Einführung in die Topologie

Zürich, 03.04.2008
Universität Zürich
Thomas Foertsch
Anna Mätzener
Johannes Meyer
6. Übung zur
Einführung in die Topologie
Aufgabe 1 Zeigen Sie, dass die Verträglichkeitsrelation auf der Menge der
Atlanten einer gegebenen Mannigfaltigkeit eine Äquivalenzrelation ist.
4 Punkte
Aufgabe 2 Betrachten Sie eine Menge M , die nicht notwendigerweise mit
einer Topologie versehen ist. Es seien ϕi : Ui −→ Oi , i ∈ I, bijektive
Abbildungen von Teilmengen Ui ⊂ M von M auf die offenen Teilmengen
k
n
Oi ⊂ Rn des Rn . Ausserdem
gelte (ϕi ◦ ϕ−1
j )|ϕj (Ui ∩Uj ) ∈ C (ϕj (Ui ∩ Uj ), R )
S
für alle i, j ∈ I und i Ui = M .
Der Menge A = {(Ui , ϕi ) | i ∈ I} werde das Mengensystem
OA := {O ⊂ M | ϕi (O ∩ Ui ) ist offen für alle i ∈ I}
zugeordnet.
(a) Zeigen Sie, dass OA eine Topologie auf M ist. Diese Topologie wird als
die von A auf M induzierte Topologie bezeichnet.
(b) Zeigen Sie ferner, dass für ein zweites System B = {(Vj , ψj ) | j ∈ J} mit
entsprechenden Eigenschaften der (Vi , ψi ), für das (ψj ◦ ϕ−1
i )|ϕi (Ui ∩Vj )
−1
und (ϕi ◦ ψj )|ψj (Vj ∩Ui ) für alle (i, j) ∈ I × J von der Klasse C k sind,
OA = OB .
4 Punkte
1
Aufgabe 3 Beweisen Sie die
Behauptung: Sei G eine Gruppe, die auf der Mannigfaltigkeit M frei und
diskontinuierlich operiert. Dann existiert zu jedem Punkt p ∈ M eine Umgebung Up , so dass
g(Up ) ∩ Up = ∅
∀g ∈ G \ {e}
gilt.
4 Punkte
Abgabe: Donnerstag, den 10. April - vor der Vorlesung.
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