Aufgabensammlung zur Vorlesung Einführung in das

Aufgabensammlung zur Vorlesung
Einführung in das mathematische Arbeiten
Zusammengestellt von
T. Eisenkölbl, M. Fulmek, W. Huyer, M. Kunzinger,
H. Massold, P. Raith, H. Schichl und R. Steinbauer
Wintersemester 2006/07
Dieses Skriptum enthält Übungsaufgaben zur Vorlesung Einführung in das mathematische Arbeiten. Diese findet geblockt am Anfang des Semesters ( Studieneingangspha”
se“, 2.10.—18.10.2006) statt und wird in diesem Zeitraum von den Proseminaren zu den
AnfängerInnenvorlesungen Proseminar zu Analysis 1 und Proseminar zu Lineare Algebra
und Geometrie 1 begeitet. Dementsprechend zerfällt dieses Skriptum in die beiden Teile
Analysis“ und Lineare Algebra und Geometrie“. Die entsprechenden Beispiele bilden so
”
”
den Stoff des jeweiligen Proseminars in der Studieneingangsphase“.
”
Die hier zusammengestellten Beispiele dienen der eigenständigen Erarbeitung und Vertiefung des Stoffes aus der Vorlesung, sowie wichtiger Aspekte des Schulstoffs. Sie entfalten
ihre volle positive Wirkung nur dann, wenn sie selbständig bearbeitet bzw. gelöst werden!
In den Proseminaren, die mit der Vorlesung inhaltlich eine untrennbare Einheit bilden,
werden die Aufgaben dann von Studierenden vorgetragen und diskutiert.
Über den genauen Ablauf der Proseminare informieren Sie sich bitte im entsprechende
Informationsblatt, das Sie unter http://www.mat.univie.ac.at/ws0607/anfaengerps.
pdf) finden können.
Weitere Informationen zur Studieneingangsphase im Wintersemester 2006/07 finden Sie
im Internet unter http://www.mat.univie.ac.at/ws0607.
H. Schichl, Oktober 2006
2
Einführung in das Mathematische Arbeiten
Inhaltsverzeichnis
Analysis
Schulstoff . . . . . . . . . . . . . . . . .
Summen- und Produktzeichen, Induktion
Mengen, Relationen . . . . . . . . . . . .
Ordnungseigenschaften, Betrag . . . . .
Lineare Algebra und Geometrie
Schulstoff . . . . . . . . . . . .
Mathematische Grundlagen . .
Logik . . . . . . . . . . . . . . .
Abbildungen . . . . . . . . . . .
Grundlegende Algebra . . . . .
Komplexe Zahlen . . . . . . . .
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3
3
5
7
9
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12
12
13
14
16
19
20
Aufgabensammlung
3
Analysis
Schulstoff
1. Rechnen mit Potenzen und Logarithmen 1. Wiederhole die Definiton des Logarithmus sowie die Rechenregeln für Logrithmen und Potenzen und berechne (ohne einen
Taschenrechner zu verwenden):
(a) log2 32.
(f) 8log2 3 .
1
(b) log17 4913.
(g) 16 4 log2 5 .
(c) 2x = 1048576.
(h) e3 log 5 .
(d) 3x = 11 (verwende Logarithmen zur Basis 3).
(i) e2 log x .
(e) 3x = 11 (verwende Logarithmen zur Basis e).
(j) e4 log 6x .
Hinweis: Wir folgen hier der Konvention, log (ohne Basis) für den Logarithmus zur
Basis e (e, die Eulersche Zahl) zu schreiben.
2. Rechnen mit Potenzen und Logarithmen 2.
(a) Löse die Gleichung: 7x+2 − 7x−1 = 349.
(b) Löse das Gleichungssystem: 4x 8y = 512, 5x−y = 25.
3. Sinus und Cosinus. Wiederhole die Definition der Winkelfunktionen, und ihre Funktionsgraphen.
(a) Bestimme alle reellen x, für die sin x =
√
3
2
(b) Bestimme alle x ∈ [−π, π], für die sin x =
(c) Bestimme alle x ∈ [− π4 , π4 ], für die sin x =
(f) Bestimme alle x ∈
(g) Bestimme alle x ∈
(h) Bestimme alle x ∈
3
2
√
3
2
gilt.
gilt.
3
gilt.
2
√
[0, π], für die cos x = 23 gilt.
√
[−π, 0], für die cos x = 23 gilt.
√
[−2π, 0], für die cos x = 23 gilt.
√
3
[6π, 13π
],
für
die
cos
x
=
gilt.
2
2
(d) Bestimme alle x ∈ [ π4 , π], für die sin x =
(e) Bestimme alle x ∈
√
gilt.
√
4. Steigung. Unter der Steigung einer Straße oder Trasse versteht man den Tangens des
Winkels, den die Straße mit der Horizontalen einschließt, also tan α = hb . Dabei ist
h der Höhenunterschied und b die Länge der Projektion des Straßenstückes auf die
Horizontale.
