M I ¨ I /SWT - Fachbereich Mathematik

Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. W. Rump / J. Spreer
Blatt 3
WS 2009/10
M I ̈ I/SWT
Aufgabe 1 (zum Votieren)
die Mengengleichheit
Es seien L, M, N ⊂ E Mengen. Beweisen Sie
L ∩ (M ∪ N) = (L ∩ M) ∪ (L ∩ N).
Hinweis: Dies wird auch das ”zweite Distributivgesetz für Mengen” genannt.
Aufgabe 2 (zum Votieren)
Kartesische Produkte:
a) Stellen Sie die n-stelligen binären bzw. dezimalen Zahlen als n-Tupel
und als kartesisches Produkt dar.
b) Stellen Sie die Torusoberfläche (siehe Bild), die Zylinderoberfläche,
ein Quadrat sowie einen (ausgefüllten) Würfel als kartesisches Produkt mittels Kreislinie S und Einheitsintervall [0, 1] dar.
c) Gegeben sei die Kreislinie S und die Menge M := {0, 1, 2}. Zeichnen
Sie das kartesische Produkt M × S.
Aufgabe 3 (zum Votieren)
Sei n ∈ N fest und M := {1, . . . , n}.
a) Zeigen Sie, dass die Teilmengenrelation ⊂ eine Ordnungsrelation auf
der Potenzmenge P(M) ist.
b) Sei die Relation R für A, B ∈ P(M) durch
(A, B) ∈ R genau dann, wenn A ∪ {n} ⊂ B ∪ {n}
gegeben. Welche Eigenschaften einer Ordnungsrelation erfüllt R?
Aufgabe 4 (zum Votieren) Seien M, N und L Mengen, f : M → N und
g : N → L Abbildungen. Die Komposition g ◦ f : M −→ L von g mit f ist
definiert durch (g ◦ f )(x) = g( f (x)) für alle x ∈ M.
a) Es sei (g ◦ f ) injektiv. Zeigen Sie, dass f dann ebenfalls injektiv ist.
b) Es sei (g ◦ f ) surjektiv, welche Eigenschaften hat g in diesem Fall
notwendigerweise?
c) Finden Sie ein Beispiel, in dem (g ◦ f ) injektiv ist, g jedoch nicht.
Aufgabe 5 (zum Votieren)
Gegeben sei folgende Funktion
f : N → Z;
n 7→ (−1)n 3n
Geben Sie das Bild von {2, . . . , 10} ⊂ N sowie das Urbild von N ∩ f (N) an.
Zeichnen Sie den Graph G( f ) für alle Zahlen n ∈ N, n ≤ 5.
Aufgabe 6 (schriftlich, 7 Punkte) Sei f : A → B eine Abbildung, U, V ⊂ A
und X, Y ⊂ B.
a) (4 Punkte) Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Beweisen Sie
Ihre Behauptungen.
1. f (U ∩ V) = f (U) ∩ f (V)
2. f (U ∪ V) ⊃ f (U) ∪ f (V)
3. f (U ∪ V) = f (U) ∪ f (V)
4. f −1 (X ∩ Y) = f −1 (X) ∩ f −1 (Y)
b) (3 Punkte) Es seien A und B zwei gleichmächtige, endliche Mengen
und f : A → B sei injektiv.
1. (1.5 Punkte) Beweisen Sie, dass damit f auch surjektiv und damit
bijektiv ist.
2. (0.5 Punkte) Gilt die Aussage auch noch, falls A und B unendlich
viele Elemente enthalten?
3. (0.5 Punkte) Was gilt, falls A endlich und B unendlich ist?
4. (0.5 Punkte) Warum ist der Fall, dass B endlich und A unendlich
ist, ausgeschlossen?
Abgabe der schriftlichen und Besprechung der Votieraufgaben am
Dienstag, den 10. 11. bzw. Donnerstag, den 12. 11. in den Übungen.