3 Die reellen Zahlen

Vorlesung WS 08 – 09
3
Analysis 1
DIE REELLEN ZAHLEN
Dr. Siegfried Echterhoff
3 Die reellen Zahlen
Wir wollen in diesem Abschnitt die grundlegenden Eigenschaften der reellen Zahlen vorstellen. Wir erkennen
N = {1, 2, 3, . . .}, N0 = {0, 1, 2, 3, . . .} (natürliche Zahlen)
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} = N0 ∪ −N (ganze Zahlen)
o
nn
n
n0
|n ∈ Z, m ∈ N (rationale Zahlen) wobei
= 0 gdw nm0 = mn0 .
Q=
m
m
m
[Genauer: Ist Quotientenraum von Z×N nach der Äquivalenzrelation (n, m) ∼ (n0 , m0 ) ⇔
n
:= [(n, m)].]
nm0 = n0 m. Wir schreiben dann m
√
√
/ Q. Dann aber 2 die Länge der Diagonale im Einheitsquadrat, sollte
Problem: 2 ∈
diese Zahl existieren!
Lösung: “Vollständige” Q vom Körper R der reellen Zahlen.
Definition 3.1 (Körper, VB) Sei ∅ =
6 K eine Menge mit Verknüfungen
+ : K × K → K; (a, b) 7→ a + b
· : K × K → K; (a, b) 7→ a · b
genannt Addition und Multiplikation, so dass gilt:
K1) a + b = b + a, a · b = b · a ∀a, b ∈ K (Kommutativgesetz)
K2) (a + b) + c = a + (b + c), (a · b) · c = a · (b · c) ∀a, b, c ∈ K (Assoziativgesetz)
K3) ∃0 ∈ K mit 0 + a = a + 0 = a ∀a ∈ K und ∃1 ∈ K mit 1 6= 0 und 1a = a1 = a
∀a ∈ K (Existenz neutraler Elemente für + und ·)
K4) ∀a ∈ K existiert −a ∈ K mit a + (−a) = 0 (inverses Element für Addition) und
K5) ∀0 6= a ∈ K existiert ein a−1 ∈ K mit aa−1 = a−1 a = 1 (inverses Element für die
Multipikation)
K6) Es gilt a(b + c) = ab + ac ∀a, b, c ∈ K (Distributivgesetz)
Bemerkung 3.2 Wir wissen aus den Rechenregeln (Schule) dann sowohl (Q, +, ·) als
auch (R, +, ·) Körper sind.
Aber: (Z, +, ·) ist kein Körper, da Bedingung K5 für Z nicht erfüllt ist (zu 2 existiert kein
Element 2−1 ∈ Z mit 2 · 2−1 = 1).
Die Körper R und Q besitzen weitere Eigenschaften:
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Definition 3.3 (VB) Ein Körper (K, +, ·) heißt angeordnet, falls eine Teilmenge K + ⊆
K existiert mit:
A1) K \ {0} = K + ∪ −K +
A2) ∀a, b ∈ K + gilt: a + b ∈ K + und a · b ∈ K +
Die Elemente in K + heißen positiv, und wir schreiben auch a > 0 für a ∈ K + , a < 0 für
a ∈ −K +
n
Beispiel: Setzen wir Q+ = m
|n, m ∈ N ⊆ Q, so erfüllt Q+ die Axiome A1, A2, also ist
Q ein angeordneter Körper. Fass wir R als gerichtete Gerade auf, so ist R+ der Berech
“rechts” von der Null.
Bezeichnung 3.4 Ist K angeordneter Körper, so sagen wir:
a) a > b (a größer b), falls a − b > 0
b) a < b (a kleiner b), falls b > a
c) a ≥ b (bzw. a ≤ b), falls a > b (bzw. a < b) oder a = b.
