Mikroökonomik B — Informationsökonomik 5.1 Adverse Selektion

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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Mikroökonomik B — Informationsökonomik
5.1 Adverse Selektion
Paul Schweinzer
25. Juni 2009.
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
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Adverse Selektion
Def. Adverse Selektion tritt auf, wenn die Handelsentscheidungen
eines Individuums von dessen privater Information auf eine Art und
Weise abhängen, welche sich negativ auf andere Marktteilnehmer
auswirkt.
Def. Der Pareto-effiziente Vertrag unter vollkommener und
symmetrischer Information heißt First-Best Vertrag.
Def. Der beschränkt Pareto-effiziente Vertrag unter
asymmetrischer Information heißt Second-Best Vertrag.
Bem. Adverse Selektion schließt First-Best Ergebnisse aus.
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Beispiel adverser Selektion
◮
Wir betrachten den Markt für gebrauchte Autos mit einer
großen Anzahl von identischen Käufern und privat über die
Fahrzeugqualität informierten Verkäufern.
◮
Wir indizieren die Qualität eines Autos durch eine Zahl
q ∈ [0, 1].
◮
Käufer sind bereit 32 q für ein Auto der Qualität q zu zahlen.
◮
Verkäufer sind bereit ein Auto der Qualität q zum Preis von
p = q zu verkaufen.
◮
Die Käufer kennen nur die Verteilung der Qualität: q ∼ U[0,1].
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
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Symmetrische Information
First-Best
◮
Unter vollkommener Information werden alle Autos jeder
Qualität verkauft da 32 q ≥ q für alle q.
◮
Diese Allokation ist effizient.
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Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Asymmetrische Information
Second-Best
◮
Doch die Käufer kennen bloß die Verteilung q ∼ U[0,1] .
◮
Da die erwartete Qualität eines Autos am gesamten Markt
gegeben ist durch q̄ ≡ E[q] = 12 , sind die Käufer höchstens
3
bereit einen Preis von p = 3q̄
2 = 4 zu bezahlen.
◮
Aber zu diesem Preis wird das oberste Marktsegment nicht
angeboten, da in diesem die eigene Wertschätzung der
Verkäufer höher ist als der höchste Preis, den die Käufer zu
zahlen bereit sind.
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
◮
◮
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Deshalb müssen die Käufer ihre Berechnung der erwarteten
Marktqualität unter Ausschluß des oberen Qualitätsviertels
erneut vornehmen.
Die erwartete Qualität ist nun E[q ′ ] = q̄ ′ = 38 und nur Preise
′
9
bis höchstens p ′ = 3q̄2 = 16
werden bezahlt.
9
16
<
3
4
◮
Aber zu diesem Preis wird bloß
Verkäufern angeboten.
des Marktes von den
◮
Deshalb müssen die Käufer ihre Berechnung der erwarteten
Marktqualität erneut wiederholen und der Markt schrumpft
weiter.
◮
Dieser Zerfallsprozeß ist monoton und endet erst bei
q = p = 0.
◮
Dh der gesamte Markt löst sich auf und kein einziges Auto
wird verkauft. Dies ist sicher nicht effizient!
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Adverse Selektion
p
1
Separierender Preis
p=q, Angebot
.75
3
2 q̄,
.5
q̄, Qualitätspool
0
q|q ≤ 32 q̄
1
poolender Preis
q
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Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Signalisierungsspiele: Spence (1974)
◮
In der Folge werden wir Arbeitsmarktmodelle besprechen. Die
Grundidee ist dabei, daß es verschieden begabte Arbeiter gibt,
zwischen denen eine Firma unterscheiden möchte.
◮
In Signalisierungsmodellen können die Arbeiter vor der
Vertragsunterzeichnung Handlungen setzen, welche sie von
ihren weniger qualifizierten Mitspielern unterscheiden.
Um als Signal dienen zu können, müssen die Grenzkosten
dieser Handlung von der Begabung der Arbeiter abhängen.
◮
◮
Die informierte Partei (der Arbeiter) versucht also,
Informationen an die uninformierte Partei (die Firma) zu
signalisieren bevor ein Vertrag unterschrieben wird.
◮
Daher erhält die uninformierte Partei während des
Spielverlaufes zusätzliche Informationen über die informierte
Partei (also lernt) und aktualisiert ihre Beliefs.
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Zeitliche Abfolge von Signalisierungsspielen
0. N wählt und kommuniziert die Typen der informierten Spieler.
1. Die privat informierten Spieler signalisieren (gleichzeitig) ihren
Typ (und verändern dadurch die Beliefs der uninformierten
Spieler).
2. Basierend auf ihren Beliefs, geben die uninformierten Spieler
(gleichzeitig) bekannt, welche Verträge sie anbieten.
3. Die privat informierten Spieler wählen die von ihnen
bevorzugten Verträge.
4. Ergebnisse & Auszahlungen werden realisiert.
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Gleichgewichtskonzept
Da wir Modelle mit privaten Typen und Zeitstruktur betrachten,
1. besprechen wir in der Folge extensive Spiele mit
unvollständiger Information.
2. In Signalisierungsmodellen handelt die informierte Marktseite
zuerst und somit besteht für die uninformierte Seite die
Möglichkeit zu Lernen.
3. Daher ist das hier zu verwendende Gleichgewichtskonzept
PBNGw (und nicht das ‘einfachere’ TSPNGw wie später bei
den Aussiebemodellen).
