Vorwort zur dritten Auflage

Vorwort zur dritten Auflage
Dieser Band behandelt einerseits die wesentlichen Experimente und theoretischen Methoden des Elektromagnetismus und andererseits wichtige Anwendungsgebiete, wie zum Beispiel die Grundlagen der Halbleiterelektronik, die
Erzeugung, die Ausbreitung und den Nachweis elektromagnetischer Wellen.
Der Stoffumfang entspricht einer einsemestrigen, vierstündigen Vorlesung
mit dreistündigen Ergänzungen und Übungen. Ein Teil des Stoffes wird auch
im Physikalischen Praktikum sowie einem besonderen Elektronik-Praktikum
mit Proseminar behandelt. Die Mehrzahl der im Buch vorgestellten Experimente ist quantitativ. Oft zeigen Oszillogramme die funktionalen Abhängigkeiten physikalischer Größen voneinander. Felder werden mit Computergraphiken ebenfalls quantitativ illustriert.
Die Darstellung ist in fünf größere Blöcke gegliedert: 1. Elektrostatik, d. h.
elektrische Felder zeitlich unveränderlicher Ladungen (Kap. 1 bis 4), 2. Strom
als Ladungstransport in Vakuum und Materie, insbesondere auch in elektronischen Bauelementen (Kap. 5 bis 7), 3. Magnetfelder stationärer Ströme,
also zeitunabhängiger Ströme (Kap. 8 und 9), 4. Quasistationäre Vorgänge,
also langsam veränderliche Felder, z. B. beim Wechselstrom (Kap. 10) und
schließlich 5. rasch veränderliche Felder, für die die Maxwell-Gleichungen in
allgemeiner Form aufgestellt und als wichtigstes Beispiel die Erzeugung und
Ausbreitung elektromagnetischer Wellen (Kap. 11 und 12) diskutiert werden.
Elektrische und magnetische Felder im leeren Raum sind vergleichsweise
einfach darzustellen. Bei ihren Wechselwirkungen mit Materie treten zusätzliche, zum Teil sehr komplexe Erscheinungen auf, die die Grundlage für viele
technische Anwendungen sind. Nur die volle quantenmechanische Behandlung aller Atome des betrachteten Materials kann eine grundsätzlich befriedigende Beschreibung dieser Erscheinungen liefern. Sie ist aber nicht durchführbar. Man greift daher auf mehr oder weniger stark vereinfachende Modelle
des Materials zurück. Für diesen Band unterscheiden wir drei (nach steigender
Komplexität geordnete) Arten von Modellen: 1. eine pauschale makroskopische Beschreibung durch Materialkonstanten wie Permittivitätszahl, Permeabilitätszahl und Leitfähigkeit, 2. eine grobe mikroskopische Beschreibung der
Bausteine der Materie durch punktförmige, ruhende oder bewegte Ladungen,
VI
Vorwort zur dritten Auflage
punktförmige elektrische Dipolmomente und punktförmige Elementarströme,
die magnetische Dipolmomente zur Folge haben, 3. das Bändermodell des
Festkörpers, das, ausgehend von Grundtatsachen der Quantenmechanik und
der statistischen Mechanik, quantitative Aussagen über den Strom in Leitern, Halbleitern und elektronischen Bauelementen erlaubt. Abschnitte, die
auf die mikroskopische Beschreibung oder das Bändermodell zurückgreifen,
sind mit dem Symbol * versehen und können bei der ersten Lektüre überschlagen werden. Ihr späteres Studium wird aber nachdrücklich empfohlen, weil
die Charakterisierung durch Materialkonstanten nur ein sehr oberflächliches
Verständnis der Eigenschaften der Materie erlaubt.
Mathematische Hilfsmittel sind in verschiedenen Anhängen zusammengestellt. Die wichtigen Gebiete Vektoralgebra und Vektoranalysis sind in unserer
Mechanik dargestellt. Der vorliegende Band enthält in den Anhängen A und
B eine Zusammenstellung der wichtigsten, an Beispielen erläuterten Formeln
zu diesen Gebieten. Der Inhalt der Anhänge C bis G (Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik, Distributionen) wird nur in den Abschnitten des Haupttextes
benötigt, die - wie oben erläutert - mit dem Symbol * gekennzeichnet sind.
Tabellen mit SI-Einheiten und physikalischen Konstanten und eine Auswahl
gebräuchlicher Schaltsymbole beschließen den Anhang.
Für die dritte Auflage wurde die Elektrodynamik gründlich überarbeitet
und in Teilen neu geschrieben. Aus Gründen des Stoffumfangs wurde auf
die in den früheren Auflagen geführte Diskussion zu den relativistischen
Transformationseigenschaften der Maxwell-Gleichungen verzichtet. Neben
der Mechanik und dieser Elektrodynamik sind ähnlich angelegte, einführende
Darstellungen zu weiteren Teilgebieten der Physik geplant. (Dazu soll auch
ein Band Relativität gehören, der insbesondere die spezielle Relativitätstheorie
und ihre Auswirkungen auf Mechanik und Elektrodynamik zum Gegenstand
haben wird.) Wir verweisen einstweilen auf unser in englischer Sprache erschienenes ,,Bilderbuch der Quantenmechanik“2, in dem Computergraphiken
eine zentrale Rolle bei der Veranschaulichung abstrakter Sachverhalte spielen.
Aufbau und Durchführung der wiedergegebenen Vorlesungsexperimente
lagen in den kundigen Händen von Herrn M. Euteneuer und seinen Mitarbeitern, Frau C. Hauke und Herrn W. Kinzel. Herr Euteneuer hat auch die meisten
Zeichnungen angefertigt. Die Computergraphiken von Feldern wurden mit
einem gemeinsam mit Herrn T. Stroh entwickelten Programm erzeugt. Weitere Graphiken hat Herr E. Gjonaj beigesteuert. Der Computersatz des Textes
wurde von Frau U. Bender, Frau A. Wied und Herrn A. Shundi besorgt und von
Herrn Stroh zusammengefaßt. Herr R. Kretschmer, selbst über Jahre Übungs1 S. Brandt, H. D. Dahmen, Mechanik, 3. Aufl., Springer-Verlag Berlin 1996, ISBN 3-540593195-5
2 S. Brandt, H. D. Dahmen, The Picture Book of Quantum Mechanics, 2nd ed., SpringerVerlag New York 1995, ISBN 0-387-94380-3
Vorwort zur dritten Auflage
VII
gruppenleiter, hat viele Aufgaben ausgewählt und Hinweise bzw. Lösungen
dazu angegeben. Herr Kretschmer und Herr Stroh haben den Text mit großer
Sorgfalt gelesen und Verbesserungen und Korrekturen angeregt. Wir danken
den genannten Damen und Herren sehr herzlich für ihren Einsatz und für ihre
sorgfältige Arbeit, ohne die dieser Band jetzt nicht vorläge.
