Blatt 2 - Präsenzübungen
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Prof. A. Grigorian, Funktionen
SS 2017
Blatt 2 - Präsenzübungen
12. Seien nichtleere Mengen und : → eine Abbildung. Beweisen Sie die folgenden
Aussagen.
() Ist injektiv, so gibt es eine Abbildung : → derart, dass ◦ = Id .
() Ist surjektiv, so gibt es eine Abbildung : → derart, dass ◦ = Id .
13. Für jedes ∈ R definieren wir den Betrag || durch
½
falls ≥ 0
|| =
− falls 0
Beweisen Sie die folgenden Eigenschaften des Betrages.
() | + | ≤ || + ||
() | + | ≥ ||| − |||
() || = || ||
¯ ¯
¯ ¯
() ¯ ¯ = ||
|| falls 6= 0
14. Bezeichnen wir 2 := 1 + 1 und 2 := · . Beweisen Sie die folgende Identität für alle ∈ R:
( + )2 = 2 + 2 + 2
15. Beweisen Sie die folgenden Eigenschaft der Ungleichung in R.
() Sei . Für alle 0 gilt , und für alle 0 gilt .
() Für alle 0 und 0 gilt .
16. Beweisen Sie die folgenden Eigenschaften der Quadratwurzel:
√
√
() Für alle 0 ≤ ≤ gilt ≤ .
√
() Für jedes ∈ R gilt 2 = ||.
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Blatt 3 - Abgabe bis 05.05.17
Zusätzliche Aufgaben sind mit * markiert
In den Aufgaben 17-20 dürfen nur die Axiomen von R und deren Folgerungen aus der Vorlesung
benutzt werden. Alle andere Aussagen müssen bewiesen werden.
17. Beweisen Sie die folgenden Identitäten für reelle Zahlen .
() − ( + ) = − −
() ()−1 = −1 −1 falls 6= 0
() Beweisen Sie: die Gleichung = für ∈ R \ {0} und ∈ R hat genau eine Lösung
= −1 .
18. Beweisen Sie die folgenden Identitäten für beliebige reelle Zahlen mit 6= 0
=
für alle 6= 0
+
() + =
=
()
()
Hint: Nach Definition gilt
= −1
19. Seien positive reelle Zahlen mit ≤ und ≥ . Beweisen Sie:
() ≤
≤
()
20. Seien reelle Zahlen mit . Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
() Für alle 0 1 gilt
+ (1 − )
() Für jedes mit existiert ein ∈ R so dass 0 1 und
= + (1 − )
21.
∗
Für je zwei Mengen mit ⊂ ist die folgende Operation ‘−’ definiert:
− := \
die monotone Differenz heißt. (Ist keine Teilmenge von , so ist − nicht definiert,
obwohl \ immer sinnvoll ist). Sei eine Grundmenge. Bestimmen Sie, wie die Vereinigung
∪ zweier Teilmengen ⊂ sich aus den Mengen durch Operationen ‘∩’ und
‘−’ ergeben lässt.
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