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Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Spence’s kompetitives Arbeitsmarktmodell
◮
◮
◮
◮
◮
Ein Arbeiter ist privat über seinen Typ {θL , θH } informiert.
Die Produktivität von Typ θi ist r (θi ) = ri mit i ∈ {L, H}.
Es gilt 0 < rL < rH .
Zwei Firmen stellen Arbeiter auf der Basis der erwarteten
Produktivität rL < E[r ] < rH ein. Sie max’t Ertrag r − w .
Arbeiter können ein beobachtbares Ausbildungsniveau
e ∈ [0, ∞) erwerben, bevor sie einen Vertrag abschließen.
Für die Kosten c(e, θi ) dieser Ausbildung gilt
◮
◮
◮
konkret c(e, θi ) = eθi mit i ∈ {L, H} und 0 < θH < θL :
Ausbildungsgrenzkosten (Typen) sind für den hochproduktivien
Arbeiter niedriger als für den niedrigproduktivien Arbeiter!
generell benötigen wir nur ‘single crossing:’ ceθ (e, θ) > 0.
(c(0, θ) = 0, ce (e, θ) > 0, cee (e, θ) ≥ 0, cθ (e, θ) > 0 ∀e > 0.)
Der Arbeiter max’t u(w , e|θ) = w − c(e, θ) ≥ u(θ) ≥ 0.
Es gilt u(θL ) ≤ u(θH ).
Die a-priori Beliefs der Firmen: µ(θH ) = Pr(θi = θH ) = 1/2 .
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5.1 Adverse Selektion
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Signalisierungsspiele
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Alternative Interpretation
Im eben definierten Modell existiert nur ein einziger Arbeiter.
Dieser ist privat über seinen Typ {θL , θH } informiert. Die beiden
Firmen wissen, daß die Typen {θL , θH } mit a-priori
Wahrscheinlichkeit 1/2 auftreten.
Alternativ dazu können sie sich auch vorstellen, daß unendlich
viele Arbeiter existieren: die eine Hälfte mit Typ θL , die andere
Hälfte mit Typ θH . Die Firmen stellen dann (sehr) viele Arbeiter
ein und bezahlen sie nach ihrer signalisierten Produktivität.
Die beiden Interpretationen sind völlig äquivalent (aber technisch
ist die zweite Variante schwieriger zu formalisieren). Deshalb ist es
egal, ob wir Arbeiter im Plural oder Singular verwenden.
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Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Bildung als Signal
Da uninformierte und kompetitive Firmen ihren Arbeitern nur eine
Kompensation auf Basis der Markterwartung anbieten können, ist
es für höher qualifizierte Arbeiter (‘hohe Produktivitätstypen’) von
Vorteil, ihre höhere Produktivität zu signalisieren.
◮
◮
◮
◮
Bildung wird von informierten Arbeitern als an sich völlig
nutzloses aber beobachtbares Signal benutzt, um den Firmen
den privaten Typ (& Produktivität) zu signalisieren.
Die Idee ist, daß es für den niedrigen Produktivitätstyp rL
kostspieliger ist Ausbildung zu erlangen als für den hohen
Produktivitätstyp rH .
Damit kann sich der hohe Produktivitätstyp vom niedrigen
unterscheiden indem er mehr Ausbildung als dieser erwirbt.
Dies ist nur möglich, wenn die Grenzkosten der Ausbildung
ebenso vom Typ der Arbeiter abhängen wie die Produktivität.
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Aussiebespiele
Exkurs: Extensive Form des Spence Modells
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Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Exkurs: Indifferenzkurven für w − c(e, θ)
Std-Mikro Indifferenzkurven
eines Konsumenten der beide
Güter (x1 , x2 ) wertschätzt.
Indifferenzkurven eines
Konsumenten über ein Gut w
und ein ‘Schlecht’ e.
w
x2
≻+
≻+
PSfrag
w∗
x2∗
u(θ, e) = w − c(e, θ)
x1∗
x1
e∗
(In Jehle & Reny sind die Achsen w , e vertauscht.)
e
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Aussiebespiele
Spence-Mirrlees (single-crossing) Bedingung: ceθ (e, θ) > 0
w
Kernannahme im
Signalisierungsmodell:
≻+
ū(w , e|θH )
ū(w , e|θL )
Der Erwerb einer
weiteren Einheit
Ausbildung ist für den
hohen Produktivitätstyp
weniger kostspielig als
für den niedrigen Typ.
Grenzkosten θH < θL !
Der niedrige
Produktivitätstyp besitzt
also die steilere
Indifferenzkurve.
ẽ
e
ẽ + ∆
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Aussiebespiele
First-Best
Beachten sie, daß Bildung in diesem Modell reine Verschwendung
darstellt—sie verbessert die Produktivität der Arbeiter nicht. Dies
ist jedoch nur eine Vereinfachung; alle Resultate bleiben auch für
nützliche Bildung (dh re (θ, e) > 0) bestehen.
Unter beobachtbarer Produktivität (oder Kosten)
◮
wählt offensichtlich jeder Arbeiter e = 0, da Ausbildung
keinen Zweck erfüllt, aber kostspielig ist.
◮
Jeder Arbeiter bekommt dann Lohn wi = ri , i ∈ {L, H}.
