Okonometrie Organisatorisches I

Ökonometrie
Vorlesung an der Universität des Saarlandes
Dr. Martin Becker
Sommersemester 2014
Ökonometrie (SS 2014)
1 Einleitung
Folie 1
Organisatorisches 1.1
Organisatorisches I
Vorlesung: Mittwoch, 08:30-10:00 Uhr, Gebäude B4 1, HS 0.18
Übung: Dienstag, 12:15-13:45 Uhr, Gebäude B4 1, HS 0.18, Beginn: 22.04.
Prüfung: 2-stündige Klausur nach Semesterende (1. Prüfungszeitraum)
Anmeldung im ViPa nur vom 12.05. (8 Uhr) – 26.05. (15 Uhr)!
(Abmeldung im ViPa bis 10.07., 12 Uhr)
Hilfsmittel für Klausur
I
I
I
Moderat“ programmierbarer Taschenrechner, auch mit Grafikfähigkeit
”
2 beliebig gestaltete DIN A 4–Blätter (bzw. 4, falls nur einseitig)
Benötigte Tabellen werden gestellt, aber keine weitere Formelsammlung!
Durchgefallen — was dann?
I
I
Nachprüfung“ Ende März/Anfang April 2015 (2. Prüfungszeitraum)
”
ab Sommersemester 2015: ???
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 2
1 Einleitung
Organisatorisches 1.1
Organisatorisches II
Informationen und Materialien unter
http://www.lehrstab-statistik.de
bzw. genauer
http://www.lehrstab-statistik.de/oekoss2014.html .
Kontakt: Dr. Martin Becker
Geb. C3 1, 2. OG, Zi. 2.17
e-Mail: [email protected]
Sprechstunde nach Vereinbarung (Terminabstimmung per e-Mail)
Vorlesungsunterlagen
I
I
I
Diese Vorlesungsfolien (Ergänzung im Laufe des Semesters)
Eventuell Vorlesungsfolien der Veranstaltung von Prof. Friedmann aus SS 2013
Download spätestens Dienstags, 19:00 Uhr, vor der Vorlesung möglich
Ökonometrie (SS 2014)
1 Einleitung
Folie 3
Organisatorisches 1.1
Organisatorisches III
Übungsunterlagen
I
I
I
I
Übungsblätter (i.d.R. wöchentlich)
Download i.d.R. nach der Vorlesung im Laufe des Mittwochs möglich
Besprechung der Übungsblätter in der Übung der folgenden Woche.
Übungsaufgaben sollten unbedingt vorher selbst bearbeitet werden!
Im Sommersemester 2014 sehr spezielle Situation (Makro...)
I
I
I
I
I
Beginn ausnahmsweise mit Wiederholung statistischer Grundlagen.
Dadurch Wegfall einiger regulärer Inhalte.
Alte Klausuren nur eingeschränkt relevant.
Wiederholung nur lückenhaft und wenig formal möglich!
Je nach Kenntnisstand: Eigene Wiederholung statistischer Grundlagen
z.B. aus den jeweiligen Veranstaltungsfolien nötig!
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 4
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Inhaltsverzeichnis
(Ausschnitt)
2
Wiederholung statistischer Grundlagen
Deskriptive Statistik
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Schließende Statistik
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 5
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Deskriptive Statistik 2.1
Lage- und Streuungsmaße eindimensionaler Daten
Betrachte zunächst ein kardinalskaliertes Merkmal X mit Urliste (Daten)
x1 , . . . , xn der Länge n.
Daten sollen auf wenige Kennzahlen“ verdichtet werden.
