Analysis I-IV

Analysis I-IV
Joachim Hilgert
Der vorliegende Text ist eine vorläufige Ausarbeitung meiner Vorlesungen Analysis I-IV (Wintersemester
2004/2005 – Sommersemester 2006) an der Universität Paderborn.
Diese Ausarbeitung ist nicht korrekturgelesen und nur zum internen Gebrauch gedacht!
Für Kommentare und Korrekturen bin ich dankbar. Vorschläge für Ergänzungen im Index werden jederzeit eingearbeitet.
Paderborn, den 18.7.2005
J. Hilgert
Inhaltsverzeichnis
Vorbemerkung
1
0 Vorbemerkung
0.1 Vom Wesen der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2 Über die Abstraktion in der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.3 Die Sprache der Mathematik: Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Analysis I
1
1
3
10
17
1 Axiomatik der reellen Zahlen
1.1 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Positivität und Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
17
24
28
2 Stetige Funktionen
2.1 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Stetige Funktionen auf Intervallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
31
43
49
3 Differenzierbare Funktionen
3.1 Die Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Rechenregeln für Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Der Mittelwertsatz und seine Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
57
61
66
4 Konvergenz von Folgen und Reihen
4.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Umordnung von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
71
80
86
5 Folgen von Funktionen
93
5.1 Konvergenz von Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3 Beispiele von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Analysis II
131
6 Stammfunktionen
131
6.1 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.2 Spezielle Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7 Integrierbare Funktionen
137
7.1 Das Integral einer Stufenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.2 Folgen von Stufenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.3 Integrierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
i
ii
INHALTSVERZEICHNIS
8 Konvergenzsätze
8.1 Folgen und Reihen integrierbarer Funktionen
8.2 Nullmengen und fast überall“ Konvergenz .
”
8.3 Norm-Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Die fundamentalen Konvergenzsätze . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
153
153
157
162
166
9 Verbindung zwischen Integral- und Differentialrechnung
9.1 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . .
9.2 Die Taylorentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Einige spezielle Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
175
175
181
185
189
10 Topologische Räume
10.1 Umgebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Konvergenz und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Kompakte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
193
193
201
205
11 Differenzierbarkeit
11.1 Differenzierbarkeit und Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213
213
220
225
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12 Implizite Funktionen
239
12.1 Der Banachsche Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
12.2 Der Satz über implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Analysis III
13 Elementare Lösungsmethoden für Differentialgleichungen
13.1 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen . . . . . . .
13.2 Variation der Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Homogene Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4 Gleichungen vom Typ y 00 = f (y) . . . . . . . . . . . . . . . .
253
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
257
257
259
260
262
14 Lokale Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen
269
14.1 Der Satz von Picard–Lindelöf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
14.2 Differentialgleichungen mit Parametern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
14.3 Differenzierbare Abhängigkeit von den Anfangswerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
15 Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen
285
15.1 Homogene Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
15.2 Inhomogene Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
15.3 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
16 Konstante Koeffizienten
297
16.1 Die Exponentialfunktion für Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
16.2 Differentialgleichungen höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
16.3 Anwendungen auf nichtkonstante Inhomogenitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
17 Meßbare Mengen und Funktionen
319
17.1 Meßbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
17.2 Meßbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
INHALTSVERZEICHNIS
18 Maß und Integral
18.1 Maße . . . . . . . . . . . . . .
18.2 Integrale . . . . . . . . . . . .
18.3 Produktmaße . . . . . . . . .
18.4 Nullmengen und Konvergenz
iii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Analysis IV
329
329
331
339
345
355
19 Spezielle Eigenschaften des Lebesgue-Maßes
19.1 Regularität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2 Charakterisierung des Lebesgue-Maßes . . . . . .
19.3 Affine Transformationen . . . . . . . . . . . . . .
19.4 Die Transformationsformel für Diffeomorphismen
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
355
355
358
361
363
20 Immersionen und Untermannigfaltigkeiten
20.1 Immersionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2 Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . .
20.3 Nullstellenmengen differenzierbarer Abbildungen
20.4 Tangential- und Normalenvektoren . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
373
373
376
380
383
21 Oberflächenmaße von Untermannigfaltigkeiten
387
21.1 Kurvenintegrale in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
21.2 Der Maßtensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
21.3 Das Oberflächenmaß einer Untermannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
22 Der
22.1
22.2
22.3
22.4
Gaußsche Integralsatz
Ein Spezialfall . . . . . . . . .
Kompakta mit glattem Rand
Der Gaußsche Integralsatz . .
Die Greensche Formel . . . .
.
.
.
.
401
401
403
410
416
23 Pfaffsche Formen
23.1 Pfaffsche Formen und Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.2 Stammfunktionen von Pfaffschen Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.3 Geschlossene Pfaffsche Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
419
419
424
427
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
24 Die Integralsätze von Green und Stokes
431
24.1 Der Greensche Integralsatz in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
24.2 Der Satz von Stokes im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
25 Krümmung von Untermannigfaltigkeiten des Euklidischen Raumes
437
25.1 Krümmung von Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
25.2 Krümmung von Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
Anhang
449
A Die natürlichen Zahlen
449
A.1 Die Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
A.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
B Konstruktion der reellen und komplexen Zahlen
B.1 Von den natürlichen zu den ganzen Zahlen . . . . .
B.2 Von den ganzen zu den rationalen Zahlen . . . . .
B.3 Von den rationalen zu den reellen Zahlen . . . . .
