Die Darstellung von partiellen $ K $

Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae
Jan Kastl; Tomáš Tichý
Die Darstellung von partiellen K -stelligen Operationen
Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae, Vol. 17 (1976), No. 1, 167--178
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æMMENTATIONES MATHEMATICAE UNIVERSITATIS CAЮLINAE
17,1 (1976)
ИE DARSTELLUNG VON PARTIELLEN K-STEŁLIGEN OPERATIONEN
Jan KASTL, Praha,
Tomáă TICHÍ, Rožnov p.R.
I n h a l t : Man untersucht den Zusammenhang der p a r t i e l l e n
k - s t e l l i g e n assoziativen Operationen mit den p a r t i e l l e n
zweistelligen a s s o z i a t i v e n Operationen. Dabei bekommt man
heraus, dass jede p a r t i e l l e k - s t e l l i g e assoziative Opera­
t i o n mit Hilfe der n i c h t l e e r e n Relationen auf einer Menge
darzustellen i s t .
Schlüsselwörter: P a r t i e l l e k - s t e l l i g e assoziative Ope­
r a t i onTAbMlHungsrelation, p a r t i e l l e Abbildung.
AMS: 20M20
Ref. 2 . : 2.721.4
In d i e s e r Arbeit wird die Untersuchung der
k-abgeschlos-
senen Teilmengen z w e i s t e l l i g e r Operationen aus der Arbeit
auf die
[lj
k-abgeschlos9enen Teilmengen p a r t i e l l e r z w e i s t e l l i ­
ger a s s o z i a t i v e r Operationen e r w e i t e r t . Auch in
bilden a l l e solche
diesem Fall
r , für die die gegebene Teilmenge
(r + l)-abgeschlossen i s t , eine additive Unterhalbgruppe der
naturlichen Zahlen. Man zeigt auch, dass es eine Kategorie
und i n i h r eine solche Teilmenge g i b t , deren Verdünnung die
.Form b e t r a c h t l i c h b e l i e b i g e n Graphs hat, und a l l e Zahlen
r ,
für die s i e bezüglich der p a r t i e l l e n Operation der Morphismenzusammensetzung
(r + 1)-abgeschlossen i s t , eine vorge­
schriebene additive Unterhalbgruppe der natürlichen Zahlen
bilden.
167
Angesichts [ 1 ] g i l t die verallgemeinerte Behauptung, so
dass auch jede p a r t i e l l e
k - s t e l l i g e assoziative Operation
wie induzierte durch p a r t i e l l e z w e i s t e l l i g e assoziative Operation auf der
k-abgeschlossenen Teilmenge zu gewinnen i s t .
Von dieser Behauptung kann
Darstellung partieller
man leicht zu den Sätzen über
k - s t e l l i g e r assoziativer Operation mit
Hilfe nichtleerer Abbildungsrelationen und im .Fall der Geltung
der Bedingung (S) über Darstellung mit Hilfe der Abbildungen
übergehen. Dieses Verfahren von Darstellung unter (S)-Voraussetzung wurde vom zweiten Autor i n [3 3 gewonnen.
Bezeichnung:
Wir verwenden s i e im gewohnlichen Sinn. In
möglichen Uhdeut Henkelten verweisen wir auf die genauere Erklärung in der Arbeit C l l .