(a) Berechnen Sie für folgende Straßensteigungen den zugehörigen Winkel: 10 %,
20 %, 25 %. (Hinweis: 10 % = 0,1.)
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Einführung in das Mathematische Arbeiten
(b) Jemand legt auf einer unter 18 % ansteigenden Straße einen Kilometer zurück.
Welchen Höhenunterschied hat er dabei überwunden?
(c) Die Zahnradbahn auf den Schneeberg (NÖ) verläuft auf einer Länge von 9,85
km von Puchberg am Schneeberg (Seehöhe 577m) zum Hotel Hochschneeberg
(Seehöhe 1795m). Berechnen Sie mittlere Steigung und zugehörigen Winkel. Die
maximal Steigung beträgt 197 Promille. (Hinweis: 1 Promille=0,1%) Welche
Seehöhe würde erreicht, falls die gesamte Strecke maximale Steigung hätte?
5. Die Grundkante der (quadratischen) Cheopspyramide ist 230 m lang, die Seitenflächen sind unter α = 51,9◦ zur Grundfläche geneigt. Berechnen Sie a) die Höhe, b)
die Länge einer Seitenkante, c) den Rauminhalt der Pyramide!
6. Differenzieren 1. Differenzieren Sie nach der angegebenen Variable:
√
(1 − 3 2x)2
√
(a) f (x) =
x x
q√
√
5 3
(b) f (x) =
x2 + 4 x
r
sin y − 1
(c) f (y) =
cos x + 1
(d) x(z) = sin(tan z)
cx
(e) g(x) = c
x
cx
(f) g(c) = c
x
(g) h(x) = xx
(h) y(v) = xx
x
7. Kurvendiskussion. Unter Diskussion des Graphen einer Funktion (Kurvendiskussion)
verstehen wir die Bestimmung des (maximalen) Definitionsbereiches, der Nullstellen,
Polstellen, Asymptoten, Extremwerte, Monotonie, Wendepunkte, Tangenten an die
Wendepunkte und des Krümmungsverhaltens (im Fall der Nullstellen, Polstellen,
Asymptoten, Extremwerte und Wendepunkte, so vorhanden).
Diskutieren Sie die folgenden Funktionen und zeichnen Sie den Graphen.
(a) f (x) =
(x − 3)2
4(x − 1)
(b) g(x) = |x|
(c) h(x) = x sin x
(d) i(x) = sinx x , Vorsicht bei 0! Untersuchen Sie die Funktion dort empirisch, falls
Sie keine weiter führenden Techniken aus der Schule kennen.
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Aufgabensammlung
(e) j(x) =
√
5
9 − x2
8. Unbestimmte Integrale. Berechnen Sie die folgenden Integrale
Z
(a) (3x + 4)3 dx
Z
(b)
e2+5y dt
Z
(c)
sin(5x − 9) dx
9. Bestimmte Integrale. Berechnen Sie:
¶
Z 2µ
1
3
x + 3 dx
(a)
x
1
Z 1
(b)
3x dx
(c)
(d)
Z
Z
0
π
3
sin(3x) dx
0
t2
t1
¡
¢
ax2 + bx + c dt
Summen- und Produktzeichen, Induktion
10. Summen- und Produktschreibweise 1.
Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke ohne Verwendung der Summen- bzw. Produktzeichen an:
P12 2k+1
Q
j
(a)
(e) 7i=1 hi
k=2 k
P−6
Q
(b)
(f) 5l=1 lij
k=−4 bk+3
Pn
P 5 Q4
k−1
jk+2
(c)
(g)
k=0 x
j=2
k=2 e
Q
Pm Pm ¡k¢
(d) 9j=1 i3
(h)
k=0
j=k j
11. Summen- und Produktschreibweise 2. Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke mit
Hilfe von Summen- bzw. Produktzeichen:
(a) 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2187
(b) a2 + a4 + a6 + a8 + a10
(c) 1 · 3 · 5 · 7 · 9 · 11 . . . (2n − 1)
(d)
1
2
− 61 +
1
12
−
1
20
1
30
2a21
+
(e) a1 + 3a2 + 5a3 +
−
1
42
+ 6a22 + 10a23 + 4a31 + 12a32 + 20a33 + 8a41 + 24a42 + 40a43
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Einführung in das Mathematische Arbeiten
12. Summen- und Produktschreibweise 3. Überprüfen Sie, welche der folgenden Gleichungen gelten. Sollten Sie in einer Gleichung einen Fehler finden, so stellen Sie die
rechte Seite richtig.