Siegen, Januar 1997
S. Brandt
H. D. Dahmen
3. Elektrostatik in Anwesenheit von Leitern
In Leitern können sich Ladungen frei bewegen. Ein Leiter mit der Gesamtladung null, der sich in einem feldfreien Raum befindet, hat überall die Ladungsdichte null, da andernfalls zwischen Gebieten verschiedener Ladungsdichte
elektrische Felder entstünden, die einen Ladungsausgleich zur Folge hätten.
Bringt man jedoch einen neutralen Leiter in ein elektrisches Feld, so werden seine Ladungen unter der Wirkung des Feldes so verschoben, daß an der
Oberfläche des Leiters Flächenladungsdichten auftreten, die das ursprüngliche
Feld verändern. Ein statischer Zustand ist dann erreicht, wenn die Komponenten der elektrischen Feldstärke tangential zur Metalloberfläche verschwinden.
Die elektrische Feldstärke steht dann überall senkrecht auf der Oberfläche, die
somit selbst Äquipotentialfläche ist. Man sagt, das elektrische Feld influenziert
Ladungsdichten auf Leiteroberflächen und nennt dieses Phänomen Influenz.
Experiment 3.1. Demonstration der Influenz (Abb. 3.1)
Ein Elektroskop trägt einen Metallbecher und zeigt zunächst keinen Ausschlag. Wir
halten dann einen durch Reibung aufgeladenen Hartgummistab in den Becher, ohne
ihn zu berühren. Dabei schlägt der Zeiger des Elektroskops aus. Erden wir die Außenseite des Bechers kurzzeitig, so verschwindet der Ausschlag, tritt jedoch erneut auf,
wenn wir den Stab entfernen. Wir deuten den Befund wie folgt: Durch das Feld der
negativen Ladung des Stabes werden die auf dem leitenden Becher frei beweglichen
Abb. 3.1 a–c. Demonstration der Influenz in Experiment 3.1
(a)
(b)
(c)
3.1 Influenz auf großen, ebenen Platten
49
Ladungen derart verschoben, daß sich positive Ladung innen und negative Ladung
außen auf dem Becher sammelt. Die negative Ladung, die sich über das Elektroskop verteilen kann, wird durch Ausschlag angezeigt; sie fließt jedoch während der
kurzzeitigen Erdung ab. Wenn der Stab entfernt ist, wird die positive Ladung nicht
mehr auf der Becherinnenseite festgehalten. Sie verteilt sich jetzt ihrerseits über das
Elektroskop und bringt es erneut zum Ausschlag.
Die quantitative Berechnung der influenzierten Ladungsdichten auf beliebig geformten Oberflächen in elektrischen Feldern ist sehr kompliziert. Einige
einfache Beispiele erläutern jedoch das Prinzip.
3.1 Influenz auf großen, ebenen Platten
Inhalt: Wegen der freien Beweglichkeit der an der elektrischen Leitung beteiligten Elektronen
in einem Metall steht die elektrische Feldstärke auf der Oberfläche des Metalls senkrecht.
Eine geladene Platte influenziert auf einer isoliert gegen die erste aufgestellten Platte eine
Ladungsdichte. Sind die Linearabmessungen von parallel zueinander aufgestellten Platten
groß gegen ihren Abstand, so ist das elektrische Feld zwischen den Platten senkrecht zur
Plattenoberfläche und ortsunabhängig, d. h. homogen. Die Flächenladungsdichte auf den
Platten ist konstant. Sie hat die Größe
0 E a, hier ist a die Normale auf der Plattenfläche.
Bezeichnungen: E elektrische Feldstärke, Ladung, Plattenfläche,
Flächenladungsdichte, elektrischer Fluß, 0 elektrische Feldkonstante.
Wir betrachten nun eine Metallplatte der Fläche , die – etwa durch Berührung
mit einem geriebenen Stab – mit der Ladung
0 aufgeladen wurde, und
eine ihr gegenübergestellte, zunächst ungeladene Platte. Durch Influenz sammelt sich auf der Innenseite der zweiten Platte Ladung des anderen Vorzeichens an. Zwischen beiden Platten bildet sich ein elektrisches Feld aus, das
direkt am Metall senkrecht auf den Plattenoberflächen stehen muß, da sich
andernfalls weitere Ladungen im Metall verschieben würden. Sind die Linearabmessungen der Platten groß gegen den Plattenabstand , so sind die
Flächenladungsdichten bzw. auf beiden Platteninnenflächen (abgesehen
von den Randzonen) konstant. Das Feld zwischen den Platten ist homogen und
steht senkrecht auf den Platten. Bilden wir das elektrische Flußintegral über
einen Zylinder, dessen Grundflächen der Größe im Innern der beiden Platten
liegen (Abb. 3.2b), so tragen die Grundflächen zum Integral nichts bei, weil
dort das Feld verschwindet, und die Mantelfläche nicht, weil das Feld in der
Fläche liegt (E da 0). Andererseits ist der Fluß gleich der umschlossenen
Ladung. Also muß auch diese verschwinden, d. h. die Flächenladungsdichten
und sind entgegengesetzt gleich,
0
E da
0
!
#
%
d
(
!
#
%
d
(
+
.
0
2
5
50
3. Elektrostatik in Anwesenheit von Leitern
(a)
(b)
(c)
Abb. 3.2 a–c. Durch Influenzwirkung zwischen einer Metallplatte der Ladung und einer
gegenüberstehenden, ursprünglich ungeladenen Platte bilden sich auf den Innenseiten beider
Platten Flächenladungsdichten gleichen Betrages, die ein homogenes Feld zwischen den
Platten hervorrufen. Durch Ableitung der Ladungen von der Außenseite der Gegenplatte zur
an
Erde sammeln sich auf den Innenseiten die Ladungen
6
Geben wir nun durch Erdung der gegenüberstehenden Platte den Ladungen auf
ihrer Außenseite Gelegenheit abzufließen, so sammelt sich schließlich die Gesamtladung bzw.
auf den Innenseiten der Platten an. Die Ladungsdichte
ist (unter Vernachlässigung von Randeffekten) konstant,
2
5
Den Betrag der Feldstärke zwischen den Platten erhält man leicht durch Bestimmung des Flusses durch einen Zylinder, dessen eine Grundfläche im Metall
und dessen andere im Feld liegt (Abb. 3.2c),
E da
0
0
E ad
!