Definition:
Unter einer p a r t i e l l e n
k*stelligen Opera»-,
t i o n & auf der Menge Y ( k i s t naturliche Zahl & 2 ) v e r stehen wir beliebige p a r t i e l l e Abbildung et
in
die Menge
aus der Menge
*
X ( et kann auch leere Abbildung sein)*
cT i s t dann eine p a r t i e l l e assoziative Operation, wenn
für jedes Paar
yi***»y2k-l €
Y
^^zlliilk:1
= oiji,
1£
die
i,j .4 k und für beliebiges System
&mze
Gleichung
' ° r ( y i , # # , y k ^ i - l ) » yk^i^:|?2k-l )
• . *y$~\
* o^(yjJ • • *yjc+j-i^
Ä
t ?)£+j»• * ^ y 2k-i^
kl8r und gültig i s t , sofern wenigstens eine ihre Seite klar i s t ,
Definition:
Sei /y
partielle zweistellige a s s o z i a t i v e
Operation auf der Menge X . Die Teilmenge
- 168 -
X£X
heisst
k-
abgeschlossene Teilmenge
(X,y)
(für
che Zahlen21), sofern es für jedes
für das der Ausdruck
definiert i s t ,
£.6k€N-*~i naturli-
k-Tupel
Ä
'
z
z € X gilt •
(X,#;)
die Vorschrift:
k-abgeschlossene
genau i n dem Fall i s t , wenn wir durch
( j ^ , . . ,y k ) e IT , cfi^,..,yk)
,y
is
-*ff*( y ^ , . . , 3*^Jk-l k^ • * ^ "
die rechte Seite klar i s t —
soziative) Operation et
Definition:
* S
=
enau dann
eine p a r t i e l l e
auf der Menge
definiert, wenn
k - s t e l l i g e (as-
X bekommen.
Bezuglich der gegebenen partiellen zwei-
s t e l l i g e n assoziativen Operation
beliebige Teilmenge
so dass
t^*
T^7i$ T ^ » * * » T ^ k - i ^ k ^ * * "
Es i s t leicht zu sehen, dass? X eine
Teilmenge von
^T.»**
X die
X£X
mit
(X,tf*)
N(XJ
bezeichnen wir für
die Menge a l l e r
r«.N ,
(r • 1)-abgeschlossene Teilmenge von
(X,#*-)
ist.
Behauptung 1 :
Sei f
partielle zweistellige assozia-
t i v « Operation auf der Menge
X . .Für X£ X i s t
N(X)
eine
Unterhalbgruppe der naturlichen Zahlen bezüglich der Addition.
Beweis i s t evident.
Auch f3r den Fall p a r t i e l l e r assoziativer Operationen
sind a l l e
NCX)
genau die additiven Unterhalbgruppen von N
— t l l • Die Behauptung 4 aus C12 kann man jetzt für Kategorien verallgemeinern.
Bemerkung 1:
Wir halten
(T,G)
mit unendlichem Weg, wenn es für
art g i b t , dass
(t^tp
,
##
für gerichteten Graph
V-icN
t ^ , . . , ^ « T» der-
, (t^,^) e G •
- 169 -
2
Sei
T
eine Menge. Man definiere auf
T
folgende par-
tielle, offensichtlich assoziative, Operation *z
.Für
(t1,t2.) , (t 3 ,t 4 )€T
2
wird
% ((t-ptg.) ',(tj,t4))
dann definiert, wenn t 2 = t-> , und ist daa
.Für gerichteten Graph
:
(T,G)
genau
(t^,t.) .
verstehen wir unter
N(G)
die Unterhalbgruppe der naturlichen Zahlen bezüglich der partiellen Operation XBehauptung 2:
auf
Sei
N^
turlichen Zahlen, T(G)
lichem Weg, so dass
gorie
(K,o )
additive Unterhalbgruppe der na-
sei ein gerichteter Graph mit unend-
N(G)2 ^
gilt. Dann gibt es eine Kate-
die erfüllt:
Es gibt eine Bijektion pu aus
1)
Objekten
2)
f
T^ .
T
auf die Menge von
K° .
Es gibt eine Teilmenge von Morphismen
dass es bezuglich der partiellen Operation
o
Xc K11 derart,
N(Y) = N-^
gilt.
3)
Das Paar
wenn es in
X
(t^>t2)
liegt im Graph
einen aus dem Objekt
^(t2)
G
genau dann,
in Objekt
(t^(t^)
gehenden Morphismus gibt.
4)
gsrie
Ist der Graph
(T,G)
endlich, so ist auch die Kate-
(K, o ) endlich.
Beweis: Man nehme nach L H solche Teilmenge
die bezuglich der Kompositionsoperation
( S*0
, X+ 0
—
N(S) = N^
S£X*
f
erfüllt.
endliche.)
(K, o ) ist die Kategorie aller Abbildungen zwischen den
Mengen 4Xx-lt l } * ,-» (mit der Komposition), d.h.
