Propädeutikum Mathematik

Fakultät IV - Wirtschaft und Informatik
Abteilung Wirtschaftsinformatik
Abteilung Betriebswirtschaft
Propädeutikum Mathematik
Sommersemester 2012
Prof. Dr. Jörg Stephan
Prof. Dr. Dieter Leitmann
Literaturhinweise
Bücher zum Studieneinstieg, die den Stoff des Propädeutikums behandeln, gibt es
viele. Meistens haben sie ein Wort wie Studieneinstieg, Studienbeginn, Vorkurs, etc.
im Titel. In der FH-Bibliothek finden sie z.B.:
Piehler, Sippel, Pfeiffer: Mathematik zum Studieneinstieg, Springer, 1995
Schäfer, W. et. Al.: Mathematikvorkurs, Teubner, Wiesbaden, 2002
Kemnitz, A.: Mathematik zum Studienbeginn, Vieweg, Wiesbaden, 2001
Cramer, E., Neslehova, J.: Vorkurs Mathematik, Springer, 2004
Hilfe findet man auch im Internet, z.B. unter www.mathe-online.at. Hier gibt es auch
Links zu weiteren Internetseiten.
In der FH-Bibliothek als ebook vorhanden:
van de Craats, J. / Bosch, R.: Grundwissen Mathematik, Springer, 2009
Hier werden die Mathe-Grundlagen in einzigartiger und spaßiger Weise dargeboten:
Partoll, Heinz u.a.: Mathe macchiato, Pearson, 2003
Ein großer Teil der Übungsaufgaben ist dem Buch von
Karl Bosch: Brückenkurs Mathematik, Oldenbourg Verlag München
entnommen. Dieses Buch deckt auch inhaltlich weitgehend (aber nicht vollständig!)
den im Propädeutikum behandelten Stoff ab.
Inhalt
1.
Mengen
2.
Zahlbereiche
3.
Rechenregeln für reelle Zahlen
4.
Bruchrechnen
5.
Summen und Produkte
6.
Binomische Formeln
7.
Potenzen und Wurzeln
8.
Logarithmen
9.
Gleichungen mit einer Unbekannten
10.
Prozentrechnung, Dreisatz
11.
Ungleichungen mit einer Unbekannten
12.
Gleichungssysteme
13.
Grundlagen der ebenen Geometrie
14.
Trigonometrische Funktionen
1. Mengen
Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten unterscheidbaren Objekten zu einem
Ganzen.
Ein Objekt gehört entweder zu einer Menge oder nicht.
Die Objekte einer Menge heißen Elemente dieser Menge.
Falls x Element der Menge A ist schreibt man: x ∈ A
Falls x nicht Element von A ist schreibt man:
x∉A
Zur Darstellung einer Menge A gibt es folgende Möglichkeiten:
1. Beschreibung der Elemente von A durch Angabe der charakterisierenden Eigenschaften
2. Aufzählung der Elemente von A
3. Zeichnen eines Mengendiagramms von A
Grundmenge: Menge aller zulässigen Objekte (Universum)
leere Menge: Menge, die kein Element enthält
Schreibweisen für die leere Menge: ∅ oder {}
Zwei Mengen A und B sind gleich, in Zeichen A = B, wenn sie die gleichen Elemente besitzen.
Eine Menge A heißt Teilmenge der Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist.
Schreibweise:
A⊆B
Mengenoperatoren: Schnittmenge ∩, Vereinigungsmenge ∪
A ∩ B = { x | x ∈ A und x ∈ B }
A ∪ B = { x | x ∈ A oder x ∈ B }
Hierbei wird „oder“ im nichtausschließenden Sinn verwendet, d.h. zu A ∪ B gehören auch diejenigen
Elemente, die sowohl Element von A als auch Element von B sind .
2. Zahlbereiche
Die Menge der natürlichen Zahlen
IN = { 1, 2, 3, 4, ... }
Die Menge der ganzen Zahlen
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Die Menge der rationalen Zahlen (Brüche)
Q={
x
| x, y ∈ Z und y ≠ 0}
y
Zu jedem Punkt auf der Zahlengeraden (Zahlenstrahl) gehört eindeutig eine reelle Zahl.
IR bezeichnet die Menge der reellen Zahlen.