(a)
5
X
ai =
i=1
(b)
7
X
n
X
p2k−1 =
(d)
X
mtj
t∈{9,16,25,36,49}
n
X
r
n
X
c3j−1 =
j=1
(f)
k 2j =
Pn
i=0
N
X
t=n
(i) log
pi
c3j+2
2n
X
m
Y
=
kr −
n
X
s=0
s pj
(qt − qt−1 ) = qn − qN
ai
3 = (log 3)
j=0
(k)
j(n −
n X
k
X
n
X
aj
j=1
i=0
(j)
k 2s+1
j=0
n
Y
n
Y
(p+1)2
mi
p=2
n−1
X
r=0
j=0
(h)
6
X
i=0
n
X
(g) s
=
p−1−2j
¶
2n µ
1X
j
(−1) + 1 rj
=
2 j=0
2k
k=0
(e)
0
X
j=−n+1
k=1
(c)
aj−2
j=3
1
j)p 2 j(n−j)
v
um−1
uY
=t
k(m − k)pk(m−k)
k=1
aj bk−j =
k=0 j=0
n X
n
X
aj bk−j
j=0 k=j
13. Vollständige Induktion. Beweisen Sie die folgenden Identitäten für alle angegebenen
n ∈ N, n ≥ 1:
(a)
n
X
k=0
2−k =
2n+1 − 1
,
2n
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Aufgabensammlung
(b)
(c)
n
X
k=1
n
X
k=2
k3 + k =
7
¡ n(n + 1)(n2 + n + 2) ¢
4
1
n−1
=
k(k − 1)
n
14. Bernoullische Ungleichung. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass
(1 + x)n ≥ 1 + nx für x ≥ −1 und n ∈ N.
15. Alle Menschen haben blaue Augen. Die Anzahl aller Menschen ist endlich. Wir können
daher den Beweis mittels vollständiger Induktion führen:
Für den Induktionsanfang wird es Ihnen nicht schwer fallen, einen Menschen mit
blauen Augen zu benennen.
Als Induktionsannahme postulieren wir, wir hätten bereits für alle Mengen von k
Menschen gezeigt, dass alle blaue Augen haben.
Für den Induktionsschritt betrachten wir nun eine beliebige Menge von k + 1 Menschen M := {M0 , M1 , . . . , Mk }. Wir bilden nun die Mengen M0 := {M0 , . . . , Mk−1 }
und M1 := {M1 , . . . , Mk }. Beide dieser Mengen haben k Elemente, und daher haben
jeweils alle in ihnen enthaltenen Menschen blaue Augen, nach Induktionssannahme.
Weil jeder Mensch aus M in M0 oder in M1 enthalten ist, hat jeder Mensch in M
blaue Augen. Daher enthalten alle Menschenmengen der Größe k + 1 nur Menschen
mit blauen Augen.
Aus vollständiger Induktion folgt daher, dass alle Menschen blaue Augen haben.
Diskutieren Sie den obigen Beweis.
Mengen, Relationen
16. Mengenoperationen 1. Gegeben seien die Mengen A = {a, b, c, d}, B = {b, d, f, h},
C = {a, c, e, g} und D = {a, b, g, h}. Berechnen Sie
(a) (A \ B) ∪ C
(b) (A ∩ B) \ (A ∩ D)
(c) (A ∪ C) \ B
(d) A ∪ (B \ C)
(e) (A × B) \ (B × D)
(f) (A × C) ∪ (B ∩ D)
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Einführung in das Mathematische Arbeiten
17. Mengenoperationen 2. Beweisen Sie
(a) die Verschmelzungsgesetze und
(b) die De Morgan-Gesetze
aus Theorem 4.1.12. Verwenden Sie für jeweils eines der Gesetze die Mengentafel,
für das andere die Definitionen der Mengenoperationen und Theorem 3.1.6 (wie im
Beweis des Distributivgesetzes im Skriptum).
18. Mengenoperationen 3. Seien A und B Mengen. Zeigen Sie:
(a) B ⊆ A ⇒ A ∪ B = A und A ∩ B = B
(b) B ∪ A = A ⇔ B ⊂ A
(c) (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
19. Äquivalenzrelationen 1. Welche der folgenden Relationen ist eine Äquivalenzrelation?
(a) Auf der Menge Z der ganzen Zahlen betrachten wir die Relation
x ≡ y :⇔ x − y ist durch 3 teilbar.
(b) Bei einem Skirennen betrachtet man 2 Laufzeiten als gleich, wenn sie sich abgerundet auf Hundertstelsekunden nicht unterscheiden.
(c) Auf der Menge aller Menschen betrachten wir x und y als in Relation stehend,
wenn x und y einander kennen.
(d) Auf der Menge aller Studenten betrachten wir x und y als in Relation stehend,
wenn x eine höhere Matrikelnummer als y hat.
(e) Auf der Menge aller Menschen betrachten wir folgende Relation: x ist in Relation
zu y, wenn x nicht kleiner als y ist.
(f) Bei einer Versuchsreihe werden zwei Messergebnisse als gleich betrachtet, wenn
sie sich um weniger als 10−22 m unterscheiden. Definiert dieser Gleichheitsbegriff
eine Äquivalenzrelation?
20. Äquivalenzrelationen 2. Auf der Menge Z der ganzen Zahlen betrachten wir die
Relation
x ≡ y :⇔ x − y ist gerade.
