Mathematik für Informatiker I

Mathematik für Informatiker I
Mitschrift zur Vorlesung vom 18.11.2004
Zur Wiederholung:
Das Kartesische Produkt dient dem Ordnen von Mengen.
A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B)}
Spezialfall A × ∅ = ∅
Äquivalenzrelation
A = {a, b}, B = {1, 2}
R = {(a, 1)}
AR1
Wichtige Eigenschaften der Relation:
- a R a → reflexiv,
- a R b → b R a → symmetrisch,
- a R b, b R a ↔ a = b → antisymmetrisch,
- a R b, b R c ↔ a R c → transitiv.
Beispiel: (2 < 3) ∧ (3 < 2) → 2 = 3 antisymmetrisch
wahr
{z falsch}
|
wahr
Man kann aus einer Falschheit alles ableiten, deshalb müssen wir
a R b, b R a → a = b
aRb → bRa
als
a R b, b R a ↔ a = b
aRb ↔ bRa
schreiben.
Partition
Eine Partition von einer Menge A ist eine Kollektion von Mengen Aa , Ab . . .,
so dass
A a ∪ Ab ∪ . . . ∪ A2 ∪ = A
und
Ay ∩ Ay + ∅, wenn x 6= y
Satz:
Jede Äquivalenzrelation auf einer Menge A (nicht leer) definiert
eine Partition von A.
Beispiele:
Menge der Dreiecke R. Seien A und B Dreiecke, A ∼ B wenn A und B die
gleichen Winkel haben.
A
B
β@@
@
@
α
β@@
@
γ@@
Anderes Beispiel:
Folgende Menge ist gegeben
α
@
γ@@
-3
-2
-1
0
1
2
3
x R y falls xy > 0
Z{0}
A1 = {x | x · 1 > 0}
A2 = {x | x · 2 > 0}
positive Zahlen ab 1
positive Zahlen ab 2
A1 = {x | x(−1) > 0}
= {x | x < 0}
negative Zahlen
Wir entnehmen aus der Menge die Null, da man nicht weiß, welches Vorzeichen die Null hat.
Beweis des Satzes:
Jede Äquivalenzrelation auf einer Menge A (nicht leer) definiert eine Partition
von A.
Jedes Element von A gehört zu einer der Mengen in der Partition.
(Aa ∪ Ab ∪ . . . ∪ Az ∪ . . . = A)
Für x ∈ A nehmen wir Ax = {y | x ∼ y} und x ∈ Ax weil A ∈ x R x
(Reflexivität)
⇒ ∪Ay = A
y ∈ a, Ay ist die Äquivalenzklasse von y.
Außerdem sind die Äquivalenzklassen disjunkt.
Seien Ax und Ay die Äquivalenzklassen von x und y. Sei x 6∼ y
Zu zeigen ist, dass Ax ∩ Ay = ∅.
Wir beweisen dies zunächst per Widerspruch
Nehmen wir an Ax ∩ Ay 6= ∅
'$
'$
Ax
Ay
&%
&%
∃z ∈ Ax ∩ Ay ⇒ z ∈ Ax , z ∈ Ay
⇒ z ∼ y, z ∼ x
wegen Symmetrie
⇒ y ∼ z, x ∼ z
wegen Transitivität
⇒ x ∼ y Widerspruch d.h. Ax ∩ Ay = ∅
Widerspruch! D.h. Ax ∩ Ay = ∅
Halbordnung
Eine Halbordnung ist eine Relation auf eine Menge A, die
- reflexiv
- antisymmetrisch
- transitiv
Nicht zu verwechseln mit Äquivalenzrelation, da für die Halbordnung die
Antisymmetrie und nicht die Symmetrie gilt.
Beispiel für Halbordnung:
a≤a
(a ≤ b) ∧ (b ≤ a) → b = a
(a ≤ b) ∧ (b ≤ c) → a ≤ c
Halbordnungen kann man mit Diagrammen darstellen.
Beispiel: x R y wenn x y teilt
A = {2, 3, 6, 9, 12, 18, 24} positive ganze Zahlen.
Zunächst untersuchen wir die Relation algebraisch. Ist die Relation
reflexiv?
Ja, da x/x = 1
antisymmetrisch?
x teilt y → x ≤ y und
y teilt x → y ≤ y
daraus folgt, dass x und y gleich sein müssen.
Da die Gleichheit zugelassen ist, können wir
x = y setzen, sonst wäre es ein Widerspruch.
⇒ x = y ⇒ ja, antisymmetrisch.