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5.1 Adverse Selektion
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Second-Best — Unbeobachtbarer Typ
◮
Unter unbeobachtbare Produktivität wählen die Arbeiter ein
Ausbildungsniveau e auf Stufe 1. Wir definieren durch
pi (e) = Pr(e(θi ) = e) die Wahrscheinlichkeit mit der ein
Arbeiter vom Typ θi , i ∈ {L, H} Ausbildungsniveau e wählt.
◮
Auf Stufe 2 wird das Ergebnis des Spieles durch die Beliefs der
Firmen bestimmt. Diese Beliefs repräsentieren die Vermutung
der Firmen welchen Typ Arbeiter sie vor sich haben wenn sie
dessen Bildungswahl e beobachten. Diese Beliefs sind gegeben
durch die bedingte Wahrscheinlichkeit µ(θi |e), dh die a-priori
Wahrscheinlichkeit aktualisiert durch das Signal e.
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5.1 Adverse Selektion
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Signalisierungsspiele
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Wettbewerbsannahme
Im Prinzip werden die Firmen untereinander und gegenüber den
Arbeitern eine Aufteilung des gemeinsam erwirtschafteten Profits
beschließen. Von diesen Verhandlungen wollen wir aber der
Einfachheit halber abstrahieren. Deshalb machen wir hier bezüglich
der Profitaufteilung die einfachste Modellannahme: vollständiger
Wettbewerb (dh Nullprofite).
Bertrand-Wettbewerb auf der letzten Spielstufe (Nullprofite)
bestimmt den Gleichgewichtslohn durch die erwartete Produktivität
w (e) = µ(θH |e)rH + µ(θL |e)rL ∈ [rL , rH ], ∀e ≥ 0.
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Lohnangebote w (e) = µ(θH |e)rH + µ(θL|e)rL
Das technische Hauptproblem
im eben dargestellten Modell
ist das Verständnis der
Evolution der Beliefs der
uninformierten Spieler
nachdem sie das Signal des
informierten Spielers
empfangen haben.
Was sind sinnvolle Beliefs?
Welche Beliefs sind nicht
sinnvoll?
w (e)
rH
w (ẽ)
rL
e
ẽ
Wir beginnen die Untersuchung mit dem uns bereits bekannten
Gleichgewichtskonzept PBNGw.
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PBNGw
Def. Ein Perfekt Bayesianisches Nash Gleichgewicht (PBNGw) im
Signalisierungsmodell ist eine Strategie pi (e) für jeden möglichen
Typ des Arbeiters θi , zusammen mit einer Menge von bedingten
Wahrscheinlichkeiten µ(θi |e) und Lohnangeboten w (e) der Firmen,
sodass:
1. Alle mit positiver Wahrscheinlichkeit im Gw gewählten
Bildungsniveaus den Erwartungsnutzen des Arbeiters
maximieren: dh für alle e ∗ mit pi (e ∗ ) > 0 gilt, daß
e ∗ ∈ argmax {µ(θH |e)rH + µ(θL |e)rL −c(e, θi )}.
|
{z
}
e
=w (e)
2. Bedingte Beliefs, wenn möglich, durch die Bayes’sche Regel
errechnet werden
Pr(e|θi ) Pr(θi )
pi (e)µ(θi )
µ(θi |e) =
=P
.
Pr(e)
j pj (e)µ(θj )
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5.1 Adverse Selektion
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PBNGw
3. Nicht weiter eingeschränkte bedingte Beliefs für jeden anderen
Fall spezifiziert werden (dh wenn ein e 6= e ∗ beobachtet wird).
4. die Firmen den Arbeitern ihre erwartete Produktivität zahlen
w (e) = µ(θH |e)rH + µ(θL |e)rL .
Die einzige Einschränkung der Beliefs besteht darin, daß diese im
Gw durch die Anwendung der Bayes’schen Regel gebildet werden.
Dh die Beliefs sind nur im Gw eindeutig definiert!
Wir nehmen an, daß die Firmen gleiche (a-priori) Beliefs besitzen.
Bevor wir das Modell auflösen können, müssen wir noch zwei
weitere Konzepte einführen.
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Verschiedene Gleichgewichtsarten
Def. Ein separierendes PBNGw (‘TrennGw’) im Signalisierungsmodell ist ein Gw in dem jeder Typ des informierten Spielers ein
anderes Ausbildungs-Signal wählt: dh eH 6= eL , sodass
µ(θH |eH ) = 1 und µ(θL |eL ) = 1. In einem separierendem PBNGw
gilt w (e ∗ (θi )) = ri , i ∈ {L, H}.
Def. Ein poolendes PBNGw (‘SammelGw’) im Signalisierungsmodell ist ein Gw in dem jeder Typ des informierten Spielers das
gleiche Ausbildungs-Signal wählt: dh e = eH = eL , sodass der
resultierende Lohn w (e) = µ(θH |e)rH + µ(θL |e)rL .
Es sind prinzipiell auch teilweise separierende Gw möglich, mit
denen wir uns hier allerdings nicht beschäftigen werden.
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In jedem separierendem PBNGw gilt
◮
Der Arbeiter vom Typ θH gibt diesen auf Stufe 1 durch Wahl
von e ∗ (θH ) zu erkennen. Ein Arbeiter θL wählt e ∗ (θL ).
◮
Die Firmen zahlen den Arbeitern ihre gesamte Produktivität
◮
w (e ∗ (θH )) = rH :
Wenn eine Firma e ∗ (θH ) beobachtet, dann setzt sie µH = 1, dh
w (e) = µ(θH |e)rH + µ(θL |e)rL = rH .