(a) Beweisen Sie, dass ≡ eine Äquivalenzrelation ist.
(b) Ist dies auch noch der Fall, wenn man in der Definition gerade durch ungerade
ersetzt?
(c) Finden Sie andere Beispiele für Äquivalenzrelationen auf Z.
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Aufgabensammlung
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21. Rechnen mit Restklassen
(a) Stellen Sie fest, ob die angegebenen Zahlen in derselben Restklasse modulo m
liegen:
(i)
(ii)
(iii)
4, 16 mod 2
8, 7885 mod 6
3, 15 mod 3
(iv)
(v)
(vi)
−4, 19 mod 15
−7, −13 mod 3
−1, 1 mod 3
(b) Berechnen Sie jeweils (b1) die kleinste natürliche und (b2) die größte negative
ganze Zahl x, für die gilt:
(i)
(ii)
x = 244 mod 2
x = 3 + 19 mod 6
(iv)
(v)
x = −(25 · 42) mod 13
x = (12324 ) mod 5
(iii)
x = 32
(vi)
x = (−1)11233
mod 4
33448
mod 89
Ordnungseigenschaften, Betrag
22. Ordnungsrelationen.
(a) Welche der Relationen aus Beispiel 19 sind Ordnungsrelationen?
(b) Gibt es Relationen auf Mengen, die sowohl Äquivalenz- als auch Ordnungsrelationen sind?
23. Ordnung und Schranken. Betrachten wir R mit der (natürlichen) Ordnung ≤. Geben
Sie für die folgenden Teilmengen von R obere und untere Schranken an, falls diese
existieren. Handelt es sich dabei um Maxima resp. Minima? Sind die entsprechnden
Mengen beschränkt?
(a) ] − 1, 3]
(e) ] − 3, 2[∪[4, 5[
(c) P, die Primzahlen
\
(d)
[−n, n]
(g) R− , die Menge der negativen reellen Zahlen.
[ ½1¾
(h)
n
(b) [a, ∞)
n∈N\{0}
(f) ∅
n∈N\{0}
24. Sei (K, +, ·, ≤) ein geordneter Körper. Beweisen Sie folgende Aussagen für a, b, c,
d ∈ K, ausschließlich unter Verwendung der Definition einer Ordnung, der Ordnungsund Körperaxiome und Proposition 6.3.2. Begründen Sie jeden ihrer Schritte!
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Einführung in das Mathematische Arbeiten
(a) Gleichsinnige Ungleichungen dürfen“ addiert werden, genauer: aus a < b und
”
c < d folgt a + c < b + d, oder in leicht verständlicher Symbolik
a<b
c<d
a + c < b + d.
(b) Gleichsinnige Ungleichungen dürfen“ immer dann miteinander multipliziert
”
werden, wenn alle Glieder positiv sind, genauer: aus 0 < a < b und 0 < c < d
folgt ac < bd, oder in leicht verständlicher Symbolik
0<a<b
0<c<d
ac < bd.
Bemerkung: Aus (a) folgt (setze c = 0), dass eine Kleinerbeziehung wahr bleibt, falls
auf der rechten Seite eine positive Zahl addiert wird; man sagt: die Abschätzung
a < b wird vergröbert, wenn eine positive Zahl zu b addiert wird.
25. In einem geordneten Körper folgt aus b, d > 0, dass
c
a
<
⇐⇒ ad < bc.
b
d
26. Ist 0 ≤ a ≤ ε für jedes ε > 0, so ist a = 0.
27. Zeigen Sie für a, b ∈ R:
(a) |a + b| ≤ |a| + |b|,
(b) |a − b| ≤ |a| + |b|,
¯
¯
(c) ¯|a| − |b|¯ ≤ |a − b|.
28. Zeigen Sie für a, b ∈ R:
¯ ¯
(a) ¯ ab ¯ = |a|
für b 6= 0,
|b|
¯
¯
(b) a2 = ¯a2 ¯= |a|2 ,
(c) |a − b| < r ⇐⇒ a − r < b < a + r für r > 0.
29. Cauchyungleichung. Zeigen Sie für a, b ∈ R die Ungleichung
|ab| 12 (a2 + b2 ).
Hinweis: Verwenden Sie die bekannten Formeln für (a ± b)2 und Proposition 6.3.2(5),
also die Tatsache, dass Quadrate nichtnegativ sind.
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Aufgabensammlung
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30. Zeigen Sie, dass für a, b ∈ R gilt
|a + b| + |a − b| ≥ |a| + |b|
31. Minimum, Maximum und Betrag. Zeigen Sie, dass für a, b ∈ R gilt:
a + b + |a − b
,
2
a + b − |a − b
,
(b) min(a, b) =
2
(c) max(a, b) − min(a, b) = |a − b|.
(a) max(a, b) =
Hinweis: Für die Definition von max und min siehe Lineare Algebra, Aufgabe 8.