”
Übliches Lagemaß: klassische“ Mittelung der Merkmalswerte, also
”
arithmetisches Mittel“ x mit:
”
n
1
1X
x := (x1 + x2 + · · · + xn ) =
xi
n
n
i=1
Übliche Streuungsmaße: Mittlere quadrierte Differenz zwischen
Merkmalswerten und arithmetischem Mittel (empirische Varianz) sX2 sowie
deren (positive) Wurzel (empirische Standardabweichung) sX mit:
!
n
n
X
X
p
1
1
2 !
sX2 :=
(xi − x) =
xi2 − x 2 =: x 2 − x 2 ,
sX = + sX2
n
n
i=1
i=1
Standardabweichung sX hat dieselbe Dimension wie die Merkmalswerte,
daher i.d.R. besser zu interpretieren als Varianz sX2 .
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 6
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Deskriptive Statistik 2.1
Abhängigkeitsmaße zweidimensionaler Daten I
Nehme nun an, dass den Merkmalsträgern zu zwei kardinalskalierten
Merkmalen X und Y Merkmalswerte zugeordnet werden, also eine Urliste der
Länge n (also n Datenpaare)
(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn )
zu einem zweidimensionalen Merkmal (X , Y ) vorliegt.
Unverzichtbare Eigenschaft der Urliste ist, dass die Paare von
Merkmalswerten jeweils demselben Merkmalsträger zuzuordnen sind!
Mit den zugehörigen Lage- und Streuungsmaßen x, y , sX und sY der
eindimensionalen Merkmale definiert man als Abhängigkeitsmaße zunächst
die empirische Kovarianz sX ,Y mit:
!
n
n
X
1X
1
!
sX ,Y :=
(xi − x)(yi − y ) =
xi · yi − x · y =: xy − x · y
n
n
i=1
i=1
Ökonometrie (SS 2014)
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Folie 7
Deskriptive Statistik 2.1
Abhängigkeitsmaße zweidimensionaler Daten II
Als standardisiertes, skalenunabhängiges Abhängigkeitsmaß definiert man
darauf aufbauend den empirischen (Bravais-)Pearsonschen
Korrelationskoeffizienten rX ,Y mit:
sX ,Y
rX ,Y :=
sX · sY
Es gilt stets −1 ≤ rX ,Y ≤ 1.
rX ,Y misst lineare Zusammenhänge, spezieller gilt
I
I
I
rX ,Y > 0 bei positiver Steigung“ ( X und Y sind positiv korreliert“),
”
”
rX ,Y < 0 bei negativer Steigung“ ( X und Y sind negativ korreliert“),
”
”
|rX ,Y | = 1, falls alle (xi , yi ) auf einer Geraden (mit Steigung 6= 0) liegen.
rX ,Y ist nur definiert, wenn X und Y jeweils mindestens zwei verschiedene
Merkmalsausprägungen besitzen.
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 8
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Deskriptive Statistik 2.1
Beispiel: Empirischer Pearsonscher Korrelationskoeffizient
rX, Y = 0
20
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
8
15
●
●
●
80
●
●
●
●
●
●
●
●
●
4
●
●
●
40
●
●
6
●
Y
●
●
●
●
●
Y
●
10
●
60
●
●
Y
rX, Y = −1
10
100
rX, Y = 1
●
●
●
●
●
●
●
●
0
5
10
15
20
5
●
●
15
20
10
15
rX, Y = 0.9652
rX, Y = 0.1103
rX, Y = −0.837
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
4
●
●
●
4.0
●
●
● ●
●
●
●
●
8
●
Y
10
●
●
●
●
Y
5.0
15
●
●
●
●
●
●
10
●
●
●
●
●
●
●
2
●
3.0
●
●
5
10
15
20
20
●
●
6
●
6.0
20
●
12
X
●
0
5
X
●
Y
●
●
10
●
5
● ● ●
X
●
●
●
●
●
●
●
●
●
2
●
5
●
20
●
●
5
10
X
Ökonometrie (SS 2014)
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
X
15
20
●
●
●
5
10
15
●
20
X
Folie 9
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Inhaltsverzeichnis
(Ausschnitt)
2
Wiederholung statistischer Grundlagen
Deskriptive Statistik
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Schließende Statistik
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 10
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Eindimensionale Zufallsvariablen I
(Eindimensionale) Zufallsvariablen X entstehen formal als (Borel-messbare)
Abbildungen X : Ω → R von Ergebnismengen Ω eines
Wahrscheinlichkeitsraums (Ω, F, P) in die reellen Zahlen.
