Tutoriumsaufgaben

SS 2014
Prof. Dr. Franz Merkl
1. Übungsblatt
Wahrscheinlichkeitstheorie
Abgabe bis Mo, 14.04.2013, 14:15 Uhr.
Tutoriumsaufgaben
T1.(Asymptotik der Standardnormalverteilung – obere Schranke.)
Es sei X eine standardnormalverteilte1 Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A, P ). Zeigen Sie für alle a > 0:
2
e−a /2
P [X ≥ a] ≤ E[a X, X ≥ a] = √
.
2πa
−1
Zur
R Notation: Für eine Zufallsvariable Y und ein Ereignis A steht E[Y, A] für E[Y 1A ] =
Y dP , also z.B.
A
Z
1
−1
−1
X dP.
E[a X, X ≥ a] = E[a X1{X≥a} ] =
a {X≥a}
T2.(Asymptotische Schranke für Folgen standardnormalverteilter Zufallsvariablen.)
Es sei (Xn )n∈N eine Folge von standardnormalverteilten Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ). Zeigen Sie:
√
Xn
lim sup √
≤ 2
log n
n→∞
P -fast sicher.
Hinweis: Erinnern Sie sich an das erste Borel-Cantelli-Lemma aus der Maßtheorie:
Es sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ist (Ak )k∈N eine Folge von Ereignissen mit
P
2
k∈N P [Ak ] < ∞, so gilt P [lim supk Ak ] = 0.
T3.(Konzentration der Masse hochdimensionaler Standardnormalverteilungen nahe an Sphären.)
Es sei (Zn )n∈N eine i.i.d.3 Folge standardnormalverteilter Zufallsvariablen auf einem Wahr~ n := (Z1 , . . . , Zn ). Zeigen Sie:
scheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) und Z
~ k n→∞
kZ
√n 2 −→ 1
n
in Wahrscheinlichkeit,
2
dν
(x) = e−x
Erinnerung: Die Standardnormalverteilung ν besitzt die Dichte dλ
des Lebesguemaßes λ.
T
S
2
Notation: lim supk Ak = n∈N k≥n Ak für Ereignisse Ak .
3
“independent, identically distributed”, also “unabhängig, identisch verteilt”
1
/2
√
/ 2π f.ü. bezüglich
d.h.
"
#
kZ
~
n→∞
n k2
∀ > 0 : P √ − 1 ≥ −→ 0.
n
Hinweis: Erinnern Sie sich an das schwache Gesetz der großen Zahlen aus der Stochastik:
Ist (Xn )n∈N eine i.i.d. Folge von Zufallsvariablen mit endlicher Varianz σ 2 auf einem
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) und
n
X̄n :=
1X
Xj
n j=1
n→∞
für n ∈ N, so gilt X̄n −→ E[X1 ] in Wahrscheinlichkeit. Genauer gilt sogar
σ2
∀ > 0 ∀n ∈ N : P |X̄n − E[X1 ]| ≥ ≤ 2 .
n
T4.(Konzentration der Masse von Gleichverteilungen auf hochdimensionalen Kugeln nahe an der Oberfläche.)
Für n ∈ N sei Pn die Gleichverteilung auf der n-dimensionalen Einheitskugel Bn = {x ∈
Rn | kxk2 ≤ 1}, also4 Pn : B(Bn ) → [0, 1], Pn (A) = λn (A)/λn (Bn ). Weiter sei für jedes
~ n : Ω → Rn auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
n ∈ N ein Pn -verteilter Zufallsvektor X
n→∞
~ n k2 −→ 1 in Wahrscheinlichkeit, d.h.
(Ω, A, P ) gegeben. Zeigen Sie: kX
i
h
n→∞
~
≥
−→ 0.
k
−
1
∀ > 0 : P kX
n 2
(bitte wenden für die Hausaufgaben!)
4
λn bezeichnet das n-dimensionale Lebesguemaß.
Hausaufgaben
H1.(Asymptotik der Standardnormalverteilung – untere Schranke.)
Es sei X eine standardnormalverteilte Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A, P ). Zeigen Sie für alle a > 0:
2
e−a /2
P [X ≥ a] ≥ √
.
2π(a + a−1 )
Folgern Sie:
2
e−a /2
P [X ≥ a] ∼ √
für a → ∞,
2πa
wobei die Notation “f (a) ∼ g(a) für a → ∞” bedeuten soll:
f (a)
= 1.
a→∞ g(a)
lim
Hinweis: Zeigen und verwenden Sie für x > 0:
!
2
2
d
e−x /2
−x2 /2
=e
−1
dx x + x−1
(1 + x2 )2
H2.(Längste konstante Sequenzen bei Münzwürfen – obere Schranke.)
Es sei (Xn )n∈N eine i.i.d. Folge von Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A, P ) mit Werten in {0, 1} und der Verteilung LP (Xn ) = pδ1 + (1 − p)δ0 , n ∈ N, mit
gegebenem 0 < p < 1. Wir setzen für n ∈ N:
Ln = sup{l ∈ N0 | ∃m ∈ {1, . . . , n} ∀j ∈ {0, . . . , l − 1} : Xm+j = 1}.
Ln ist also die Länge der längsten Sequenz von Einsen mit Start spätestens bei n in der
Münzwurffolge (Xn ). Zeigen Sie:
lim sup
n→∞
2
Ln
≤
log n
| log p|
P -fast sicher.
Hinweis: Erstes Borel-Cantelli-Lemma.
H3.(Vererbung der Konvergenz in Wahrscheinlichkeit unter stetigen Abbildungen.)
Es sei (Xn )n∈N eine in Wahrscheinlichkeit gegen x ∈ R konvergente Folge und (Yn )n∈N
eine in Wahrscheinlichkeit gegen y ∈ R konvergente Folge über einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ). Weiter sei f : R2 → R messbar und an der Stelle (x, y) stetig. Zeigen
Sie: (f (Xn , Yn ))n∈N konvergiert in Wahrscheinlichkeit gegen f (x, y).
H4.(Asymptotische Normalität der Randverteilungen der Gleichverteilung
auf hochdimensionalen Kugeln.)
Es sei (Zn )n∈N eine i.i.d. Folge standardnormalverteilter Zufallsvariablen auf einem Wahr~ n := (Z1 , . . . , Zn ). Weiter sei Rn für n ∈ N eine von
scheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) und Z
(Zm )m∈N unabhängige Zufallsvariable über (Ω, A, P ) mit Werten in ]0, 1] und der Dichte
fn (r) = nrn−1 1]0,1] (r). Zeigen Sie:
~ n := Rn Z~ n ist P -fast sicher definiert und auf der n-dimensionalen Einheitskugel
a) X
~n k
kZ
gleichverteilt.
b)
~ k n→∞
kZ
√ n
−→
nRn
1 in Wahrscheinlichkeit.
~
Zn ~
n→∞
√
c) Xn −
−→ 0 in Wahrscheinlichkeit.
n
2
d) Nun sei m ∈ N fixiert und πn,m : Rn → Rm für n ≥ m die Projektion auf die ersten
m Koordinaten: πn,m (x1 , . . . , xn ) = (x1 , . . . , xm ). Zeigen Sie:
√
n→∞
~
nπn,m (Xn ) − (Z1 , . . . , Zm ) −→ 0 in Wahrscheinlichkeit.
2
Hinweis zu den Symbolen der Aufgaben: Aufgaben oder Teilaufgaben die mit einem gekennzeichnet sind, haben eine kurze Lösung. Aufgaben oder Teilaufgaben die mit einem
∗
gekennzeichnet sind, sind oft schwierig und/oder zeitaufwendig.