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12
Einführung in das Mathematische Arbeiten
Lineare Algebra und Geometrie
Schulstoff
1. Lineare Gleichungssysteme. Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme.
(a)
2x1 + 5x2 = 29
8x1 − 3x2 = 1
(b)
x + y = a
x − y = b
a, b ∈ R , (konstant)
(c) 3x1 + 4x2 + x3 = 1
2x1 − x2
= 2
x1
+ 3x3 = 5
(d) 5a − 2b + 3c − 4d =
2a + b
=
3c − 2d =
a
+ 6c
=
0
0
x
y
x, y ∈ R , (konstant)
2. Bestimmen sie alle x ∈ R, für die gilt:
a)
17−3x
5
+ 38 < 4x − 13.
b) 325 − 2x(2x − 39) < 8x(x − 4)2 − (2x − 5)3 .
c) 4 − 3x < 2x + 3 ≤ 3x − 4.
d) x < x + 3 < 6 ≤ 5x − 1.
e)
5+x
5−x
f) 3 −
g)
1
3
<
≤ 2.
x+1
x−4
< x−2
.
x−2
2x−1
< 12 .
3−2x
3. Bestimmen sie zeichnerisch, für welche (x, y) ∈ R2 gilt:
a) x − 2y ≥ 0 und 2x + y ≥ 1.
b) x + y ≤ 1 oder x − y ≤ 1.
c) 3y 2 ≤ 6 − 2x2 .
4. Abstand 1. Gegeben seien der Punkt P = (2, 3, 1) und die Gerade g : X = (9, 1, 3) +
t(3, 4, −5) im Raum.
(a) Bestimmen Sie die Gleichung der Normalebene ε auf g durch P .
(b) Berechnen Sie den Schnittpunkt von ε mit g.
(c) Berechnen Sie den Normalabstand des Punktes P von der Geraden g.
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Aufgabensammlung
13
5. Winkel. Wo und unter welchem Winkel schneidet die Gerade g : X = (6, 3, −4) +
t(2, 1, −2) die x–y–Ebene ?
6. Ebene. Gegeben ist die Ebene ε : 6x + 4y + 3z = 24. Ihre Schnittpunkte mit den drei
Koordinatenachsen werden mit A, B, C bezeichnet. Berechnen Sie das Volumen der
Pyramide, die aus diesen drei Punkten und dem Ursprung gebildet wird.
7. Abstand 2. Zeigen Sie, dass die Geraden g : X = (1, 1, 3) + s(2, −1, 1) und h : X =
(5, 2, 3) + t(1, 0, −1) windschief sind und berechnen Sie ihren Abstand.
Mathematische Grundlagen
8. Fallunterscheidungen. Wir definieren
(
x falls x ≥ y
max(x, y) :=
y falls x < y
bzw.
min(x, y) :=
(
x falls x ≤ y
.
y falls x > y
(a) Zeigen Sie max(x, y) + min(x, y) = x + y.
(b) Berechnen Sie max(x, y) − min(x, y).
9. Binomialkoeffizient. Wiederholen Sie den Begriff des Binomialkoeffizienten und beweisen Sie die folgenden Identitäten.
¶
¶ µ
µ ¶ µ
n−1
n−1
n
+
=
(a)
k
k−1
k
Verwenden¡Sie
dabei
die
Darstellung des Binomialkoeffizienten aus Proposition
¢
n
n!
2.5.4, also k = (n−k)! k! .
n µ ¶
X
n
(b)
= 2n ,
k
k=0
µ ¶
n
X
k n
= 0.
(c)
(−1)
k
k=0
Hinweis: Während die Aufgabe a) durch brute force“ gelöst werden kann, bewältigt
”
man die Aufgaben b) und c) am einfachsten mit einem Trick“: Formulieren Sie die
”
rechten Seiten mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes!
10. Mathematische Ausdrucksweise 1. Lesen Sie die folgende verunglückte Lösung zu dem
angeführten Übungsbeispiel durch. Versuchen Sie, alle Unklarheiten und Ungeschicklichkeiten zu entdecken und produzieren Sie eine den mathematischen Gepflogenheiten und Schreibweisen entsprechende richtige Lösung:
Wintersemester 2006/07
14
Einführung in das Mathematische Arbeiten
Zeigen Sie: Das Quadrat jeder ungeraden Zahl ist kongruent 1 modulo 4.
Lösung:
n Quadrat =⇒ n2
(2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = Rest 1
%
modulo 4
11. Mathematische Ausdrucksweise 2. Wie in Beispiel 10.
Zeigen Sie: Sei p eine Primzahl, und sei n eine natürliche Zahl. Dann gilt:
p|n2 ⇐⇒ p|n.
Lösung:
Zu zeigen: p teilt n2 ⇐⇒ wenn p|n
Klar: notwendig X
Umgekehrt: Wenn p|n =⇒ auch p|n2
wg. Eindeutigkeit Primfaktorenzerlegung.
12. Mathematische Ausdrucksweise 3. Wie in Aufgabe 10.
Zeigen Sie: Eine 1001-elementige Menge hat genauso viele Teilmengen gerader Mächtigkeit wie Teilmengen ungerader Mächtigkeit.