B.4 Von den reellen zu den komplexen Zahlen . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
459
459
463
466
474
iv
INHALTSVERZEICHNIS
C Naive Mengenlehre
477
C.1 Die Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
D Hintergrundmaterial zur Linearen Algebra
D.1 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . .
D.2 Vektorräume von Zahlentupeln . . . . . . .
D.3 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . .
D.4 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.5 Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
487
487
490
506
511
517
Index
522
Literaturverzeichnis
533
Kapitel 0
Vorbemerkung
0.1
Vom Wesen der Mathematik
Man kann Mathematik als eine Verfeinerung der Alltagssprache auffassen. Sie dient dazu, beobachtbare Vorgänge so präzise zu beschreiben, daß es möglich wird, Gesetzmäßigkeiten zu erkennen. Die Entdeckung der Newtonschen Gesetze der Mechanik, die die Planetenbewegungen ebenso bestimmen wie
die Flugbahn eines Satelliten, ist ohne eine mathematische Formulierung kaum denkbar. Mathematische
Beschreibungen sollten nicht als Abbilder, sondern als Modelle betrachtet werden und sind daher nicht
durch die Situation festgelegt. Man braucht etwas Mathematik, um ein Wahlergebnis statistisch so aufzubereiten, daß man es auf einer Zeitungsseite wiedergeben kann; die präzisen Hochrechnungen aus relativ
wenigen ausgezählten Wahlkreisen zu erhalten, erfordert jedoch sehr viel mehr mathematischen Aufwand.
An den obigen Beispielen kann man zwei Funktionen der Mathematik ablesen: Modellierung und Prognose. Die Newtonsche Mechanik ist das mathematische Modell für die Bewegung massiver Gegenstände
und es ist Aufgabe der Mathematik, Flugbahnen vorherzuberechnen.
Die Modellierung ist eine Aufgabe, die nicht von der Mathematik oder dem Mathematiker allein
geleistet werden kann. Es ist Fachwissen in den Disziplinen nötig, in deren Zuständigkeit das zu beschreibende System fällt. Daher kommen Modellierungsprobleme in Mathematikbüchern meist nur am Rande
vor.
In der Regel beinhaltet ein mathematisches Modell gesetzmäßige Zusammenhänge zwischen verschiedenen Eigenschaften des Systems. So sind zum Beispiel Spannung und Stromstärke in einem Stromkreis
über eine Materialeigenschaft, den Widerstand, gekoppelt. Kennt man zwei dieser Größen, kann man
die dritte berechnen. Für den Mathematiker bedeutet Prognose“ sehr oft das Herausrechnen einer un”
bekannten Größe aus einer Reihe von bekannten Größen. Die zentrale Problemstellung der Mathematik
wird daher gern als das Lösen von Gleichungen“ beschrieben.
”
Das Lösen von Gleichungen ist keineswegs ein Automatismus. Die meisten Gleichungen lassen sich
nicht explizit lösen, und auch einfachen Gleichungen ist normalerweise nicht anzusehen, ob sie überhaupt
eine Lösung haben. Man prüft z.B. leicht nach, daß die Gleichung
x2 + y 2 = z 2
in den Unbekannten x, y, z von x = 3, y = 4, z = 5 gelöst wird. Eine solche ganzzahlige Lösung dieser Gleichung heißt ein pythagoräisches Zahlentripel. Mit etwas elementarer Geometrie kann man ein
Konstruktionsverfahren angeben, wie man alle pythagoräischen Zahlentripel findet. Für die Fermatsche
Gleichung
xn + y n = z n
in den Unbekannten x, y, z mit einer vorgegebenen natürlichen Zahl n > 2 dagegen gibt es keine positiven ganzzahligen Lösungen. Das war von P. Fermat (1601–1665) behauptet worden, aber es bedurfte
dreihundert Jahre intensiver mathematischer Forschung, dies 1996 zu beweisen.
Mathematik ist also mehr als nur eine sprachliche Lupe. Losgelöst von der Modellierung beobachteter
Phänomene schafft sie sich eine eigene Begriffswelt und Werkzeuge, mit denen man diese Begriffswelt
1
2
KAPITEL 0. VORBEMERKUNG
untersuchen kann. Der Versuch Gleichungen zu lösen hat viele neue mathematische Entwicklungen in
Gang gesetzt, aber den Begriffen und Techniken, die heute zum Repertoir des Mathematikers gehören,
ist diese Abstammung oft nicht mehr anzusehen.
Beispiel 0.1.1 (Die Entwicklung des Zahlbegriffs):
In den natürlichen Zahlen N: 1, 2, 3, . . . findet man keine Lösung der Gleichung
x + 1 = 1.
Nimmt man die Null hinzu, so findet man zwar hierfür eine Lösung, nicht aber für die Gleichung
x + 1 = 0.
Dafür braucht man die ganzen Zahlen Z: . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . ., die wiederum nicht ausreichen,
um die Gleichung
2x + 1 = 0
zu lösen. Zu desem Zweck führt man die rationalen Zahlen Q: m
n mit m ∈ Z und 0 6= n ∈ Z ein. Schon
die alten Griechen wußten, in den rationalen Zahlen die Gleichung
x2 = 2
nicht lösbar ist. Man führt die reellen Zahlen R als Grenzwerte“ von rationalen Zahlen (z.B. unendliche
”
Dezimalbrüche) ein und stößt wieder an eine Grenze: Die Gleichung
x2 = −1
ist nicht lösbar in R. Wenn man schließlich die komplexen Zahlen C als Paare (a, b) reeller Zahlen mit
(a, b) + (a0 , b0 ) = (a + a0 , b + b0 )
und (a, b)(a0 , b0 ) = (aa0 − bb0 , ab0 + ba0 )
als Addition und Multiplikation einführt, so läßt sich der Fundamentalsatz der Algebra beweisen:
Satz: Über C sind alle Polynomgleichungen, d.h. Gleichungen der Form
ak xk + ak−1 xk−1 + . . . + a1 x + a0 = 0,
lösbar.