◮
w (e ∗ (θL )) = rL :
Wenn eine Firma e ∗ (θL ) beobachtet, dann setzt sie µL = 1, dh
w (e) = µ(θH |e)rH + µ(θL |e)rL = rL .
◮
Der niedrig produktive Arbeiter wählt im Gw: e ∗ (θL ) = 0.
Wenn dem nicht so wäre, dh ẽL > 0, dann würde der Arbeiter
rL − c(e, θL ) = rL − ẽL θL < rL
bekommen. Gw-Typ-Separation verlangt somit e ∗ (θH ) > 0.
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Typ-Separation: u = w − c(e, θ)
Die strich-punktierte Line
gibt die Lohnzahlungen
w (e) an und repräsentiert
somit die Beliefs der
Firmen. Aber wir können
diese außerhalb des Gw,
dh für e ∈
/ {eL∗ , eH∗ },
zeichnen wie wir möchten!
Die Bayes’sche Regel ist
nicht anwendbar, da im
Gw Pr(e ∈
/ {eL∗ , eH∗ }) = 0!
w
w (eH∗ ) = rH
Gws
≻+
ū(θL )
wS∗ (e)
ū(θH )
wP∗ = E[r ]
w (eL∗ ) = rL
eL∗ = 0
ê
eH∗
∗
Notation: eL∗ = e ∗ (θL ) und eH
= e ∗ (θH ).
e1
Aussiebespiele
e
Daher ist jedes eH in der
Menge Gws Teil eines
potentiellen separierenden
PBNGw. (Gezeichnet sind
2 Gw mit eH ∈ {eH∗ , e 1 }.)
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5.1 Adverse Selektion
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Aussiebespiele
Im separierenden PBNGw
◮
Erwerben hochproduktive Arbeiter (andernfalls nutzlose)
Ausbildung weil sie sich dadurch von den Firmen von ihren
weniger produktiven Kollegen unterscheiden lassen und höhere
Löhne erlangen.
◮
Um dies zu ermöglichen, müssen die Grenzkosten der
Ausbildung typabhängig sein!
◮
Deshalb ist es den Firmen möglich, bestimmte Ausbildungsniveaus als separierende Signale zu interpretieren.
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5.1 Adverse Selektion
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Aussiebespiele
Interpretation der Signale
Aber nicht alle Ausbildungsniveaus können als (eindeutige) Signale
des Typs der Arbeiter benutzt werden
w (e) = µ(θH |e)rH + µ(θL |e)rL .
w (e)
w (e)
rH
rH
w (ẽ)
rL
rL
ê
eH∗
e
e
ẽ
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Aktualisieren von Beliefs
Nehmen wir an, die Firmen beobachten ein ê > 0 wie eben
gezeichnet. Ihr Problem ist, von den a-priori Wahrscheinlichkeiten
µ(θL ) = µ(θH ) = 1/2
nach Beobachtung von ê auf eine sinnvolle bedingte Wahrscheinlichkeit µ(θH |e) zu kommen, wenn die Bayes’sche Regel
pH (ê)µ(θH )
0
µ(θH |ê) = P
= =?
0
j pj (ê)µ(θj )
nicht anwendbar ist, da die Wahrscheinlichkeit ê im Gw zu
beobachten gleich Null ist. Dieses Problem tritt auf, da ê im Gw
nicht gewählt wird: kein rationaler Spieler erwartet ê!
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5.1 Adverse Selektion
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Aussiebespiele
Etwas formaler besteht die Menge der in separierenden PBNGw
möglichen Ausbildungsniveaus e für lineare Kosten eθ aus
rH − rL rH − rL
Gws = (eL , eH )eL = 0 und eH ∈
,
.
θL
θH
Die unter Schranke folgt vom Nutzen von Typ θL
u(eH∗ |θL ) = w (e ∗ (θH )) − θL eH∗ = w (e ∗ (θL )) − θL eL∗ = u(eL∗ |θL )
bzw im Gw, für rL = w (e ∗ (θL )) & rH = w (e ∗ (θH )),
rH − rL
eH∗ =
.
θL
Der Nutzen des hochproduktiven Typen ergibt die obere Schranke
u(e 1 |θH ) = w (e ∗ (θH )) − θH e 1 = w (e ∗ (θL )) − θH eL∗ = u(eL∗ |θH )
als
e1 =
rH − rL
.
θH
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Aussiebespiele
Da die Löhne eindeutig aus den Beliefs bestimmt sind
w ∗ (e) = µ∗ (θH |e)rH + (1 − µ∗ (θH |e))rL ,
(im Gw und außerhalb), kann jedes e ∈ Gws durch passende
Beliefs als Gw-Signal des hohen Typen rationalisiert werden. Diese
Beliefs sind im TrennGw natürlich µ∗ (θH |e) = 1.
Für Beliefs, die jedes e in Gws jeweils µ∗ (θH |e) = 1 mit belegen,
erhalten wir unendlich viele PBNGW!
Selbst wenn nur ein einziges eH∗ ∈ Gws als taugliches Signal für θH
interpretiert wird, sind doch viele mögliche Lohnangebote w ∗ (e)
außerhalb des Gw mit diesem Gw vereinbar. Da aber Beliefs Teil
der Gw-Definition sind, ist Eindeutigkeit von PBNGw (in diesem
Spiel) de-fakto unmöglich!
