Analysis I für M, LaG/M, Ph 7.Tutorium

Analysis I für M, LaG/M, Ph
7.Tutorium
Fachbereich Mathematik
Dr. Robert Haller-Dintelmann
David Bücher
Christian Brandenburg
Sommersemester 2010
27./28.05.2010
Tutorium
Aufgabe T1
(a) Berechnen Sie das Cauchy-Produkt der Reihen
∞
X
qn
∞
X
(−q)n
und
n=1
(|q| < 1).
n=1
(b) Zeigen Sie, dass das Cauchy-Produkt der beiden divergenten Reihen
a0 = −1,
P∞
n=0
an und
P∞
n=0
bn mit
an = 1 (n ≥ 1)
und
b0 = 2,
bn = 2n
(n ≥ 1)
absolut konvergiert.
Lösung:
(a) Es gilt
cn =
n
X
n
X
q n−k (−q)k = q n
(−1)k =
k=0
Damit erhalten wir
∞
X
k=0
cn =
∞
X
(
q n , falls n gerade
k=0
q2n . Wir haben also gezeigt, dass
k=0
0,
falls n ungerade
1
1
1
·
=
.
1−q 1+q
1 − q2
(b) Für die Koeffizienten des Cauchy-Produktes cn gilt c0 = a0 b0 = −2 und für n ≥ 1 erhalten wir
!
n−1
X
c n = a n b0 +
an−k bk + a0 bn
k=1
=2+
n−1
X
!
2
k
− 2n
k=1
=2−1+
2n − 1
2−1
− 2n = 0.
Somit konvergiert das Cauchy-Produkt absolut.
Aufgabe T2
Beweisen Sie das folgende Lemma:
Für eine Folge (an )n positiver reeller Zahlen, für die die Folge
an+1
an
beschränkt ist, gilt
an+1
p
lim sup n an ≤ lim sup
.
an
n→∞
n→∞
Gehen Sie wie folgt vor:
1
(a) Zeigen Sie, dass L := lim sup
n→∞
an+1
an
existiert.
(b) Sei q > L und sei r eine beliebige reelle Zahl mit L < r < q. Zeigen Sie, dass ein n0 existiert, so dass für alle n > n0
gilt an+1 < r an .
(c) SchließenpSie, dass aN +k ≤ r k aN und r k aN = r N +k C für ein geeignetes C und k = 1, 2, . . . . Zeigen Sie, dass dies
p
n a ≤ r n C impliziert für n > N .
n
€ q Šm
≥ C . Zeigen Sie, dass für diese m die Beziehung
(d) Zeigen Sie, dass ein M ∈ N existiert, so dass m > M impliziert r
p
m
r C ≤ q gilt.
p
(e) Schließen Sie, dass lim sup n an ≤ q und argumentieren Sie, dass dies die Behauptung impliziert.
n→∞
Leiten Sie das Quotientenkriterium als Konsequenz aus dem Wurzelkriterium und diesem Lemma her.
Lösung:
(a) Die Folge bn :=
an+1
an
ist nach Voraussetzung beschränkt. Damit besitzt sie einen oberen Limes L .
(b) Sei ε = r − L . Dann existiert ein n0 ∈ N, so dass bn < L + ε = r für alle n > n0 . Es gilt also
an+1
< r ⇐⇒ an+1 < r an .
an
(c) Wiederholtes anwenden von (b) liefert
aN +k < r aN +k−1 < r 2 aN +k−2 < · · · < r k aN .
Sei nun C =
an
rN
. Dann gilt
r k aN = r k+N
aN
rN
= r k+N C.
und somit
p
p
p
n
n
n
r k aN = r k+N C = r n C = r C.
€ q Šm
€ q ŠM
q
≥ C und somit r
≥ C für alle m ≥ M . Damit gilt also
(d) Da q > r gilt r > 1. Somit existiert ein M , so dass r
Æ
p
p
m
m
m qm
≥ C , was äquivalent ist zu q ≥ r C .
rm
p
n
an =
p
n
p
n
aN +k <
(e) Sei ε > 0. Wir setzen q = L + ε und wählen r beliebig
Teilschritte liefern die
Æ mit L < r < q. Die vorangegangenen
Æ
p
n aN
m aN
n
≤ q für alle m > M .
Existenz natürlicher Zahlen N und M mit an ≤ r r N für alle n > N und mit r
rN
Æ
p
a
N
k
Wir setzen nun K := max{M , N }. Dann gilt für alle k > K k ak ≤ r r N ≤ q = L + ε. Es gilt also für alle ε > 0, dass
p
p
a
.
lim sup n an ≤ L + ε und deshalb lim sup n an ≤ L = lim sup n+1
a
n→∞
n→∞
n→∞
n
|a
|
Falls eine undendliche Reihe reeller Zahlen n x n mit x n 6= 0 die Bedingung lim sup |an+1| < 1 erfüllt, dann gilt nach obin
n→∞
p
P
n
gem Lemma ebenso lim sup |x n | < 1. Somit erfüllt n x n die Voraussetzungen für das Wurzelkriterium und konvergiert
P
n→∞
absolut.
Aufgabe T3
p
a
.
Finden Sie eine Folge positiver Zahlen an , so dass lim sup n an < 1 ≤ lim sup n+1
a
n→∞
n→∞
n
Lösung: Wir definieren
(
an :=
1
2n
1
2n−1
n gerade
n ungerade
Dann gilt
¨
p
n
lim sup an = lim sup
n→∞
n→∞
=
1
2
,
«
p
n
2
2
1
2
und
lim sup
n→∞
an+1
an
1
= sup 1,
4
= 1.
2