¨Ubungen zu Logik und Künstliche Intelligenz

Heilbronn, den 4.6.2010
Prof. Dr. V. Stahl
WS 10/11
Übungen zu Logik und Künstliche Intelligenz
Blatt 9
Aufgabe 1. Sei
R = ≤N × ≥N .
Machen Sie sich klar, dass R eine Relation auf N2 ist, d.h.
R ⊆ N2 × N2 .
So ist z.B.
¡
¢
(1, 2), (7, 3) ∈ R
da (1, 2) ∈≤N und (7, 3) ∈≥N . Zeigen Sie durch Angabe eines Gegenbeispiels, dass R weder reflexiv auf N2 noch symmetrisch ist. Beweisen Sie
ausführlich, dass R transitiv ist.
Welche der Eigenschaften reflexiv auf N2 , symmetrisch, transitiv hat die
Relation
S = (≤N )2 ?
Aufgabe 2. Die Relation R sei definiert durch
R = {(x, y) | x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ ∃z ∈ N (x <N z ∧ z <N y).
Ist R reflexiv auf N, symmetrisch bzw. transitiv? Beweisen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 3. Sei R ⊆ A × A eine Halbordnung auf A. Beweisen Sie ausführlich,
dass R keine Zyklen hat, d.h. dass es keine Elemente x1 , x2 , . . . , xn ∈ A
gibt mit x1 6= xn so dass
x1 Rx2 , x2 Rx3 , . . . , xn−1 Rxn und xn Rx1 .
Aufgabe 4. Gilt für jede Relation R dass die Relation
S = {(x, y) | ∃z (xRz ∧ zRy)}.
transitiv ist? Geben Sie einen ausführlichen Beweis oder finden Sie ein
Gegenbeispiel.
Aufgabe 5. Die Aussage “zu jedem a ∈ A existiert höchstens ein b ∈ B so
dass aRb” lässt sich auf unterschiedliche Weisen durch logische Formeln
ausdrücken, z.B.
∀a ∈ A ∀b1 , b2 ∈ B (aRb1 ∧ aRb2 ) → b1 = b2
∀a ∈ A ∀b1 , b2 ∈ B b1 6= b2 → (¬aRb1 ∨ ¬aRb2 )
¬∃a ∈ A ∃b1 , b2 ∈ B (b1 6= b2 ∧ aRb1 ∧ aRb2 ).
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Zeigen Sie durch Anwendung der Umformungsregeln für prädikatenlogische Formeln, dass die zweite und dritte Formel äquivalent zur ersten sind.
Übersetzen Sie die dritte Formel zurück in natürliche Sprache.
Aufgabe 6. Zeigen Sie, dass folgende Relationen Äquivalenzrelationen sind
und beschreiben Sie ihre Äquivalenzklassen. Wie sehen die zugehörigen
Zerlegungen aus?
≡4
=
∼ =
{(a, b) | a, b ∈ N0 , a − b ist durch 4 teilbar}
{(a, b) | a, b ∈ N, a und b haben die selbe letzte Ziffer }
Aufgabe
© 7. ªBerechnen Sie alle Zerlegungen der Menge {1, 2} und der Menge
∅, {∅} .
Aufgabe 8. Sei R eine Äquivalenzrelation auf A. Für jedes a ∈ A ist die Äquivalenzklasse Ka von A bzgl. R definiert durch
Ka = {x | xRa}.
Sei Z die Menge aller Äquivalenzklassen von R, d.h.
Z = {K | ∃a ∈ A K = Ka }.
Beweisen Sie ausführlich, dass Z eine Zerlegung von A ist, d.h. beweisen
Sie folgende drei Formeln:
∀K ∈ Z (K ⊆ A ∧ K 6= ∅)
∀a ∈ A ∃K ∈ Z a ∈ K
∀K ∈ Z ∀K 0 ∈ Z (K 6= K 0 → K ∩ K 0 = ∅)
Aufgabe 9. Berechnen Sie zwei verschiedene Zerlegungen der Menge
P ({2, 3}).
Hinweis: Schreiben Sie zuerst alle Elemente von P ({2, 3}) hin und denken Sie an die leere Menge. Verwenden Sie Farben für zusammengehörige
Mengenklammern.
Aufgabe 10. Beweisen Sie ausführlich, dass die Relation
¡
¢
R = { (a, b), (x, y) | a, x ∈ Z ∧ b, y ∈ Z \ {0} ∧ ay = bx}
eine Äquivalenzrelation auf Z × (Z \ {0}) ist.
Aufgabe 11. Beweisen Sie ausführlich, dass es für alle a, c ∈ N höchstens ein
b ∈ N gibt so dass
a + b = c.
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Formulieren Sie die Aussage zuerst in der Sprache der Prädikatenlogik und
machen Sie deutlich an welcher Stelle im Beweis Sie die Symmetrie und
die Transitivität der Gleichheitsrelation benutzen.
Versuchen Sie analog zu beweisen, dass es für alle a, c ∈ Q höchstens ein
b ∈ Q gibt so dass
ab = c.
Diese Aussage ist übrigens falsch — an welcher Stelle scheitert der Beweis?
Aufgabe 12. Übersetzen Sie folgendes Zitat von Aristoteles in die Sprache der
Prädikatenlogik:
Das Ganze ist mehr als die Summe seiner Teile.
Verwenden Sie folgende Symbole:
• Funktionen
teile(x)
=
die Teile von x
summe(x)
=
die Summe von x
• Relationen
mehrals
{(x, y) | x ist mehr als y}
=
• Konstanten
ganze
=
das Ganze.
Aufgabe 13. Der Beweis dass 1 = 2 ist, sieht wie folgt aus:
• Zu zeigen:
1 = 2.
• Multiplikation mit Null auf beiden Seiten liefert
0 = 0.
Diese Aussage ist offensichtlich wahr, also ist 1 = 2 bewiesen.
Überlegen Sie sich an welcher Stelle ein falscher Beweisschritt gemacht
wurde. Hinweis: Es liegt nicht daran, dass man “mit Null nicht multiplizieren darf”. Tatsächlich ist die Aussage
1=2→0=0
wahr, was man anhand einer Wahrheitstabelle leicht verifizieren kann.
Aufgabe 14. Sei A eine Menge und
f = (A, A, ∅).
Handelt es sich bei f um eine partielle Funktion? Beweisen Sie Ihre Antwort.
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