iUBER DIE ZYKLISCH-INVERSEN UNTERHALBGRUPPEN DER

PUBLICATIONS DE L'INSTITUT MATHEMATIQUE
Nouvelle serie, tome 38 (52), 1985, pp. 87{98

UBER
DIE ZYKLISCH-INVERSEN UNTERHALBGRUPPEN
DER SYMMETRISCHEN HALBGRUPPE
IX
K. Todorov
Abstract. Das Element der Halbgruppe H ist ein Quasiinverse von dem Element dieser Halbgruppe wenn = , = und die Unterhalbgruppe h; i der Halbgruppe H
inverse ist. Mit jxj (x 2 X ) ist die naturliche Zahl s, fur die x 2 Xs und x 62 Xs+1 s+I gilt
bezeichnet. jxj = 1 fals x 2 Xs fur jede naturliche Zahl s ist. Der kleinste naturliche Zahl
t : t > 1 (wenn sie besteht), fur diejx0 j = 1, heit Index kxk von x. Durch die Anwendung
der Methoden und der Ideen, die von Schein (Acta Mathem. Acad. Sci. Hungar. 22(1971), 163{
170) kommen, gelang es die notwendigen und hinreichenden Bedingunge zu nden, bei denen die
Abbildung jbeta Quasiinverse einer gegebenen Abbildung ist. Die Abbildung die eine ein
ige quasi-inverse Abbildung haben, sind auch gezeigt. Damit ist eine volle Antwort auf die
entsprechende Frage von Schein (Ibid.) gegeben, wenn und endlichen Index haben.
1. Vorwort
Das Element der Halbgruppe H b ist nach Schein [4] ein Quasiinverse von
dem Element dieser Halbgruppe, wenn
= ;
= und die Unterhalbgruppe h; i der Halbgruppe H , die von den Elementen und
erzeugt wird, inverse ist.
Eine zyklisch-(elementar) inverse Unterhalbgruppe G = [] = h; ib der
Halbgruppe H ist eine solche Unterhalbgruppe, die vom Element und seinem
quasiinversen Element erzeugt wird. Die zyklisch-inversen Halbgruppen sind
(1)
wesentlich komplizierter gebaut als die zyklischen Gruppen und Halbgruppen. So
z . B. indem es bis auf Isomorphie nur eine einzelne unendliche zyklische Gruppe und
nur eine einzelne unendliche zyklische Halbgruppe gibt, bestehen aber unendlich
viele unendliche zyklisch-inverse Halbgluppen, die paarweise nicht isomorph sind.
Die ersten Untersuchungen in dieser Richtung gehen wesentlich auf Gluskin
[1] zuruck. Sie sind weiter von Schein [4] verallgemeinert und bilden zusammen mit
den Untersuchungen von Denes [6] einen Ausgangspunkt fur die hier dargelegten
Ergebnisse.
AMS Subject Classication (1980): Primary 20M20.
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K. Todorov
Eine Vollbeschreibung des Baumes der endlichen zyklisch-inversen Halbgruppen ist in der Arbeit von Dyadcenko, Schein [2] gegeben. Jedes Element der
zyklisch-inversen Halbgruppe Gmn = [x] gehort auf Grund des dort bewiesenen
Satzes zu einem der folgenden Typen xm ; . . . ; xm+n 1 oder x p xq x r , wobei x 1
das inverse Element von x ist und p; r q m ist.
Wir setzen die Termonologie, Ergebnisse und teilweise auch die Notation von
[4, 5, 7] voraus und vollen nur die aus [7] notigen Begrie einfuhren. Es seien eine festgehaltene Abbildung und x ein Element von X . Wir bezeichnen mit jxj
die Tiefe (hinsichtlich ) von x, d.h. die naturliche Zahl s, fur die x 2 Xs und
x 62 Xs+1 gilt jxj = 1, falls x 2 Xs fur jede naturliche Zahl ist.
Oenbar ist
jxj + m jxm j:
(2)
Mit kxk bezeichnen wir den Index von x 2 X , d.h. die kleinste naturliche
Zahl t : t 1, (wenn sie besteht), fur die x0 j = 1 ist.