Aus den Axiomen K1) – K6) und A1), A2) kann man die folgenden Rechenregeln herleiten:
Lemma 3.5 Sei K angeordneter Körper (z.B. K = R, Q). Dann gelten:
a) Für beliebige x, y ∈ K gilt genauu eome der Relationen
x < y, x = y, x > y
b) x > y und y > z ⇒ x > z (“>” ist transitiv)
c) x > y und z > 0 (bzw. z < 0) ⇒ xz > yz (bzw. xz < yz)
d) x > y ⇒ x + z > y + z ∀z ∈ K
e) x > y und z > u ⇒ xz > yu
f ) x > y ≥ 0 und z > u ≥ 0 ⇒ xz > yu ≥ 0
g) xy > 0 ⇔ x, y > 0 oder x, y < 0. Insbesondere gilt: x2 > 0 für alle x 6= 0 und
1 = 12 > 0
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h) x > y > 0 ⇒ 0 <
1
x
<
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1
y
1
x
:= x−1
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Beweis: a) – e) folgt leicht aus den Axiomen. Wir zeigen f ) – h):
f ) Zunächste gilt yu ≥ 0 nach A2). Ferner gilt: xz − yu = xz − yz + yz − yu =
(x − y)z + y(z − u) > 0 nach A2), da x − y, z, z − u > 0 und y ≥ 0
g) “⇐” Sind x, y > 0, so xy > 0 nach A2), und sind x, y < 0, so −x, −y > 0 nach
A1) und dann xy = (−x)(−y) > 0 nach A2)
“⇒” xy > 0 ⇒ x, y 6= 0. Ist x > 0, y < 0, so gilt −xy = x(−y) > 0, also xy < 0
falls x < 0, y > 0. Fazit: xy > 0 ⇒ x, y > 0 oder x, y < 0.
h) Da 1 = x x1 > 0 folgt mit g), dann x1 > 0 ⇔ x > 0. Dann folgt mit A2) auch
1
− x1 = x−y
= x1 · y1 (x − y) > 0, also 0 < x1 < y1
y
xy
Beachte: Nicht jeder Körper besitzt eine Anordnung! z.B. K = {0, 1} mit 0+0 = 1+1 = 0,
0 + 1 = 1 + 0 = 1, 0 · 1 = 1 · 0 = 0 · 0 = 0, 1 · 1 = 1 ist Körper, der keine Anordnung
besitzt (da 1 = -1 wäre dann 1 = 12 > 0 und 1 = −1 < 0 Widerspruch!)!
Ist K ein beliebiger Körper, x ∈ K und n ∈ Z, so definieen wir n · x wie folgt 0 · x = 0,
n · x = |x + .{z
. . + x} für n > 0 und n · x = − ((−n) · x) für n < 0. man rechnet dann leicht
n−mal
nach, dass gilt:
(n + m) x = nx + mx ∀x ∈ K, n, m ∈ Z
Lemma 3.6 Ist K angeordneter Körper, so existiert eine kanonische Abbildung φ : Q −→
K mit
n
n
φ
= (n · 1) (m · 1)−1 ∀ ∈ Q, m ∈ N
m
m
Dann gelten: φ ist injektiv und φ (x + y) = φ (x) + φ (y), φ (xy) = φ (x) · φ (y) und
φ (x) ≥ φ (y) ⇔ x ≥ y ∀x, y ∈ Q
[Kurz: φ ist injektiver ordnungserhaltener Körperhomomorphismus]
∀m ∈ N: m · 1 = 1 + . . . + 1 > 0, da 1 > 0, also m · 1 6= 0.
Beweis: Zunächst
gilt
n
n·1
Daher ist φ m = m·1 (Kurzschreiweise für (n · 1) (m · 1)−1 ) wohldefiniert. Man rechnet
schnell nach, dass φ(x + y) = φ(x) + φ(y) und φ(xy) = φ(x)φ(y) für alle x, y ∈ Q gilt.
n
n
= (n · 1)
(m · 1)−1 > 0 (da x−1 > 0 für
Ist x = m
> 0, so gilt n, m > 0, also auch φ m
n
n
n
<0⇒φ m
≥ 0. Anwenden auf
x > 0). Analog folgt m
< 0. Es folgt φ nn ≥ 0 ⇔ m
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x − y ∈ Q liefert φ(x) ≥ φ(y) ⇔ φ(x) − φ(y) ≥ 0 ⇔ x − y ≥ 0, also φ(x) ≥ φ(y) ⇔ x ≥ y.
