Kapitel 3 Matrixinvertierung

Kapitel 3
Matrixinvertierung
3.1
Lineare Gleichungssysteme
Ein lineares Gleichungssystem hat die Form
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
..
..
..
..
.
.
.
.
an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn ,
(3.1)
wobei die aij und bi reelle oder komplexe Zahlen sind. Gesucht sind die Zahlen xi , die
das System (3.1) erfüllen.
Glg. (3.1) läßt sich vereinfacht anschreiben, wenn wir die Vektoren x, b und die Matrix
A einführen,
Ax = b.
Das System (3.2) heißt homogen, wenn b = 0 ist.
3.1.1
Lösbarkeit
Nicht jedes System (3.1) besitzt eine Lösung, wie etwa das einfache Beispiel
3x1 + 2x2 = 4
−x1 + 3x2 = 1
2x1 + 5x2 = 3
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(3.2)
18
KAPITEL 3. MATRIXINVERTIERUNG
zeigt, in dem die ersten beiden Gleichungen im Widerspruch zur dritten stehen.
Um die Frage zu beantworten, wann Lösungen von (3.1) existieren, benötigen wir den
Begriff des Ranges einer Matrix.
Rang einer Matrix.—Betrachten wir eine m × n-Matrix A. Definiert man die
Zeilenvektoren
azi = (ai1 , ai2 , . . . ain ) ,
i = 1, 2, . . . m,
und die Spaltenvektoren
asi = (a1j , a2j , . . . amj )T ,
j = 1, 2, . . . n,
so kann A dargestellt werden durch



A=

az1
az2
..
.
azm





(3.3)
oder
A = (as1 , as2 , . . . asn ) .
(3.4)
Man kann zeigen, dass die Maximalzahl r der linear unabhängigen Zeilenvektoren einer Matrix mit der Maximalzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren
übereinstimmt. Die Zahl r heißt dann Rang der Matrix, Rg A = r.
Führen wir nun in Analogie zu Glg. (3.4) die zu A, b gehörige erweiterte Matrix
AE = (as1 , as2 , . . . asn , b)
ein, so ist aus der linearen Algebra folgender Satz bekannt:
Das lineare Gleichungssystem (3.1) ist genau dann lösbar, wenn der Rang von
A gleich dem Rang von AE ist,
Rg A = Rg AE .
(3.5)
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3.1. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
3.1.2
Lösung inhomogener Gleichungssysteme
Im Folgenden wollen wir uns auf den wichtigen Spezialfall einer quadratischen n × nMatrix A und b 6= 0 (d.h. inhomgenes Gleichungssystem) beschränken. Das Gleichungssystem (3.1) besitzt dann eine eindeutige Lösung, wenn Rg A = n ist. Eine andere
Definition kann mit Hilfe der Determinante einer Matrix A gegeben werden.
Determinante einer Matrix.—Die Determinante einer Matrix A ist definiert
durch (Laplacescher Entwicklungssatz)
det A = a11 A11 − a12 A12 + a13 A13 − . . . + ann Ann .
(3.6)
Hierbei ist Aij die Unterdeterminante, die aus det A dadurch hervorgehende Determinante, dass man die Zeile i und die Spalte j streicht. Eine Determinante der
Größe n = 1 besitzt den Wert des einzigen Matrixelementes selbst.
Obwohl wir im Folgenden Determinanten nur äußerst selten benötigen werden,
wollen wir an dieser Stelle einige ihrer Eigenschaften anführen.
1. Eine Determinante ändert ihr Vorzeichen, wenn man zwei benachbarte Zeilen
(bzw. zwei benachbarte Spalten) miteinander vertauscht.
2. Multipliziert man eine Zeile (bzw. Spalte) der Determinante mit einer Zahl
α, so hat man die Determinante mit α multipliziert.
3. Addition eines Vielfachen der k-ten Zeile zur i-ten Zeile ändert den Wert der
Determinante nicht (i 6= k).
4. Die Determinante einer Matrix ändert ihren Wert nicht, wenn man die Matrix
transponiert, det A = det AT .
5. Sind die n Zeilen (bzw. Spalten) voneinander linear abhängig, so hat die
Determinante den Wert Null.
Aus Punkt 5. erkennt man unmittelbar, dass für eine eindeutige Lösung der
Gleichung (3.1)
det A 6= 0
gelten muss.
Eine Matrix mit dieser Eigenschaft nennt man nichtsingulär.
(3.7)
20
3.1.3
KAPITEL 3. MATRIXINVERTIERUNG
Lösung durch Matrixinvertierung
Ist A quadratisch und nichtsingulär, so folgt aus Glg. (3.2)
x = A−1 b
(3.8)
als eindeutige Lösung. Die inverse Matrix ist durch

A
−1
1 

=

det A 
A11 A12
A21 A22
..
..
.
.
An1 An2
. . . A1n
. . . A2n
..
..
.
.
. . . Ann
T




(3.9)
gegeben, wobei die Aij die Unterdeterminanten aus (3.6) sind.
Allerdings ist Glg. (3.9) ein vollkommen ungeigneter Ausgangspunkt um die Inverse einer
Matrix A numerisch zu bestimmen. Würde man der Berechnung von A−1 den Laplaceschen Entwicklungssatz zugrunde legen (was man keinesfalls machen sollte), so erhielte
man einen extrem langsamen und numerisch uneffizienten Algorithmus. Die folgenden
Kapitel werden zeigen, wie man besser vorgeht.