Theoretische Physik II - Institut für Theoretische Physik

Theoretische Physik II:
Analytische Mechanik
und
Spezielle Relativitätstheorie
Dirk H. Rischke
Sommersemester 2010
Inhaltsverzeichnis
1 Lagrange-Mechanik
1.1 Zwangskräfte, Zwangsbedingungen und generalisierte Koordinaten
1.1.1 Zwangskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Zwangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Klassifizierung von Zwangsbedingungen . . . . . . . . . . .
1.1.4 Generalisierte Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6
i
Inhaltsverzeichnis
ii
1 Lagrange-Mechanik
30.4.2010
1.1 Zwangskräfte, Zwangsbedingungen und generalisierte
Koordinaten
Im ersten Teil der Vorlesung (Mechanik I: Klassische Mechanik) hatten wir gesehen, dass
ein N-Teilchensystem i.a. durch 3N Differentialgleichungen zweiter Ordnung beschrieben
wird,
X
(ex)
mi ~r¨i = F~i +
F~ij , i = 1, . . . , N .
j6=i
Oft ist es aber nicht nötig, alle 3N Bewegungsgleichungen zu lösen, da die freie Bewegung der N Teilchen Einschränkungen unterliegt. Man unterscheidet zwischen Zwangskräften und Zwangsbedingungen. Diese wollen wir im folgenden näher erläutern.
1.1.1 Zwangskräfte
Ein Beispiel für eine Zwangskraft ist beispielsweise die Fadenspannung beim Fadenpendel. Nehmen wir z.B. an, das Pendel schwinge in der (x, y)−Ebene, vgl. Abb. 1.1. Im
Prinzip gäbe es damit die beiden Freiheitsgrade x, y, um die Bewegung des Pendels zu
beschreiben. Da aber die Fadenlänge ℓ bei der Pendelbewegung stets konstant bleibt,
wirkt eine Zwangskraft auf die Masse m, die Fadenspannung F~F , die dafür sorgt, dass
die Masse sich nicht frei in der (x, y)−Ebene bewegen kann, sondern ausschließlich auf
einer Kreisbahn mit Radius ℓ. Zur Beschreibung der Bewegung genügt dann ein Freiheitsgrad, z.B. der Winkel ϕ der Auslenkung des Pendels aus der Ruhelage.
2
1
ϕ
l
FF
m
Fϕ
eϕ
ϕ
er
Fr
Fs
Abbildung 1.1: Das Fadenpendel.
1
1 Lagrange-Mechanik
Ein weiteres Beispiel für eine Zwangskraft ist die Auflagekraft, die ein sich auf einer
Tischplatte bewegendes Teilchen erfährt. Diese kompensiert die Schwerkraft, so dass die
Bewegung nicht im dreidimensionalen Raum, sondern lediglich in einer zweidimensionalen Ebene stattfindet. Anstelle der drei Koordinaten x, y, z für die freie Bewegung des
Teilchens in drei Raumdimensionen genügen zwei, z.B. x, y (die Tischebene), falls die
z−Achse senkrecht zur Tischoberfläche zeigt.
Zwangskräfte sind oft nicht in expliziter Form bekannt (s. z.B. die Fadenspannung beim
Fadenpendel), sondern machen sich lediglich durch ihre Auswirkungen bemerkbar. Eine
direkte Lösung der Newtonschen Bewegungsgleichungen (unter Einbeziehung der Zwangskräfte) ist daher im Prinzip gar nicht möglich. Das erste Ziel der Analytischen Mechanik
ist daher, die Bewegungsgleichung so umzuformulieren, dass die Zwangskräfte nicht
mehr auftreten.
1.1.2 Zwangsbedingungen
Zwangsbedingungen sind geometrische Bindungen, die in der Regel durch Zwangskräfte bewirkt werden und damit die freie Bewegung von Massenpunkten einschränken.
Das Fadenpendel kann wieder als Beispiel herangezogen werden: anstelle die Fadenspannung als Zwangskraft einzuführen, kann man auch die konstante Fadenlänge, die die Masse
m auf eine Kreisbahn zwingt, als geometrische Bindung betrachten.
Ein weiteres Beispiel für ein System mit geometrischen Bindungen ist der starre Körper.
Dort gibt es die Abstandsbeziehungen
|~ri − ~rj | ≡ |~rij | = rij = const. ∀ i, j ∈ {1, . . . , N} ,
(1.1)
zwischen den N Massenpunkten mi des starren Körpers. Wie wir im ersten Teil der Vorlesung gesehen hatten, sorgen diese dafür, dass der starre Körper nicht 3N Freiheitsgrade
wie bei der freien Bewegung von N Massenpunkten im dreidimensionalen Raum, sondern
lediglich sechs Freiheitsgrade hat (drei der Translation und drei der Rotation).