Für die Zahlbereiche gilt:
IN ⊆ Z ⊆ Q ⊆ IR
3. Rechenregeln für reelle Zahlen
Für die Addition + und die Multiplikation * von
reellen Zahlen a, b, c gelten die Regeln:
a + b = b + a;
ab = ba;
Kommutativgesetze
(a + b) + c = a + (b + c); (ab)c = a(bc);
Assoziativgesetze
a + 0 = 0 + a = a;
0 ist neutrales Element der Addition
1a = a1 = a;
1 ist neutrales El. der Multiplikation
a + (-a) = a - a = 0;
-a ist inverses Element der Addition
a*(1/a) = 1, falls a≠0;
1/a ist inverses El. der Multiplikation
a(b + c) = ab + ac;
(a+b)c = ac + bc;
Distributivgesetze
a*0 = 0*a = 0
a*b = 0 gilt genau dann, wenn a = 0 oder b = 0.
Terme sind sinnvolle Ausdrücke bestehend aus Konstanten (Zahlen), Variablen, Rechenoperationen
und Klammern.
Die Reihenfolge der Auswertung (Berechnung) eines Terms wird durch Klammersetzung bzw.
Vorrangregeln verschiedener Rechenoperatoren bestimmt, z.B.
„Punktrechnung geht vor Strichrechnung“
4. Bruchrechnen
Erweitern und Kürzen von Zähler und Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl c ≠ 0 ändert den
Wert des Bruches nicht:
a a⋅c a :c
=
=
b b⋅c b :c
Zwei Brüche a/b und c/d sind gleich, wenn ad = bc gilt.
Um zwei Brüche zu addieren, müssen die Nenner der Brüche gleich sein:
a c a+c
+ =
b b
b
Um zwei Brüche zu multiplizieren, rechnet man „Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner“:
a c a⋅c
⋅ =
b d b⋅d
Dividieren durch einen Bruch bedeutet multiplizieren mit dem Kehrwert des Bruches:
a c a d ad
: = ⋅ =
b d b c bc
5. Summen, Produkte, Binomialkoeffizienten
Falls viele Summanden addiert werden, verwendet man oft folgende Schreibweise mit dem
griechischen Buchstaben Sigma als sogenanntem Summenzeichen:
n
∑a
k =m
k
= am + am+1 + am+ 2 + ... + an−2 + an−1 + an
Analog verwendet man für das Produkt mehrerer Faktoren das Produktzeichen:
n
∏a
k
= am ⋅ am+1 ⋅ ... ⋅ an−1 ⋅ an
k =m
Für eine natürliche Zahl n wird n! (sprich: n Fakultät) definiert als das Produkt der ersten n natürlichen
Zahlen:
n! = 1 · 2 · 3 · 4 ·...· (n-1) · n
Zusätzlich wird definiert 0! = 1.
⎛n
⎝k
Für zwei natürliche Zahlen n und k mit k ≤ n wird der Binomialkoeffizient ⎜
⎜
definiert als:
⎛ n⎞
n!
⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ k ⎠ k!⋅(n − k )!
⎞
⎟⎟ (sprich: n über k)
⎠
6. Binomische Formeln
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Allgemeiner Binomischer Lehrsatz für reelle Zahlen a und b und natürliche Zahl n:
n
⎛n⎞
(a + b) n = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟a n− k b k
k =0 ⎝ k ⎠
7. Potenzen und Wurzeln
Für n ∈ IN und a ∈ IR ist an die n-te Potenz der Zahl a, d.h. das n-fache Produkt der Zahl a mit sich
selbst, also an = a · a ·...· a.
a heißt Basis und n Exponent.
Es gelten die Potenzgesetze:
an · am = an+m
(an)m = an·m
an · bn = (a·b)n
Für a ≠ 0 definiert man a0 = 1 und a-n =
1
an
.
Damit gelten die Potenzgesetze auch für beliebige ganzzahlige Exponenten und außerdem gilt
an
= a n −m
m
a
n
a , die n-te Wurzel aus a ist diejenige positive reelle Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist.
Weitere Definitionen:
1
n
a = a,
n
m
n
a = a ,
n
m
a
−
m
n
=
1
a
m
n
=
1
n
am
8. Logarithmen
Für a, b ∈ IR mit a ≠ 1 und b > 0 heißt die Lösung der Gleichung ax = b der Logarithmus von b zur
x = logab
Basis a, geschrieben:
logab ist diejenige Zahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten.
