Ubungen zu Topologie SS17, 7. ¨Ubung

Übungen zu Topologie SS17, 7. Übung
1. Zeigen Sie fuer einen vollständig regulären Raum X, dass X genau dann zusammenhängend ist, wenn βX es ist. (Hinweis: Für eine offen-abgeschlossenen
Teilmenge A von X, betrachte 1A und die eindeutige stetige Fortsetzung auf βX.
βX
βX
Was bedeutet das für einen Punkt von A ∩ Ac ?)
Zeigen Sie auch, dass für ein normales X und ein abgeschlossenes A ⊆ X immer
βX
βA zu A homöomorph ist.
2. Sei X ein regulärer topologischer Raum und F ⊆ X eine unendliche Menge.
Zeigen Sie, dass es eine Folge (an )n∈N in F und paarweise disjunkte On , n ∈ N,
gibt, sodass an ∈ On . Zeigen Sie auch dass jede Funktion f : A → R stetig ist,
wenn A := {an : n ∈ N}.
3. Sei F ⊆ βN abgeschlossen und unendlich. Zeigen Sie, dass F eine zu βN
homöomorphe Teilmenge hat!
Hinweis: Sei A wie im vorherigen Beispiel. Ist f : A → [0, 1], so betrachte man
g : N → [0, 1] definiert durch g(n) = f (a j ), falls n ∈ O j und g(n) = 0, falls
S
n < j O j . Betrachte nun eine stetige Fortsetzung von g auf βN eingeschränkt
auf A
Oj
βN
βN
und vergleichen Sie diese mit f auf A. Beachte dabei, dass N ∩ O j
βN
=
wegen der Dichtheit von N in βN.
4. Zeigen Sie, dass in βN nur die ab einem Index konstanten Folgen konvergieren.
Hinweis: Ist (xn ) konvergent gegen x, so ist {xn : n ∈ N} ∪ {x} abgeschlossen.
5. Zeigen Sie, dass ein (T 1 )-Raum mit einer lokal-endlichen Basis diskret sein
muss.
6. Für unendliche Mengen ist die Menge E(M) aller endlichen Teilmengen von M
bekanntlich gleichmächtig wie M, d.h. es gibt eine Bijektion ϕ : M → E(M).
Sei nun M überabzählbar.
Setzt man Uy := {x ∈ M : y ∈ ϕ(x)}, so zeige man, dass {Uy : y ∈ X} eine
bezüglich der diskreten Topologie auf M offene, lokal endliche Überdeckung ist,
die aber nicht σ-diskret ist.
Hinweis: Bezüglich der σ-Diskretheit zeige, dass Uy ∩Uz überabzählbar für y , z
ist.
S
7. Seien (Xi , Ti ), i ∈ I topologische Räume. Sei ˙ i∈I Xi ×{i} versehen mit der finalen
S
Topologie bezüglich der Funktionen φi : Xi → ˙ i∈I Xi × {i}, x 7→ (x, i). Zeigen
Sie, dass dieser topologische Raum genau dann metrisierbar ist, wenn alle Xi es
sind. Geben Sie eine passende Metrik an!