Offenbar sorgen Zwangsbedingungen dafür, dass nicht alle Teilchenkoordinaten unabhänig voneinander sind. Das zweite Ziel der Analytischen Mechanik ist es, die abhängigen Freiheitsgrade zu eliminieren, d.h. das Problem so umzuformulieren, dass
lediglich die unabhängigen Freiheitsgrade auftreten.
Wie wir sehen werden, geschieht dies durch die Einführung sog. generalisierter Koordinaten. Das dritte (und letzte) Ziel der Analytischen Mechanik ist es sodann, Bewegungsgleichungen für die generalisierten Koordinaten aufzustellen und zu lösen.
1.1.3 Klassifizierung von Zwangsbedingungen
Holonome Zwangsbedingungen
Die sog. holonomen Zwangsbedingungen (griech. ílo=ganz, nìmo=Gesetz) verknüpfen die Teilchenkoordinaten in Gestalt von p Gleichungen der Form
Gν (~r1 , . . . , ~rN , t) = 0 ,
Wir unterscheiden ferner
2
ν = 1, . . . , p .
(1.2)
1.1 Zwangskräfte, Zwangsbedingungen und generalisierte Koordinaten
(i) holonom-skleronome Zwangsbedingungen (griech. sv
klhrì = hart, fest).
Diese hängen nicht explizit von der Zeit ab,
∂Gν
=0
∂t
∀ ν = 1, . . . , p .
Beispiel: die Zwangsbedingungen (1.1) für den starren Körper, die sich auch in der
Form
Gij = |~ri − ~rj | − rij = 0 , rij = const. , ∀ i, j ∈ {1, . . . , N} ,
schreiben lassen.
(ii) holonom-rheonome Zwangsbedingungen (griech. ûèw = ich fließe).
Bei dieser hängt wenigstens eine der p Bedingungen explizit von der Zeit ab,
∃ ν ∈ {1, . . . , p} mit
∂Gν
6= 0 .
∂t
Beispiel: Masse auf einer schiefen Ebene mit zeitlich veränderlicher Neigung, s.
Abb. 1.2. Die Zwangsbedingung lautet
G(x, z, t) =
z
− tan ϕ(t) = 0 .
x
z
m
ϕ(t)
x
Abbildung 1.2: Schiefe Ebene mit zeitlich veränderlicher Neigung.
Holonome Zwangsbedingungen (1.2) sind dazu geeignet, abhängige Freiheitsgrade zu eliminieren, z.B. indem man sie nach diesen Freiheitsgraden auflöst und die Lösung in den
Bewegungsgleichungen für die verbleibenden, unabhängigen Freiheitsgraden benutzt. Im
Beispiel mit der zeitlich veränderlichen schiefen Ebene kann man z.B. z durch x ausdrücken, z = x tan ϕ(t).
Nicht-holonome Zwangsbedingungen
Nicht-holonome Zwangsbedingungen sind all die, die sich nicht in der Form (1.2)
schreiben lassen. In diesem Fall ist das Eliminieren von abhängigen Koordinaten nicht
möglich. Wir unterscheiden in dieser Klasse von Zwangbedingungen
3
1 Lagrange-Mechanik
(i) Ungleichungen.
Beispiel: Teilchen, das auf einer Kugel vom Radius R abrollt und sich dann von
der Oberfläche löst, vgl. Abb. 1.3. Die Zwangsbedingung lautet
p
x2 + y 2 + z 2 − R2 ≥ 0 ,
wobei das Gleichheitszeichen für die Bewegung an der Kugeloberfläche gilt und das
Ungleichheitszeichen, sobald es sich von der Oberfläche löst.
z
y
x
Abbildung 1.3: Teilchen auf einer Kugeloberfläche.
(ii) Zwangsbedingungen in differentieller, nicht-integrierbarer Form.
Wir numerieren die Teilchenkoordinaten fortlaufend durch,
(~r1 , . . . , ~rN ) = (x1 , x2 , x3 , . . . , x3N −2 , x3N −1 , x3N ) .
Dann sind diese Zwangsbedingungen vom Typ
0=
3N
X
gνm dxm + gνt dt , ν = 1, . . . , p ,
(1.3)
m=1
wobei die linke Seite kein totales Differential darstellt, d.h.
6 ∃ Gν (x1 , . . . , x3N , t) mit gνm ≡
∂Gν
∂Gν
, gνt =
.