Analysiert man die Vorgehensweise, so findet man folgende Prinzipien, die auch in anderen Situationen
zum Einsatz kommen:
• Man schafft den richtigen Rahmen für ein Problem (hier das Lösen von Polynomgleichungen).
• Der Lösungsbegriff wird verallgemeinert (Lösung in welchem Zahlbereich?).
• Später kann man dann immer noch die Frage stellen, ob es eine Lösung in einem kleineren Zahlbereich gegeben hat, wie z.B: im Fermatschen Problem:
xn + y n = z n für ganzzahlige x, y, z.
0.2. ÜBER DIE ABSTRAKTION IN DER MATHEMATIK
0.2
3
Über die Abstraktion in der Mathematik
Der grundlegende Ansatz der modernen Mathematik ist es, Dinge über ihre Eigenschaften zu beschreiben und sich dabei möglichst auf diejenigen Eigenschaften zu beschränken, die für die zu behandelnde
Frage wirklich relevant sind. Wenn man die Umlaufbahn eines Raumgleiters beschreiben will, dann betrachtet man ihn als einen bewegten Punkt (den Schwerpunkt). Will man ihn von einer Umlaufbahn ihn
eine andere steuern, muß man ihn als dreidimensionales Objekt auffassen mit ausgezeichneten Richtungen, in die die Steuerraketen Schub ausüben. Beim Andocken an eine Raumstation spielt die genaue Form
des Gleiters eine Rolle, und beim Eintauchen in die Atmosphäre auch noch die Hitzebeständigkeit des
Materials. Diese Abstraktion vom Raumgleiter auf ein Objekt mit einigen klar festgelegten Eigenschaften
erleichtert es, Ähnlichkeiten mit in anderen Zusammenhängen gefundenen Beschreibungen und Lösungen
zu erkennen und zu benützen. Bewegte Massepunkte modellieren auch Wurfgeschosse oder Planeten, in
der Aerodynamik von Tragflächen verfügt man über eine lange Erfahrung, und die Hitzebeständigkeit
von Kacheln betrachtet man auch nicht erst seit dem Eintritt ins Raumfahrtzeitalter.
Da der hohe Abstraktionsgrad für viele die höchste Hürde im Studium der Mathematik ist, soll die
Bedeutung der Abstraktion für die Mathematik hier an einer Reihe von Beispielen noch näher erläutert
werden. Zuerst geht es um den Übergang von konkreten Modellen zu abstrakten Methoden:
Beispiel 0.2.1 (Stromkreise):
Widerständen R1 , R2 , R3 :
I3
?
I2
?
Betrachte einen Stromkreis mit einer Spannungsquelle U und drei
R3
R2
U
I1
?
R1
Der Zusammenhang zwischen der Spannung U , den Widerständen R1 , R2 , R3 und den resultierenden
Stromstärken I1 , I2 , I3 ist durch die Kirchhoffschen Gesetze gegeben, die hier folgende Gleichungen
erzwingen:
I1
=
I2 + I3
U
R2 I2
=
=
R1 I1 + R2 I2
R3 I3
Dabei sind Spannung und Widerstände bekannt und die Stromstärken zu berechnen.
Man kann das machen, indem man eine Gleichung nach einer der gesuchten Größen auflöst, das
Ergebnis in die anderen Gleichungen einsetzt und so die Zahl der Gleichungen und der Unbekannten
um Eins reduziert hat. Dieses Verfahren wiederholt man und löst die letzte Gleichung nach der einzig
verbliebenen Unbekannten auf. Dann setzt man das Ergebnis wieder in die anderen Gleichungen ein und
findet so sukzessive auch die anderen Unbekannten.
4
KAPITEL 0. VORBEMERKUNG
Im physikalisch gesehen realistischen Fall R1 , R2 , R3 > 0 findet man so
I2
=
R3
I3
R2
I1
=
I2 + I3 = (
U
=
I3
=
I2
=
I1
=
R3
R2
+ 1)I3 = (1 +
)I2
R2
R3
R1 R2 + R1 R3 + R3 R2
I3
R2
R2 U
R1 R2 + R2 R3 + R1 R3
R3 U
R1 R2 + R2 R3 + R1 R3
(R2 + R3 )U
R1 R2 + R2 R3 + R1 R3
Wir können also feststellen:
• Wir haben die Gleichung gelöst.
• Die Lösung war nicht wirklich algorithmisch, d.h. automatisierbar, weil wir nicht vorgeschrieben
haben, welche Gleichung nach welcher Unbekannten aufgelöst werden soll.
• Für jeden Schaltkreis müßten wir uns neu entscheiden, wie wir die Gleichungen lösen wollen.
