Formeln Wht - Hochschule Bochum

Prof. Dr. Waike Moos
FB Wirtschaft
Formelsammlung Induktive Statistik
Kombinatorik
Satz:
Eine Anordnung von n Elementen heißt Permutation. Die Anzahl der Permutationen von n
Satz:
verschiedenen Elementen ist n!
d.h.: Bei einer Gesamtheit von n verschiedenen Elementen gibt es n!
Anordnungsmöglichkeiten in einer Reihe.
Die Anzahl der Permutationen von n Elementen, von denen jeweils n1, …, nk Elemente
ununterscheidbar sind, ist
n!
n1!⋅n 2 !⋅....n k !
Satz:
Die Anzahl der Variationen von n Elementen zur k-ten Klasse mit Wiederholung bzw.
Satz:
Zurücklegen ist n
d.h.: Einer Gesamtheit von n Elementen kann man nk geordnete Stichproben mit
Wiederholung bzw. Zurücklegen vom Umfang k entnehmen.
Es sei k ≤ n. Die Anzahl der Variationen von n Elementen zur k-ten Klasse ohne
k
Wiederholung bzw. Zurücklegen ist
n!
(n − k )!
n!
geordnete
( n − k )!
d.h.: Einer Gesamtheit von n verschiedenen Elementen kann man
Satz:
Stichproben ohne Wiederholung bzw. Zurücklegen vom Umfang k entnehmen.
Es sei k ≤ n. Die Anzahl der Kombinationen von n Elementen zur k-ten Klasse ohne
Wiederholung bzw. ohne Zurücklegen ist (sprich: „n über k“).
n
n!
Diese Formel heißt auch Binomialkoeffizient.   =
 k  k!(n − k )!
n
n!
d.h.: Einer Gesamtheit von n verschiedenen Elementen kann man   =
 k  k!( n − k )!
 
ungeordnete Stichproben ohne Wiederholung bzw. Zurücklegen vom Umfang k
entnehmen.
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit:
P( A) =
Anzahl der für A günstigen Fälle
Anzahl aller gleichmöglichen Fälle
Additionssatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung:
Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von mehreren Ereignissen, die einander gegenseitig
ausschließen, d.h. die unabhängig sind, ist die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten.
A∪B Menge alle Ereignisse, die zu A oder B gehören.
Durchschnitt zweier Ereignisse:
Die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts von mehreren Ereignissen, die sich gegenseitig
ausschließen, d.h. die unabhängig sind, ist gleich dem Produkt der
Einzelwahrscheinlichkeiten.
A∩B Menge aller Ereignisse, die zu A und zu B gehören.
P(A∩B)=P(A)*P(B)
Additionssatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung, wenn sich die Ereignisse nicht gegenseitig ausschließen,
d.h. bei abhängigen Ereignissen:
P(A∪B)=P(A)+ P(B) – P(A∩B), A∩B≠∅ (leere Menge)
Die Elemente in der Schnittmenge dürfen nicht doppelt erfasst werden.
P(„gerade“ oder „größer gleich 3“)=
1 2 1 5
+ − =
2 3 3 6
Komplementärereignis:
Ein zum Ereignis A komplementäres Ereignis
P( A )=1-P(A)
A tritt genau dann ein, wenn A nicht eintritt.
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Zufallsvariablen
Analogie zwischen der Zufallsvariablen X und dem Merkmal/Variable X aus der deskriptiven Statistik :
Zufallsvariable X
Merkmal X
Realisation x
Merkmalsausprägung/Merkmalswert x
Wahrscheinlichkeit
Relative Häufigkeit
Wahrscheinlichkeitsfunktion bei diskreten ZV bzw.
Relative Häufigkeitsverteilung
Dichtefunktion bei stetigen ZV
Verteilungsfunktion
Kumulierte relative Häufigkeitsverteilung
Erwartungswert
Arithmetisches Mittel
Varianz
Varianz
Diskrete und stetige ZV
Wahrscheinlichkeitsfunktion (GENAU-Aussagen): P(X=xi)=f(xi) und
wenn es n verschiedene
n
Realisationen für die ZV gibt, gilt:
∑ f (x ) = 1
i
i =1
Verteilungsfunktion (HÖCHSTENS-Aussagen) F(x)=P(X≤x)
Es gilt: F(x)=
∑ f ( x ) = ∑ P( X = x )
i
xi ≤ x
i
xi ≤ x
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer stetigen ZV heißt Dichtefunktion
Eigenschaften der Dichtefunktion:
∞
f(x)≥0 und
∫
b
f ( x )dx = 1 , P( a ≤ X ≤ b) = ∫ f ( x )dx ,
−∞
a
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer stetigen ZV ein ganz spezieller Wert angenommen
wird, ist 0, P(X=x)=0.
