Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg
Dr. K. Rothe
SoSe 2014
Komplexe Funktionen
für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Aufgaben und Theoriehinweise zu Blatt 1
Komplexe Funktionen, K. Rothe, SoSe 2014, Theoriehinweise zu Blatt 1
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Zahlen in der komplexen Ebene C:
kartesische Koordinaten für z ∈ C: z = x + iy mit x, y ∈ IR
√
imaginäre Einheit i := −1 ⇒ i2 = −1
Realteil
Re(z) := x,
Imaginärteil
Im(z) := y,
Konjugation
z̄ := x − iy
Addition
z1 + z2 = (x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 ) = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )
Multiplikation
z1 · z2 = (x1 +p
iy1 )(x2 + iy2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 )
√
Betrag
|z| := z z̄ = x2 + y 2 ,
Formel von Euler:
für x ∈ IR
eix = cos x + i sin x
Polarkoordinaten für z ∈ C\{0}: z = reiϕ
mit
0 ≤ ϕ < 2π , r > 0
Radius=Betrag: r = |z| , Winkel=Argument: ϕ = arg(z)
Umwandlung komlexer Zahldarstellungen:
a) kartesische Koordinaten −→ Polarkoordinaten

y

arctan




π x




2

p
y
π + arctan
r = |z| = x2 + y 2 , ϕ =
x


3π





2


 2π + arctan y
x
, x>0 , y≥0
, x = 0, , y > 0
, x<0
, x = 0, , y < 0
, x>0 , y <0.
b) Polarkoordinaten −→ kartesische Koordinaten
z = reiϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ)
⇒
x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ.
Komplexe Funktionen, K. Rothe, SoSe 2014, Theoriehinweise zu Blatt 1
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Berechnung n-ter Wurzeln:
Alle Lösungen zk ∈ C von z n = c mit c ∈ C ergeben sich über die Polarkoordinatendarstellung von c = reiϕ durch
√
zk = n re(ϕ+2kπ)i/n , k = 0, 1, . . . , n − 1 .
Aufgabe 1:
(1 + 2i)2
Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 :=
2−i
√
1+i 3
und z2 :=
.
2
a) Man ermittle Real- und Imaginärteil von z1 und die Polardarstellungen
von z1 und z2 .
b) Man bestimme z26 .
c) Man gebe alle Lösungen der Gleichung (w + z2 )3 = 1 in kartesischen
Koordinaten an.
Aufgabe 2:
Man skizziere die folgenden Punktmengen in der komplexen Zahlenebene:
a) {w ∈ C : |w + z2 |3 = |8i|}, mit z2 :=
√
b) {z ∈ C : |Re(z)| + |Im(z)| ≤ 2},
√
c) {z ∈ C : 9Re(z 2 ) + 13(Im(z))2 = 36},
d) {z ∈ C : 3π/2 < arg(zi) < 2π , 0 < |z|}.
3 − i,
Komplexe Funktionen, K. Rothe, SoSe 2014, Theoriehinweise zu Blatt 1
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Folgen und stetige komplexe Funktionen:
Eine komplexe Zahlenfolge (zn )n∈IN ist genau dann konvergent mit Grenzwert z ∗ und man schreibt lim zn = z ∗ , wenn gilt
n→∞
lim |zn − z ∗ | = 0 .
n→∞
Eine Funktion f : D → C (mit D ⊂ C offen) ist genau dann stetig in z0 ∈ D,
wenn für eine beliebige Zahlenfolge (zn )n∈IN mit zn ∈ D und lim zn = z0
n→∞
gilt
f (z0 ) = lim f (zn ) .
n→∞
Aufgabe 3:
a) Man untersuche die Folge
z0 = 1 + i ,
zn+1 =
i
(2 − i + zn )
2
auf Konvergenz und bestimme ggf. den Grenzwert.
b) Für eine komplexe Zahlenfolge (zn )n∈IN zeige man die folgende
Äquivalenz:
lim zn = z ∗
n→∞
⇔
lim Re(zn ) = Re(z ∗ ) ∧ lim Im(zn ) = Im(z ∗ ) .
n→∞
n→∞
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Elementare komplexe Funktionen:
Mit z = x + iy = reiϕ und z0 = x0 + iy0 = r0 eiϕ0 , sowie f : C → C erhält
man
Verschiebung um den Vektor (x0 , y0 ):
f (z) = z + z0 = (x + x0 ) + i(y + y0 )
Drehung um den Winkel ϕ0 und Streckung um den Faktor r0 :
f (z) = z0 · z = (r0 r)ei(ϕ+ϕ0 )
quadratische Funktion: (Radius quadrieren und Winkel verdoppeln)
2
f (z) = z 2 = reiϕ = r2 ei(2ϕ)
Exponentialfunktion:
f (z) = ez = ex+iy = ex eiy = ex (cos y + i sin y)
Aufgabe 4:
a) Man bestimme das Bild von Q := {z ∈ C | 0 ≤ Re(z) ≤ 1 , 0 ≤ Im(z) ≤
1} unter der durch f (z) = iz 2 + 2 definierten Abbildung.
b) Gegeben seien z1 = 3 +
πi
πi
und z2 = 1 − . Man berechne
4
2
exp(z1 ) , exp(z2 ) und exp(z1 + z2 )
in kartesischen Koordinaten und bestätige an diesem Beispiel die
Gültigkeit der Funktionalgleichung der e-Funktion in C:
exp(z1 ) · exp(z2 ) = exp(z1 + z2 ) .