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5.1 Adverse Selektion
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Aussiebespiele
Klarerweise existieren bessere und schlechtere separierende Gw für
sowohl Firmen als auch Arbeiter. Aber PBNGw stellt uns kein
Instrument zur Auswahl unter diesen Gw zur Verfügung !
Beachten sie, daß
◮
Wenig produktive Arbeiter durch die Einführung von Bildung
schlechter gestellt werden: sie bekommen E[r ] wenn wir
Bildung verbieten, aber nur rL < E[r ] wenn wir sie zulassen.
◮
Hoch produktive Arbeiter von der Einführung von Bildung
profitieren können oder auch nicht, je nachdem ob vor der
Einführung der poolende Lohn hoch oder niedrig war
(abhängig von den a-priori Wahrscheinlichkeiten).
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Poolende Gw: wp∗(e) = µ(θH |e)rH + (1 − µ(θH |e))rL
w
rH
≻+
ū(θL )
E[r ]
Gwp
ū(θH )
wP∗ (e)
rL
eL∗ = 0
eP∗
ê
e1
e
Wiederum gibt die
strichlierte Linie die
Lohnzahlungen wp∗ (e)
und somit die Beliefs der
Firmen an. Abgesehen
vom Gw-Schnittpunkt
E[r ] = µ∗ eH + (1 − µ∗ )rL
können wir sie zeichnen
wie wir möchten, da die
Bayes’sche Regel abseits
des Gw-Pfades nicht
anwendbar ist.
Gegeben passende Beliefs ist damit jedes e ∈ [0, ep∗ ], dh im blauen
Gwp , Teil eines möglichen poolenden PBNGw.
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Ähnlich wie zuvor ist die Menge der möglichen e ∈ Gwp in
poolenden PBNGw
E[r ] − rL
Gwp = (eL , eH )eL = eH ∈ 0,
.
θL
Die obere Schranke dieser Menge stammt vom Nutzen des
niedrigen Typs rL = w (0) ≤ w (eP∗ ) − θL eP∗ . Dies ergibt
eP∗ =
w ∗ (e) − rL
µ(θH |e)rH + µ(θL |e)rL − rL
=
θL
θL
für µ(θH |e) = µ(θL |e) = µ(θH ) = µ(θL ) = 1/2 . Natürlich werden
beide Typen auch alles was sie besser stellt akzeptieren. Wiederum
gibt es bessere und schlechtere Gw aus Sicht beider Spieler. Das
Pareto-dominante Gw ist eL∗ = eH∗ = 0. Aber PBNGw wählt dieses
nicht aus sondern gibt eine viel größere GW-Menge an.
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Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Alles ist möglich: 3 PBNGw
w
Gws
wH∗ = rH
≻+
ū(θL )
wP∗ = E[r ]
Gwp
wS∗ (e)
ū(θH )
Beliefs bzw
Lohnangebote
die mehrere
nicht-optimale
poolende und
separierende
PBNGw
unterstützen.
wP∗ (e)
wL∗ = rL
eL∗ = 0
eP∗
eH∗
e1
e
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Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
GW-Verfeinerungen
Da uns PBNGw keinerlei Einschränkung dieser Gw-Mengen
erlaubt, wenden wir uns einem stärkeren Verfahren zu
Das intuitive Kriterium (InK) nach Cho & Kreps (1987), basiert
auf der Idee, daß bestimmte Abweichungen vom Gw-Pfad im
Interesse einiger Typen, aber nicht im Interesse anderer Typen sein
können.
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Cho & Kreps (1987): Intuitives Kriterium (InK)
Def. (Cho & Kreps 1987)
Es sei u ∗ (θi ) = w (e ∗ (θi )) − θi e ∗ (θi ) eine PBNGw-Auszahlung von
Typ θi . Dann ist µ(θj |e) = 0 für ein nicht vom Gleichgewicht
spezifiziertes e ∈
/ {e ∗ (θi ), e ∗ (θj )}, wenn immer rH − θj e < u ∗ (θj )
und rH − θi e ≥ u ∗ (θi ), für i 6= j ∈ {L, H}.
Wenn eine Abweichung im Gw für einen Typ dominiert ist, aber
nicht für einen anderen, dann sollte diese Abweichung nicht dem
Spieler zugeschrieben werden für den die Abweichung dominiert ist.
Beim InK geht es um Beliefs abseits des Gw-Pfades, da es das
Verhalten nach einem nicht vom Gw vorgesehenen Signal e festlegt.
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Mikro B
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Intuitives Kriterium
Der hochproduktive Typ θH hält folgende Rede (an die Firmen)
◮
◮
◮
◮
Ihr wisst, daß ein Ausbildungsniveau e > e ∗ (θH ) dem
niedrigen Typ geringeren Nutzen bringt als ein
Ausbildungsniveau e = 0 = e ∗ (θL ).
Für mich hingegen ist ein Ausbildungsniveau e > e ∗ (θH ) nicht
so schlimm: ich bekomme davon jedenfalls höheren Nutzen als
vom Vertrag den ihr dem niedrigen Typ im TrennGw anbietet.
Deshalb ist es wirklich irrational ein Ausbildungsniveau
e > e ∗ (θH ) mit positiver Wahrscheinlichkeit dem niedrigen
Typ zuzuschreiben!
Denn nur ich kann von einem Signal e > e ∗ (θH ) profitieren!
Aber Spieltheorie ist allgemein bekannt und deshalb muß θH diese
Rede nicht wirklich halten: InK-rationale Spieler kennen sie bereits.