Sei nun x, y ∈ Q mit x 6= y. Dann gilt x < y oder y < x. Ist x < y, so ist y − x > 0 und
dann ist auch φ(x) − φ(y) = φ(x − y) > 0, also φ(y) 6= φ(x). Also ist φ injektiv.
Das obige Lemma sagt, dass der Körper Q auf kanonische Weise in jedem angeordneten
Körper als Unterkörper enthalten ist (Insbesondere gilt Q ⊆ R.)
Lemma 3.7 (Bernoullische Ungleichung) Sei K ein angeodneter Körper (z.B. R oder
Q). Dann gilt für alle x ∈ K mit x > −1 für alle n ∈ N:
(1 + x)n ≥ 1 + n · x
Beweis: (Induktion nach n)
IA: n = 1: 1 + x ≥ 1 + x
IS: n 7→ n + 1: Die Aussage gelte für n: Dann folgt:
(1 + x)n+1 = (1 + x)n · (1 + x)
≥
(1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + |{z}
nx2 ≥ 1 + (n + 1)x
1+x>0
≥0
Ind.Ann
Definition 3.8 (VB) Ein angeordneter Körper K heißt archimedisch, falls zu jedem x ∈
K ein n ∈ N existiert mit x < n(:= n · 1).
R und Q sind archimedisch (für Q ist dies klar, für R ist dies Teil unserer Beschreibung)
Satz 3.9 (VB) Sei K ein archimedisch angeordneter Körper (z.B. R oder Q). Dann
gelten:
a) Ist b > 1, so existiert zu jedem R ∈ K ein N ∈ N mit bn > R ∀n ≥ N.
b) Ist 0 < q < 1, so existiert zu jedem ε > 0 ein N ∈ N mit q n < ε ∀n ≥ N.
c) Zu jedem ε > 0 existiert ein N ∈ N mit
1
n
< ε ∀n ≥ N.
Beweis:
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a) Setzte x := b − 1 > 0. Nach Archimedes existiert ein N ∈ N mit
R < Nx. Nach Bernoulli folgt
R
x
< N, also
bN = (1 + x)N ≥ 1 + Nx > Nx > R.
Ist dann n ≥ N, so gilt bn−N ≥ 1 (da b > 1 und n − N ≥ 0) und dann bn =
bN bn−N ≥ bN > R.
b) Ist 0 < q < 1, so ist 1 = 11 < 1q (3.5 h). Nach a) existiert ein N ∈ N mit
n
1
> R := 1ε n ≥ N. Dann folgt aber 9 < q n < ε ∀n ≥ N.
q
c) Nach Archimedes existiert N ∈ N mit
1
< N1 R1 = ε.
n
1
ε
1
qn
=
=: R < N. Dann folgt für alle n ≥ N : 0 <
Definition 3.10 (Absolutbetrag) Sei K angeordneter Körper. Für a ∈ K setzten wir
a,
falls a ≥ 0
|a| :=
−a, falls a < 0
|a| heißt Absolutbetrag von A
Lemma 3.11 Es gelten die folgenden Rechengegeln für |−|:
|ab| = |a| |b| ,
|a + b| ≤ |a| + |b| ,
||a − b|| ≤ |a| + |b|
Beachte: Die 4-Ungleichung |a + b| ≤ |a| + |b| ist die wohl wichtigste Ungleichung der
Analysis!
Beweis: |ab| = |a| |b| und |a + b| ≥ |a| + |b| folgt aus der Definition mit offensichtlichen
Fallunterscheidungen.
Wir zeigen ||a − b|| ≤ |a| − |b|
Es gilt: |a| = |a − b + b| ≤ |a − b| + |b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a − b|
4−U ngl.