Die Abbildung a von X hat einen endlichen Index, wenn kxk < 1 fur jedes
Element x 2 X ist.
Jede Abbildung der endlichen Menge X hat einen endlichen Index; jede idempotente Abbildung von IX (fur beliebige X ) hat einen endlichnen Index; wahrend
z.B. die Abbildung a der Menge X = f1; 2; . . . g : n = n + 1 keinen endlichnen
Index hat.
Ist eine gegebene (volle oder partielle) Abbildung von X , stellt Schein in
[4] auch die Frage fur die Beschreibung der quasiinversen Abbildungen von auf,
wie auch die Frage fur die Beschreibung der jeniger Abbildungen a, die eine einzige
quasiinverse Abbildung haben.
Der folgende Satz gibt eine volle Antwort auf die obige Frage, wenn und
ihre quasiinverse Abbildung einen endlichen Index haben.
Es seien ; 2 IX ; x; y; a; b 2 X . Die geordneten Paare (x; y ); (a; b) nennen
wir Verwandten von Gradk (hinsichtlich , ), falls fur sie gleichzeitig
c = ck 1 k 1 ;
c 2 fx; y; a; bg;
k
k
k
k
y = x = x und bk k = ak k = a
zutreen.
Satz. Es sei a eine Abbildung (von X) mit einem endlichen Index. Die
Abbildung (von X) mit einem endlichen Index ist eine qyuaziinverse Abbildung
von dann und nur dann, wenn sie nach den folgenden zwei Regeln bestimmt ist.
(i) Es sei a 2 X, d-h. jaj 1 ist. Dann ist a ein Element von a 1 mit
moglichst groter Tiefe 1
1 Heir und weiter im Beweis betrachten wir die Tiefe immer hinsichtlich der Abbildung .

Uber
die zyklisch-inversen Unterhalbgrupen der symmetrischen halbgruppe
89
(ii) 1) Es sei fr das Element x0 2 X n X die folgenden Bedingungen
x0 m 1 m
a0 m 1 m
= x0 ;
1
= a0 ;
1
x0 m m 2 X;
a0 m = x0 m ;
fur ein gewisses Element a0 2 X a und fur die naturliche Zahl m : m 1 erfullt.
Dann ist a0 = x0 .
2. Unter den Voraussetzungen von P.1) seien fur x; y 2 X n X und fur die
naturliclte Zahl k : k < m die Beziehngen
xm 1 = ym 1 = x m 1 ; y = yk 1 k 1 ;
yk k = xk k = x
0
gulting und x sei bestimmt.
Dann wird y so bestimmt, da die Paare (x; y ), (x; y) dic Verwandten
von Grad k sein werden.
Es gelingt den Satz durch Anwendung der Methoden und der Ideen von [4],
wie auch durch Anwendung eines Lemmas von Schein-Gluskin [4] zu beweisen. Das
Lemma besagt:
Das element der Halbgruppe S ist ein quasunverses Element von dann
und nur dann, wenn die Bedingungen (1) und
(3)
u u+v v = v v+u u
fur alle naturliche Zahlen u 0 und v 0 (u + v > 0) erfullt sind.
2. Quasiinverse Abbildungen und ihre Eigenschaften.
Beweis des Satzes
Bevor wir zu den Beweisen der grundlegenden Behauptungen ubergehen, bemerken wir das folgende.
Aus den Gleichungen (; 2 IX )
(4)
m m m = m ; m m m ; (m = 1; 2; . . . );
die in jeder zyklisch-inversen Halbgruppe h; i gultig sind, folgt:
1) X m stellt ein Querschnitt von Kernaquivalenzrelation (m ) = m Æ m
(kurz X m =k= (m )) dar. Auch ist X=k= ( m ).
2) (m m ) = (m );
( m m ) = ( m );
m
m
m
3) X = X ;
X m m = Xm .
Lemma 1. Es seien eine Abbildung (von X), eine quasiinverse Abbildung
von mit einem endlichen Index und a ein Element von X (d.h. jaj 1). Dann
ist a ein Element von a 1 mit moglichst groter Tiefe.