∂xm
∂t
Ansonsten könnten wir die Zwangsbedingung integrieren,
3N
X
∂Gν
∂Gν
dxm +
dt ≡ dGν ,
0 =
∂xm
∂t
m=1
⇐⇒ Gν (x1 , . . . , x3N , t) = γν = const. ,
⇐⇒ G′ν (x1 , . . . , x3N , t) ≡ Gν (x1 , . . . , x3N , t) − γν = 0 .
Dies ist aber gerade eine holonome Zwangsbedingung der Form (1.2) für die Funktion
G′ν (x1 , . . . , x3N , t).
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1.1 Zwangskräfte, Zwangsbedingungen und generalisierte Koordinaten
z
ϕ
xR
R
yR
ϑ
y
v
x
Abbildung 1.4: Rollendes Rad.
Beispiel: Rollen eines Rades auf einer rauhen Fläche, vgl. Abb. 1.4. Die Radnabe
stehe stets parallel zur (x, y)−Ebene. Die rauhe Fläche verhindert ein Gleiten des
Rades.
Die Bewegung ist vollständig beschrieben durch die Kenntnis des momentanen Auflagepunktes (xR , yR ) des Rades und der Winkel ϕ, ϑ. Aus der Zwangsbedingung
“Rollen” ergibt sich für den Betrag der Geschwindigkeit
v ≡ |~v| = R ϕ̇ .
Die Geschwindigkeit zeigt senkrecht zur Radachse, d.h.
ẋ ≡ vx = v cos ϑ ,
ẏ ≡ vy = v sin ϑ .
Kombiniert man beide Bedingungen, so erhält man
ẋ − R ϕ̇ cos ϑ = 0 ,
ẏ − R ϕ̇ sin ϑ = 0 ,
bzw. nach Multiplikation mit dt,
dx − R cos ϑ dϕ = 0 ,
dy − R sin ϑ dϕ = 0 .
Diese Bedingungen sind nicht integrabel, da man ϑ(t) kennen müsste. Diese Funktion ist aber erst nach vollständiger Lösung des Problems bekannt.
Nicht-holonome Zwangsbedingungen erlauben nicht, die abhängigen Koordinaten zu eliminieren. Es existieren also im eigentlichen Sinne keine generalisierten Koordinaten.
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1 Lagrange-Mechanik
1.1.4 Generalisierte Koordinaten
Wir betrachten ein System von N Teilchen mit 3N Freiheitsgraden (z.B. den kartesischen Komponenten der N Ortsvektoren ~ri ). Das System unterliege ferner p holonomen
Zwangsbedingungen. Prinzipiell lassen sich mit den p Zwangsbedingungen p Koordinaten
eliminieren. Es existieren also S = 3N − p unabhängige Freiheitsgrade.
Man führt nun S generalisierte Koordinaten
q1 , q2 , . . . , qS
ein. Diese erfüllen folgende Bedingungen:
(a) Sie legen den Zustand des Systems eindeutig fest, d.h.
~ri = ~ri (q1 , . . . , qS , t) ∀ i = 1, . . . , N .
(b) Sie sind alle voneinander unabhängig, d.h.
6 ∃ G(q1 , . . . , qS , t) = 0 .
Mit anderen Worten, es gibt keine weitere holonome Zwangsbedingung, die die
generalisierten Koordinaten miteinander verknüpft, alle p existierenden Zwangsbedingungen sind bereits ausgenutzt worden, um die generalisierten Koordinaten zu
definieren.
Bemerkungen:
(i) Der Konfigurationsraum ist ein S−dimensionaler Raum, der durch die generalisierten Koordinaten aufgespannt wird.
(ii) Der Konfigurationsvektor ~q = (q1 , . . . , qS ) ist ein Punkt im Konfigurationsraum
und entspricht einem möglichen Zustand des Systems.
(iii) Die zur generalisierten Koordinate qi gehörende generalisierte Geschwindigkeit ist q̇i , i = 1, . . . , S. Alle generalisierten Geschwindigkeiten lassen sich zum
S−dimensionalen Vektor ~q˙ ≡ (q̇1 , . . . , q̇S ), der zum Konfigurationsvektor gehörenden
Geschwindigkeit im Konfigurationsraum, zusammenfassen.
(iv) Bei bekannten Anfangsbedingungen
~q(t0 ) = (q1 (t0 ), . . . , qS (t0 )) ≡ ~q0 ,
~q˙(t0 ) = (q̇1 (t0 ), . . . , q̇S (t0 )) ≡ ~q˙0 ,
ist der Konfigurationsvektor ~q(t), d.h. der Zustand des Systems im Konfigurationsraum, für beliebige Zeiten t > t0 aus noch zu bestimmenden Bewegungsgleichungen
berechenbar.