Beispiel 0.2.2 (Produktionsmodell): Betrachten wir ein Produktionssystem bestehend aus drei
Produzenten mit je einem Produkt, das nach außen (an den Markt) und untereinander (zur Ermöglichung
der Produktion) geliefert wird. Mit x1 , x2 , x3 werden die produzierten Mengen (einheitlich gemessen z.B.
in Geldwert) bezeichnet. Annahme: Die von i an j gelieferte Menge ist proportional zu der von j
produzierten Menge: aij xj . Sei yi die Nachfrage des Marktes nach dem Produkt von i. Ziel ist dann (nach
Leontief) die Herstellung des folgenden Gleichgewichts von Produktion und Nachfrage.
y1
x1
a x3
13
y3
a12 x2
x3
x2
y2
Es ergeben sich folgende Gleichungen
y1
y2
= x1 − a12 x2 − a13 x3
= x2 − a21 x1 − a23 x3
y3
= x3 − a31 x1 − a32 x2
0.2. ÜBER DIE ABSTRAKTION IN DER MATHEMATIK
5
Wir vergleichen die Gleichungen der beiden Beispiele und formen sie etwas um, damit die Analogien
deutlicher werden:
I1
U
R2 I2
= I2 + I3
= R1 I1 + R2 I2
= R3 I3
y1
y2
y3
=
=
=
x1 − a12 x2 − a13 x3
x2 − a21 x1 − a23 x3
x3 − a31 x1 − a32 x2
↓
↓
I1 + (−1)I2 + (−1)I3
R1 I1 + R2 I2 + 0I3
0 + R2 I2 + (−1)R3 I3
=
=
=
0
U
0
x1 + (−a12 )x2 + (−a13 )x3
(−a21 )x1 + x2 + (−a23 )x3
(−a31 )x1 + (−a32 )x2 + x3
−1
R2
R2
−1
0
−R3
y1
y2
y3
↓
↓
1
R1
0
=
=
=
0
U
0
1
−a21
−a31
−a12
1
−a32
−a13
−a23
1
y1
y2
y3
Die resultierenden Zahlenschemata nennt man Matrizen und durch eine systematisierte Variante
des sukzessiven Variableneliminierens von oben (dem Gauß-Algorithmus) kann man daraus die Unbekannten bestimmen. Wir stellen fest:
• Mit dem Übergang von den Gleichungen zu den Matrizen hat man nur redundante Information aus
den Gleichungen entfernt und gleichzeitig die Übersichtlichkeit erhöht.
• Die Anzahl der Gleichungen und der Unbekannten ist für das Vorgehen hier völlig unerheblich und
in den Anwendungen kommen durchaus Gleichungssysteme mit mehr als 10000 Variablen vor.
• An dieser Stelle ist nichts darüber gesagt worden, welche Rolle die resultierende mathematische
Struktur bei der Auswahl der mathematischen Modelle gespielt hat (in der Physik gibt es da
natürlich weniger Optionen als in der Ökonomie).
Als nächstes betrachten wir einige Beispiel dafür, wie man aus konkreten Problemen in natürlicher
Weise auf abstrakte (algebraische) Strukturen geführt wird:
Beispiel 0.2.3 (Teilbarkeitsregeln):
7?
Wir beginnen mit der Frage: Gibt es eine Teilbarkeitsregel für
Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn sie bei Teilung durch 7 den Rest 0 liefert. Es liegt also nahe, von jeder
Zahl z den Rest r zu betrachten, der sich ergibt, wenn man durch 7 teilt. Man schreibt dann
z≡r
mod 7
und spricht vom Teilen mit Rest modulo 7. Wir schreiben unsere Zahlen im Zehnersystem und an dieser
Darstellung wollen wir die Teilbarkeit durch 7 ablesen. Es ist also nicht abwegig, zunächst die Reste
modulo 7 der Zehnerpotenzen zu berechnen:
1
10
100
1000
10000
100000
1000000
=
=
=
=
=
=
=
1 ≡ 1 mod 7
10 × 1 ≡ 3 × 1 mod 7 ≡ 3 mod 7
10 × 10 ≡ 3 × 3 mod 7 ≡ 2 mod 7
10 × 100 ≡ 3 × 2 mod 7 ≡ 6 mod 7
10 × 1000 = 3 × 6 mod 7 ≡ 4 mod 7
10 × 10000 ≡ 3 × 4 mod 7 ≡ 5 mod 7
10 × 100000 ≡ 3 × 5 mod 7 ≡ 1 mod 7
1
10
100
1000
10000
100000
1000000
=
=
=
=
=
=
=
0+1
7+3
98 + 2
994 + 6
9996 + 4
99995 + 5
999999 + 1
6
KAPITEL 0. VORBEMERKUNG
Ab hier wiederholen sich die Reste der Zehnerpotenzen modulo 7, weil man ja modulo 7 immer wieder
mit 3 multipliziert:
10000000
=
etc.
10 × 1000000 ≡ 3 × 1
mod 7 ≡ 3
mod 7
Man schreibt jetzt eine beliebige Zahl im Zehnersystem, d.h. als gewichtete Summe von Zehnerpotenzen, z.B.
94328 = 9 × 10000 + 4 × 1000 + 3 × 100 + 2 × 10 + 8 × 1
und rechnet die Reste modulo 7 aus:
94328
mod 7 ≡ 9 × 4 + 4 × 6 + 3 × 2 + 2 × 3 + 8 × 1
mod 7
Die Zahl 94328 ist also durch 7 teilbar, wenn
9×4+4×6+3×2+2×3+8×1
durch 7 teilbar ist. Wir haben also eine gewichtete Quersummenregel“
”
Man multipliziere die
Einer mit 1
Zehner mit 3
Hunderter mit 2
Tausender mit 6
Zehntausender mit 4
Hunderttausender mit 5
und dann von vorne, etc.