Beweis. Es seien m = jaj 1; b = a; a0 = a m .
90
K. Todorov
Da c" = c fur jede idempotente Abbildung " 2 IX und jedes Element c 2 X"
ist, gelten dann auch die Relationen:
a0 m = a m m = a
( da a 2 Xm = X m m );
b = a = a0 m = a0 m = a 7! jbj m 1;
b = = a0 m = a m m = b m 1 m =
= b m m 1 = a m m 1 = a0 m ) m 1 jbj
Folglich ist b ein Element von a
1
mit moglichst groter Tiefe (= m
1).
Korollar 1. Es seien a eine Abbildung (von X), eine quasiinverse Abbildung von mit einem endlichen Index; x, a Elemente von X und k (k = 0; 1; 2; . . . )
eine Zahl, fur die x k k = a gilt, dann ist a i i = a fur i = 0; 1; . . . ; k .
Beweis. a k k = a gilt, weil k k eine idempotente Abbildung darstellt und
a 2 X k k ist.
Also ist k jaj und daher folgt, da a 2 Xi = X i i fur i = 0; 1; . . . ; k ,
d.h. a i i = a ist.
Das folgende Korollar ist dual zu dem Korollar 1.
Korollar 2. Es seien eine Abbildung (von X), eine quasiinverse Abbildung von a mit einem endlichen Index; x, b Elemente von X und k (k = 0; 1; . . . )
eine Zahl, fur die yk k = b gilt, dann ist bi i = b fur i = 0; 1; . . . ; k .
Schlielich formulieren wir (ohne Beweis) auch das folgende
Korollar 3. Es seien eine Abbildung (von X), eine quasiinverse Abbildung von a mit einem endlichen Index und x ein Element von X. Dann gilt es
jxu v j = 1
fur jede zwei Zahlen u und v mit kxk u und 0 v .
Die Gleichung jx p j = 1 liefert jx 1 s j = 1 fur jedes Element x 2 X und
jede zwei Zahlen 1 und s mit p 1; 0 s.
Also, fur jede Abbildung a und ihre Quasiinverse mit einem endlichen Index
 jedes Element x 2 X eine Zahl t : t kxk mit t < jxt j und
ndet man fUr
t
t
x 2 X.
Setzen wir weiter die Elemente xi 2 X=X (i = 1; . . . ; s) und die Zahl m :
m 1 mit
(5)
x1 m
1
= x2 1
= = xs m 1 ; jxi m
1
j=m
1;
m < jxi m j
voraus. Dann wird es (nach dem Lemma 1) bei der idempotenten Abbildung
k k (k = 0; 1; . . . ; m 1) fur die Bilder der Elemente xi
jxi k k j = 0;
xi m m = a 2 X:

Uber
die zyklisch-inversen Unterhalbgrupen der symmetrischen halbgruppe
91
Wenn es keine anderen Elemente von X gibt, die Bedingung (5). erfullen
(d.h. falls die Klasse xi (m 1 ) mit der Menge S = fx1 ; . . . ; xs g uberelnstimmt)
so versichert dann die Bedingung X m 1 =k= (m 1 ) die Existenz des Elements
x0 : fx0 g = S \ X m 1 mit xi m 1 m 1 = x0 .
Es ist leicht zu sehen, da fx0 g = x0 (k ) \ X k fur jede Zahl k : k m 1,
d.h. (x0 (k ))k k = x0 ist.
Ist xk 6= x0 k fur die Zahl k : k < m 1 und das Element x 2 S , so haben
wir fur das Element y = xk k und eine gewisse Zahl l : k < l m 1:
y = xk k 6= x0 k k = x0 ;
yl l = x0 l l = x0 ;
yl = x0 l ;
d.h. y 2 S ist.
Folglich, entspricht jedem Element x0 2 X n X eine minimale Zahl m so,
da x0 m m 2 X. Dabei trit man die folgenden zwei Falle:
1) Fur jede Zahl 1 mit 0 1 < m gilt es x0 1 1 = x0 .