%
#
:
E a
:
0
E a
+
d
.
:
!
#
%
0
1
(3.1.1)
5
0
Die Flächenladung bewirkt eine Änderung der Feldstärke von null im Leiter
auf den Wert (3.1.1) im Zwischenraum zwischen den Platten.
In den felderfüllten Raum zwischen den beiden Platten mit den Flächenladungsdichten und
bringen wir nun eine weitere ungeladene Metallplatte
(Abb. 3.3). Unter dem Einfluß des Feldes werden auf ihren Seitenflächen
und
influenziert. Durch Berechnung der Flußindie Ladungsdichten
tegrale über die vier in Abb. 3.3 angedeuteten Volumina findet man leicht
(Aufgabe 3.1)
2
1
0
0
2
?
1
?
2
?
0
@
5
@
(3.1.2)
3.2 Plattenkondensator. Kapazität
51
Abb. 3.3. Durch Influenz entstandene Oberflächenladungsdichten
auf einer Metallplatte im Feld eines
Plattenkondensators
A
C
A
A
Experiment 3.2. Trennung influenzierter Ladungen im Feld
Die Influenz entgegengesetzt gleicher Flächenladungen auf einer Metallplatte läßt
sich leicht demonstrieren. Eine Anordnung aus zwei parallel zueinander, isoliert aufgestellten Platten wird aufgeladen etwa durch Berührung einer Platte mit dem geriebenen Hartgummistab. Anschließend werden zwei weitere Platten, die an isolierenden
Griffen gehalten werden können, in Kontakt miteinander ins Feld der feststehenden
Platten gebracht. Werden die Platten im Feld voneinander getrennt, so trägt die eine
auch nach Herausnahme aus dem Feld positive, die andere negative Influenzladungen. Die Ladungen der Platten werden mit einem Elektroskop nachgewiesen, das bei
Berührung mit der ersten Platte aufgeladen wird und ausschlägt. Bei Berührung mit
der zweiten Platte verschwindet der Ausschlag wieder, weil das Elektroskop jetzt
zusätzlich Ladung des entgegengesetzten Vorzeichens übernimmt,
F
F
G
J
H
F
F
J
G
die Gesamtladung der Platten bleibt natürlich null.
3.2 Plattenkondensator. Kapazität
3.2.1 Kapazität
Inhalt: Eine Anordnung zweier großer Metallplatten mit der Fläche , die in kleinem Abstand
parallel zueinander angeordnet sind, heißt Plattenkondensator. Die Spannung zwischen den
Platten ist
. Die positive Ladung auf einer Platte ist
. Hier ist
die
0
Kapazität des Plattenkondensators. Die Einheit der Kapazität ist 1 Farad 1 F 1 C V 1 .
gilt für den Zusammenhang zwischen Ladung und Spannung,
Die Beziehung
unabhängig von der geometrischen Form der metallischen Leiter. Die Kapazität ist eine
Apparatekonstante, sie hängt von der Geometrie der Anordnung ab.
K
K
M
O
O
K
L
L
R
O
L
52
3. Elektrostatik in Anwesenheit von Leitern
Bezeichnungen: E elektrische Feldstärke, elektrostatisches Potential, Spannung zwischen den Platten, Ladungsdichte, Plattenladung, Kapazität, Plattenfläche, Plattenabstand, 0 elektrische Feldkonstante.
S
L
K
O
T
Wir kehren jetzt zu der einfachen Anordnung der Abb. 3.2c zurück, zwei
Platten der Fläche im Abstand (mit
, die die Ladungen bzw.
tragen. Zwischen beiden besteht ein homogenes Feld der Stärke . Die
Potentialdifferenz ergibt sich durch Integration über die Feldstärke und unter
Benutzung von (3.1.1) zu
.
U
W
?
2
Y
d
?
!
Z
1
1
(3.2.1)
?
\
0
0
5
0
Y
Wir lesen sofort eine direkte Proportionalität der Spannung
Platten und ihrer Ladung ab:
zwischen den
Y
b
(3.2.2)
5
Der Proportionalitätsfaktor heißt Kapazität.
Die Einheit der Kapazität heißt (nach M. Faraday)
b
1 Farad
1F
1CV
1
c
5
Die Anordnung aus ebenen Platten, die sich offenbar zur Speicherung von
Ladung eignet, heißt Plattenkondensator. Ihre Kapazität ist
b
0
(3.2.3)
5
Wegen der Linearität der Poisson-Gleichung (2.9.1),
d
1
e
0
2
Y
0
g
besteht die Proportionalität
zwischen Spannung und Ladung für beliebige Anordnungen aus zwei Leitern. Man kann allen solchen Anordnungen
eine Kapazität zuordnen, die nur von ihrer Geometrie abhängt. Größen, die
nur von der Anordnung selbst abhängen, bezeichnen wir als Apparatekonstanten.
Für die Wirkung einer Kapazität in einer Schaltung ist es im allgemeinen unerheblich, ob sie als Platten-, Kugel-, Zylinderkondensator oder anders
ausgebildet ist. Große Kapazitäten erreicht man nach (3.2.3) durch große
Oberflächen und kleine Abstände . Technisch werden diese Bedingungen
z. B. durch Aufwickeln von Schichten aus Aluminiumfolie und Isolatorpapier
erfüllt. Kapazitäten werden in Schaltungen durch einen stilisierten Plattenkondensator (Abb. 3.4a) gekennzeichnet.
b
b
3.2 Plattenkondensator. Kapazität
53
(a)
O
O
(b)
O
1
1
2
l
1
1
l
O
Abb. 3.4 a–c. Schaltsymbol eines Kondensators (a), Kondensatoren in Parallelschaltung (b) und Reihenschaltung (c)
(c)
O
O
1
2
3.2.2 Parallel- und Reihenschaltungen von Kondensatoren
Inhalt: Für Parallel- und Reihenschaltung zweier Kondensatoren mit den Kapazitäten 1 2
werden die resultierenden Kapazitäten
berechnet. Für die Parallelschaltung ergibt sich
1
1
1
1
2 , für die Reihenschaltung
1
2 .