So erhält man eine gewichtete Quersumme. Die Zahl ist durch 7 teilbar genau dann, wenn
die gewichtete Quersumme durch 7 teilbar ist.
Die Vorgehensweise läßt sich sofort auf andere Zahlen übertragen:
Teilbarkeit durch n
1.Schritt: Bestimme die Restklassen“ modulo n der 10er-Potenzen. Da es nur endlich viele Restklassen
”
gibt, ergibt sich nach einem endlichen Anlauf“ eine periodische Struktur:
”
(Bemerkung: Daß es für 7 es keinen Anlauf gibt, liegt daran, daß 7 eine Primzahl ist.)
2.Schritt: Schreibe eine Zahl m in der Form
m = ak 10k + ak−1 10k−1 + . . . + a1 10 + a0
und berechne die Restklasse von m über die Restklassen der aj gewichtet mit den Restklassen der
10j .
0.2. ÜBER DIE ABSTRAKTION IN DER MATHEMATIK
7
Aus dem allgemeinen Verfahren kann man als Übung die üblichen Teilbarkeitsregeln für:
3
4
5
8
9
11
(Quersumme)
(letzten zwei Ziffern)
(letzte Ziffer)
(letzten drei Ziffern)
(Quersumme)
(alternierende Quersumme)
ableiten.
Analyse der Vorgehensweise:
• Statt mit den Zahlen selbst haben wir mit ihren Resten modulo 7 gearbeitet, d.h. Zahlen mit
gleichen Resten (diese bilden die Restklasse modulo 7) sind in dieser Problemstellung in jeder
Hinsicht gleichwertig (äquivalent).
• Die Aufteilung in Äquivalenzklassen nach dem relevanten Merkmal (Restklassen modulo 7) bringt
eine drastische Reduktion der Anzahl der zu betrachtenden Objekte (von unendlich vielen auf 7).
• Wir haben die Rechenoperationen + und × auf die Restklassen übertragen (das habe ich in der Tabelle der Zehnerpotenzen versteckt) und damit eine abstrakte algebraische Struktur eingeführt,
d.h. eine Menge (die Restklassen) mit Verknüpfungen (Addition und Multiplikation; hier ergibt
sich ein sogenannter Ring).
+
0
1
2
3
4
5
6
0
0
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
0
2
2
3
4
5
6
0
1
3
3
4
5
6
0
1
2
4
4
5
6
0
1
2
3
5
5
6
0
1
2
3
4
6
6
0
1
2
3
4
5
×
0
1
2
3
4
5
6
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
2
0
2
4
6
1
3
5
3
0
3
6
2
5
1
4
4
0
4
1
5
2
6
3
5
0
5
3
1
6
4
2
6
0
6
5
4
3
2
1
• Wir haben festgestellt, daß sich die Methode von 7 auf beliebige Zahlen verallgemeinern läßt und
es ist dann auch nicht mehr schwer, vom Zehner- auf ein beliebiges anderes System überzugehen.
Beispiel 0.2.4 (Symmetrie):
Betrachte die regelmäßigen Vielecke
8
KAPITEL 0. VORBEMERKUNG
Es stellt sich die Frage, wie man die augenfälligen Symmetrie-Eigenschaften dieser Figuren präzise beschreiben kann. Hier ist eine erste Antwort: Symmetrie ist eine Bewegung, die die Figur mit sich selbst
zur Deckung bringt (z.B. Spiegelung oder Rotation). Solche Symmetrien kann man hintereinanderschalten
und erhält wieder eine algebraische Struktur (hier ist es eine Gruppe)
A
B
C
D
C
D
B
A
B
C
A
D
Es ist allerdings nicht wirklich klar, was eine Bewegung ist und damit ist der Begriff Symmetrie etwas
vage gelassen. Abhilfe schafft hier der Begriff der Abbildung, ein Begriff, der in Mathematik absolut
zentral ist:
Wenn A und B zwei Mengen (von irgendwelchen Objekten, z.B. Punkten auf einem Vieleck) sind,
dann ist eine Abbildung f : A → B eine Vorschrift, jedem Element von A ein Element von B zuzuordnen.
Dies ist eine Abstraktion der Vorstellungen Vergleichen“ (von A und B z.B. durch Übereinanderlegen)
”
und Messen“ (von A durch B z.B. durch Anlegen eines Maßstabs oder durch Zuordnung einer Zahl).
”
0.2. ÜBER DIE ABSTRAKTION IN DER MATHEMATIK
9
A
B
A ‘‘größer’’ als B
A
f
B
A ‘‘kleiner’’ als B
A
Die Punkte von A
werden gemessen
f
Jetzt läßt sich eine präzisere Definition von Symmetrie formulieren: Eine Symmetrie von A ist eine
Abbildung f : A → A, für die jedes Element von A als Bild von genau einem Element von A auftaucht
(jedes Element wird von genau einem Pfeil getroffen). An dieser Stelle kann man dann noch Zusatzforderungen stellen (z.B. Geraden auf Geraden, Winkel sollen erhalten bleiben, die Figuren sollen nicht
zerrissen werden, etc.)
