1 Frequenzanalyse zeitkontinuierlicher Signale 1.1 Signale und ihre

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Frequenzanalyse zeitkontinuierlicher Signale
1.1 Signale und ihre Modelle
1.1.1 Signale im Kommunikationsproze
Kommunikation ist ein wesentlicher Bestandteil des menschlichen Lebens. Sie dient dem
Austausch von Informationen zwischen zwei Partnern. In einer konkreten Situation ist
einer der Partner der Sender (die Quelle) der Information, der andere der Empfanger
 bertragungskanal, der ggf.
(die Senke). Zwischen Quelle und Senke bendet sich der U
auch gestort sein kann. Dieses einfache Modell bildet die Grundvorstellung der gesamten
Informationstechnik.
Die technische Entwicklung hat es mit sich gebracht, da man sich bei diesem Kommunikationsmodell weit mehr vorstellen mu als zwei Menschen, die miteinander sprechen:
 bertragungskanal kann ein kompliziertes technisches Gebilde sein, das aus mehDer U
reren Stufen besteht (Telefonie, Rundfunk usw.).
Der Sender mu kein Mensch sein, sondern kann auch ein Gerat sein, das Informationen uber sein Umfeld (Sensor) oder uber seinen eigenen Zustand liefert.
Der Empfanger mu kein Mensch sein, sondern kann ein technisches System (insbesondere ein Computer) sein, dem der Mensch Informationen zur Steuerung, Speicherung, Weiterverarbeitung usw. ubergibt.
Der Mensch-Mensch-Kommunikation ist damit das aktuelle Gebiet der Mensch-TechnikInteraktion (Mensch-Computer-Kommunikation) zur Seite getreten. Da in beiden Fallen
das beschriebene Kommunikationsmodell die methodische Grundlage liefert, behandelt die
Kommunikationswissenschaft beide Gebiete u. a. mit dem Ziel, die Intelligenzleistungen des
Menschen besser zu verstehen und dadurch die Prozesse der Mensch-Technik-Interaktion
zu verbessern.
 bermittlung der Information
Fur unsere Betrachtungen ist es von Bedeutung, da die U
an eine physikalische Groe als Trager gebunden ist (Schalldruck bei Sprache und Musik,
Leuchtdichte bei optischer Information, Feldstarke bei Funksignalen usw.). Diese Kombination von Information und Trager wird als Signal bezeichnet.
Signalverarbeitung ist unter diesem Aspekt die Behandlung des physikalischen Tragers
durch technische Mittel mit dem Ziel, die an den Trager gebundene Information zu ubertragen oder zu extrahieren. Im ersten Falle spricht man von Signalubertragung, im zweiten
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'$
Quelle
Signal
-
Analysator
Merkmale
-
Klassikator
Klasse
&%
Aktion
'$
-
Ziel
&%
Erkennungssystem
Reaktion
Abbildung 1.1: Grundschema der Signalanalyse und -erkennung.
von Signalanalyse oder auch von Erkennung, wenn man den Auswertungsproze so weit
treibt, da am Ende eine eindeutige Entscheidung (Klassikation) steht. Erkennung ist
so in der Regel ein zweistuger Proze aus Analyse und Klassikation, wie Abbildung 1.1
veranschaulicht.
Die Grenzen zwischen Signalubertragung und Signalanalyse sind allerdings ieend, wie
moderne Verfahren der Signalcodierung zeigen. Die aktuelle Entwicklung der Multimediatechnik, die den Zugri zu jeder Information zu jeder Zeit an jedem beliebigen Gerat
ermoglichen will, verlangt eine extrem redundanzarme Informationsdarstellung.
Die vorliegende Arbeit konzentriert sich auf einen speziellen Aspekt der Signalanalyse, die
Frequenzanalyse. Sie verfolgt, allgemein gesprochen, das Ziel, ein Signal als Frequenz"
gemisch\ zu beschreiben. Das Verfahren, ein Signal als gewichtete Summe harmonischer
Schwingungen (Sinus- oder Cosinusfunktionen) zu beschreiben, ist aus einer Vielzahl von
Grunden sehr eektiv; wir erwahnen hier nur:
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Viele technische Gebilde konnen in guter Naherung als lineare, zeitinvariante Systeme
modelliert werden. Solche Systeme haben die Eigenschaft, da sie auf die Anregung
mit einer harmonischen Schwingung durch Ausgabe einer harmonischen Schwingung
der gleichen Frequenz reagieren [1, S. 24 / 25].