O
C
O
O
O
O
O
O
O
O
R
R
R
l
l
Zusammenschaltungen mehrerer Kondensatoren können durch eine Gesamtkapazität gekennzeichnet werden. Bei einer Parallelschaltung (Abb. 3.4b)
liegt an beiden Kondensatoren die gleiche Spannung. Dann ist 1
und
1
und
die
Gesamtladung
der
Anordnung
.
2
2
1
2
1
2
Der Vergleich mit (3.2.2) liefert
Y
b
Y
Y
(
b
b
1
b
2
(
b
(
+
b
.
b
5
Bei Reihenschaltung (Abb. 3.4c) addieren sich die Spannungen an den Einzelkondensatoren zur Gesamtspannung
1
Y
Y
Y
1
2
(
2
(
5
1
b
2
b
Die Ladungen auf den beiden inneren Platten der Anordnung, die ja leitend
verbunden sind, sind durch Influenz im Feld der äußeren Platten entstanden
und daher dem Betrage nach gleich. Beide Teilkondensatoren und die ganze
Schaltung tragen daher die Ladung
1
2 . Damit gilt für die Spannung
1
b
Y
2
(
b
b
1
2
b
und für die Gesamtkapazität
1
b
b
2
b
b
1
(
b
2
1
1
bzw.
1
(
5
b
b
1
b
2
54
3. Elektrostatik in Anwesenheit von Leitern
(a)
(b)
Abb. 3.5 a–c. Die Flächenladungsdichten
bzw.
auf den Platten eines Kondensators (a)
werden durch konstante Raumladungsdichten
0 bzw.
0 in Bereichen der Tiefe unter den
Plattenoberflächen beschrieben (b). Dadurch
ergibt sich ein trapezförmiger Feldverlauf (c)
(c)
n
T
n
T
p
3.2.3 Kraft zwischen den Kondensatorplatten
Inhalt: Das elektrische Feld E zwischen zwei Kondensatorplatten mit den Ladungen
bewirkt eine Kraft zwischen beiden Platten. Sie hat den Betrag
2. Prinzip der
Kirchhoffschen Potentialwaage und des statischen Voltmeters.
C
n
M
q
Die Feldstärke in einem Kondensator mit den Plattenladungen
,
der Plattenfläche und dem Plattenabstand hat nach (3.1.1) den Betrag
0 . Es ist nun naheliegend, entsprechend (2.1.1) anzunehmen, daß
die Kraft, mit der die (entgegengesetzt aufgeladenen) Kondensatorplatten sich
anziehen, einfach den Betrag
hat. Dieser Schluß wäre jedoch falsch.
Wir müssen vielmehr berücksichtigen, daß die Flächenladungsdichte auf den
Innenseiten der Kondensatorplatten eine Idealisierung ist. Wir stellen sie deshalb als eine Raumladungsdichte über eine dünne Schicht der Breite dar und
nehmen sie dort der Einfachheit halber als konstant an (vgl. Abb. 3.5),
r
r
?
v
?
x
y
0
}
0
0
v
y
2
y
€
z
€
g
0
.
+
z
{|
2
0
2
v
(
y
0
z
€
y
5
sonst
g
g
€
0
|~
Die elektrische Feldstärke bestimmen wir aus der Beziehung (2.5.2), die wegen
der Translationsinvarianz unserer Anordnung in - und -Richtung einfach
ƒ
d
d
1
?
div E
„
.
+
z
lautet, und erhalten z. B. für den Bereich
0
2
y
z
€
g
z
€
0
3.2 Plattenkondensator. Kapazität
55
1
?
0
.
+
z
0
(
0
?
z
g
nach Berücksichtigung der Randbedingungen
0
?
v
0
‡
0
0
0
?
z
z
5
0
2
y
Die Kraft etwa auf die linke Platte erhalten wir nun durch Volumenintegration
über das Produkt aus Ladungsdichte und Feldstärke:
d
?
1
0
x
!
‰
0
!
0
g
g
c
1
2
2
?
0
(
(
0
?
z
d

z
2
2
g
0
(
y
0
?
y
0
g
g
‹
0
?
2 2
0
0
Œ
1
2
0
?
5
Nennen wir jetzt die Feldstärke zwischen den Platten wieder statt 0 , so
hat die Kraft den Betrag
1
(3.2.4)
2
Die Abschwächung um den Faktor 1 2 gegenüber der ersten Abschätzung
rührt offenbar daher, daß das Feld über den Bereich der Ladungsdichte vom
vollen Wert auf null absinkt und so im Mittel nur die halbe Feldstärke wirksam
ist.
Mit (3.2.2), (3.2.3) und (3.2.1) läßt sich die Kraft zwischen den Platten in
verschiedenen Formen schreiben:
?
?
?
x
5
v
x
1
2 0
2
2
Y
0
2
2
Y
b
0
2
2
(3.2.5)
?
2
5
Wir merken noch an, daß das Ergebnis (3.2.5) völlig unabhängig von der
Gestalt der Raumladungsdichte in der Nähe der Plattenoberfläche ist. Man
d in das Integral für die Kraft einsetzt:
sieht das, wenn man
0d
?
v
z
g
?
d
0
x
!
d
‰
0
?
g
c
?
.
+
z
d
z
d
.
+
!
z
z
0
?
!

d
0
2
?
?
0
2
5
‹
Hält man eine der Platten fest, so kann man die Kraft auf die andere messen, z. B. mit einer Balkenwaage (Kirchhoffsche Potentialwaage) oder einer
Federwaage (Abb. 3.6a). Aus der Kraft kann mit Hilfe von (3.2.4) bzw. (3.2.5)
unmittelbar die Ladung bzw. Spannung am Kondensator berechnet werden.
Nach dem Prinzip der Abb. 3.6b arbeiten statische Voltmeter: Durch Anlegen
einer Spannung werden die Kondensatorplatten aufgeladen. Die Kraft führt
zu einer Annäherung der Platten, die jedoch durch Drehung der Mikrometerschraube rückgängig gemacht wird, so daß der Plattenabstand und damit die
Kapazität des Kondensators unverändert bleibt. Die Federverlängerung und
damit die Kraft wird an der Mikrometerschraube abgelesen.
