Analysis 1 für Physik - Höhere Mathematik an der TUM

Zentrum Mathematik
Technische Universität München
Prof. Dr. D. Castrigiano
Dr. H.-P. Kruse
Blatt 8
Analysis 1 für Physik
WS 09/10
Analysis 1 für Physik
Zentralübungen
Z1. Die Folgen (an )n∈N , (bn )n∈N und (cn )n∈N seien definiert durch
r
q
√
√
√
√
an := n + 1000 − n , bn := n + n − n , cn := n +
√
n
− n
1000
Zeigen Sie
a) Es gilt an > bn > cn für 1 ≤ n < 1000000.
b) Es gilt limn→∞ an = 0, limn→∞ bn = 12 , limn→∞ cn = ∞.
Z2. Sei (an )n∈N Folge in C mit W := {an : n ∈ N} endlich. Zeigen Sie, daß ein h ∈ W existiert,
so daß h Häufungspunkt der Folge (an )n∈N ist.
Z3. Wir betrachten die beiden Aussagen über die Menge der reellen Zahlen:
(I) Jede Intervallschachtelung hat einen nicht-leeren Schnitt.
(C) Jede Cauchyfolge konvergiert.
Zeigen Sie, daß die Implikation (C) ⇒ (I) gilt. (Die Implikation (I) ⇒ (C) wurde bereits
in der Vorlesung gezeigt.)
Z4. Bestimmen Sie die Häufungspunkte der Folge (an )n∈N mit
1
an = in + n .
2
Z5. Wir betrachten die folgenden Aussagen über eine Folge (an )n∈N komplexer Zahlen:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(an )n∈N
(an )n∈N
(an )n∈N
(an )n∈N
(an )n∈N
(an )n∈N
ist konvergent.
ist eine Cauchy-Folge.
ist beschränkt.
hat genau einen Häufungspunkt.
hat mehr als einen Häufungspunkt.
ist beschränkt und nicht konvergent.
Untersuchen Sie, welche der folgenden Implikationen richtig bzw. falsch sind. Geben Sie
gegebenfalls ein Gegenbeispiel an:
a) (1) ⇒ (2) , b) (2) ⇒ (1) , c) (3) ⇒ (1) , d) (2) ⇒ (4) ,
e) (4) ⇒ (1) , f) (3), (4) ⇒ (1) , g) (6) ⇒ (5) .
Z6. Seien (an )n∈N , (bn )n∈N beschränkte Folgen reeller Zahlen. Zeigen Sie, daß
a) lim sup(an + bn ) ≤ lim sup an + lim sup bn ,
b) lim sup(an + bn ) ≥ lim sup an + lim inf bn
Geben Sie Folgen (an )n∈N , (bn )n∈N an, für die in a) < und für die in b) > gilt.
Bitte wenden!
Hausaufgaben
H1. Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von
R(z) =
z5
(z − 1)3
H2. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (an )n∈N mit
√
√
4
3 +(2+3i)n
, b) an := n3 + n − n3 − 1 .
a) an := (1+i)nin−n
4 +2n2
H3. Bestimmen Sie für die nachstehenden Folgen (an )n∈N in R - gegebenenfalls in R - den
Limes superior, den Limes inferior und alle Häufungspunkte. Finden Sie im Falle der
Konvergenz oder der uneigentlichen Konvergenz den Grenzwert:
p
a) an := (−1)n n−1
, b) an := (−3)n + ((−1)n + 1)5n , c) an := n 3n + ((−1)n + 1)5n .
n+1
H4. Sei N ∈ N. Konstruieren Sie eine Folge in C, für die {1, . . . , N} bzw. N die genaue Menge
der Häufungspunkte ist.
H5. Sei (an )n∈N ⊂ R beschränkt und h∗ := lim sup an . Zeigen Sie, daß h∗ = − lim inf(−an ).
H6. Sei (an )n∈N ⊂ R. Zeigen Sie, daß gilt
lim sup an = ∞ ⇐⇒ (an )n∈N ist nach oben nicht beschränkt
H7. Sei (an )n∈N ⊂ R. Zeigen Sie, daß gilt
(an )n∈N ist konvergent ⇐⇒ lim sup an = lim inf an