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
InK & Pooling
Wenden wir das InK zuerst auf poolende Gw im Spence Modell an:
◮
In jedem poolenden Gw schneiden sich die Indifferenzkurven
der beiden Typen wie durch die Spence-Mirrlees Bedingung
angegeben; es gibt also (im folgenden Bild) einen schraffierten
‘Keil’ der hohe und niedrige Typen trennt.
◮
In diesem Keil kann der hohe Typ θH immer eine profitable
Abweichung durch Wahl von ed finden.
◮
Für ed wird die Firma einen Lohn von w (ed ) = rH anbieten
weil diese Abweichung im Gw nur für den hohen
Produktivitätstyp profitabel ist während sie für den niedrigen
Typ θL dominiert ist.
Dieses Argument zerstört alle poolenden Gw!
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
InK & Pooling
w
≻+
ū(θH )
ū(θL )
Das InK
zerstört alle
poolenden Gw!
Da wd = rH ist
ed nur für den
hohen Typ
attraktiv.
wd
Gwp
wP = E[r ]
ū(θL )
eP
ed
µ(θH |e)rH +µ(θL |e)rL −rL
θL
e
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Wir erlangen eine eindeutige Handlungsanleitung!
Wenden wir uns nun den separierenden Gw zu.
Für rL = w ∗ (e) − θL e und w ∗ (e) = rH gilt, daß
◮
◮
◮
L
Für jedes e > rHθ−r
, ist der Nutzen des niedrigen Typs θL
L
geringer als was er durch e = 0 im Gw bekommt.
L
Dann sollten aber alle e > rHθ−r
dem hohen Produktivitätstyp
L
θH und nicht dem niedrigen zugeschrieben werden.
L
Da das gleiche Argument für alle e > rHθ−r
gilt, gibt es keinen
L
Grund exzessive Ausbildung zu erlangen und das einzig nicht
L
.
dominierte Gw ist jenes mit minimalen Kosten eH∗ = rHθ−r
L
Wir haben ein eindeutiges separierendes Gw gefunden!
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
w
w (eH∗ ) = rH
Separierende Gw
Gws
≻+
ū(θL )
Das InK zerstört alle außer
einem separierenden Gw!
wS∗ (e)
ū(θH )
wP∗ = E[r ]
w (eL∗ ) = rL
eL∗ = 0
ê
eH∗
e1
e
w
wH∗ = rH
ū ′ (θH )
≻+
ū ′ (θL )
wP = E[r ]
ū0 (θH )
ū0 (θL )
eP eH∗ =
rH −rL
θL
e1
e
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Dies ist ohne Zweifel großartig!
◮
Beachten sie aber, daß das Gw mit den geringsten Kosten
nicht von der a-priori Produktivitätsverteilung abhängt.
◮
Nehmen sie an, daß die a-priori Wahrscheinlichkeit µ(θL ) sehr
klein wird µ(θL ) = δ → 0.
◮
In diesem Fall wirkt es übertrieben die Kosten für ein
Ausbildungssystem zu tragen, um einen unproduktiven
Arbeiter zu eliminieren der nur mit sehr geringer
Wahrscheinlichkeit auftritt.
◮
Zudem wird der resultierende Lohn nur unwesentlich höher
sein als der Lohn im poolenden Gw.
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Für µ(θL ) = δ → 0 existiert kein Gw
w
w (eH∗ )
ū(θH )
= rH
Gws
In der Tat zerstört das
poolende Gw für sehr
niedrige µ(θL ), das eindeutige, vom InK ausgewählte separierende Gw.
wS∗ (e)
Pr(θL ) → 0
wP∗ = E[r ]
ū(θL )
Dh für manche
Modellparameter
existiert kein Gw!
≻+
w (eL∗ ) = rL
eL∗ = 0ê
eH∗
e1
e
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Zusammenfassung
◮
Bertrand-Wettbewerb zwischen den Firmen ergibt Nullprofite.
◮
Das separierende Gw mit dem höchsten Lohn ist eine
Pareto-Verbesserung über alle anderen Gw. Dh, wenn dieses
Gw existiert, dann ist es beschränkt Parto-effizient.
◮
Die Wohlfahrtseffekte der Möglichkeit des Signalisierens von
privaten Typen hängen von den Kosten des Signalisieren ab.
Obwohl sich bessere Information generell positiv auf
Wohlfahrt und Effizienz auswirkt, reduzieren die
Signalisierungskosten die Wohlfahrt der Arbeiter.
◮
Der niedrige Produktivtätstyp profitiert immer vom Verbot
von Ausbildung. Aber wenn der Anteil an hochqualifizierten
Arbeitern hoch ist, dann ist es möglich, daß beide Typen
durch Ausbildung schlechter gestellt werden!
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Aussiebespiele (‘screening’)
In Aussiebemodellen versucht der uninformierte Spieler zwischen
verschiedenen Typen von privat informierten Spielern zu
unterscheiden, indem er eine Auswahl zwischen verschiedenen
Verträgen anbietet.
Die Idee ist dabei, daß die informierten Spieler zwischen diesen
Verträgen auf Grundlage ihres privaten Typs wählen sollen:
Sie sortieren sich selbst (self-selection).
Zur Erleichterung des Verständnisses verwenden wir das gleiche
Arbeitsmarktmodell zur Illustration von Signalisierung und
Aussieben.