Y
b
56
3. Elektrostatik in Anwesenheit von Leitern
Abb. 3.6 a,b. Prinzip der Kirchhoffschen
Potentialwaage (a) und des statischen
Voltmeters (b)
(a)
(b)
3.2.4 Energiespeicherung im Plattenkondensator
Inhalt: Die elektrostatische Energie , die in einem Plattenkondensator der Kapazität bei
der Spannung
gespeichert ist, ist durch die Kraft
2 zwischen den Platten
2
der Fläche und mit dem Plattenabstand als
0 E 2 gegeben. Die räumliche
2
Energiedichte im elektrischen Feld E ergibt sich zu
0 E 2.
O

K
M
L
M
q
K
K

K
q
‘
Bewegen sich die Platten eines aufgeladenen Kondensators, so bleibt nach
(3.2.4) die Kraft zwischen ihnen konstant, weil sich die Ladung nicht ändern
kann. Haben die Platten ursprünglich den Abstand und läßt man eine Bewegung bis zur vollständigen Berührung der Platten zu, so kann man während
entdieser Bewegung dem Kondensator die mechanische Arbeit
nehmen, die offenbar als elektrostatische Energie im Kondensator gespeichert
war. Mit (3.2.5) und (3.2.3) läßt sie sich in den Formen
’
’
x
1
2
Y
b
1
2
2
0
x
E2
schreiben. Sie ist offenbar dem felderfüllten Volumen
des Kondensators proportional. Es ist daher sinnvoll, das Feld selbst als Sitz der elektrostatischen Energie anzusehen und die Größe
‰
’
”
‰
1
E2
2 0
(3.2.6)
als Energiedichte des Feldes zu betrachten. Wir werden im Abschn. 4.4.1
feststellen, daß der Ausdruck (3.2.6) nicht nur im Plattenkondensator, sondern
für beliebige Ladungsverteilungen im Vakuum gilt.
3.3 Influenz einer Punktladung auf eine große,
ebene Metallplatte. Spiegelladung
Inhalt: Wegen der freien Beweglichkeit der Elektronen im Metall influenziert eine Punktladung im Abstand vor einer großen Metallplatte auf der Platte eine elektrische Ladung der
Flächenladungsdichte . Das Feld vor der Platte kann als Überlagerung des Punktladungsfeldes der Ladung am Ort vor der Platte und des Punktladungsfeldes der Spiegelladung
K
K
3.3 Influenz einer Punktladung auf ebene Metallplatte. Spiegelladung
57
Abb. 3.7. Feldlinien einer Punktladung , die sich im Abstand von einer Metallplatte befindet. Jenseits der Platte
ist das Feld homogen. Die Feldlinien der durch (3.3.1) beschriebenen fiktiven Spiegelladung
sind gestrichelt
K
n
an dem an der Metalloberfläche gespiegelten Ort der ursprünglichen Ladung dargestellt
, ihre Flächenladungsdichte
werden. Die auf der Metalloberfläche influenzierte Ladung ist
2 3 2
2
4 2
.
beträgt
Bezeichnungen: E elektrische Feldstärke, elektrostatisches Potential, elektrischer Fluß,
Ladung, Abstand der Ladung von der Metallplatte, Flächenladungsdichte, 0 elektrische
Feldkonstante.
n
n
K
–
K
œ
n
˜
™

ž
›
l
S
K
Wir betrachten eine Punktladung im Abstand von einer weit ausgedehnten,
ebenen Metallplatte (Abb. 3.7). Wieder ist die Oberfläche der Metallplatte eine
Äquipotentialfläche. Ein Potential, das in der Metalloberfläche konstant ist und
am Ort der Punktladung eine 1 -Singularität hat, ist
.
+
1
e
r
+
v
Ÿ
1
.
2
(
4
¡
r
0
@
const
(
b
2
4
¡
r
0
@
b
(
@
(3.3.1)
0
@
wobei b senkrecht zur Oberfläche der Metallplatte ist. Es ist das Potential
zweier Punktladungen, der ursprünglichen Ladung und einer entgegenge, die sich scheinbar am Ort
des Spiegelbildes von
setzten Ladung
bezüglich der Metalloberfläche befindet. Diese Ladung
heißt Spiegelladung. Physikalisch liegt dieses Potential natürlich nur auf derjenigen Seite der
Metallplatte vor, auf der sich die ursprüngliche Punktladung befindet. Das
oben angegebene Potential ist als Lösung der Poisson-Gleichung
2
2
2
d
1
e
+
r
3
.
2
y
+
r
b
2
.
0
mit der Randbedingung konstanten Potentials auf der Metalloberfläche
e
e
+
r
.
const für alle r mit r b
0
0
+
r
.
2
¥
£
¦
¨
0
0
eindeutig – vgl. Abschn. 2.9 und B.17.
Die Dichte der influenzierten Flächenladung berechnet man wieder durch
Bildung eines Flußintegrals über ein geschlossenes Flächenstück. Wir wählen
die Oberfläche eines flachen Zylinders, dessen eine Grundfläche im Metall
und dessen andere dicht vor der Metalloberfläche liegt. Die Mantelfläche trägt
58
3. Elektrostatik in Anwesenheit von Leitern
dann wegen ihrer (beliebig klein wählbaren) Größe nichts bei. Da das Feld im
Metall wieder verschwindet, gilt
E da
0
0
E n d
#
+
!
#
5
richtig ist, müssen die Integranden
0E
:
Da diese Aussage für beliebige Flächen
gleich sein. Es gilt, vgl. auch (3.1.1),
d
.
!
n
#
:
für Punkte auf der Metalloberfläche. Mit
2
r
r
e
E
ª
4
Œ
¡
0
b
b3
2
2
@
r b
r b3
(
2
@
@
@
erhalten wir für die Punkte der Metalloberfläche (b r
r b 2)
(

(
0, d. h. r
+
2
b
2
.
.
+
+
E
#
4
¡
r
0
b
+
2
r2
r
.
2
b
2
b2 3 2
(
2
4
«
.
¡
0
+
r2
(
2b
b2
3 2
5
«
.
Die auf der Metalloberfläche influenzierte Ladungsdichte ist nun
2
4
2
¡
r2
+
b2
(
3 2
5
(3.3.2)
«
.
Sie ist proportional zum Dipolmoment 2
von Ladung und Spiegelladung
0 ein Maximum. Die dieser negativen Inund hat im Symmetriepunkt bei
fluenzladung entsprechende positive Ladung sammelt sich auf der gegenüberliegenden Metalloberfläche. Da jedoch im Metall kein elektrostatisches Feld
besteht, ordnen sich die Ladungen nur unter ihrem gegenseitigen Einfluß an.