Analog: |b| = |b − a + a|
≤
4−U ngl.
|b − a| + |a| ⇒
k
|b| − |a| ≤ |b − a|
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Wir kommen nun zur entscheidenden Eigenschaft der Körper R der reellen Zahlen, die
ihn vom Körper Q unterscheiden. Bis jetzt wissen wir: R und Q sind archimedisch angeordnete Körper (für Q kann man das leicht zeigen, für R haben wir dies lediglich gefordert
– wir haben den Körper R ja nicht wirklich konstruiert!).
Der entscheidende Unterschied lieg in der Vollständigkeit von R, die wir wie folgt beschreiben wollen:
Zunächst: Sind a, b ∈ R mit a ≤ b, so bezeichnet
[a, b] = {x ∈ R |a ≤ x ≤ b }
das abgeschossene (oder kompakte) Intervall von a bis b.
Definition 3.12 (Intervallschachtelung und Vollständigkeit von R, VB) .
Sei I1 , I2 , . . . , In , . . . eine Folge von kompakten Intervallen In = [an , bn ] ⊆ R mit:
(IS 1) In+1 ⊆ In ∀n ∈ N
(IS 2) Zu jedem ε > 0 existiert ein N ∈ N mit |IN | = |aN − bn | < ε
(da In ⊆ IN ∀n > N folgt dann auch |IN | < ε ∀n ≥ N). Dann heißt (In )n eine Intervallschachtelung in R
Vollständigkeitsaxiom für R:
Jede Intervallschachtelung (In )n in R besitzt einen inneren Punkt x ∈ R, d.h. es gilt
x ∈ In ∀n ∈ N.
Beachte: Der innere Punkt x für die Intervallschachtelung (In )n ist eindeutig bestimmt.
Wäre nämlich y ∈ R mit y ∈ In ∀n ∈ N ein weiterer innerer Punkt, so wäre |x − y| ≤
|an − bn | ∀n ∈ N. Wäre aber |x − y| =: ε > 0, so existiert nach (IS2) ein N ∈ N mit
|aN − bN | < ε = |x − y|, also ein Widerspruch!
Fazit: (VB) Ist (In )n Intervallschachtelung in R, so ex. genau ein x ∈ R mit x ∈ In ∀n ∈ N
Mit viel mehr Aufwand kann man den folgenden Satz beweisen (was wir hier nicht tun):
Satz 3.13 Es existiert (bis auf homorphie) genau ein archimedisch angeordneter, vollständiger Korper, und das ist R.
Als erste Anwendung der Vollständigkeit von R beweisen wir:
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Satz 3.14 Sei a ∈ R mit a ≥ 0 und sei k ∈ N. Dann exisitiert genau eine relle Zahl
x ∈ R mit x ≥ 0 und
xk = a.
√
Bezeichnung: x =: k a (k-te positive Wurzel aus a).
Für den Beweis benötige wir:
Lemma 3.15 Für alle a, b ∈ R und k ∈ N gilt:
bk − ak = (b − a)(bk−1 + abk−2 + . . . + ak−2 b + ak−1 )
Beweis: Ausmultiplizieren der rechten Seite liefert
2 k−2
k−1
2 k−2
// + a////////
bk + /////
+ . . . + ///////
ak−1 b − ///
− a///
ak−1//b − ak = bk − ak
abk−1
b
ab////
b///// − . . . − /////
Beweis von 3.14: Sind 0 ≤ x < y, so folgt aus 3.5(f) auch xk < y k ∀k ∈ N. Damit folgt
die Eindeutigkeit der Lösung x für xk = a.
Wegen 0k = 0, 1k = 1 ist die Aussage klar für a = 0, 1. Ist a > 1 und x ≥ 0 mit xk = a,
k
so folgt x1 = x1k = a1 . Damit genügt es den Satz für den Fall a > 1 zu zeigen. Ebenso
können wir k > 1 annehmen (k = 1 ist klar!).
Dazu: Konstruiere Intervallschachtelung mit x als inneren Punkt.