Die Aussiebespielen zugrundeliegende Arbeit Rothschild & Stiglitz
(1976) über Versicherungsmärkte—Nobelpreis 2001—beinhaltet
zusätzliche Beispiele.
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Versicherungsbeispiel
Betrachten sie folgendes Beispiel in dem ein Versicherungsunternehmen den Konsumenten die Wahl zwischen zwei
verschiedenen Krankenversicherungsverträgen anbietet:
◮
eine billige Polizze—dh niedrige monatliche Prämien—mit
hohem Selbstbehalt im Versicherungsfall und
◮
eine teure Polizze ohne Selbstbehalt.
Wie werden sich privat über ihren Gesundheitszustand informierte
Konsumenten verhalten? Welche Polizze werden sie kaufen?
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Andere Aussiebebeispiele
Wie ist die Situation beim Kauf einer Voll- oder Teilkasko
KFZ-Versicherung wenn Fahrzeugbesitzer privat über ihr
Fahrkönnen informiert sind?
Weitere Beispiele:
◮
First-, Business-, Economy-Class
◮
Haute Couture vs Prêt-à-porter
◮
À la Carte vs Menü
◮
Apple vs PC
◮
Geschäftskonten vs Privatkonten
◮
MBA vs PhD
◮
...
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Arbeitsmarkt als Aussiebespiel mit Wettbewerb
◮
◮
◮
Der private Informationstyp eines Arbeiters ist seine
Produktivität θi , mit i ∈ {L, H}. Es gibt also einen einzigen
Arbeiter mit zwei möglichen Typen: θH > θL > 0 mit
λ = Pr(θ = θH ).
Jeder Einstellungsvertrag spezifiziert eine (nutzlose aber) für
die Arbeiter anstrengende Aufgabe t ∈ [0, ∞) zusammen mit
einem dafür gezahlten Lohn w ∈ [0, ∞).
Der Nutzen der Arbeiter ist konkret durch Lohn w minus
Arbeitsleid c(t, θ) gegeben: w − c(t, θ) = w − t/θ .
Generell benötigen wir allerdings bloß (Differenzierbarkeit &):
◮
◮
◮
c(0, θ) = 0, ct (t, θ) > 0, ctt (t, θ) > 0, cθ (t, θ) < 0,
Spence-Mirrlees Bedingung: ctθ (t, θ) < 0.
Es gibt zwei identische Firmen mit konstanten Skalenerträgen.
(Also führt Bertrand-Wettbewerb wiederum zu Nullprofiten.)
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Alternative Interpretation
Wie bei den Signalisierungsspielen können wir uns auch hier das
völlig äquivalente Modell mit unendlich vielen Arbeitern vorstellen:
In diesem alternativen Modell besitzt der Bevölkerungsanteil λ den
Typ θH , der Anteil 1 − λ hat Typ θL .
Da die beiden Interpretationen völlig äquivalent sind ist es egal, ob
wir Arbeiter im Plural oder Singular verwenden.
Ebenso wie bei der Bildung im Signalisierungsmodell ist die
Annahme, daß die Produktion des Arbeiters im Unternehmen
unabhängig von t is bloß eine Vereinfachung. Die ‘natürliche’
Interpretation von t als beispielsweise Laufbahngeschwindigkeit
verändert keine der Einsichten aus dem Modell.
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Spence-Mirrlees Bedingung ctθ (t, θ) < 0
w
u(θL )=const
≻+
Wie im
Signalisierungsmodell
hat die SpenceMirrlees Bedingung
zentrale Bedeutung:
ctθ (t, θ) < 0.
u(θH )=const
∆H
w̃
ūH
∆L
ūL
t̃
t
t̃ + ∆
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Zeitliche Abfolge von Aussiebespielen
0. N wählt und kommuniziert die Typen der Arbeiter.
1. Die beiden Firmen geben gleichzeitig ein ‘Menü’ von
angebotenen Verträgen (w , t) bekannt.
2. Die Arbeiter wählen höchstens einen Vertrag.
3. Ergebnisse & Auszahlungen werden realisiert.
Da die informierte Marktseite nach der uninformierten agiert, gibt
es kein Lernen wie im Signalisierungsmodell (in dem zwischen
Schritt 0. & 1. ein Signal geschickt wurde). Deshalb ist das angemessene Gleichgewichtskonzept TSPNGw.
Wir benötigen keine Beliefs!
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Def. Ein separierendes TSPNGw im Aussiebemodell ist ein Gw in
dem jeder Typ einen anderen Vertrag auswählt: tH∗ 6= tL∗ .
Def. Ein poolendes TSPNGw im Aussiebemodell ist ein Gw in dem
jeder Typ den gleichen Vertrag auswählt: ie. tH∗ = tL∗ .
Def. Ein teilweise separierendes TSPNGw im Aussiebemodell ist
ein Gw in dem einige Typen verschiedene Verträge und andere
Typen gleiche Verträge auswählen. Für drei Typen θL < θM < θH
mag beispielsweise gelten, daß tH 6= tM aber tM = tL im Gw
ausgewählt werden.
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
First-Best Gw
1. Effiziente Verträge beinhalten tH∗ = tL∗ = 0.
2. Firmen machen keine Profite (Bertrand Wettbewerb).
3. Löhne entsprechen der Produktivität: wH∗ = θH , und wL∗ = θL .
Natürlich sind die Typen aber nicht beobachtbar und wenn der
effiziente Vertrag angeboten würde, dann würden alle Arbeiter
(wH∗ , 0) wählen.
