¨Ubungen zu Lineare Algebra und Computer Grafik

Heilbronn, den 12.11.2010
Prof. Dr. V. Stahl
WS 10/11
Übungen zu Lineare Algebra und Computer Grafik
Blatt 5
Aufgabe 1. Sei
E = {~
p + a~r + b~s | a, b ∈ R}
eine affine Ebene, d.h. ~r, ~s 6= ~0 sind nicht kollinear. Seien weiterhin
~x = p~,
~y = p~ + ~r,
~z = p~ + ~s
drei Punkte auf E. Beweisen Sie ausführlich, dass diese Punkte nicht auf
einer gemeinsamen Geraden liegen.
Aufgabe 2. Sei E eine affine Ebene und ~x, ~y ∈ E mit ~x 6= ~y . Beweisen Sie
ausführlich, dass die Gerade durch ~x und ~y in E liegt.
Aufgabe 3. Berechnen Sie ~z = ~x × ~y für




1
2
~x =  −1  , ~y =  −2  .
1
3
Prüfen Sie nach, dass ~z tatsächlich senkrecht auf ~x und ~y steht und dass
gilt
||~z|| = ||~x|| ||~y || sin(α)
wobei α der Winkel zwischen ~x und ~y ist.
Aufgabe 4. Beweisen Sie ausführlich, dass ~x × ~y = −(~y × ~x).
Aufgabe 5. Sei
E = {~
p + a~r + b~s | a, b ∈ R}
eine Ebene. Intuitiv ist klar, dass ein Vektor ~n genau dann senkrecht zu ~r
und ~s steht, wenn er senkrecht zur Ebene steht, d.h. senkrecht zu jedem
Vektor steht, der in Ausbreitungsrichtung der Ebene zeigt. Um ganz sicher
zu sein sollten wir dies beweisen. Zeigen Sie also, dass
¡
¢
∀~n ∀~x, ~y ∈ E (~y − ~x) ◦ ~n = 0 ↔ (~r ◦ ~n = 0 ∧ ~s ◦ ~n = 0) .
Aufgabe 6. Beweisen Sie ausführlich, dass für alle ~x, ~y ∈ R3 das Skalarprodukt
von ~x und ~x × ~y gleich Null ist.
Sie dürfen im Beweis nicht verwenden, dass ~x × ~y senkrecht zu ~x und ~y
steht. Das stimmt ja auch nur wenn keiner der beteiligten Vektoren gleich
dem Nullvektor ist.
1
Aufgabe 7. Beweisen Sie ausführlich, dass
~x × (~y + ~z) = ~x × ~y + ~x × ~z.
Aufgabe 8. Lesen Sie im Skript das Kapitel über die Hessesche Normalform
und die implizite Form von Ebenen durch.
• Sei


 


2
0
−1 

E =  −1  + a  1  + b  2 


3
1
0
eine Ebene in parametrischer Darstellung. Stellen Sie die Ebene in
Hessescher Normalform und in impliziter Form dar.
• Sei
E = {~x | 3x1 + 2x2 = 5}
eine Ebene in impliziter Form. Stellen Sie die Ebene in Hessescher
Normalform und in parametrischer Form dar.
• In welcher Darstellungsform kann man am einfachsten entscheiden,
ob ein gegebener Punkt ~x auf der Ebene liegt? In welcher Darstellungsform ist die Berechnung des Schnittpunktes einer Geraden mit
der Ebenen am einfachsten? Aus welcher Darstellungsform kann man
am leichtesten auf die Drei Punkte Form umrechnen?
Aufgabe 9. Berechnen Sie den Abstand der Ebene






1
−1 
2

E =  −3  + a  1  + b  0 


3
2
5
vom Koordinatenursprung. Hinweis: Berechnen Sie zuerst eine Ursprungsgerade senkrecht zur Ebene. Bestimmen Sie dann den Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. Der Abstand dieses Punktes vom Ursprung ist
der Abstand der Ebene vom Ursprung. Noch schneller geht’s wenn Sie die
Ebene zuerst in implizite Form umrechnen.
Aufgabe 10. Aus der impliziten Form einer Ebene kann man sehr schnell den
Abstand der Ebene zum Koordinatenursprung berechnen. Sei
E = {~x | ax1 + bx2 + cx3 = d}
eine Ebene in impliziter Form. Beweisen Sie ausführlich, dass dann der
Abstand von E zum Koordinatenurspung
√
a2
ist.
2
d
+ b2 + c2
Aufgabe 11. Leiten Sie eine möglichst einfache Formel her, wie man für einen
beliebigen Punkt p~ ∈ R3 und eine Ebene
E = {~x | ax1 + bx2 + cx3 = d}
in impliziter Darstellung den Abstand von p~ und E berechnen kann. Zeichnen Sie zunächst ein Bild. Hinweis: Berechnen Sie die affine Gerade G
senkrecht zu E durch p~. Als nächstes berechnen Sie den Schnittpunkt von
E und G. Der Abstand von p~ und E ist dann gleich dem Abstand von p~
und dem so berechneten Schnittpunkt.
Aufgabe 12. Arbeiten Sie im OpenGL Kurs im Netz das Kapitel “Bewegte
Grafik” durch. Modifizieren Sie das Programm so, dass sich das Dreieck
zusätzlich noch in der Bildschirmebene dreht (d.h. um die z-Achse) und
zwar mit einer anderen Geschwindigkeit als um die y-Achse.
Aufgabe 13. Eine komplexe Zahl
z = x + jy
kann als zweidimensionaler Vektor
µ
~z =
x
y
¶
interpretiert werden. Multipliziert man eine komplexe Zahl mit ejϕ bedeutet dies geometrisch, dass sich der komplexe Zeiger um Winkel ϕ gegen
den Uhrzeigersinn dreht. Benutzen Sie Ihre Kenntnisse aus der Vektorrechnung um zu beweisen, dass für alle ~z ∈ C \ {0} und für alle Winkel ϕ
zwischen 0 und 180 Grad der Winkel zwischen z und zejϕ tatsächlich ϕ ist.
Hinweis: Sie müssen zejϕ zuerst in kartesische Koordinaten umrechnen.
Aufgabe 14. Ein komplexer Vektor ist ein Vektor, dessen Komponenten komplexe Zahlen sind. Alle Rechenoperationen, die Sie für reelle Vektoren
kennen, gelten genau so auch für komplexe Vektoren — mit einer Ausnahme: dem Skalarprodukt. Eine wichtige Eigenschaft des Skalarprodukts
war ja die positive Definitheit, d.h.
~x ◦ ~x ≥ 0 für alle ~x ∈ Rn
und
~x ◦ ~x = 0 genau dann wenn ~x = ~0.
Diese Eigenschaft ist so nützlich, dass man sie gerne auf komplexe Vektoren übertragen würde. Problematisch dabei ist, dass für zwei komplexe
Vektoren das Skalarprodukt in der Regel eine komplexe Zahl liefern würde,
und der Vergleich ≥ 0 gar nicht definiert wäre. Die Lösung besteht darin, das komplexe Skalarprodukt für zwei Vektoren ~x, ~y ∈ Cn wie folgt zu
definieren:
~x ◦ ~y = x1 y 1 + x2 y 2 + · · · + xn y n
3
wobei y i die konjugiert komplexe Zahl von yi ist.
Zeigen Sie, dass das so definierte komplexe Skalarprodukt tatsächlich positiv definit ist. Zeigen Sie weiterhin, dass gilt
~x ◦ ~y = ~y ◦ ~x.
Das komplexe Skalarprodukt ist also nicht kommutativ!
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