2) Fur die Zahlen k , k0 mit 0 k k0 < m 1 und die Elemente x0 ; x1 ; x 2
X n X mit
xk k = x; xk0 +1 k0 +1 = x1 ; x1 m 1 m
gilt es
xm 1 m
1
= x1 m 1 m
1
= x0 m 1 m
1
1
= x0
= x0 :
Diese Schlufolgerungen werden wir wesentlich bei den Formulierungen der
nachkommenden Behauptungen benutzen.
Lemma 2. Es seien eine Abbildung von X, eine quasiinverse Abbildung
von mit einem endlichen Index, und
1. es sei fur das Element x0 2 X n X und die Zahl m 1:
x0 m 1 m
1
= x0 ;
x0 m m 2 X:
Dann ist x0 = a0 fur ein gewisses Element a0 2 X mit a0 m 1 m 1 = a0
und a0 m = x0 m .
2. Unter der voraussetzung von P.1 sei fur das Element x 2 X n X und fur
die Zahl k (k < m):
xk 1 k 1 = x und xk k = x0
gultig.
Dann ist x = a fur ein gewisses Element a 2 X mit ak
k
k
a = a0 .
1
k
1
= a und
Beweis. 1. Bezeichnen wir durch a0 das Bild von x0 bei der idempotenten
Abbildung
m 1 m = m m 1 :
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K. Todorov
Daraus erhalten wir:
x0 m 1 m = a0 = a0 m 1 m (da a0 2 Xm 1 m );
= (a0 )m 1 m 1 = a0 m 1 m 1 (da a0 2 X; S: Korollar 1);
a0 = (x0 m 1 m 1 ) = x0 = x0 ; x0 = a0 = a0 :
Auerdem gilt es noch:
x0 m m+1 = (x0 )m m = a0 m m ;
a0 m = a0 m m m = (x0 m m+1 ) = (x0 m ) m+1 m+1 = x0 m
(da x0 m m 2 X ) m < jx0 m j):
2. Setzen wir a = xk 1 k = xk k 1 , so erhalten wir:
a 2 X;
a = a;
a = ak k 1 = (a)k 1 k 1 = ak 1 k 1 ;
a = xk 1 k = xk 1 k = x;
x = a = a:
Die Gleichung xk k = x0 liefert weiter
xk k+1 = x0 = a0 ;
a0 = xk k+1 = xk+1 k = (x)k k = ak k :
Das Lemma ist bewiesen.
Daraus leiten wir leicht fur k : k < m ab:
(6)
xk = x0 k ;
ak = a0 k ;
xm 1 = x0 m 1 6= a0 m 1 = am 1 ;
xm = x0 m = a0 m = am :
Lemma 3. Es seien eine Abbildung (von X) mit einem endlichen Index, eine unter den Bedingungen der Punkte (i) und (ii) (des Satzes) bestimmte Abbildung. Dann gilt es stets
kx w k = kxk + w
fur jedes Element x von X mit jx w j < 1 (w = 0; 1; . . . ).
Beweis. Den Beweis fuhren wir durch lnduktion uber den Exponenten w.
Der Fall w = 0 ist trivial. Die Behauptung sei nun schon fur alle x 2 X mit einem
Exponenten k : k < w bewiesen und es sei x k = b. Dan sind die folgenden zwei
Falle zu treen.
1) 1 jbj. In diezem Falle ist x k+1 = b nach dem P. (i) des Satzes und es
ist
kx k+1 k = kb k = kbk + 1 = kx k k + 1; kx k+1 k = kxk + k + 1:

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die zyklisch-inversen Unterhalbgrupen der symmetrischen halbgruppe
93
2) 0 = jbj. In diesem Falle besteht nach dem P. (ii) des Satzes (s. auch (6))
ein Element a 2 X, so da
b = a und kak = kbk = kxk + k
ist. Es ergibt sich
kb k = ka k = kak + 1 = kbk + 1; kx k+1 k = kb k = kxk + k + 1;
Schwieriger ist der Nachweis des folgenden Hilfsatzes.
Lemma 4. Es seien eine Abbildung (von X) mit einem endlichen Index, eine unter den Bedingungen der Punkte (i) und (ii) des Satzes bestimmte Abbildung
und es seien z ein Element von X und w eine naturliche Zahl mit jz w j < 1. Dann
existiert ein Element c von X und die Zahl n : n > 1 derart, da die folgenden
Beziehungen
w jcj;
z w = c w ;
zn = cn ; und zn 1 6= cn 1 (ob z 6= c ist)
gelt en.