x teilt y  y/x = K1 ∈ N
und

y teilt z
2/y = K2 ∈ N
2 6y
2
⇒ x = 6y · x = K1 · K2 ∈ N
⇒ Ja, die Relation ist transitiv.
transitiv?
Diagramm: graphische Darstellung
Anderes Beispiel für Halbordnung
1
≤? {1, . . . , 5}
5
↓
4
↓
3
↓
2
↓
1
5
↓
4
↓
3
↓
2
↓
1
Aufgrund der Transivität kann man sich die meisten Pfeile sparen.
Für Halbordnung gilt die Teilbarkeit,
x R y → x teilt y
3R
6 7
7R
6 3
da sich in der Halbordnung diese beiden Elemente nicht teilen lassen, d. h.
sie stehen nicht in Relation. Wir müssen eine neue Ordnung definieren.
Total-Ordnung
Die Total-Ordnung auf A | A ist eine Halbordnung, bei der zwei beliebige
Elemente x, y ∈ A in Relatin stehen.
1
Beispiel: ≤? ist eine Totalordnungsrelation.
Funktionen (Abbildung)
A×B
R ist eine Untermenge von A × B
Relation
A
•H
B
•
•
- •
HH
j
H
•
•
•H
•
Def.bereich
Funktion
•
R
*
H
HH
j
H
•
Abbildungsbereich
A
•
- •
B
•
•
•
•
@
• @@
•
@
R
@
- •
•
•
•
Vom Definitionsbereich führt immer nur ein Pfeil auf den Abbildungsbereich.
Beispiel: f (x) = x2
x∈Z
Definitionsbereich ist Z.
Abbildungsbereich Z+ ∪ {0}
Definition: Eine Funktion f von der Menge A auf die Menge B ist
n
o
f = (a, b)|a ∈ A, b ∈ B, und b ist eindeutig für gegebenes a
Anders gesagt:
(a, b) ∈ f, (a, c) ∈ f ⇒ b = c
Funktionen sind Spezialfälle von Relationen.
Notation: f : A → B
f ist eine Funktion definiert von A auf B.
Inverse Funktionen
Bei Inversen Funktionen wandelt sich der Definitionsbereich in den Abbildungsbereich und der Abbildungsbereich in den Definitionsbereich um. Man
kann aber nicht aus jeder Funktion die Inverse bilden.
Beispiel für nicht invertierbar: f (x) = x2
Definitionsbereich R
Abbildungsbereich R+ ∪ {0}
y
D
•H
A
•
•
•
•
x
HH
j
H
*
•
•
•
D
•
A
•
√
f −1 (x) = x
Definitionsbereich R+ ∪ {0}
Abbildungsbereich R
y
*
•
•
HH
HH
j
x
•
•
•
•
Für einen x-Wert dürfen nicht 2 y-Werte gelten. Die Funktion f (x) = x2 ist
nicht invertierbar, da sonst für einen Definitionswert nicht zwei Abbildungswerte existieren dürfen.
Beispiel für invertierbare Funktionen:
y
y
x
D
A
• −→ •
• −→ •
• −→ •
•
•
f
−→
(1, 1)
(2, 8)
(−1, −1)
Inverse
⇒
x
−1
f
−→
(1, 1)
(8, 2)
(−1, 1)
f (x) = x3
Inverse Funktionen bezeichnet man auch als invertierbar. Nicht-Inverse Funktionen bezeichnet man auch als nicht invertierbar.
D
A
• −→ •
• −→ •
• −→ •
•
•