicher ist, dass die von y veröffentlichten Informationen wahr sind.
Auf diese Weise entsteht ein Netwerk von Vertrauensbeziehungen, daher
der Name Web of Trust. Weiterhin gilt, dass eine Organisation x einer
Organisation z vertraut, falls es eine für x vertrauenswürdige Organisation
y gibt, die ihrerseits z vertraut.
• Formulieren Sie die zuletzt genannte Eigenschaft der Vertrauensbeziehung in der Sprache der Prädikatenlogik. Verwenden Sie hierfür
eine Menge A aller Organisationen und die Vertrauensrelation R ⊆
A × A mit
R = {(x, y) | x vertraut y}.
• Folgt aus o.g. Eigenschaft, dass Vertrauen symmetrisch ist? Geben
Sie einen ausführlichen Beweis oder finden Sie ein Beispiel einer Relation R, die o.g. Eigenschaft besitzt aber nicht symmetrisch ist.
• Folgt aus o.g. Eigenschaft, dass Vertrauen transitiv ist? Geben Sie
einen ausführlichen Beweis oder finden Sie ein Beispiel einer Relation
R, die o.g. Eigenschaft besitzt aber nicht transitiv ist.
Aufgabe 26. Sei A eine Menge von Menschen und R ⊆ A × A die Relation
R = {(x, y) | x, y ∈ A und x vertraut y }
• Jeder Mensch aus A vertraut sich selbst und hat außerdem noch
einen weiteren Menschen aus A, der ihm vertraut. Formulieren Sie
diese Aussage in der Sprache der Prädikatenlogik.
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• Folgt hieraus, dass sich alle Menschen aus A gegenseitig vertrauen?
Geben Sie einen kurzen Beweis oder finden Sie ein Gegenbeispiel.
Aufgabe 27.
• Ist die Schnittmenge zweier transitiver Relationen immer eine transitive Relation?
• Ist die Vereinigungsmenge zweier transitiver Relationen immer eine
transitive Relation?
Geben Sie zu jeder Aussage einen ausführlichen Beweis oder ein Gegenbeispiel.
Aufgabe 28. Sei R ⊆ A×A eine Halbordnung auf A. Beweisen Sie ausführlich,
dass R keine Zyklen hat, d.h. dass es keine Elemente x1 , x2 , . . . , xn ∈ A
gibt mit x1 6= xn so dass
x1 Rx2 , x2 Rx3 , . . . , xn−1 Rxn und xn Rx1 .
Aufgabe 29. Eine Relation R heißt reflexiv auf M , wenn
∀x x ∈ M → xRx.
Um zu zeigen, dass eine gegebene Relation R nicht reflexiv auf M ist,
genügt es ein Gegenbeispiel zu finden, d.h. ein Objekt x so dass
x ∈ M ∧ ¬(xRx).
Überlegen Sie sich, warum das so ist indem Sie eine Formel für die Aussage
R ist nicht reflexiv auf M
konstruieren und so lange umformen bis rauskommt
es gibt ein x so dass x ∈ M und nicht xRx.
Aufgabe 30. Bei der Menge
R = ≥N × ≤N
handelt es sich um eine Relation, da
R⊆A×B
z.B. für
A = N2 und B = N2
oder auch
A = ≥N und B = ≤N .
Nennen Sie drei Elemente der Relation und beweisen Sie ausführlich, d.h.
unter ausschließlicher Benutzung der Beweisregeln im Skript, dass R reflexiv auf =N ist.
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Aufgabe 31. Sei R ⊆ A × A eine Relation und =A die Gleichheitsrelation auf
A. Beweisen Sie ausführlich, dass die Relation
R ∪ =A
reflexiv auf A ist.
Aufgabe 32. Die Relation R sei definiert durch
R = {(x, y) | x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ ∃z ∈ N (x <N z ∧ z <N y).
Ist R reflexiv auf N, symmetrisch bzw. transitiv? Beweisen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 33. Die Kleiner Relation auf N ist definiert durch
<N = {(x, y) | x, y ∈ N ∧ ∃z ∈ N x + z = y}.
Beweisen Sie ausführlich, dass <N transitiv ist.
Aufgabe 34. Gilt für jede Relation R dass die Relation
S = {(x, y) | ∃z (xRz ∧ zRy)}.
transitiv ist? Geben Sie einen ausführlichen Beweis oder finden Sie ein
Gegenbeispiel.
Aufgabe 35. Definieren Sie durch eine prädikatenlogische Formel wann eine
Relation antisymmetrisch ist. Welche der folgenden Relationen sind antisymmetrisch?
R
= {(a, b) | a, b ∈ Z, ab = 1}
R
R
= {(a, b) | a, b ∈ Z, ab = −1}
= {(a, b) | a, b ∈ Z, ab = 4}.
Aufgabe 36. Nennen Sie zwei Elemente der Menge
(≥N \ ≤N ) × =N .
Aufgabe 37. Geben Sie einen ausführlichen Beweis oder finden Sie ein Gegenbeispiel für folgende Aussage:
Für alle Mengen A, B ist die Relation
R=A×B
transitiv.
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Aufgabe 38. Finden Sie zwei Mengen A, B so dass die Relation
R = A2 ∪ B 2
nicht transitiv ist. Geben Sie eine kurze Begründung, weshalb R in Ihrem
Beispiel nicht transitiv ist.
Aufgabe 39. Definieren Sie durch eine Formel der Prädikatenlogik wann eine
Relation antisymmetrisch ist. Entscheiden Sie ob die Relation
R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (3, 3)}
antisymmetrisch ist. Begründung ist nicht erforderlich, eine falsche Antwort gibt aber Punktabzug.
Aufgabe 40. Sei R eine Relation mit der Eigenschaft
∀a, b, c (aRb ∧ bRc) → ¬aRc.
Beweisen Sie ausführlich, dass hieraus folgt
∀x ¬xRx.
Aufgabe 41. Beweisen Sie ausführlich, dass jede Teilmenge einer antisymmetrischen Relation wiederum eine antisymmetrische Relation ist.
Aufgabe 42. Die Relation R = {(1, 1)} ist eine reflexive Relation auf der Menge {1}. Ist R auch eine reflexive Relation auf der Menge N?
Aufgabe 43. Zeigen Sie, dass die Teilmengenrelation ⊆ auf der Menge aller
Mengen reflexiv und transitiv ist aber nicht symmetrisch.
Aufgabe 44. Begründen Sie: Ist R eine reflexive Relation auf A und S eine
beliebige Relation auf A, dann ist R ∪ S reflexiv auf A. Gilt das auch für
symmetrisch und transitiv? Finden Sie ein Gegenbeispiel für R, S und A
wo das nicht so ist.
Aufgabe 45. Sei =N die Gleichheitsrelation auf N und =N2 die Gleichheitsrelation auf N2 .
• Finden Sie ein Objekt x für das gilt
x ∈ (=N )2 ∧ x 6∈=N2 .
• Finden Sie ein Objekt y für das gilt
y 6∈ (=N )2 ∧ y ∈=N2 .
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