Beweis. Der Fall w < jz j ist trivial | z = c. Deshalb setzen wir voraus da
jz j < w ist und es seien zj und cj (j = 0; 1; . . . ) die jenige aufeinanderfolgen nach
den Punkten (i) und (ii) bestimmte Elemente von X mit
(7)
(8)
und
cj jcj j = zj+1 ;
jzJ j = 0;
k
zj = cj ;
zj j kj 6= zj
tkj 1 kj
1
z jzj = z0 ;
= t fur t 2 fzj ; cj g:
Die elemente cj (j = 0; 1; . . . ) bestehen nach den Ungleichungen jz w j < 1
und jz j < w.
Betrachten wir vorher einige Beziehungen, die diese Elemente und ihre Tiefen
erfullen.
Es ist leicht zu sehen, da (nach P. (i)) fur jedes Element a von X und jede
Zahl k mit ak k = a stets
jai j = jaj + i; ai i = a; ak k
fur jede Zahl i : i k gilt.
(9)
i = ai ;
Die Beziehungen (7) ergeben
(10)
zj+1 jcj j = cj ;
zj+1 jcj j jcj j = zj+1
und nach (8) und (9) folgt es, da jcj j kj +1
1 ist.
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K. Todorov
Auerdem gilt es auch;
kj 1 = cj )&(zj+1 jcj j = cj )
) zj+1 jcj j+kj 1 kj 1 = zj+1 jcj j
) zj+1 jcj j+kj 1 jcj j+kj 1 = zj+1
(cj kj
1
(nach (9))
(nach (10))
Es liefert (nach (8))
kj + jcj j kj+1
(11)
Daraus folgt es durch Induktion, da
kj+1 k0 +
ist.
Setzen wir sk =
j
X
i=0
Pk
jci j
i=0 jci j. Dann leiten wir
ab:
kj+1 > sj ;
(cj +1 = cj +1 kj+1 1 kj+1 1 )&(sj kj +1
cj+1 sj sj = cj+1 )
jcj+1 sj j = jcj+1 + sj = sj+1
(12)
(13)
1) =)
nach (9)
Oensichtlich, falls die Summe sk+1 diniert ist, gilt die Ungleichunhg sk <
sk+1 . Treten wir zum Beweis des Lemmas ein. Am Anfang betrachten wir den Fall,
falls
0 < w jc0 j hgilt:
(14)
Dann ist Gleichung z w = c w nach (7) von dem Element c = c0 jzj und die Zahl
jz j erfullt. Es sei weiter
n = k0
sp
(15)
1
< w sp ;
p = 1; 2; . . .
Wir haben
z0 w = c0 w = z1 jc0 j w = (z1 jc0 j jc0 j ) w jc0 j = z1 w jc0 j (nach (10));
z0 w = (z1 ) w jc0 j 1 = c1 w jc0 j = (z2 jc1 j ) w jc0 j = c2 w s1 ;
z0 w = c0 w = c1 wjc0j = c2 w s1 = = cp w sp 1 :
Also z0 w = c0 w = cp w , wobei
cp = cp sp 1 und jcp j = sp w (nach (12)) ist:

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die zyklisch-inversen Unterhalbgrupen der symmetrischen halbgruppe
95
Schlielich, wenn wir mit c das Element cp jcp j :
c = cp jzj = cp sp 1 +jzj (p = 1; 2; . . . )
(16)
bezeichnen, errichen wir
z w = cp w jzj = (cp jzj ) w = c w ; fur p = 1; 2; . . .
Hier gilt es noch
jcj = jcp jzj j = sp + jz j w + jz j > w; (p = 1; 2; . . . ):
Es bleibt noch zu beweisen, da eine solche Zahl n mit zn = cn und
6= cn 1 existiert, wenn jz j < w ist. Zu diesem Zwecke erganzen wir die
Bedingungen (7) und (8) mit den Beziehungen
zn
(17)
1
zj kj kj = cj kj kj = cj (j = 0; 1; . . . ):
die aus P. (ii) folgen.