(v) Die generalisierten Koordinaten sind i.a. nicht eindeutig festgelegt, d.h. man besitzt eine gewisse Wahlfreiheit bei ihrer Definition. Ihre Anzahl S ist aber eindeutig
festgelegt.
(vi) Die generalisierten Koordinaten sind nicht unbedingt Größen mit der Dimension
“Länge”.
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1.1 Zwangskräfte, Zwangsbedingungen und generalisierte Koordinaten
Beispiele:
(a) Teilchen, das sich auf der Oberfläche einer Kugel mit Radius R bewegt. Im allgemeinen hat dieses Teilchen drei Freiheitsgrade, z.B. die kartesischen Komponenten
seines Ortsvektors ~r = (x, y, z). Es gibt eine holonom-skleronome Zwangsbedingung,
p
r − R = x2 + y 2 + z 2 − R = 0 ,
(1.4)
die sicherstellt, dass der Ortsvektor zu allen Zeiten auf der Kugeloberfläche liegt.
Damit gibt es S = 3 − 1 = 2 unabhängige Freiheitsgrade. Als generalisierte Koordinaten bieten sich Polar- und Azimutwinkel der Kugelkoordinaten an,
q1 = ϑ , q2 = ϕ .
Daraus erhalten wir unter Berücksichtigung der Definition der Kugelkoordinaten (s.
Teil 1 der Vorlesung) und der Zwangsbedingung (1.4) folgende Transformationsformeln zwischen kartesischen Koordinaten und generalisierten Koordinaten:
x = r cos ϕ sin ϑ = R sin q1 cos q2 ≡ x(q1 , q2 ) ,
y = r sin ϕ sin ϑ = R sin q1 sin q2 ≡ y(q1 , q2 ) ,
z = r cos ϑ = R cos q1 ≡ z(q1 ) .
(b) Ebenes Doppelpendel, vgl. Abb. 1.5.
y2
ϑ1
y1
y
l1
m1
x1
l2
x2
ϑ2
m2
x
Abbildung 1.5: Doppelpendel.
Dieses System hat sechs Freiheitsgrade, die sechs kartesischen Komponenten der
Ortsvektoren ~r1 , ~r2 der beiden Massen m1 , m2 . Es existieren vier holonom-skleronome
Zwangsbedingungen,
x21
+
y12
z1 = 0 ,
− ℓ21 = 0 ,
z2 = 0 ,
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 − ℓ22 = 0 .
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1 Lagrange-Mechanik
Es existieren somit S = 6 − 4 = 2 unabhängige Freiheitsgrade, z.B. die beiden
Winkel ϑ1 und ϑ2 , vgl. Abb. 1.5. Die generalisierte Koordinaten sind also
q1 ≡ ϑ1 ,
q2 ≡ ϑ2 .
Die Transformationsformeln lauten
x1 = ℓ1 cos q1 ≡ x1 (q1 ) ,
y1 = ℓ1 sin q1 ≡ y1 (q1 ) ,
z1 = 0 ,
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x2 = ℓ1 cos q1 + ℓ2 cos q2 ≡ x2 (q1 , q2 ) ,
y2 = ℓ1 sin q1 − ℓ2 sin q2 ≡ y2 (q1 , q2 ) ,
z2 = 0 .
Literaturverzeichnis
[1] W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 2: Analytische Mechanik (Springer, Berlin)
[2] W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 4: Spezielle Relativitätstheorie, Thermodynamik (Springer, Berlin)
[3] W. Greiner, Theoretische Physik Band 1: Mechanik I (Harri Deutsch, Thun & Frankfurt am Main)
[4] W. Greiner, Theoretische Physik Band 2: Mechanik II (Harri Deutsch, Thun & Frankfurt am Main)
[5] R. Jelitto, Theoretische Physik 2: Mechanik II (AULA-Verlag, Wiesbaden)
[6] R. Jelitto, Theoretische Physik 3: Elektrodynamik (AULA-Verlag, Wiesbaden)
[7] R. Dreizler, C. Lüdde, Theoretische Physik 1: Theoretische Mechanik (Springer, Berlin)
[8] R. Dreizler, C. Lüdde, Theoretische Physik 2: Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie (Springer, Berlin)
[9] L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Lehrbuch der Theoretischen Physik I: Mechanik (Harri
Deutsch, Thun & Frankfurt am Main)
[10] L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Lehrbuch der Theoretischen Physik II: Klassische Feldtheorie (Harri Deutsch, Thun & Frankfurt am Main)
[11] H. Goldstein, Klassische Mechanik (Akademische Verlagsgesellschaft Wiebaden)
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