Wenn man nur die Rotationssymmetrien des n-Ecks betrachtet, dann liefert n-malige Anwendung
der Rotation um 360
n Grad (von einer Ecke auf die nächste) die Identität. Das erinnert an die n-fache
Addition von 1 in den Restklassen modulo n aus Beispiel 0.2.3. Vergleichen wir
• Die Rotationen Rk des n-Ecks um k ×
360
n
Grad mit der Hintereinanderausführung
und
• Die Restklassen [k] = {m | m ≡ k mod n} modulo n mit der Addition,
so finden wir eine Korrespondenz
Rk ←→ [k],
die zusätzlich
Rk ◦ Rk0 = [k] + [k 0 ]
erfüllt (◦ bezeichnet die Hintereinanderausführung). Man sagt, die beiden Strukturen sind isomorph
(hier als Gruppen) und stellt fest, daß Aussagen, die die Verknüpfungen betreffen, mit dieser Isomorphie
von einer zur anderen Struktur einfach transferiert werden können.
10
0.3
KAPITEL 0. VORBEMERKUNG
Die Sprache der Mathematik: Mengenlehre
Die ersten Objekte mathematischer Überlegungen waren Zahlen und geometrische Figuren. Was diese
Objekte eigentlich sind, war praktisch von Anfang an Gegenstand intensiver Überlegungen und kontroverser Philosophien. Im Laufe der Zeit kamen weitere mathematische Objekte ganz unterschiedlicher Natur
hinzu wie z.B. Variablen, Gleichungen, Funktionen, etc. Die moderne Mathematik bedient sich der Mengenlehre zur Beschreibung aller mathematischen Objekte. Zahlen, Figuren, Funktionen sind Mengen mit
gewissen Eigenschaften. Dabei ist keineswegs klar, was eine Menge ist. Der Begründer der Mengenlehre
G. Cantor gab folgende Definition“ einer Menge: Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfas”
sung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem
Ganzen. Dies ist keine wirkliche Erklärung, weil der unbekannte Begriff Menge auf den ebenfalls unbekannten Begriff Zusammenfassung zu einem Ganzen zurückgeführt wird. Widersprüchliche Bildungen
solcher Zusammenfassungen führen zu logischen Problemen wie dem vom Dorfbarbier, der alle Männer
des Dorfes rasiert, die sich nicht selbst rasieren (rasiert er sich selbst oder nicht?). Antinomien wie diese
führten Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts in einen Streit über die Grundlagen der Mathematik, der
bis heute nicht wirklich ausgestanden ist. Für die gegenwärtige Praxis der Mathematik ist vor allem
bedeutsam, daß sich die axiomatische Methode, eine Theorie aus nicht hinterfragten Grundtatsachen
(Axiomen) unter Benützung festgelegter logischer Regeln aufzubauen, universell durchgesetzt hat.
Auch für die Mengenlehre und die Logik gibt es solche axiomatischen Zugänge, allerdings sind sie für
den Laien oder Anfänger nicht nachvollziehbar. Daher stützt man sich bei der Einführung in die Mathematik auf (möglichst wenige) intuitive Konzepte, aus denen man dann das mathematische Gebäude
aufbaut. Diese intuitiven Konzepte werden schließlich (in Vorlesungen wie Axiomatische Mengentheo”
rie“ oder Logik“) hinterfragt, wenn die Studierenden eine gewisse Vertrautheit mit mathematischen
”
Denkweisen erlangt haben.
Ausgangspunkt für unseren naiven“ Zugang zur Mengenlehre ist, daß eine Menge durch ihre Ele”
mente festgelegt wird: Eine Menge ist gebildet, wenn feststeht, welche Objekte dazugehören. Die Objekte,
die zu einer Menge gehören, heißen Elemente der Menge. Wenn M eine Menge ist und a ein Element
von M , dann schreibt man a ∈ M (a ist Element von M ). Eine Menge kann man beschreiben, indem man
alle seine Elemente aufzählt, oder aber indem man seine Elemente durch eine Eigenschaft charakterisiert:
{a, b, c, d, e}
ist die Menge der ersten fünf (kleinen) Buchstaben des Alphabets und
{x | x ∈ Z und
x
∈ Z}
2
ist die Menge der durch 2 teilbaren ganzen Zahlen (wenn wir akzeptieren, daß Z die Menge der ganzen
Zahlen ist). Die Klammern { }, die in dieser Schreibweise vorkommen, nennt man Mengenklammern.
Will man klarstellen, daß eine Menge aus Elementen einer vorgegebenen Menge X besteht, schreibt man
auch
{x ∈ X | Eigenschaften von x},
zum Beispiel
x
∈ Z}
2
für die geraden Zahlen von oben. Wenn a kein Element von M ist, schreibt man a 6∈ M . Entsprechend
unserem Ausgangspunkt nennen wir zwei Mengen gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten. Also
sind die Mengen
{a, b, c, d, e} und {e, d, c, b, a}
{x ∈ Z |
gleich, nicht aber die Mengen
{a, b, c, d, e}
und {e, d, b, a}.
Wenn A und B Mengen sind, dann heißt A eine Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch
Element von B ist. Man schreibt dann A ⊆ B. Es gilt also
{e, d, b, a} ⊆ {a, b, c, d, e}.
0.3. DIE SPRACHE DER MATHEMATIK: MENGENLEHRE
11
Für jede Teilmenge A ⊆ B kann man ihr Komplement
{b ∈ B | b 6∈ A}
betrachten. Es wird mit B \ A oder (wenn B aus dem Kontext klar ist) {A bezeichnet. Wenn A keine
Teilmenge von B ist, schreibt man A 6⊆ B. Die Menge PM := {N | N ⊆ M } aller Teilmengen von M
heißt die Potenzmenge von M .