K 0 » - U * *t * ; t€ T ? , K1* = -Cf:
170
XK
-C t ? * — ^ X x i t ^
;
tpt^fcT?
.
Wir definieren
Y » -i s t
t
<a.(t) » X n 4t 1 ;
: X x < t 2 l —*- X * * t x * ; sfiS , ( t l f t 2 ) « G? ,
wo » t ^ (x,t.2-) * ( s t x J j t ^ )
Die Inklusion
« N(Sjs N(G)
definiert
N^fi N(Y)
ist.
folgt aus der Beziehung
und der unendliche Weg des Graphs
wahrleistet dann N(Y)s ^
^ =
(T,G)
ge-
.
Anderseits kann man auch für die
k-abgeschlossenen Teil-
mengen p a r t i e l l e r z w e i s t e l l i g e r assoziativer Operationen z e i gen, dass die auf ihnen induzierten p a r t i e l l e n
k-stelligen
assoziativen Operationen eine ganz beliebige Form haben können.
Behauptung 3 :
Sei cT p a r t i e l l e
Operation auf der Menge
k - s t e l l i g e assoziative
X , ( k £ 2 ) . Es gibt eine Menge F
mit p a r t i e l l e r z w e i s t e l l i g e r assoziativer Operation f
eine injektive
(yii"-!^)« *
Abbildung
k
r
(
und
Tfr : Y—• F , so dass für b e i .
r
ö t y 1 , * . * l y k ) ) * r <r
. . . , -y ( 1/r ( y ^ . ^ ) , i f C y ^ ) ) . . )
(yi)f.-
klar und gültig i s t , sofern
eine Seite d i e s e r Gleichung k l a r i s t .
Beweis:
Wir erganzen die p a r t i e l l e Operation <T auf
die t o t a l e Operation X
nehme
O^Y
auf der Menge X = Yu £0} (man
a n ) . Pur beliebige
<
x ^ , . . . ,x^€ X
= öT(xp . . . tx^)
= 0
, wenn x ^ , . . . , x ^ 6 Y und
cT(x^,....,x Tc ) klar i s t
in übrigen f a l l e n
Leicht i s t es zu sehen, dass diese Operation X
171
assoziativ
i s t . Man wende auf X
die Behauptung 1 aus 11} an.
Wir bemerken noch, dass die Abbildung
e r f ü l l t : für b e i .
cp - X—» F dann
y^^.-jy^eX , zlf..,-Sj«X
f
1*1 , j £
4 k - 1
<f (y^J • . . *> <%(j$) = 9 ( 2 ^ ) • • • » <y ( Z J ) -==-*-> i =- j
(siehe Bemerkung 1 in t l j ) »
Man bezeichne j e t « t .ndt
eben f € F , für die es
H die Teilmengesj.Qn allen s a l -
y,y1,..,ynffY , neN
f
l*l-£;j.£n
derart g i b t , dass f « 9 (y^J o ^ ( y ^ j ) • . • « 9 ( y j J
- ^(y^) * . . « 9 (y n )
(fj^f.yl
aus
erfüllen, und
^
tf
:
y
also
F solche p a r t i e l l e zwei-
i s t l e d i g l i c h für solche Paare
d e f i n i e r t , die
es i s t dann
f£,f 2 J f 3 ;
f
- f j / f2
gleich.
ist assoziativ.
s e i nämlich
tx* £2° f^cH l
t±e E , f 2 e H , £^o f ^ e H
f (fpf2)
Die p a r t i e l l e Operation f
Für
*if*2» 3
T ^ T {£\%*2> %*-£ --lar,
€ H
gibt
*^
daher
1 * * * A **
z
e
£n;
r (c i ) ; y»yi>«» » y i - i i y j + 1 f > y n j i f f - V
art, dass
y(yx)o .. « 9 ( y i . i ' f l f i d f 2 c f 3 * ^ ( y j + l ) o
f^ » ^ ( z ^ ) o . . « #^ z r^
f.2° f^eH
und also auch- folgender Ausdruck i s t k l a r :
=
x
der
~
*• ° ^ ( y n }
- cp(y) ,
3**(fl» 9 ^ 2 * * 3 ) )
9» (y)
gelten.