In der Akustik und ihren Nachbargebieten (Schwingungsanalyse, Sprachtechnologie
usw.) ist besonders wichtig, da das menschliche Hororgan in guter Naherung als
Frequenzalysator modelliert werden kann, so da fur alle praktischen Aufgaben, die
 bertragungstechnik,
das Schallempnden des Menschen berucksichtigen mussen (U
Verarbeitung von Sprache und Musik, Raum- und Bauakustik, Larmbekampfung und
Schallschutz usw.), die Frequenzanalyse unverzichtbar ist.
Theoretisch und praktisch gleichermaen wichtige Zusammenhange der gesamten
modernen digitalen\ Signalverarbeitung sind mit der Klasse der bandbegrenzten
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Signale verbunden, die sich nur mit Methoden der Beschreibung im Frequenzbereich
denieren lassen.
Die oben angesprochene Entwicklung der Multimediatechnik verlangt in zunehmendem Mae den Einsatz signalanalytischer Verfahren in der Informationsubertragung.
Wie bereits die heutigen MPEG-Standards zeigen, spielt auch hier die Frequenzanalyse eine dominierende Rolle.
1.1.2 Signalbeschreibung
Ein in der Realitat existierendes Signal mu fur unsere Zwecke in geeigneter Form beschrieben werden. Dieser Proze, der stets auch eine Reduktion des Signals auf wesentliche Komponenten zum Ziel hat (z. B. bei einem akustischen Signal der Verzicht auf
Signalkomponenten oberhalb von 20 kHz), wird als Modellierung bezeichnet. Man kann
sich die unterschiedlichsten Formen von Signalmodellen vorstellen; beispielsweise konnte
man zu einem Signal eine elektronische Schaltung angeben, die eben dieses Signal erzeugt.
Naturlich mu man sich fur das Modell entscheiden, das fur das jeweilige Ziel am besten
geeignet ist.
Fur unsere Betrachtungen zur Frequenzanalyse ist die Verwendung mathematischer Signalmodelle angebracht. Sie gehen davon aus, da man ein Signal als Groe beschreiben
kann, die von einer oder mehreren Veranderlichen eindeutig abhangt. In diesem Sinne besteht praktisch kein Unterschied zwischen dem Begri des Signals und dem einer mathematischen Funktion. Wir betrachten ausschlielich Signale x , die nur von einer Veranderlichen
abhangen, die wir mit t bezeichnen werden, da sie in aller Regel die Zeit darstellt.
In Abbildung 1.2 ist ein Sprachsignal dargestellt. Es handelt sich um die Aufzeichnung
des Wortes Amplitude\, erzeugt von einem mannlichen Sprecher. Die Abszisse ist die
"
Zeitachse, die Ordinate gibt den (in eine elektrische Spannung gewandelten) Schalldruck
wieder. Wir werden auf dieses Beispiel an mehreren Stellen zuruckkommen. An dieser Stelle
gibt es Anla zu folgenden Anmerkungen:
Das Sprachsignal ist ursprunglich ein Analogsignal\, das man korrekter zeitkontinu"
ierliches Signal nennt. Die Bezeichnung meint, da zu jedem Zeitpunkt ein Wert des
Schalldruckes existiert. Um das Signal abbilden zu konnen, mute es metechnisch
erfat werden. Praktisch erfolgte das, indem aller 62,5 s der Schalldruck gemessen
wurde. Das uns fur die weiteren Betrachtungen zugangliche Signal ist somit nur eine
Folge von (aquidistanten) Mewerten, also eine Datenstruktur. Ein solches Signal
wird als zeitdiskret bezeichnet.
Das Signal besteht aus einzelnen Phasen, die sich mehr oder minder deutlich voneinander unterscheiden. Das liegt naturlich daran, da eine Sprachauerung eine Folge
von Lauten ist, die sich durch ihre Signalformen unterscheiden. Besonders markant
sind Abschnitte des Signals, in denen eine deutliche Periodizitat zu beobachten ist.
