Übungsblatt 1

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten, FS 09
ÜBUNGSBLATT 1
Ausgabe: Dienstag, 17. 02., 11.00 Uhr
Abgabetermin: Bis Montag, 23.02., 10.15 Uhr (Briefkästen im Stockwerk 27K)
Aufgabe 1
1. Zeige, dass ein topologischer Raum (X, T ) genau dann das Trennungsaxiom T1
erfüllt, wenn {x} ⊂ X abgeschlossen ist für alle
x ∈ X und dass er genau dann
T2 erfüllt wenn die Diagonale ∆X := {(x, x) x ∈ X} ⊂ X × X abgeschlossen
ist. Hierbei versehen wir X × X mit der Produkttopologie: Sind (X1 , T1) und
(X2 , T2 ) topologische Räume, so ist die Menge {U1 × U2 ⊂ X1 × X2 U1 ∈
T1 , U2 ∈ T2 } die Basis genau einer Topologie; diese Topologie heisst Produkttopologie auf der Menge X1 × X2 .
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2. Wir betrachten die reelle Gerade mit doppeltem Ursprung: Sei L := R {∗}.
Wir definieren folgende Topologie auf L: Eine Menge U ⊂ L ist offen, wenn
U ⊂ R und U offen ist in R oder wenn ∗ ∈ U und (U \{∗}) ∪ {0} ⊂ R offen
ist. Zeige, dass dieser topologische Raum lokal homöomorph zu R ist, dass er
aber nicht Hausdorffsch ist.
Aufgabe 2 Formuliere im Folgenden immer eine Behauptung und beweise sie.
1. Welche Trennungsaxiome erfüllt der topologische Raum (C, TZariski )? Ist er
kompakt oder quasi-kompakt?
2. Ist die Abbildung id : (C, TStandard ) −→ (C, TZariski ) stetig? Ist sie offen? Gibt
es einen Homöomorphismus zwischen beiden Räumen?
Aufgabe 3
1. Sei (X, TX ) ein Hausdorffraum und sei A ⊂ X ein kompakter Teilraum. Dann
ist A ⊂ X abgeschlossen.
2. Sei (X, TX ) ein kompakter topologischer Raum, und sei (Y, TY ) ein Hausdorffraum. Ist f : X −→ Y eine stetige und bijektive Abbildung, so ist f
ein Homöomorphismus.
Aufgabe 4 Zeige, dass S 2 ⊂ R3 , versehen mit der Relativtopologie, eine kompakte
2-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit ist.