Man definiere auf der Menge
s t e l l i g e Operation
und
Ä
g e l t e n . Daraus folgt
% ° f 2 t f f 3 • Analogisch i s t die Defi-
nierbarkeit auf die andere Seite zu beweisen.
Die injektive Abbildung
f
: I — > F , die wir durch die
Restriktion von 9? auf die Menge XQX
bekommen, l i e f e r t
die gesuchte Eintauchung der p a r t i e l l e n Operation cf i n die
p a r t i e l l e zweistellige assoziative Operation
- 172 -
y
#
Für b e i .
I.
yit*«9yk*Y
I s t . c3T(y l f ..,y k J
. . , y ^ ) ) ~ <y ( ^ ( y i f ^ f y j j . ) )
sehen w i r , dass
-
es:
«
das
klar,
s
so g i l t
Y (?{) * ••
y (^(y1,...
ö
T^y k ) • Daraus
s
k l a r und g ü l t i g i s t .
Umgekehrt g i l t es aus dem Sinn des ersten Ausdruck-
r< y <yi)f/r t y ( y ^
9 ( A» ( y l f . . , y k H
Ware
tieren
folgende:
y ( y (y1),.., ^ ( y ^k-1^ » y(yk)).*)
y ( o^ ( y 1 ? . . , y k ) )
II.
&**
.
y(yk))..)
*
(eH ).
X (yif»«ty k ) = 0 , so gälte es demzufolge: E x i s -
z ^ , . . ^ ^ ,
z ^ + 1 , . . >z n c X ,
lÄi^.j-B.n
derart,
dass
9 (z) =* gKz.^) «> . . «» ^ ^ z i - i ^ d 9> (0) * 9 ( 2 . . ^ ) * •• * $p(z n )«
* y ( 0 ) «• . . « 93(0) g i l t . Dabei weiter g i l t 9 (z) =
-i+n-j
» CP(0) * . . -> cp(O) -=- 9 ( 0 ) • . . * 9> (0)
-Z.
i+n-j
r
für irgendwelche
1-sr-^k - 1 . Aber es muss< s e i n :
g?(z) = g? (0) . Das
i s t der Widerspruch, denn y
Es muss also
r - 1 ,
ist injektiv.
A (y-^,..,y k )4--0
cj> ( Ä, ( y ! f f y k ) )
gelten, d.h.
= y ( ^ (ylf..,yk)) •
Diese Behauptung bewegt uns leicht zu den Sätzen über
Darstellung von p a r t i e l l e n
Definition:
Unter Abbildungsrelationen verstehen wir
eine n i c h t l e e r e Menge
plikation
k - s t e l l i g e n Operationen.
gilt:
f+iu
von Paaren, so dass folgende Im-
(ylfx)e f ,
( y ? , x ) c f «-=-> y^ « y^
( Xjy^y^ - bei.).
Lemma:
Sei y
r a t i o n auf der Menge
p a r t i e l l e zweistellige assoziative OpeX . Dann gibt es eine Menge S von
- 173 -
Abbildungsrelationen und eine Bijektion
dass
wenn
für b e i .
x-^jX^eX
f (x 1 ? x 2 )
ß (x^) * ß> ( s ^ ^ ^ »
un<i
ß : X—** S
derart,
genau dann k l a r i s t ,
ß ( T ^i»3^^
^ann
-
- f3 (xx) * ß (x2) .
Beweis:
Man nehme die Menge
Man definiert auf
X'
X * X u < 1} , wo l £ X •
die p a r t i e l l e z w e i s t e l l i g e Operation
<#*' f olgenderweise :
für
wenn
(xlfx2)€X^
f
wird
(x^x.,)
y'(xlfx2)
k l a r i s t , und
für
(x,l) , x e X
für
(l,x) , x e x ' — f '
für b e i .
wird
aeX
genau dann d e f i n i e r t ,
dann
T'(X,1)
=X
wird nicht
nehmen wir
T/^x\tx2^
~
immer d e f i n i e r t ;
definiert.