In diesen Abschnitten, die als stimmhaft bezeichnet werden, wird das Signal durch
Stimmbandschwingungen angeregt. Zur Veranschaulichung zeigt Abbildung 1.3 Ausschnitte aus drei Vokalphasen des Beispielwortes.
Wir haben damit zwei wesentliche Ordnungskriterien fur unsere weiteren Betrachtungen
anhand des Beispiels eingefuhrt. Wir unterscheiden einerseits zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Signale, andererseits periodische und nichtperiodische Signale. Die sich daraus
ergebenden vier Kombinationen bilden unser didaktisches Gerust, das auch in der zusammenfassenden Tabelle A.1 zum Ausdruck kommt.
Ausgangspunkt fur jede Darstellung der Frequenzanalyse ist die historische Leistung von
FOURIER, der in seinem 1822 erschienenen Werk Analytische Theorie der Warme\ angab,
"
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Abbildung 1.2: Zeitverlauf des Beispielwortes Amplitude\ [11].
"
Abbildung 1.3: Ausschnitte aus vokalischen Phasen des Beispielwortes Amplitude\ [11].
"
Von oben nach unten: [a],[i] und [u].
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da man eine periodische Funktion durch Superposition harmonischer Schwingungen darstellen kann, wobei diese sogenannten Aufbaufunktionen Frequenzen haben, die ganzzahlige Vielfache der Frequenz des Originalsignals sind. Mit der Wiedergabe dieses Ansatzes,
der dem linken oberen Quadranten von Tabelle A.1 entspricht, werden wir unter 1.2 unsere
Beschreibung der Methoden der Frequenzanalyse beginnen und uns dann schrittweise zu
den ubrigen Quadranten der Tabelle vorarbeiten.
1.1.3 Energie- und Leistungssignale
Wir mussen uns noch mit einem Aspekt befassen, der mit der Eigenschaft mancher mathematischer Modellfunktionen, keinen endlichen Energieinhalt zu haben, zusammenhangt.
Der Begri der Energie ist physikalisch deniert; haben wir zum Beispiel eine Spannung u ,
wird an einem Widerstand R die Energie
1
1 Z 2
E=
u (t ) dt
R 1
(1.1)
in Warme umgewandelt. Die unendlichen Integrationsgrenzen, die wir an vielen Stellen
verwenden werden, besagen, da wir das Signal wahrend der gesamten Dauer seiner Existenz betrachten; im konkreten Fall sind naturlich Anfangs- und Endzeitpunkt des Signals
einzusetzen.
Energiesignale. Als Energiesignale bezeichnet man alle Signale, fur die das Integral
E=
Z1
1
x 2 (t ) dt
(1.2)
existiert. Vergleicht man dieses Integral mit dem physikalischen Beispiel (1.1), handelt es
sich oenbar um die Signalenergie, die an einem (ktiven) Einheitswiderstand umgesetzt
wird. Aus mathematischer Sicht handelt es sich um die Norm des Signals. Real existierende
Signale haben naturlich immer eine endliche Energie.
Leistungssignale. Niemand wird bestreiten, da die Einfuhrung periodischer Funktionen
nutzlich ist. Man ubersieht nur leicht, da sie keine realen Signale sein konnen, weil sie
aufgrund ihrer denitionsbedingten unendlichen Dauer eine unendliche Energie aufweisen.
Auch Rauschsignale werden gewohnlich mathematisch so modelliert, da sie unendliche
Energie haben. Trotzdem erweisen sie sich als sehr nutzlich zur Modellierung realer Vorgange wie zum Beispiel in Abbildung 1.4. Dort ist wieder ein Ausschnitt aus einem Sprachsignal gezeigt, diesmal aber aus einer sogenannten frikativen Phase, in der das Signal durch
Verwirbelung der Luft an einer Engestelle des Artikulationstraktes erzeugt wird. Dabei
entsteht ein typisches Rauschen. (Naturlich stammt dieser Ausschnitt nicht aus unserem
Beispielwort Amplitude\.)
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