Idee:
(Intervallhalbierungsverfahren):
Definition: I1 = [a1 , b1 ] mit a1 = 1, b1 = a. Da a > 1 und k > 1 folgt ak > a und
1k = 1 < a, also ak1 ≤ ak ≤ bk1 .
Sind dann I1 , . . . , In konstruiert mit In = [an , bn ] und akn ≤ a ≤ bkn , so bertrachte c :=
bn − an
n
= an + bn −a
.
2
2
1. Fall: ck ≤ a. Setzte an+1 = c, bn+1 = bn
2. Fall: ck ≥ a. Setzte an+1 = an , bn+1 = c
Ist dann In+1 = [an+1 , bn+1 ], so folgt In+1 ⊆ In und
|In+1 | = |bn+1 − an+1 | =
1
1
|bn − an | = |In | .
2
2
Per Induktuin nach n folgt dann |In | = 21n · 2(a − 1) ∀n ∈ N. Ist dann ε > 0 gegeben, so
ε
existiert nch 3.9 (b) ein N ∈ N mit 21n < 2(a−1)
∀n ≥ N, also folgt insbesondere |In | < ε.
Damit ist (In )n Intervallschacht und es existiert genau ein x ∈ R mit x ∈ In ∀n ∈ N.
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Zeige: xk = a.
Dazu: Wir zeigen: Ist I˜n = akn , bkn , so ist auch I˜n eine Intervallschachtelung. Wegen
n
an ≤ c ≤ bn gilt dann akn ≤ xk ≤ bkn ∀ ∈ N, also ist xk innerer Punkt. Da auch akn ≤ a ≤ bkn
für alle n ∈ N folgt xk = a (Eindeutigkeit des inneren Punktes).
Wegen 1 ≤ an ≤ an+1 ≤ bb+1 ≤ bn folgt mit 3.5 auch 1 ≤ akn ≤ akn+1 ≤ bkn+1 ≤ bkn ∀n ∈ N,
also I˜n+1 ⊆ I˜n .
Mit Lemma 3.15 folgt ferner:


k−1
X l k−1−l 
˜ an bn
In = bkn − akn = (bn − an ) 

| {z }
l=0
≤ |In | k · ak−1
Ist dann ε > 0, so wähle N ∈ N mit |IN | =
wir fertig.
ε
kak−1
≤ak−1
(da an , bn ≤ a)
und dann folgt I˜N < ε. Damit sind
Da der obige Satz für Q nicht gilt, ist klar, dass Q nicht vollständig ist! Eine andere
spannende Folgerung aus der Vollständigkeit von R ist:
Satz 3.16 Seien a, b ∈ R mit a < b. Dann ist [a, b] nicht abzählbar.
Beweis: A : [a, b] ist abzählbar. Dann existiert eine surjektive Abbildung f : N −→ [a, b].
Setze xn = f (n), also [a, b] = {x1 , x2 , . . .}.
Wir konstruieren eine Intervallschachtelung. (In )n mit
/ In ∀n ∈ N
a) xn ∈
b) |In | =
1
(b
3n
− a) ∀n ∈ N
n = 1: Setzte c1 = a + 13 (b − 1), c2 = a + 23 (b − a)
Wähle für I1 eins der Intervalle [a, c1 ], [c1 , c2 ], [c2 , b], dass x1 nicht enthält (das ist immer
möglich!).
n 7→ n + 1 Ist In bereits konstruiert, so setzte c1 := an + 13 (bn − an ), c2 := an + 23 (bn − an )
und wähle für In+1 eins der Intevalle [an , c1 ], [c1 , c2 ], [c2 , bn ], dass xn+1 1 nicht enthält.
/ In ∀n, ist keins der xn
Es ist dann klar, dass (In )n eine Intervallschachtelung ist. Da xn ∈
innerer Punkt von (In )n . Da R vollständig, existiert aber ein x ∈ R mit x ∈ In ∀n ∈ N.
Da In ⊆ [a, ] ∀n gilt auch x ∈ [a, b]. Nach Annahme gilt [a, b] = {xn |n ∈ N } und dann
x = xn für ein n. Dies ist ein Widerspruch!
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