LÄ =
a
= 1 (y,x) ; x e X ' , y = y r ( a , x ) hat den S i n n } • Wir sehen,
dass immer ( a , l ) e L , LQ eine Abbildungsrelation i s t . Die
Bljektion
Ä
ß (a) = Laa
* : X—*-S == 4 L ßa ; a € X } , die durch
definiert wird, e r f ü l l t das angeführte Erfordernis«
Das i s t leicht mit Hilfe folgender Eigenschaft der p a r t i e l l e n Operation y'
zu beweisen: j?ür b e i .
x 1 , x 2 e X , x-j €
c x'
<p'( <f ( x l f x 2 ) , x ^ ) =- T ' ( x l f 3*'(x 2 l x-J)
tig ist
y
k l a r und g ü l -
sofern wenigstens eine Seite d i e s e r Gleichung k l a r
ist.
Benauntung 4 :
auf der Menge
Die p a r t i e l l e
X i s t assoziativ genau dann, wenn es eine
l'enge von Abbildungsrelationen
dung
k - s t e l l i g e Operation: cf
oC : Y—*C
das Folgende g i l t :
C und eine b i j e k t i v e Abbil-
derart g i b t , dass für b e i .
cf(y^,..
fy^)
i s t in
- 174 -
yj^fty^«*
Y genau dann k l a r ,
wenn
oc (y^) o
#.
« oc(y k )4:0 , und dann
oc ( et ( y l f ••jyj..)) ~ °s (y x ) « . . <- oc (y^) .
Beweis:
E x i s t i e r e n solche
C und oc , i s t cT bestimmt
a s s o z i a t i v . Umgekehrt tauchen wir assoziative p a r t i e l l e Oper a t i o n d" i n zweistellige assoziative Operation
tf
e i n und
wenden wir das vorgehende Lemma auf 9" an.
Bemerkung 2:
Man beachte, dass sich diese Behauptung
ganz gleich für die Menge
C von beliebigen nichtleeren Re-
l a t i o n e n formulieren l a s s t .
Definition:
Unter genauer Bedeutung von p a r t i e l l e r Ab-
bildung werden wir, zum Unterschied von Abbildungsrelation,
e i n Dreitupel
(ylfx) c f ,
(f,X,Y)
anfassen,
und es g i l t :
(y 2 ,x) c f ==.==-> y, - y 2 .
Wir definieren Komposition
dungen
wo f S l x X
X
Y
X ,Y
( ^ i f i ! i ) • (f2» 2 2^
und s i e i s t
(f-_ o f ^ X ^ , ^ )
von zwei p a r t i e l l e n Abbilgenau dann, wenn X^ = X^,
f
gleich.
Be^gunff (Sj
Wir sagen, dass die auf der Menge
tielle
k - s t e l l i g e Operation cT die Bedingung (S) e r f ü l l t ,
wenn es solche zwei Abbildungen
eine Menge
k l a r , wenn
d
f
r
aus der Menge
X in
<f g i b t , die die folgende Erforderung e r f ü l l e n :
Für b e i .
* r(yk)
X operierende p a r -
yifty^^X
dCy^ « r ( y g )
g i l t , und
ist
f
cT(y1,..,yk)
genau dann
d(y 2 ) - * r ( y 3 ) , . . , c K y ^ ) -*
dann g i l t noch
r( cTCylf..,yk)) * P ( y ) .
- 175 -
d ( c T ( y 1 , . . , y k ) ) » d(y k ) ,
Behauptung 5:
auf der Menge
Die p a r t i e l l e
k - a t e l l i g e Operation cf
X i s t assoziativ und dabei die Bedingung (Sl
erfüllt genau in dem .Fall, wenn es eine Menge
t i e l l e n Abbildungen und eine Bijektion
gibt, dass für
Fif^*^
* & (y 1 ) • .• • ur (y k )
P ton par-
ar : X—*-P
derart
°!1* Gleichung tfr (cT(j^ f •• f y k )->«
klar und gültig i s t , sobald eine
ihre Seite klar i s t .
gejoüjn
Wir werden .für beliebiges Dreitupel
1(8^1*21*3)! i
s
*i
(l
Ä
lf2,3)
schreiben«
Man setze voraus, dass es die beschriebenen
Sei
C ~ -ffpJ 2 '; P € P ? u flpl%
1 p e P ? . Auf der Menge X
definisren wir dann die Abbildungen
di« Forschrift
P , of gibt»
d
f
r: X —>
tf
durch
d(y) » I st (y) I z , r(y) * * JJT (w)l 3 . Das
Verfahren der Komposition von partiellen Abbildungen und die
Injektivitlt der Abbildung af
gewahrleisten, dass cf die
Bedingung ($} erfüllt und assoziativ i s t .