Eigenschaften der Verteilungsfunktion:
Die Ableitung der Verteilungsfunktion ist die Dichtefunktion, F ' ( x ) = f ( x ) . Das
Integral (Aufleitung) der Dichtefunktion ist die Verteilungsfunktion,
x
F ( x ) = P( X ≤ x ) =
∫ f (v)dv
−∞
0≤F(x)≤1
P( X ≤ a ) = F ( a ) und P( X ≤ b ) = F (b ) und
P(a≤X≤b)
Erwartungswert E(X) oder µ:
=P(X≤b)- P(X≤a)=F(b)-F(a)
n
E ( X ) = µ = ∑ xi f ( xi ) für diskrete ZV.
i =1
∞
E( X ) = µ =
∫ x ⋅ f ( x )dx für stetige ZV.
−∞
Varianz σ2
n
Var ( X ) = σ 2 = ∑ [ xi − E ( X )]2 f ( xi ) für diskrete ZV
i =1
∞
Var ( X ) = σ 2 =
∫x
2
⋅ f ( x )dx − [ E ( X )]2 für stetige ZV.
−∞
Binomialverteilung
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis bei einem einmaligen Versuch mit der Wahrscheinlichkeit p auftritt
und bei n Versuchen k-mal auftritt ist:
mit
1-p
 n
P( X = k ) = f ( k ) = B( k | n; p ) =   p k (1 − p ) n − k
k 
p
= Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses A
= Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses A
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n
= Anzahl der durchgeführten Experimente.
 n
n!
  =
,
 k  k ! ( n − k )!
Die Verteilungsfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass bei n Versuchen
höchstens k Ereignisse auftreten.
P( X ≤ k ) = F ( k )
Die funktionale Form der Verteilungsfunktion wird hier nicht genauer angegeben, da sie im
Weiteren für die Berechnungen nicht benötigt wird.
Der Erwartungswert und Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariable sind:
E ( X ) = n ⋅ p Var ( X ) = n ⋅ p ⋅ (1 − p )
Hypergeometrische Verteilung
ohne Zurücklegen.
Eine vorgegebene Menge umfasst N Elemente. Davon besitzen M Element die Eigenschaft A;
Von den N Elemente werden n ohne Zurücklegen entnommen,
Die der hypergeometrische Verteilung kann durch die Binomialverteilung B(n;p) mit p=
approximiert werden.
Approximationsbedingungen
n
< 0,05 klein und
N
Auswahlsatz bzw. Entnahmesatz
Anteile
M
zwischen 0,1 und 0,9, d.h. keine extremen Wahrscheinlichkeiten.
N
Poisson-Verteilung
„Gesetz der kleinen Zahlen“ bzw. „Verteilung der seltenen Ereignisse“
Die Poisson-Verteilung kann durch die Binomialverteilung approximiert werden.
Approximationsbedingungen:
n ≥ 30 und
p ≤ 0,1 oder p ≥ 0,9
Gleichverteilung
Der Erwartungswert und die Varianz der Gleichverteilung sind:
E( X ) =
a+b
2
und Var ( X ) =
(b − a ) 2
12
2
Normalverteilung N(µ;σ )
Die Dichtefunktion der Normalverteilung ist
f N ( x | µ;σ ) =
1
σ ⋅ 2π
e
 x−µ 
−

 σ 
2
für − ∞ < x < ∞
mit µ dem Erwartungswert und σ die Standardabweichung der Normalverteilung.
Der Erwartungswert und die Varianz der Normalverteilung ist
E ( X ) = µ und Var ( X ) = σ 2
Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung ist
FN ( x0 | µ ;σ ) =
1
σ ⋅ 2π
x0
∫
−∞
e
1  x−µ 
− 

2 σ 
2
dx
M
N
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Wenn eine Zufallsvariable X normalverteilt mit Erwartungswert µ und Varianz σ2 ist, X~N(µ,σ2),dann ist die
Zufallsvariable
Z=
X −µ
σ
~ N(0,1) standardnormalverteilt
Der Erwartungswert und die Varianz der Standardnormalverteilung ist:
E ( Z ) = 0 und Var ( Z ) = 1
Wichtige Eigenschaften der Standardnormalverteilung:
Zwischen den 1-σ
σ-Grenzen liegt 68,27% der Fläche bzw. der Wahrscheinlichkeit.