Es bildet sich eine homogene Flächenladungsdichte aus. Das steht im Einklang
mit der Lösung der Laplace-Gleichung
Ÿ
d
e
0
im Raum vor der anderen Metalloberfläche mit der Randbedingung
e
+
r
.
const
auf dieser Oberfläche. Das Feld in diesem Halbraum ist homogen. Für
tatsächlich unendliche Ausdehnung der Platten ist die homogene Flächenladungsdichte natürlich null. Damit ist auch die Feldstärke in diesem Halbraum
null.
3.4 Influenz eines homogenen Feldes auf eine Metallkugel
59
3.4 Influenz eines homogenen Feldes auf eine Metallkugel.
Induziertes Dipolmoment
Inhalt: Bringt man eine Metallkugel vom Radius
in ein homogenes elektrisches Feld
der Feldstärke E0 , werden auf ihrer Oberfläche Ladungen influenziert, so daß sie eine Äquipotentialfläche bleibt. Die dadurch verursachte Änderung des elektrostatischen Potentials
E0 r läßt sich durch die Addition eines Dipolpotentials d
d r 4 0 3 im
0
Bereich
beschreiben. Das Dipolmoment besitzt die Richtung von E0 und ist durch den
Radius der Kugel und die Feldstärke E0 bestimmt, d 4 0 3 E0 . Die auf der Oberfläche
influenzierte Flächenladungsdichte ist
3 0 0 cos , der Winkel ist der Polarwinkel des
der Kugeloberfläche gegen die Feldrichtung E0 , cos
e E0 .
Radiusvektors e
Bezeichnungen: E0 Feldstärke des homogenen Feldes, Radius der Metallkugel, 0 Potential des homogenen elektrischen Feldes, d Potential der auf der Metallkugel influenzierten Oberflächenladungsdichte, d Dipolmoment des induzierten Dipolfeldes, Polarwinkel
bezüglich der Feldrichtung E0 , Flächenladungsdichte, 0 elektrische Feldkonstante.
­
œ
n
S
›
®
™
S
œ
™
˜
›
­
˜
­
M
°
°
C
²
œ
­
±
™
°
°
±
­
S
S
°
In ein homogenes elektrisches Feld der Stärke E0 mit dem Potential
e
0
E0 r
2
(3.4.1)
0
0 befindet, bringen wir eine ungeladene
dessen Nullpunkt sich am Ort r
Metallkugel vom Radius , deren Mittelpunkt mit dem Ursprung r
0
zusammenfällt. Durch das Feld werden auf der Kugeloberfläche Ladungen influenziert, so daß sie eine Äquipotentialfläche des resultierenden Feldes wird.
Wir erwarten eine Ansammlung von negativen Ladungen auf der Halbkugel,
die in Richtung steigenden Potentials liegt, während auf der anderen Halbkugel eine positive Überschußladung verbleibt. Insgesamt bleibt die Kugel
natürlich elektrisch neutral. Die Wirkung der beiden räumlich getrennten Influenzladungen verschiedenen Vorzeichens läßt sich durch ein Dipolfeld mit
dem Potential
1 d r
1
cos
(3.4.2)
d
3
4 0
4 0 2
erfassen. Das Dipolmoment d ist dabei in Richtung des Feldes E0 orientiert,
ist der Winkel zwischen dem Ortsvektor und dem Dipolmoment. Zusammen
mit dem Potential des homogenen Feldes beschreibt es bei geeigneter Wahl
des Dipolmomentes in der Tat das Feld außerhalb der Metallkugel exakt. Das
in Abb. 3.8 dargestellte Gesamtpotential
³
e
¡
µ
Ÿ
¡
Ÿ
´
µ
e
1
e
0
(
d
2
E0 r
d r
4
¡
1
3
(
0
0
?
2
Ÿ
cos
Ÿ
2
(
µ
4
¡
0
cos
´
hat nämlich eine kugelförmige Äquipotentialfläche mit dem Radius
man
d 4 3 0 E0
¡
³
setzt. Man findet als Potential der Kugelfläche
(3.4.3)
µ
Ÿ
³
, wenn
(3.4.4)
60
3. Elektrostatik in Anwesenheit von Leitern
Abb. 3.8. Influenz eines homogenen Feldes auf eine Metallkugel mit dem Radius : Das
resultierende Potential ist außerhalb der Kugel eine Überlagerung des Potentials 0 des
homogenen Feldes, das in negative -Richtung zeigt, und des Potentials d eines induzierten
Dipols im Kugelmittelpunkt. Das Potential 0
-Ebene, die
d ist als Fläche über der
-Ebene
den Kugelmittelpunkt enthält, dargestellt (oben). Elektrische Feldlinien in der
und Äquipotentiallinien (unten): Man erkennt deutlich die kreisförmige Äquipotentiallinie
um den Ursprung, die den Radius besitzt
­
S
S
¶
S
C
¸
œ
S
S
™
¶
l
C
¸
œ
­
™
¶
3.4 Influenz eines homogenen Feldes auf eine Metallkugel
e
61
e
0
.
+
d
(
³
0
.
+
³
0
den Wert des Potentials des ursprünglichen homogenen Feldes am Ort des Kugelmittelpunktes. Das elektrische Feld außerhalb der Kugel wird vollständig
durch das Potential (3.4.3) beschrieben, das Potential innerhalb der Kugel ist
konstant (Abb. 3.9),
E0 r 1
e
r
+
2
¹
2
3
3
º
¥
für
für
»
.
‡
0
Ÿ
¼
³
Ÿ
€
³
(3.4.5)
5
Dieser Potentialverlauf ist eine eindeutige Lösung des Problems einer kugelförmigen Äquipotentialfläche und eines linearen Potentials im Unendlichen, da – wie schon mehrmals bemerkt – die Laplace-Gleichung eindeutige
Lösungen bei vorgegebenen Randbedingungen hat. Die Ladungsdichte auf der
Metallkugel ist wie im vorigen Abschnitt durch
0E
n
:
gegeben. Da das elektrische Feld auf der Metalloberfläche senkrecht steht,
also nur eine Radialkomponente hat, gilt
e
e
0
+
E n
:
E r
:
d
(
.
3
.
2
À
+
³
0 cos
?
µ
Ÿ
und somit
À
3
0
cos
0
?
µ
(3.4.6)
5
Die auf der positiv geladenen Halbkugel influenzierte Gesamtladung erhält
man durch Integration über diese Halbkugel,
2
Á
d
!
1
Ã
!
3
!
0
0
0
0
?
cos
2
µ
2
e
d cos d
³
3
µ
¡
0
?
0
³
5
(3.4.7)
Die Ladung auf der anderen Halbkugel ist
2
Á
5
c
Das Dipolmoment der Kugel können wir uns durch Anordnung der Ladungen
bzw.
an den Punkten
Á
c
2
d und r
r
3
erzeugt denken, da dann d
b ist.