Hat man zwei Mengen A und B, so gibt es verschiedene Möglichkeiten, daraus neue Mengen zu
konstruieren:
{x | x ∈ A oder x ∈ B}
heißt die Vereinigung von A und B und wird mit A ∪ B bezeichnet. Dagegen heißt
{x | x ∈ A und x ∈ B}
der Schnitt von A und B und wird mit A ∩ B bezeichnet. Um sicherzustellen, daß der Schnitt zweier
Mengen immer gebildet werden kann, muß man eine besondere Menge zulassen: die leere Menge, die
überhaupt kein Element enthält und mit ∅ bezeichnet wird.
Die Definition von Schnitt und Vereinigung von zwei Mengen läßt sich problemlos auf beliebig viele
Mengen verallgemeinern: Hat man eine Familie von Mengen Aj mit j ∈ J, so ist
[
Aj = {x | es gibt ein j ∈ J mit x ∈ Aj }
j∈J
die Vereinigung der Aj und
\
Aj = {x | für alle j ∈ J gilt x ∈ Aj }
j∈J
der Schnitt der Aj . Die Vereinigung
S von disjunkten Mengen, d.h. Mengen, deren Schnitt leer ist,
bezeichnen wir oft mit A ∪. B bzw. . j∈J Aj .
Eine dritte Menge, die man aus A und B bauen kann, ist das kartesische Produkt. Es besteht aus
allen geordneten Paaren (a, b) mit a ∈ A und b ∈ B und wird mit A × B bezeichnet:
A × B := {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.
(Wann immer wir eine neue Bezeichnung N für ein bekanntes Objekt B einführen, schreiben wir N := B).
Das kartesische Produkt ist nützlich, wenn es darum geht, Beziehungen zwischen Elementen einer oder
mehrerer Mengen zu modellieren. Betrachtet man als Beispiel die Menge H aller Hörer der Vorlesung
Analysis I und S, die Menge aller an der Universität Paderborn angebotenen Studienrichtungen, so läßt
sich aus der Teilmenge
{(x, F ) ∈ H × S | x studiert F }
von H ×S ablesen, welcher Hörer welches Fach studiert. Allgemein bezeichnet man jede Teilmenge R eines
kartesischen Produkts A × B als eine Relation zwischen A und B. Die Interpretation von (a, b) ∈ R
ist: a steht in Relation“ R zu b. Man schreibt auch oft aRb statt (a, b) ∈ R. Wenn A gleich B ist, d.h.
”
die Relation aus Elementen von A × A besteht, spricht auch von einer Relation auf A.
Beispiel 0.3.1 : Sei A = {1, 3, 5} und B = {2, 3, 4}. Dann ist R := {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 4)} eine
Relation. Bei genauerem Hinsehen stellt man fest, daß (a, b) ∈ A × B genau dann Element der Relation
ist, wenn a kleiner als b ist. Wenn man jetzt die Relation < statt R nennt, wird die Schreibweise aRb zu
a < b. Auf diese Weise erhält man eine saubere mengentheoretische Beschreibung der Relation ohne auf
die gewohnte intuitive Schreibweise verzichten zu müssen.
Wenn jedes Element von A zu genau einem Element von B in Relation steht, nennt man so eine
Relation eine Abbildung oder Funktion von A nach B. Die Idee hinter dieser Setzung ist, daß man
12
KAPITEL 0. VORBEMERKUNG
jedem Element a von A genau ein Element b von B zuordnen will, nämlich dasjenige mit (a, b) ∈ R.
Man schreibt dann R : A → B, a 7→ R(a) und R(a) = b für (a, b) ∈ R. Auch hier dient die veränderte
Schreibweise dazu, saubere mengentheoretische Definitionen (in denen nicht von Variablen etc. die Rede
ist) und die traditionelle Notation für Funktionen unter einen Hut zu bringen.
Die obige Relation zwischen Hörern der Analysis I und Studienrichtungen der Universität Paderborn ist
also genau dann eine Funktion, wenn jeder Hörer für eine Studienrichtung eingeschrieben ist, aber nicht
für mehrere (jedem Hörer läßt sich in eindeutiger Weise ein Studienfach zuordnen). Nicht ausgeschlossen
ist durch die Definition der Funktion, daß mehrere Hörer das gleiche Fach studieren.
Die Formalisierung des Funktionsbegriffs als Teilmenge eines kartesischen Produkts mit gewissen
Eigenschaften ist ein erstes Beispiel dafür, daß die Mengenlehre in der Lage ist, einen einheitlichen Rahmen
für zunächst als ganz verschieden betrachtete mathematische Begriffe zu schaffen. Sie ist ein wesentlicher Schritt im stufenweisen Aufbau eines immer komplexer werdenden mathematischen Universums,
in dem nach immer den gleichen Prinzipien aus Mengen Funktionen zwischen Mengen, dann Mengen von
Funktionen zwischen Mengen, dann Funktionen zwischen Mengen von Funktionen zwischen Mengen, etc.
werden.
An dieser Stelle könnte man schon eine Reihe von Eigenschaften von Vereinigungs- und Durchschnittsmengen, Relationen und Funktionen beweisen. Da hier aber die Mengentheorie nicht Selbstzweck, sondern
nur Startpunkt für das Studium von Zahlensystemen, Gleichungen und Funktionen sein soll, schieben wir
mengentheoretische Überlegungen immer dort ein, wo sie tatsächlich gebraucht werden.