Weiter fuhren wir den Beweis durch Induktion uber die Anzahl der \erzeugenden" Elemente p von cp : cp = cp sp 1 , indem wir am Anfang die Relationen
(18)
z0 n = cp n ;
z0 n
1
6= cp n
1
fur n = np = kp sp 1 (p = 1; 2; . . . ); n0 = k0 beweisen werden.
Tatsachtlich gilt die Behauptung fur p = 0 und n = k0 . Nehmen wir an, da
sie fur jedes Element cj mit j p gilt. Dann leiten wir fur n = kj +1 sj und
uj kj+1 kj jcj j 0 (nach (11)) ab :
n
z0 = (z0 kj sj 1 )uj = cj kj+1 sj = cj kj+1 sj +sj 1 =
= cj kj+1 jcj j = zj +1 kj+1 = cj +1 kj+1 = cj +1 n :
(cj jcj j = zj +1 )&(zj +1 kj+1 = cj +1 kj+1 ) )
cj kj+1 jcj j = cj+1 kj+1 :
z0 sj = c0 sj = z1 sj jc0j = c1 sj jc0j = = zj sj sj 1 = zj+1 ;
z0 kj+1 sj 1 = (z0 sj )kj+1 1 = zj+1 kj+1 1 6= cj+1 kj+1 1 = cj+1 kj+1 sj 1 :
Auerdem (nach 9)
(19)
cj kj kj = cj ) cj kj kj sj 1 = cj sj 1 ;
cj n n = cj :
Hierher folgt die Richtigkeit des Lemmas bei z = z0 jzj ; c = cj +1 jzj und
n = np jz j.
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K. Todorov
Korollar 4. Es seien a eine Abbildung (von X) mit einem endlichen Index, eine unter den Bedingungen der Punkte (i) und (ii) des Satzes bestimmte
Abbildung. Dann sind
w w w = w ; w w w = k = (w = 1; 2; . . . ):
Beweis. Die erste von den beiden Gleichungen ergibt sich leicht aus P. (i) und
der Ungleichung w w + jxj jxw j.
Die zweite Gleichung pruft man leicht fur jenige Elemente x 2 X , fur die
jx w j = 1 ist. Es seien nun x ein Element von X mit jx w j < 1 und x0 das jenige
Element von X mit fur die
a w = x w ;
w jaj und x0 = a jaj
gilt. Dann haben wir:
x w w w = a w w w = (x0 jaj )w w w =
(x0 jaj w )w w = a w = x w :
Beweis des Satzes.
Die Notwendigkeit von Satz lat sich nach einem
Schema beweisen, das jenem von den Lemmata 1,2 analog ist.
Umgekehrt, erfullen die Abbildungen und die Bedingungen des Satzes,
dann ist es zu beweisen, da h; i eine zyklisch-inverse Unterhalbgruppe von IX
darstellt, d.h. zusammen mit die Bedingungen des Lemmas von Schem - Gluskin
genugt.
Der Beweis von (1) folgt aus dem Korollar 4.
Also brauchen wir noch die Gleichung (3) zu beweisen. Es seien x ein beliebiges Element; a; b Elemente von X ; u; v und n die Zahlen fur die
x v = a v ; v jaj; b = xu u ;
xn = an ; xn
1
6= an 1 :
Daher ist es (nach dem Korollar 4):
(20)
(21)
(20))
b = xu u ) b = bu u ) jxj jbj
b = xu u ) xu = bu :
Nach dem Tiefe vom Element x unterscheiden wir die folgenden zwei Falle:
I. v jxj. In diesem Fall erhalten wir, da die Gleichungen (nach (21) und
xu u v v = bu u v v = b v v = b;
b v v u u = xu u = bu u = b;
gelten, d.h. xu u+v v = x v v+u u .