Rechenregeln:
loga(x·y) = logax + logay
loga(x/y) = logax - logay
loga(xc) = c · logax
loga1 = 0
logaa = 1
log a x =
Umformungsregel:
log b x
log b a
9. Gleichungen mit einer Unbekannten
Für eine lineare Gleichung der Form a · x = b gilt
1. Fall: falls a ≠ 0, ist x = b/a die einzige Lösung
2. Fall: falls a = 0 und b ≠ 0, gibt es keine Lösung
3. Fall: falls a = 0 und b = 0, ist jedes x ∈ IR Lösung.
Eine quadratische Gleichung der Form x2 + px + q = 0
hat, falls p2 - 4q ≥ 0 ist, die Lösungen
x1 = −
p
p2
+
−q
2
4
x2 = −
p
p2
−
−q
2
4
Falls p2 - 4q = 0, gibt es die eindeutige Lösung x = − p .
2
Falls p2 - 4q < 0, hat die quadratische Gleichung keine Lösung in der Grundmenge der reellen Zahlen.
Faktorisierung von quadratischen Termen x2 + px + q:
Sind x1 und x2 die Lösungen der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0, so gilt
x2 + px + q = (x – x1)(x – x2)
10. Dreisatz und Prozentrechnung
Einfacher Dreisatz: Zwei Größen A und B stehen in konstantem Verhältnis zueinander (sind
proportional, „je mehr von A, umso mehr von B“). Hat man a Einheiten von A und b Einheiten von B
gegeben und sucht die Anzahl x Einheiten von A, die in demselben Verhältnis zu d Einheiten von B
x a
=
d b
stehen, so gilt:
Umgekehrter Dreisatz: Zwei Größen A und B stehen in umgekehrt proportionalem Verhältnis
zueinander („je mehr von A, umso weniger von B“). Hat man a Einheiten von A und b Einheiten von B
gegeben und sucht die Anzahl x Einheiten von A, die zu d Einheiten von B gehören, so gilt:
x⋅d = a ⋅b
Prozent bedeutet „von Hundert“, d.h. p % sind p Hundertstel also p/100. Hat man einen prozentualen
Anteil p gegeben und sucht die zugehörige absolute Zahl, so multipliziert man die absolute Größe der
Grundgesamtheit (den Grundwert) mit p/100 (entspricht dem einfachen Dreisatz).
Zinssätze werden üblicherweise in Prozent angegeben.
Bei der sogenannten Verzinsung mit Zinseszins lautet der fundamentale Zusammenhang zwischen
Anfangskapital K0 , jährlichem Zinssatz i, Anlagezeitraum n in Jahren und Endkapital Kn :
K n = K 0 ⋅ (1 +
i n
)
100
11. Ungleichungen mit einer Unbekannten
Für zwei beliebige reelle Zahlen a und b gilt genau eine der drei Beziehungen
a<b
a ist kleiner als b, falls a auf dem Zahlenstrahl links von b liegt
a=b
a ist gleich b, falls a und b denselben Punkt auf dem Zahlenstrahl darstellen
a>b
a ist größer als b, falls a auf dem Zahlenstrahl rechts von b liegt.
Lineare Ungleichungen löst man analog linearen Gleichungen durch Äquivalenzumformungen,
wobei zu beachten ist, das bei Multiplikation bzw. Division der Ungleichung mit einer negativen Zahl
das Ungleichheitszeichen umgekehrt wird.
Zur Lösung quadratischer Ungleichungen kann man folgendermaßen vorgehen:
1. Schritt:
Ungleichung in Normalform x2 + px + q > 0 (bzw. < 0) bringen
2. Schritt:
Faktorisierung in (x – x1)(x – x2) > 0 (bzw. < 0) (siehe Kapitel 9)
3. Schritt:
Ermittlung der Lösungsmenge durch Fallunterscheidung
Im 3. Schritt verwendet man:
Ein Produkt ist genau dann > 0, wenn beide Faktoren > 0 sind oder wenn beide Faktoren < 0 sind,
bzw. ein Produkt ist genau dann < 0, wenn ein Faktor > 0 ist und ein Faktor < 0 ist.
12. Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten kann man mit der Einsetzungsmethode
(Substitutionsmethode) oder mit der Additionsmethode lösen.
Die Einsetzungsmethode lässt sich folgendermaßen skizzieren:
1. Auflösen einer der beiden Gleichungen nach einer Variablen.
2. Einsetzen des für diese Variable erhaltenen Ausdrucks in die andere Gleichung.
3. Auflösung dieser Gleichung nach der (verbliebenen) Variablen.
4. Einsetzen dieser Variablen in 1.
Falls in 3. ein Widerspruch entsteht, hat das System keine Lösung.