Sei umgekehrt oT eine p a r t i e l l e (S)-erfüllende assoziative Operation. Man nimmt nach der Behauptung 4 die Menge C
der Abbildungsrelationen und die Bijektion
Seien d , r: X—> (X
Man nehme noch
cc : X—-** C •
die Abbildungen aus der Bedingung (S) #
(f c\ F' = 0
an, wo QSF'X
F'
für jedes c c
6 C ist.
Wir ordnen durch die Tors ehr i f t flr zu jedem y€ X eine
partielle Abbildung Uf (y) » (oc(y), F'u < d ( y ) j , J?'u * r ( y ) J )
zu. Es f o l g t j e t z t aus der Bedingung (S) und aus der Eigenschaft von oc l e i c h t , dass die Abbildung ar : X—*• P *
* i # ( y ) ; y s X ? wirklich .Folgendes e r f ü l l t :
1f ( < / ( y l f . . , y k ) ) * er (y^) • . . • ^ ( y k ) , sobald eine Seite
klar
ist.
- 176 -
Nachtrags
Die vorangehende Behauptung i s t ganz überein-
stimmend für die Menge
P , die die Abbildungen zwischen d i s -
jtnkten niehtleeren Mengen bilden* und bezuglich der gewohnlichen Operation der Komposition
von "anknüpfenden* Abbil-
dungen zu äussern»
Beweis:
Wir sehen l e i c h t , dass sich die Menge
\ t: X«—*» X_
; .... . |
von Abbildungen zwischen disjunkten
nicht leeren Mengen ganz identisch wie solche Menge
i(f,X
,X J ; • . . . } von partiellen Abbildungen betragt*
TL ^
Anderseits kann man jede Menge P von partiellen Ab-
bildungen auf eine Menge
Z von Abbildungen übertragen«
Man bilde zu der Menge X die gleichmacht ige Menge
Z(X) «- 4 X J * 3tx iOl u 4 ( X , 0 , 1 ) | . C Z ( X ) r » Z ( I ) # 0 < «
<$—*X a Y . ) Wir ordnen zu p * (f,X,Y)e P die folgenderweise definierte Abbildung
£>(p)(X,x f O) * (Y,y,0)
$*(p): Z(X)—*Z(Y)
zu:.
für
V x e X , so dass
3 (l) y
für
V x c X , so dassr
nanJ
(y,x)ef
f (p)(X,x,0) * (Y,0,1)
y
(y,x)e f
(Ü (p)(X,0,l) = (Y,0,1)
f
Z * if
i s t offensichtlich die Bijektion
(p) ; p c P t
P auf die Menge
von Abbildungen zwischen disjunkten
nicht leeren Mengen. Man überprüft leicht
a f (PX) • f (p ? ) •
177 -
<p (p^ • P2^ *
L i t e r a t u r :
tll
KASTL J # : Die k-abgeschlossenen Teilmengen der Halbgruppen, Comment. Math. Univ. Carolinae 17(1976),
135-146.
[2]
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Berlin-Heidelberg-New Yoгk, Springeг, 1972.
[3]
TICHÝ T . : Algebгaìcká charakteriSace systémû zobrazení
(Diplomová práce 1972), u n v e r o f f e n t l i c ћ t .
Matematícko-fyzikální f a k u l t a
Tesla Rožnov
Universita Жarlova
náгodní podnik
Sokoiovská 8 3 , 18600 Praha 8
75661 Rožnov pod
6e sko slove nsk o
Radhoãt m
Seskoslovensko
(Oblatuin 2 9 . 9 . 1975)
- 178