Lösung: Sei Y Teilmenge meiner Menge mit |Y | = y gerade. O.B.d.A. |Y | = y = 2y0 ,
y0 ∈ N. Dann C(Y ) (Komplement) ungerade, weil 2n + 1 − 2y0 = 2(n − y0 ) + 1
ungerade. Umkehrung analog.
Logik
13. Verneinung. Bilden Sie die Verneinung der folgenden Aussagen. Üben Sie dabei besonders die Umformulierung von ∀- und ∃-Aussagen. Legen Sie Wert darauf, dass
das nicht“ im verneinten Satz möglichst die innerste“ Aussage verneint, d.h. dass
”
”
es möglichst weit hinten auftaucht.
(a) Alle Schwammerl sind giftig oder schwer zu finden.
(b) Alle Schwammerl sind entweder giftig oder schwer zu finden.
(c) Alle giftigen Schwammerl sind leicht zu finden.
(d) Alle Schwammerl sind giftig, daher sind sie leicht zu finden.
(e) Wenn zwei Geraden keinen gemeinsamen Punkt besitzen, dann sind sie parallel.
(f) Es gibt Dreiecke, die zwei rechte Winkel haben.
Wintersemester 2006/07
Aufgabensammlung
15
(g) Es gibt ein Dreieck, das zwei stumpfe Winkel hat.
(h) In allen Körben von Schwammerlsuchern gibt es einen giftigen Pilz.
(i) Es gibt ein Haus in Wien, in dem alle Fenster mit Alarmanlagen gesichert sind.
(j) Es gibt ein Haus in Budapest, in dem ein Fenster eine zerbrochene Fensterscheibe
besitzt.
Hinweis: Wir folgen hier der Konvention aus der Vorlesung, die Formulierung ent”
weder . . . oder“ als ausschließendes Oder (genau eine der (beiden) Alternativen trifft
zu) zu interpretieren. Die Formulierung oder“ ist natürlich als das (mathematische)
”
einschließende Oder (mindestens eine der (beiden) Alternative trifft zu) zu lesen.
Falls Ihnen dieser Hinweis Kopfzerbrechen bereitet, dann wiederholen Sie schleunigst
den entsprechenden Abschnitt aus der Vorlesung und suchen als Zusatzaufgabe ein
Beispiel aus dem Alltagsleben, wo die Formulierung entweder . . . oder“ bedeutet,
”
dass höchstens eine der (beiden) Alternative zutrifft, geben die Schaltwerttabelle der
entsprechenden Operation an und vergleichen diese mit den Schaltwertabellen der
OR- und der XOR-Operation.
14. Indirekter Beweis 1. Beweisen Sie: n2 ungerade ⇒ n ungerade.
15. Indirekter Beweis 2. Es gibt keine ganzen Zahlen n, m mit 28m + 42n = 100.
16. Bestimmen Sie die konjunktive und die disjunktive Normalform des logischen Ausdruckes (a ∨ b) ∧ c.
17. Äquivalente Aussagen. Beweisen Sie die Äquivalenz
(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p)
und formulieren Sie gemäß dieser Regel äquivalente Aussagen zu:
(a) ∀n ∈ N: n4 ungerade ⇒ n ungerade
(b) ∀n ∈ N: 4 | n ⇒ 2 | n
(c) ∀n ∈ N: n2 > n ⇒ n > 1
Hinweis: Das Zeichen |“ bedeutet teilt“.
”
”
18. Rechenregeln. Beweisen Sie eines der Distributivgesetze und eines der De Morganschen Gesetze aus Theorem 3.1.6.
19. Logik. Es seien p, q, und r beliebige Aussagen. Sind dann die folgenden Aussagen
wahr?
(a) (p ∨ (p ⇒ q)) ⇒ q
(b) ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ q)
Wintersemester 2006/07
16
Einführung in das Mathematische Arbeiten
(c) ((p ⇒ q) ∧ (¬q)) ⇒ ¬p
(d) ¬(q ∧ (¬q))
(e) (¬q ∨ p) ⇔ (¬p ⇒ ¬q)
20. Quantoren. Begründen Sie, warum die folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind:
(a) ∀x ∈ N : ∃y ∈ N : x = y
(b) ∃y ∈ N : ∀x ∈ N : x = y
(c) ∀x ∈ N : ∃y ∈ N : x > y
(d) ∃y ∈ N : ∀x ∈ N : x ≥ y
(e) ∀x ∈ N : ∃y ∈ Z : x > y
(f) ∃y ∈ Z : ∀x ∈ N : x ≥ y
Abbildungen
21. Welche der folgenden Eigenschaften muss eine Abbildung f : A → B per definitionem
erfüllen?
(a) Zu jedem a ∈ A gibt es höchstens ein b ∈ B mit b = f (a).
(b) Zu jedem b ∈ B gibt es genau ein a ∈ A mit b = f (a).