Falls in 3. eine Identität entsteht hat das System unendlich viele Lösungen, die durch die Gleichung in
1. Beschrieben werden können.
Bei nichtlinearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten kann man in vielen Fällen ebenfalls
die Substitutionsmethode erfolgreich anwenden.
13. Grundlagen der ebenen Geometrie
Jeder Punkt P in der Ebene lässt sich durch ein Paar (xP | yP) reeller Zahlen beschreiben, wobei xP
die x-Koordinate von P ist und yP die y-Koordinate von P.
Die Punktmenge einer Geraden g in der Ebene lässt sich durch eine lineare Gleichung y = mx + n
beschreiben, g = { (x | y) | x∈IR, y∈IR, y = mx + n}. Hierbei ist m die Steigung von g und n der
Schnittpunkt von g mit der y-Achse des Koordinatensystems.
Zwei Geraden g und h mit den Steigungen m1 bzw. m2 sind parallel, falls m1 = m2. Die Geraden
stehen senkrecht zueinander, falls m1 • m2 = -1. Die Schnittpunkte der Geraden bestimmt man durch
Lösen des linearen Gleichungssystems (der Geradengleichungen).
Drei Punkte A, B und C, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen, bilden ein Dreieck. Die den
Punkten gegenüberliegenden Seiten (und ihre Längen) werden mit a, b und c bezeichnet, die Winkel
mit α, β, γ. Für die Summe der Winkel im Dreieck gilt α + β + γ = 180o. Für die Seitenlängen gelten die
Dreiecksungleichungen a < b + c;
b < a + c;
c < a + b.
Ist hc die zur Seite c gehörige Höhe des Dreiecks, so gilt für den Flächeninhalt F des Dreiecks:
F = ½ • c • hc.
(Entsprechende Formeln gelten für die Seiten a und b).
Sind a und b die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hypothenuse c (also γ = 90o), so gilt der
Satz des Pythagoras:
a2 + b2 = c2.
Ein Viereck mit vier rechten Winkeln heißt Rechteck. Gegenüberliegende Seiten sind gleichlang und
parallel. Sind a und b die Seitenlängen des Rechtecks, so berechnet sich sein Flächeninhalt F nach
der Formel F = a • b. Für den Umfang U gilt U = 2a + 2b.
Ein Rechteck mit vier gleichen Seitenlängen heißt Quadrat.
Die Menge aller Punkte der Ebene, die zu einem Punkt M den gleichen Abstand r haben, bilden einen
Kreis. Der Punkt M ist dann der Mittelpunkt des Kreises, der Abstand r ist der Radius des Kreises.
Der doppelte Radius d heißt Durchmesser des Kreises.
Für den Flächeninhalt F und den Umfang U eines Kreises mit Radius r gelten folgende Formeln:
F = π • r2
U = 2πr
14. Trigonometrische Funktionen
Im rechtwinkligen Dreiecken mit γ = 90o gilt (siehe Kapitel 13):
sin α =
a Gegenkathete
=
c Hypothenuse
cos α =
b
Ankathete
=
c Hypothenuse
tan α =
a Gegenkathete
=
b
Ankathete
Winkelmessungen lassen sich im Kreis in Grad (eine volle Umdrehung entspricht 360o) oder in
Bogenmaß (eine volle Umdrehung entspricht dem Kreisumfang 2πr) durchführen.
Ein Winkel α entspricht der Kreisbogenlänge
b = 2πr
α
360
Der Einheitskreis hat Radius r = 1 und Mittelpunkt im Nullpunkt des Koordinatensystems.
Ein Kreisbogen der Länge t definiert einen Punkt auf dem Einheitskreis, dessen Koordinaten mit cos t
und sin t definiert werden. Dies erweitert die Definition der trigonometrischen Funktionen sinus und
cosinus im rechtwinkligen Dreieck auf beliebige reelle Zahlen t.
Gemäß Definition sind diese Funktionen periodisch mit Periode 2π, d.h. es gilt:
sin(x + 2π) = sin x und cos(x + 2π) = cos x für alle reellen Zahlen x.
Aus dem Satz des Pythagoras ergibt sich direkt die Gleichung
sin2 x + cos2 x = 1 für alle reellen Zahlen x.
Weitere nützliche Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen sind
tan x =
sin x
cos x
und
cos x = sin( x +
π .
)
2