Klasse-P [Kompatibilitätsmodus]

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Die Klasse P
Definition 3.4.1 Die Klasse P ist definiert als
.
kkkk
n
E
M
I
T
D
kkkk
∪
( )
N
P ist die Klasse der Sprachen, die durch eine DTM mit
polynomieller Laufzeit entschieden werden können.
Beispiel {0n1n|n≥1} ∈ P.
WS 2011/12
Klasse P
1
Warum P? – 3 Gründe
1. P ist eine mathematisch robuste Klasse.
2. Probleme in P lassen sich in der Praxis gewöhnlich gut
lösen, für Problem außerhalb von P trifft dieses häufig
nicht zu.
3. P liefert eine interessante Theorie
→ nächsten Teile der Vorlesung!
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Klasse P
2
Darstellung Zahlen, Graphen, …
1. Repräsentieren Zahlen in der Regel in
Binärdarstellung.
Aber auch Darstellung bezüglich anderer Basen
zulässig.
Ausnahme: Basis 1.
2. Repräsentieren Graphen durch
Adjazenzmatrizen oder
Adjazenzlisten.
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Klasse P
3
Graph mit Adjazenzmatrix
Graph
2
1
5
4
3
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
Adjazenzmatrix
V = {1,2,3,4,5}
Listendarstellung
E = {(1,2),(1,3),(3,1),(3,4),(4,2),(5,2)}
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Klasse P
4
Darstellung Zahlen, Graphen, …
Nutzen 〈 ⋅ 〉 für „vernünftige Darstellungen“ von
Kombinationen von Zahlen, Graphen, usw.
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Klasse P
5
Pfade in Graphen
Pfad:={〈G,s,t〉 | G = (V,E) ist gerichteter Graph mit s,t ∈ V
und einem gerichteten Pfad von s nach t.}
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Klasse P
6
Pfade in Graphen
Graph
2
1
5
4
3
〈G,1,4〉 ∈ Pfad.
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Klasse P
7
Pfade in Graphen
Pfad:={〈G,s,t〉 | G = (V,E) ist gerichteter Graph mit s,t ∈ V
und einem gerichteten Pfad von s nach t.}
Satz 3.4.2 Pfad liegt in P.
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Klasse P
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Pfade in Graphen
M bei Eingabe 〈G,s,t〉:
1. Markiere den Knoten s.
2. Wiederhole den folgenden Schritt bis keine
zusätzlichen Knoten markiert werden.
3. Durchlaufe alle Kanten (a,b) von G. Ist a markiert
und b nicht markiert, markiere b.
4. Ist t markiert, akzeptiere, sonst lehne ab.
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Klasse P
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Teilerfremde Zahlen
Zwei Zahlen a,b ∈ N heißen teilerfremd oder relativ prim,
wenn ihr größter gemeinsamer Teiler (ggT) 1 ist.
RelPrim:={〈x,y〉 ∈ N2| x und y sind relativ prim.}
Satz 3.4.3 RelPrim liegt in P.
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Klasse P
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Teilerfremde Zahlen
E bei Eingabe 〈x,y〉:
1. Wiederhole die folgenden beiden Schritte bis y = 0.
2.
x ← x mod y.
3.
Vertausche x und y.
4. Ausgabe x.
R bei Eingabe 〈x,y〉:
1. Simuliere E mit Eingabe 〈x,y〉.
2. Ist die Ausgabe von E bei Eingabe 〈x,y〉 1,
akzeptiere, sonst lehne ab.
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