(c) Zu jedem b ∈ B gibt es höchstens ein a ∈ A mit b = f (a).
(d) Zu jedem b ∈ B gibt es ein a ∈ A mit b = f (a).
(e) Zu jedem a ∈ A gibt es ein b ∈ B mit b = f (a).
22. Bild und Urbild. Wiederholen Sie die Definition des Bildes und des Urbildes einer
Menge unter einer Abbildung. Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen fi : R →
R und die Mengen Ai , Bi (i = 1, 2, 3) die Bildmengen fi (Ai ) sowie die Urbildmengen
fi−1 (Bi ):
(a) f1 (x) = x + 3, A1 = {1, 2, 5}, B1 = (−1, 3),
(b) f2 (x) = x2 − 1, A2 = (−1, 1), B2 = {−1, 0},
(c) f3 (x) = a (a ∈ R konstant), A3 = {0} ∪ (1, 2), B3 = {a}.
23. Injektiv, Surjektiv, Bijektiv 1.
(a) Sei f : A → B eine Abbildung von der Menge A in die Menge B. Geben sie die
(genauen(!)) Definitionen für Injektivität, Surjektivität und Bijektivität von f
an.
(b) Geben Sie jeweils eine injektive und nicht surjektive, eine surjektive und nicht
injektive und eine bijektive Funktion von A nach B an, wobei A und B geeignete
Teilmengen von R sind.
Wintersemester 2006/07
Aufgabensammlung
17
(c) Untersuchen Sie die folgenden Aussagen:
Eine Abbildung f : A → B ist surjektiv, wenn. . .
i.
ii.
iii.
iv.
v.
aus b = f (a1 ) und b = f (a2 ) folgt a1 = a2 .
zu jedem a ∈ A ein b ∈ B mit b = f (a) existiert.
zu jedem b ∈ B ein a ∈ A mit b = f (a) existiert.
aus b1 = f (a) und b2 = f (a) folgt b1 = b2 .
sie nicht injektiv ist.
Eine Abbildung f : A → B ist injektiv, wenn. . .
i.
ii.
iii.
iv.
v.
es zu jedem b ∈ B ein a ∈ A mit b = f (a) gibt.
es zu jedem a ∈ A höchstens ein b ∈ B mit b = f (a) gibt.
es zu jedem a ∈ A ein b ∈ B mit b = f (a) gibt.
es zu jedem b ∈ B höchstens ein a ∈ A mit b = f (a) gibt.
sie nicht surjektiv ist.
24. Injektiv, Surjektiv, Bijektiv 2. Sind die folgenden Abbildungen injektiv, surjektiv bzw.
bijektiv? Begründen Sie Ihre Antwort.
(a) f1 : Z → N, x 7→ x2
(b) f2 : N → N, n 7→ n4
(c) f3 : R → [−1, 1], x 7→ sin x
(d) f4 : R → R, f4 (x) = −4x + 1
(e) f5 : N → N, x 7→ x + (−1)x
25. Injektiv, Surjektiv, Bijektiv 3.
(a) Gibt es zwei Funktionen f, g, die beide nicht bijektiv sind, sodass die Zusammensetzung f ◦ g bijektiv ist?
(b) Gibt es zwei Funktionen f, g, die beide nicht injektiv sind, sodass die Zusammensetzung f ◦ g injektiv ist?
(c) Gibt es zwei Funktionen f, g, die beide nicht surektiv sind, sodass die Zusammensetzung f ◦ g surektiv ist?
26. Urbildmenge. Sei f : X → Y eine Funktion, und seien A, B ⊆ Y Teilmengen. Beweisen Sie die folgenden Aussagen und geben Sie jeweils eine verbale Formulierung der
Form: Das Urbild des Durchschnitts zweier Mengen ist . . . “ an.
”
(a) f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B),
Wintersemester 2006/07
18
Einführung in das Mathematische Arbeiten
(b) f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B).
Falls Sie sich durch (b) nicht genügend herausgefordert fühlen, dann beweisen
Sie die folgende Verallgemeinerung für beliebige Vereinigungen
¡[ ¢ [ −1
Ai =
f −1
f (Ai ).
i∈I
i∈I
Hier ist I eine beliebige Indexmenge.
(c) f −1 (Y \ A) = X \ f −1 (A).
Hinweis: Lassen Sie sich vom relativ hohen Abstraktionsgrad der Aufgabe nicht
entmutigen! Gehen Sie formal vor und beginnen Sie z.B. den Beweis von (a) mit
der definitionsgemäßen Formulierung, dass x ein Element der linken Menge in der
Gleichung ist, also x ∈ f −1 (A∩B) ⇔ f (x) ∈ A∩B. Nun verwenden Sie die Definition
für den Durchschnitt zweier Mengen . . . na sehen Sie, nach einer weiteren Verwendung
der Definition des Urbilds und des Durchschnitts haben wir gezeigt, dass x Element
der rechten Seite der Gleichung ist, also die Gleichheit gilt!