Zwischen den 2-σ
σ-Grenzen liegt 95,45% der Fläche bzw. der Wahrscheinlichkeit.
Zwischen den 3-σ
σ-Grenzen liegt 99,73% der Fläche bzw. der Wahrscheinlichkeit.
Symmetrie: FN(-z)=1-FN(z)
Wahrscheinlichkeit im Intervall: P(-z≤Z≤z)=2⋅ FN(z)-1
Das z 0,975 -Quantil der Standardnormalverteilung ist 1,96.
Das z 0,995 -Quantil der Standardnormalverteilung ist 2,575.
Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung
n ⋅ p ⋅ (1 − p ) ≥ 9 oder n ≥ 30
0,1 < p < 0,9
Zentraler Grenzwertsatz:
Sind die Zufallsvariablen X1, X2, ..., Xn unabhängig und identisch verteilt mit E(Xi)=µ und Var(Xi)=σ2, dann ist
1 n
σ2
X
normalverteilt
mit
E
(
X
)
=
µ
und
Var
(
X
)
=
∑
i
n i =1
n
Das gilt für n ≥ 30 .
die ZV
X =
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Kleines Symbolverzeichnis für Parameter der Grundgesamtheit und der Stichprobe:
Parameter in der Grundgesamtheit
Mittelwert,
Erwartungswert
Stichprobenmittel
∞
µ=
Parameter in der Stichprobe
∫ x ⋅ f ( x)dx
x=
−∞
1 n
∑ xi
n i=1
N
µ = ∑ xi ⋅ f ( xi )
i =1
Varianz
σ2 =
1
N
N
∑(x
− µ )2
i
Stichprobenvarianz
s2 =
i =1
1
n
( xi − x ) 2
∑
i =1
n −1
∞
σ = ∫ [ x − µ ]2 f ( x )dx
2
−∞
Standardabweichung
Stichprobenstandardabweichung
σ = σ2
s = s2
s =
Anzahl der Elemente
Anteilswert
Stichprobenumfang
N
p=
Anteilswert
M
N
1
n
∑ ( xi − x ) 2
n − 1 i =1
n
pˆ =
m
n
s
Standardfehler des Mittelwertes: s M =
n
Das Konfidenzintervall für den Erwartungswert µ der Grundgesamtheit errechnet sich bei kleinen Stichproben
als :
x −t
t
1−
α das 1 −
2
α
2
1−
α
⋅ sM < µ < x + t
2
1−
α
⋅ sM
2
-Quantil der Student-t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden.
Das Konfidenzintervall für den Erwartungswert µ der Grundgesamtheit errechnet sich bei großen Stichproben ab
n>30 als :
x−z
1−
α
2
⋅ sM < µ < x + z
1−
α
2
⋅ sM
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Mit z
1−
α das 1 −
2
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α
2
s
-Quantil der Standardnormalverteilung, s M =
der Standardfehler des Mittelwertes.
n
Falls die Varianz bzw. Standardabweichung σ der Grundgesamtheit bekannt sein sollte, errechnet sich das
Konfidenzintervall für den Erwartungswert µ der als :
x−z
1−
Definition:
σ
⋅
α
n
2
<µ<x+z
1−
σ
⋅
α
n
2
Aus einer gegebenen Stichprobe wird ein Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau 1-α derart
gebildet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass diese Konfidenzintervall den wahren, aber
unbekannten Parameter µ der Grundgesamtheit überdeckt, (1-α)% beträgt,
P( x − z ⋅ σ M ≤ µ ≤ x + z ⋅ σ M ) = 1 − α
Das Konfidenzintervall für den Anteilswert ist
pˆ − z
1−
α
⋅
pˆ ⋅ (1 − pˆ )
2
falls die Approximationsbedingung gilt:
n −1
< p < pˆ + z
1−
n ⋅ pˆ ⋅ (1 − pˆ ) > 9 .
mit
p der wahre Anteil in der Grundgesamtheit
p̂ der errechnete Anteil in der Stichprobe
z
1−
α
2
das 1 −
α
2
-Quantil der Standardnormalverteilung.
Teststatistik Test auf Mittelwertunterschiede :
Degrees of freeedom:
DF =
x1 − x2
t=
s12 s22
+
n1 n2
n1 + n 2 − 2
2
Teststatistik Test auf den Erwartungswert:
t=
x−µ
σ
n
α
2
⋅
pˆ ⋅ (1 − pˆ )
n −1
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