Die ersten Kapitel dieses Skripts handeln von mathematischen Objekten (Zahlen und Funktionen), die
den meisten Hörern bis zu einem gewissen Grad vertraut sind, und deren Eigenschaften sie wahrscheinlich
auch ohne formale Beweise zu akzeptieren bereit wären. Ein wesentlicher Grund dafür, daß diese Objekte
hier dennoch so sorgfältig eingeführt werden, liegt in der Möglichkeit, wichtige mathematische Denk- und
Vorgehensweisen an vertrauten Objekten vorzuführen. Da die an diesen Beispielen entwickelten Methoden
im Laufe der Vorlesung und des gesamten Mathematikstudiums immer wieder benützt werden, wäre es
unklug, diese Kapitel links liegen zu lassen, nur weil die Ergebnisse vertraut erscheinen.
Mathematische Gesetzmäßigkeiten werden normalerweise als Sätze formuliert. Sätze können unterschiedliches Gewicht und unterschiedliche Funktionen haben. Einen Satz, den man (gemessen am Kontext) relativ leicht beweisen kann, bezeichnet man oft als Proposition. Sätze, die vorbereitender Natur
sind, werden oft Lemma genannt. Das Wort Lemma (Plural: Lemmata) ist griechisch und bedeutet
Horn (weist eine Richtung - vgl. Dilemma). Dagegen heißen Sätze, die mehr oder weniger unmittelbare
Konsequenzen eines vorausgehenden Satzes sind, oft Korollar.
Axiom 0.3.2 (Auswahlaxiom): Sei Γ eine Menge und {Uγ | γ ∈ Γ} eine Menge von nichtleeren
Mengen. Dann kann man aus jedem Uγ ein Element xγ ∈ Uγ auswählen.
Schwierigkeiten macht das Auswahlaxiom, wenn M sehr viele (z.B. überabzählbar viele) Elemente enthält. Das Auswahlaxiom ist plausibel, aber unabhängig von den gängigen Axiomensystemen der
Mengenlehre (z.B. Zermelo–Fraenkel) und damit nicht beweisbar. Die Frage, ob man das Auswahlaxiom benützen darf, hat im Grundlagenstreit eine wichtige Rolle gespielt. Wir merken an, daß wir das
Auswahlaxiom benützen, wo immer wir es nicht vermeiden können.
Eine partielle Ordnung auf einer Menge M ist eine Relation ≤ auf M , die folgende Eigenschaften
hat:
(a) x ≤ x (Reflexivität).
(b) Aus x ≤ y und y ≤ z folgt x ≤ z (Transitivität).
(c) Aus x ≤ y und y ≤ x folgt x = y (Antisymmetrie).
Man schreibt auch y ≥ x für x ≤ y. Eine partielle Ordnung, die
Für alle x, y ∈ M : (x ≤ y oder y ≤ x)
0.3. DIE SPRACHE DER MATHEMATIK: MENGENLEHRE
13
erfüllt, heißt totale Ordnung.
Um sich die Schreibarbeit zu vereinfachen und um später bei komplizierteren Aussagen den Überblick
zu behalten, benützt man für die Quantoren für alle“ und es existiert ein“ abkürzende Schreibweisen
”
”
ein:
• Statt für alle“ (oder zu jedem“) schreibt man ∀“
”
”
”
• Statt gibt es“ (oder existiert“) schreibt man ∃“
”
”
”
Sei (M, ≤) eine partiell geordnete Menge und N ⊆ M . Dann heißt x ∈ M eine obere Schranke von
N , wenn y ≤ x für alle y ∈ N gilt. Analog heißt x ∈ M eine untere Schranke von N , wenn x ≤ y für
alle y ∈ N gilt.
N heißt total geordnet oder eine Kette, wenn die Einschränkung der Relation ≤ auf N eine totale
Ordnung ist.
Eine total geordnete Menge M heißt induktiv geordnet, wenn jede total geordnete Teilmenge eine
obere Schranke besitzt. Ein Element x ∈ N heißt maximal in N , wenn
∀x0 ∈ N : (x ≤ x0 ⇒ x = x0 ).
Axiom 0.3.3 (Zornsches Lemma):
Jede induktiv geordnete Menge hat ein maximales Element.
Eine total geordnete Menge M heißt wohlgeordnet, wenn jede nichtleere Teilmenge N von M ein
kleinstes Element hat, d.h. eine untere Schranke, die zu N gehört.
Axiom 0.3.4 (Wohlordnungssatz): Jede Menge kann wohlgeordnet werden.
Man kann zeigen, daß das Zornsche Lemma 0.3.3 äquivalent zu einer Reihe anderer mengentheoretischer
Aussagen ist, darunter auch das Auswahlaxiom 0.3.2 und der Wohlordnungssatz 0.3.4. Damit ist das
Zornsche Lemma zwar in der Mengenaxiomatik von Zermelo-Fraenkel unter Zuhilfenahme des Auswahlaxioms beweisbar, nicht aber ohne dieses. Es birgt daher dieselben Schwierigkeiten wie das Auswahlaxiom
und wir setzen es als Axiom ein.
Literatur: [DH85], [Ha72], [GH70] [If86], [Kat98], [Kl72], [Si98]
14
KAPITEL 0. VORBEMERKUNG
Analysis I
15