Zusammenfassend können wir feststellen, daß ein homogenes elektrisches
Feld durch Influenz auf einer Metallkugel ein Dipolmoment induziert, das in
Richtung des Feldes zeigt und dem Betrag der Feldstärke proportional ist.
Wir werden dieses Ergebnis als Modell für die Beschreibung der dielektrischen Eigenschaften der Materie heranziehen und zeigen, daß in jedem Atom
oder Molekül eines Nichtleiters ein Dipolmoment induziert wird, das dem
angelegten äußeren Feld proportional ist (Abschn. 4.7.1).
r
Á
b
2
:
³
c
Á
2
Á
62
3. Elektrostatik in Anwesenheit von Leitern
Abb. 3.9. Influenz eines homogenen Feldes auf eine Metallkugel mit dem Radius : Die
außerhalb der Kugel
Fallinien des resultierenden Potentials 0
d sind im Bereich
-Ebene dargestellt (oben). Feldlinien des resultierenden elektrischen Feldes in
über der
der
-Ebene (unten)
­
S
S
l
C
¸
œ
™
C
¸
™
œ
¶
¶
›
®
­
72
Elektrostatik in Anwesenheit von Leitern
3.7 Aufgaben
3.1: Zeigen Sie durch Ausführung der Flußintegrale über die vier in Abb. 3.3 skizzierten Integrationsvolumina die Gültigkeit der Beziehungen (3.1.2).
3.2: Zeigen Sie durch Integration von σ in (3.3.2) über die Metalloberfläche, daß
die influenzierte Ladung den Wert −Q hat.
3.3: Zeigen Sie, daß die Schwerpunkte
r± =
1
Q±
Z
σr da
der positiven bzw. negativen Ladungsverteilungen auf den Hälften der Metallkugel
aus Abschn. 3.4 tatsächlich an den Punkten b/2 bzw. −b/2 liegen.
3.4: Im Experiment 1.3 wurde die Gültigkeit des Coulombschen Gesetzes nur für
Ladungen gleichen Vorzeichens gezeigt. Entwickeln Sie eine Methode, das Gesetz
auch für Ladungen verschiedener Vorzeichen zu demonstrieren. Beginnen Sie mit
der Konstruktion eines Verfahrens zur Herstellung positiver und negativer Ladungen
gleichen Betrages.
3.5: Ein leitender Zylinder unendlicher Länge und vom Radius R um die z -Achse
trage die Ladung qL = Q/` je Längeneinheit. Zeigen Sie durch Ausführung von
Flußintegralen über beliebige Zylinder mit Radien r⊥ > R, daß das Feld außerhalb
des Leiters die Form
E(r) =
qL 1
r̂⊥
2πε0 r⊥
hat. Zeigen Sie weiterhin, daß dieses Feld ein Potential
qL
r⊥
ϕ(r) = −
ln
2πε0
R
besitzt.
3.6: (a) Berechnen Sie die Kapazität eines Kugelkondensators, der aus zwei konzentrischen Metallkugelflächen der Radien R1 und R2 besteht, die die Ladungen Q
und −Q tragen.
(b) Berechnen Sie die Kapazität einer Metallkugel vom Radius R1 gegen das Unendliche, d. h. gegen eine sie umgebende Metallkugel von sehr großem Radius.
3.7: Vor einer großen, leitenden Platte befinden sich zwei Punktladungen q1 und q2
(siehe Abb. 3.17).
Wie groß ist die Kraft auf q1 ?
Hinweis: Benutzen Sie die Methode der Spiegelladungen.
3.8: Zwei unendlich ausgedehnte Metallplatten bilden einen Winkel von 60◦ . Im
Abstand d von der Berührungslinie sitzt auf der Winkelhalbierenden eine Punktladung
q (siehe Abb. 3.18).
3.7 Aufgaben
Abb. 3.17. Zu Aufgabe 3.7
73
Abb. 3.18. Zu Aufgabe 3.8
(a) Bestimmen Sie die Orte und die Größen der benötigten Spiegelladungen.
(b) Geben Sie für den Bereich zwischen den Platten das Potential ϕ(r) an.
3.9: (a) Eine Punktladung q befindet sich im Abstand d vom Mittelpunkt einer
geerdeten, ideal leitenden Kugel vom Radius R (mit R < d; siehe Abb. 3.19a).
Berechnen Sie das Potential ϕ(r) außerhalb der Kugel. Benutzen Sie die Methode
der Spiegelladungen, d. h. setzen Sie eine Spiegelladung an, und bestimmen Sie deren
Position und Ladung.
Hinweis: Die Geometrie in dieser Aufgabe ähnelt der in Aufgabe 2.5.
(b) Außerhalb einer geerdeten, ideal leitenden Kugel mit dem Radius R befinden sich
zwei Punktladungen q und q 0 auf gegenüberliegenden Seiten in den Abständen 2R
bzw. 4R vom Mittelpunkt der Kugel, so daß die Ladungen und der Kugelmittelpunkt
auf einer Linie liegen (siehe Abb. 3.19b).
Zeigen Sie: Die Ladung q 0 wird vom Rest der Anordnung abgestoßen, wenn
0 < q0 <
25
q
144
gilt.
Abb. 3.19 a,b. Zu Aufgabe 3.9
Hinweise und Lösungen zu den Aufgaben
535
mit Hilfe von Flußintegralen (2.4.6) gewinnen, wenn man über Kugeln bzw. Zylinder
integriert. Das von % insgesamt erzeugte Feld ist die Superposition der Felder E1 und
E2 ; man erhält
2
%0 r3
r⊥
e
.
E(r) =
e
+
r
⊥
ε0 5a2
3b
2.13 Hier benutzt man (2.7.6). Die Ladungsdichte lautet in Kugelkoordinaten %(r0 ) =
σ0 δ(r0 − R)Θ(− cos ϑ0 ) mit√der konstanten Flächenladungsdichte σ0 = Q/(2πR2 ).
Für r = zez gilt |r − r0 | = r02 + z 2 − 2r0 z cos ϑ0 . Daraus ergibt sich
ϕ(zez ) =
i
p
1 Q h
|R + z| − R2 + z 2 ,
4πε0 Rz
0
2.14 (a) Die Ladungsdichte lautet in Zylinderkoordinaten %(r0 ) = σδ(z 0 )Θ(r⊥
− R).