27. Bildmenge. Sei f : X → Y eine Funktion, und seien A, B ⊆ X Teilmengen. Untersuchen Sie, welche Eigenschaften (injektiv, surjektiv, bijektiv) für f nötig sind, damit
die nachstehenden Gleichungen erfüllt sind. Muss bzw. kann man das = durch ⊆ oder
⊇ ersetzen, damit die Beziehung auch für allgemeine f gilt? Geben Sie schließlich—
wie im obigen Beispiel—eine verbale Formulierungen für jede der Eigenschaften an.
(a) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B),
(b) f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).
Analog zu (b) im vorigen Beispiel gilt hier die Verallgemeinerung auf beliebige
Durchschnitte unter denselben Voraussetzungen wie (b) selbst. Na, motiviert
für einen Versuch?
(c) f (X \ A) = Y \ f (A).
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Aufgabensammlung
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Grundlegende Algebra
28. Gruppenaxiome.
(a) Überprüfen Sie, ob die folgenden beiden auf R definierten Verknüpfungen assoziativ resp. kommutativ sind:
a ⊕ b := ab − 4
a ¯ b := 6a + 6b + 3ab − 2 = 3(a + 2)(b + 2) − 2.
(b) Stellen Sie (durch Nachprüfen der Gruppenaxiome) fest, ob (R, ⊗) eine abelsche
Gruppe ist, wobei die Verknüpfung durch a ⊗ b := a + b − 8 definiert ist.
29. Regeln in Gruppen, Ringen und Körpern.
(a) Sei (G, ·) eine Gruppe. Beweisen Sie, dass für alle g ∈ G das inverse Element
g −1 eindeutig bestimmt ist.
(b) Sei G eine Gruppe, und seien g, h ∈ G. Bestimmen Sie (gh)−1 .
(c) Sei R ein Ring. Beweisen Sie für alle a ∈ R die Beziehung a · 0 = 0 · a = 0.
(d) Sei K ein Körper. Widerlegen Sie die Aussage: Es gibt a, b ∈ K mit a 6= 0 und
b 6= 0 und ab = 0.
30. S 1 . Zeigen Sie, dass die komplexen Zahlen c mit |c| = 1 bezüglich der Multiplikation
komplexer Zahlen eine Gruppe bilden; diese wird mit S 1 bezeichnet. Kann man 1
durch ein beliebiges n ∈ N ersetzen?
√
31. Q[ 5]. Gegeben sei die Menge
√
√
Q[ 5] = {a + b 5 | a, b ∈ Q}
mit den Operationen
√
√
√
(a + b 5) ⊕ (a0 + b0 5) := (a + a0 ) + (b + b0 ) 5
√
√
√
(a + b 5) ⊗ (a0 + b0 5) := (aa0 + 5bb0 ) + (ab0 + a0 b) 5.
√
Bildet (Q[ 5], ⊕, ⊗) einen Körper?
Hinweis: Eine Möglichkeit, diese Aufgabe zu erledigen, besteht im Nachprüfen aller
9 Körperaxiome a la Beispiel 5.4.11. Wenn Ihnen dies zu langweilig weil langwierig
erscheint, können Sie
(a) einen educated guess“ abgeben und einige der schwierigeren (welche sind das?)
”
Axiome nachrechnen oder
(b) einen gänzlich anderen Weg einschlagen. Zu diesem Zweck schlagen Sie Proposition 5.4.10 nach und. . .
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20
Einführung in das Mathematische Arbeiten
32. Zn .
(a) Stellen Sie die beiden Verknüpfungstafeln (bzgl. + und ·) von Z3 auf. Welche
algebraische Struktur sehen Sie vor sich?
(b) Stellen Sie die beiden Verknüpfungstafeln (bzgl. + und ·) für Z4 auf und vergleichen Sie diese mit derjenigen von Z3 . Welche algebraische Struktur liegt vor?
Sind Z3 und Z4 als Ringe isomorph?
Komplexe Zahlen
33. Rechnen mit komplexen
Zahlen 1. Bestimmen Sie für die folgenden komplexen Zahlen
√
|z|, arg z, 1/z, z.
(a) z = 2 + 3i,
(b) z = 1 − 3i,
(c) z = i,
(d) z = 2 − 2i.
34. Rechnen mit komplexen Zahlen 2. Schreiben Sie die folgenden Zahlen in der Form
a + bi mit a, b ∈ R:
1+i
,
7−i
(b) |4 + 3i|,
¯
¯
¯ 2 − 6i ¯
¯,
¯
(c) ¯
3 + 8i ¯
(a)
(d) (9 + 6i)4 ,
√
(e) 5 − 3i,
(f) i101 ,
(g)
1234
X
in .
n=1
35. Rechnen mit komplexen Zahlen 3.
(a) Multiplizieren Sie 3+ 32 i mit −1+ 4i . Wie sieht das in der komplexen Zahlenebene
aus?
(b) Was ist in C das Inverse zu
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4
− 32 i?