II. jxj < v . Hier betrahcten wir wieder zwei Unterfalle.

Uber
die zyklisch-inversen Unterhalbgrupen der symmetrischen halbgruppe
97
1. n u. Es gilt:
(xn = an )&(n u) ) xu = au = bu (nach 21 ))
au u = bu u = b ) jaj jbj ) v jbj ) b v v = b;
xu u v v = b v v = b;
x v v u u = a v v u u = au u = bu u = b:
2. u < n. Bemerken wir vorher: nach dem Lemma 4 und ihr Beweis lassen
sich fur u < n von den Gleichungen
xu = bu ; xn = an ; x v = a v
die Gleichungen (nach (19))
au u = a;
a v = x v = b v
erhalten. Weiter haben wir:
xu u v v = bu u v v = b v v = a v v = a;
x v v u u = a v v u u = au u = a:
Der Satz ist bewiesen.
Zur Erganzung des Beweises lassen wir bemerken, da im Falle, wenn fur eine
gewisse Klasse x der Schnitt X \ xa lpha unendliche viel Elemente mit moglichst
groter Tiefe enthalt, werden dann (x) durch Auswahlpostulat versihert.
Korollar 5. Der Abbildung a von X mit einem endlichen Index entspricht
eine einzelne quasiinverse Abbildung von X dann und nur dann, wenn jede Klasse
x (x 2 X ) nur ein einzelnes Element mit moglichst groter Tiefe enthalt und
gleichzeitig ihre anderen Elemente eine und dieselbe Tiefe haben.
Beispiel 1. Die Abbildung
=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
1 1 2 2 2 3 6 7 8 9 10 4 4 12 14 15 16 13 13 18 20 19 22 5 5 24 26 25 25 28 29
hat z. B. als quasiinverse Abbildung die Abbildungen
1 =
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
1 3 6 12 24 7 8 9 10 11 1 14 18 15 16 17 11 20 22 21 17 23 17 26 28 27 16 30 31 32 23
2 : x2 = x1 fur x 6= 30; 31 und 302 = 312 = 16;
3 : x3 = x1 fur x 6= 27; 30; 31 und 273 = 303 = 313 = 9:
Die Paare (27, 30); (15, 20) ((30, 31); (20, 22)) sind die Verwandten (hinsichtlich , 1 ) von Grad 3 (von Grad 2).
Die Paare (27, 30); (15, 15) ((30, 31); (15, 15)) sind die Verwandten (hinsichtlich , 2 ) von Grad 3 (von Grad 2).
Die Paare (27, 30); (8, 8) ((30, 31); (8, 8)) sind die Verwandten (hinsichtlich
, 3 ) von Grad 3 (von Grad 2).
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K. Todorov
Laut Djadcenko, Schein [2] ist die Ordnungszahl jeder endlichen zyklischinversen Halbgruppe
Grp = [] : r+p = r gleich r(r + 1)(2r + 1)=6 + p 1:
Wir wenden diese Ergebnisse auf das Problem von Schein [3] an: Welche
Zahlen konnen Ordnungszahlen der Unterhalbgruppen der symmetrischen Halbgruppe In sein? Dann gilt
Korollar 6. Jede Zah1 des Intervals
[r(r + 1)(2r + 1)=6; r(r + 1)(2r + 1)=6 + n
r 1];
wobei 1 r n 1 ist, ist eine Ordnung der (zyklisch-)
p inversen Unterhalbgruppe
von In . Fur r(r + 1) n + 1 (d.h. fur r 0; 5 + 0; 25 + n + 1 sind Ordnungen
alle Zahlen von dem Interval
[1; r(r + 1)(2r + 1)=6 + n
r 1]:
Der Beweis folgt unmittelbar aus der Tatsache, da fur die Elemente von In
bei xiertem r von [1; n 1], p 2 [1; n r] und da die Funktion f (r) = r(r +
1)(2r + 1)=6 eine monoton wachsende Funktion ist, sind Ordnungen alle Zahlen des
Intervals [1; f (r) + p 1], wenn f (r) f (r 1) + p = f (r 1) + n (r 1) ist.
Herrn L.M. Gluskin sei fur einige Bemerkungen zum Manuscript der Arbeit
gedankt.
LITERATUR
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Math. Fakultat
Bul. \A. Ivanov" 5
1126 Soa
(Eingegangen den 25 01 1985)