Damit ergibt sich mit (2.2.2)
Z ∞
Z ∞
Z 2π
0
0
02
0
σ0
r⊥
dr⊥
r⊥
dr⊥
0
0
E(zez ) =
−
e
(ϕ
)
dϕ
2πzez
,
⊥
02 3/2
02 3/2
2
2
4πε0
R (z + r⊥ )
R (z + r⊥ )
0
worin das ϕ0 -Integral verschwindet. So erhält man
σ0
z
√
ez .
2
2ε0 R + z 2
√
√
(b) Es gilt F = qE(`ez ), d. h. F (` = 5R) = 5qσ0 /(2 26ε0 ) < 5qσ0 /( 101ε0 ) =
F (` = 10R), bei ` = 10R ist die abstoßende Kraft also größer als bei ` = 5R. Dieses
Ergebnis ist bei Beachtung der vektoriellen Addition der Felder auch intuitiv klar.
e(zez ) =
Kapitel 3
3.1 Man unterscheidet die vier Fälle N = I, II, III, IV, wie in Abb. 3.3 angegeben.
Zu den vier Fällen gehören die Volumina VN mit den geschlossenen Oberflächen
(VN ). Diese bestehen aus den Mantelflächen mit Normalenvektoren senkrecht zur
elektrischen Feldstärke E und den Deckel- und Bodenflächen aN bzw. a0N mit den
Normalen â bzw. â0 . Die Flächen aN , a0N besitzen gleiche Flächeninhalte der Größe
a. Die Deckelnormale a ist in E-Feldrichtung orientiert, die Bodennormale â0 entgegengesetzt, â0 = −â. In allen vier Fällen verschwindet auf den Mantelflächen der
Volumina VN das Produkt E·da. Die Bodenfläche a0N befindet sich in allen vier Fällen
in der linken Metallplatte des Kondensators.
Daher gilt auf a0N die Beziehung E = 0.
R
Wir führen die Bezeichnung QN = VN % dV ein und finden mit dem Gaußschen
Gesetz (2.5.2) für N = I, II, III, IV
Z
Z
I
I
QN =
% dV =
∇ · E dV =
E · da =
E · da .
VN
VN
R
(VN )
aN
R
Für Fall (I) gilt σa = ε0 aI E·da; für (II) gilt (σ+σ0 )a = ε0 aII E·da = 0, weil sich
die Deckelfläche aII im feldfreien Raum innerhalb der Metallplatte im Kondensator
536
Hinweise und Lösungen zu den Aufgaben
befindet.
Es folgt σ0 = −σ. Im Fall (III) erhält man (σ + σ0 R+ σ00 )a = σ00 a =
R
ε0 aIII E·da; für (IV) gilt (σ +σ0 +σ00 −σ)a = (σ00 −σ)a = ε0 aIV E·da = 0, weil
sich die Deckelfläche aIV in der rechten Kondensatorplatte befindet, innerhalb derer
E = 0 gilt. Es folgt σ00 = σ.
3.2 Die z -Achse des Koordinatensystems weise in die Richtung von b. Die Vektoren
r in der zu b senkrechten Ebene (r · b = 0) lauten dann in Zylinderkoordinaten
r = r⊥ e⊥ . Die gesamte, auf der Metalloberfläche influenzierte Ladung ist damit
Z
Z ∞ Z 2π
Z ∞
r⊥ dr⊥
Q0 = σ(r) da =
σ(r) dϕ r⊥ dr⊥ = −Qb
.
2
(r⊥ + b2 )3/2
0
0
0
2
Das letzte Integral läßt sich mit Hilfe der Substitution ξ = r⊥
+ b2 leicht berechnen;
0
man erhält in der Tat Q = −Q.
3.3 Zur Berechnung des Ladungsschwerpunktes führen wir ein Kugelkoordinatensystem (r, ϑ, ϕ) mit der z -Achse in Richtung von d ein. Wir erhalten für den LadungsR 2π R 1
3ε0 E0 cos ϑRr̂R2 d cos ϑ dϕ. Die Integration über
schwerpunkt r+ = Q−1
+
0
0
den Winkel ϕ liefert aus Symmetriegründen für die Komponenten von r+ , die senkrecht zu d sind, den Wert null. Damit hat der Ladungsschwerpunkt die Darstellung
r+ = r+ d̂. Es bleibt noch die Berechnung der d̂-Komponente,
Z 1
1
1
2
3
r+ =
3ε0 E0 R 2π
cos2 ϑ d cos ϑ =
2πε0 E0 R3 = R .
Q+
Q
3
+
0
Hier wurde für Q+ der Wert (3.4.7) benutzt. Insgesamt finden wir r+ = (2/3)Rd̂ =
b/2. Für r− gilt aus Symmetriegründen r− = −b/2.
3.4 Zur Herstellung entgegengesetzt gleicher Ladungen kann man sich eines Plattenkondensators bedienen: Zunächst gibt man einer Kondensatorplatte eine Ladung Q
und lädt dann eine zweite Platte mit dem in Abschn. 3.1 beschriebenen Verfahren mit
−Q auf. Nimmt man nun zwei gleich große, ungeladene Metallkugeln und berührt
mit jeder jeweils eine der Platten, so fließt ein bestimmter Teil der Ladung der Platten,
der nur von Q und der Geometrie der Anordnung abhängt, auf die Kugeln. Auf diese
Weise erhalten beide Kugeln entgegengesetzt gleiche Ladungen. Mit den so aufgeladenen Kugeln kann Experiment 1.3 wiederholt werden; der einzige Unterschied ist,
daß der Lichtzeigerausschlag jetzt in entgegengesetzter Richtung erfolgt.
3.5 Wir betrachten einen Zylinder Z vom Radius R⊥ > R und von der Länge L,
der koaxial zum leitenden Zylinder angeordnet ist. Wir wählen ein Zylinderkoordinatensystem (r⊥ , φ, z), dessen z -Achse die Zylinderachse ist, mit den Basisvektoren
e⊥ = r̂⊥ , eφ , ez . Das elektrische Feld des leitenden, geladenen Zylinders hängt
aus Symmetriegründen nur von r⊥ ab und besitzt am Ort r die Richtung r̂⊥ , d. h.
E(r) = E(r⊥ )r̂⊥ . Die Gesamtladung auf einem Stück der Länge L des geladenen
Zylinders ist QL = qL L. Mit Hilfe des Gaußschen Gesetzes erhalten wir
Z
I
qL L = ε0
∇ · E dV = ε0
E · da .
Z
(Z)