Wir wenden uns also der Second-Best Analyse zu.
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Lemma 1: Beide Firmen machen im Gw Nullprofite
Dh Profite πi = 0, für i = 1, 2.
P
Beweis: (Bertrand) Wenn Π = i πi > 0 dann gilt für eine der
beiden Firmen, daß πi ≤ Π/2. Aber diese Firma i könnte (fast)
den gesamten Profit Π verdienen indem sie ihre Lohnangebote um
ε > 0 erhöht.
Also wird Firma i ihr Lohnangebot erhöhen. Im Gegenzug wird
aber die andere Firma j = 3 − i ebenfalls das Lohnangebot um ein
geringes ε′ > 0 erhöhen. Dieses gegenseitige Überbieten kann nur
bei Π = 0 aufhören.
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Lemma 2: Es existiert kein poolendes Gw
w
Beweis: Jeder
Vertrag (w̃ , t̃) im
schraffierten
PSfrag Keil
zieht nur hohe Typen
an und generiert
positive Profite
(w̃ < θH ). Damit
zerstört ein derartiger
Vertrag den
poolenden Vertrag
(wp , tp ).
≻+
u(θL )=const
θH
w̃
u(θH )=const
E[θ]
(wp , tp )
θL
t̃
t
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Lemma 3: Jeder Vertrag macht Nullprofite
Ein Paar von Verträgen (wL , tL ), (wH , tH ) könnte sich gegenseitig
bezuschussen aber in Summe Nullprofit abwerfen.
Beweis:
1. Es sei wL < θL (und passend wH > θH ). Dann kann eine
Firma positive Profite verdienen indem sie nur den Vertrag
(wL + ε, tL ), ε > 0 anbietet der (zumindest) von den niedrig
qualifizierten Arbeitern gewählt würde. Aber wir wissen von
Lemma 1, daß dies nicht der Fall sein kann.
2. Es sei wH < θH (und passend wL > θL ). Von der
Spence-Mirrlees Bedingung wissen wir, daß (wL , tL )
süd-westlich von (wH , tH ) liegen muss. Damit kann eine Firma
positive Profite machen indem sie nur (w̃ , t̃) nord-östlich von
(wH , tH ) anbietet. Dieser würde nur hochqualifizierte Arbeiter
anziehen. Dies ist aber wiederum unmöglich wegen Lemma 1.
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Illustration von Lemma 3
w
≻+
u(θL )=const
θH
In (separierenden)
Gw erzeugt jeder
einzelne Vertrag
Nullprofit.
w̃
u(θH )=const
(wH , tH )
(wL , tL )
θL
t̃
t
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Lemma 4: Im separierenden Gw gilt tL∗ = 0
≻+
w
Beweis: Es sei
tL > 0. Dann können
Firmen dadurch
positive Profite
machen, daß sie
Verträge (w̃ , t̃) SW
von (wL , tL ) anbieten
und damit nur die
niedrig qualifizierten
Typen anziehen.
(wL∗ , tL∗ )
(wL , tL )
(w̃ , t̃)
u(θL )=const
tL∗ = 0
tL > 0
t
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Lemma 5: Im separierenden Gw gilt tH∗ > 0
w
In einem separierenden
Gw erfüllt tH∗
≻+
u(θL )=const
θH
(wH , tH )
θH − c(t̂H , θL ) = θL .
(w̃ , t̃)
Beweis: Es sei tH > t̂H .
Dann können Firmen
positive Profite dadurch
machen, daß sie
Verträge (w̃ , t̃) SW von
(wH , tH ) anbieten und
dadurch nur hochqualifizierte Typen anziehen.
u(θH )=const
θL
t
t̂ = tH∗
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Satz (Rothschild-Stiglitz): !Gw {(θL, tL∗), (θH , tH∗ )}
w
Beweis: Lemmata 1–5
zeigen zusammen, daß
nur separierende Gw der
Form tL∗ = 0, tH∗
gegeben durch
wH − c(tH , θL ) = θL ,
sowie wL∗ = θL und
wH∗ = θH möglich sind.
≻+
wH∗ = θH
u(θH )=const
E[θ]
u(θL )=const
wL∗
= θL
tL = 0
tH
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t
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Existiert dieses Gw immer?
Es sei λ = Pr(θ = θH )
ausreichend hoch um
Erwartungen wie gezeichnet zu
erzeugen. Dann wird:
◮
jeder Spieler einen
poolenden Vertrag
(wp , tp ) akzeptieren,
◮
es keine positiven Profite
geben,
◮
kein separierendes Gw
existieren,
◮
aber wir wissen, daß auch
kein poolendes Gw
existiert!!
≻+
w
θH
u(θH )=const
E[θ]
(wp , tp )
u(θL )=const
θL
tL = 0
tH
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5.1 Adverse Selektion
Asymmetrische Information
Signalisierungsspiele
Aussiebespiele
Zusammenfassung—Aussiebemodell mit Wettbewerb
◮
Wenn ein Gw existiert, dann ist es ein separierendes Gw.
◮
Wenn ein Gw existiert, dann ist es beschränkt Pareto-effizient
(Second-Best).
◮
Alle Renten gehen an die Arbeiter.
◮
Der niedrig-qualifizierte Typ ist immer ohne Aussieben besser
gestellt.
◮
Der hochqualifizierte Typ ist möglicherweise ohne Aussieben
besser gestellt.
◮
Es ist möglich, daß kein Gw existiert.
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