Auf eine Wiederholung der grundlegenden Konzepte von Zufallsexperimenten
bzw. Wahrscheinlichkeitsräumen muss aus Zeitgründen allerdings verzichtet
werden.
Wir fassen eine Zufallsvariable auf als eine Variable“,
”
I
I
I
die (i.d.R. mehrere verschiedene) nummerische Werte annehmen kann,
deren Werte ( Realisationen“) nicht vorherbestimt sind, sondern von einem
”
zufälligen, meist wiederholbarem Vorgang abhängen,
über deren Werteverteilung“ man allerdings Kenntnisse hat
”
( Wahrscheinlichkeitsrechnung) oder Kenntnisse erlangen möchte
( Schließende Statistik).
Ökonometrie (SS 2014)
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Folie 11
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Eindimensionale Zufallsvariablen II
Unterteilung von Zufallsvariablen X (abhängig von Werteverteilung) in
mehrere Typen
Diskrete Zufallsvariablen X :
I
I
Können nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele verschiedene Werte
annehmen.
Werteverteilung kann durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion pX spezifiziert
werden, die jeder reellen Zahl die Wahrscheinlichkeit des Auftretens zuordnet.
Stetige Zufallsvariablen X :
I
I
I
Können überabzählbar viele Werte (in einem Kontinuum reeller Zahlen)
annehmen.
Werteverteilung kann durch eine Dichtefunktion fX spezifiziert werden, mit
deren Hilfe man zum Beispiel Wahrscheinlichkeiten dafür ausrechnen kann,
dass der Wert der Zufallsvariablen in einem bestimmten Intervall liegt.
Einzelne reelle Zahlen (alle!) werden mit Wahrscheinlichkeit 0 angenommen!
Außerdem existieren (hier nicht betrachtete) Misch-/Sonderformen.
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 12
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Eindimensionale Zufallsvariablen III
Wahrscheinlichkeiten P{X ∈ A} = PX (A) dafür, dass eine Zufallsvariable X
Werte in einer bestimmten Menge A annimmt, können konkreter
I
bei diskreten Zufallsvariablen X für endliche oder abzählbar unendliche
Mengen A mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion pX durch
X
P{X ∈ A} =
pX (xi )
xi ∈A
I
bei stetigen Zufallsvariablen X für Intervalle A = [a, b], A = (a, b), A = (a, b]
oder(!) A = [a, b) (mit a < b) mit Hilfe einer(!) zugehörigen Dichtefunktion fX
durch
Z
b
P{X ∈ A} =
fX (x)dx
a
berechnet werden.
Werteverteilungen von Zufallsvariablen sind bereits eindeutig durch alle
Wahrscheinlichkeiten der Form P{X ≤ x} := P{X ∈ (−∞, x]} für x ∈ R
festgelegt.
Die zugehörige Funktion FX : R → R; FX (x) = P{X ≤ x} heißt
Verteilungsfunktion von X .
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 13
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Momente eindimensionaler Zufallsvariablen I
Lage- und Streuungsmaßen von Merkmalen (aus deskriptiver Statistik)
entsprechen Momente von Zufallsvariablen.
Momente von Zufallsvariablen sind also Kennzahlen, die die Werteverteilung
auf einzelne Zahlenwerte verdichten. (Diese Kennzahlen müssen nicht
existieren, Existenzfragen hier aber vollkommen ausgeklammert!)
Kennzahl für die Lage der (Werte-)Verteilung einer Zufallsvariablen X :
Erwartungswert bzw. auch Mittelwert µX := E(X )
I
Berechnung bei diskreter Zufallsvariablen X durch:
X
E(X ) =
xi · pX (xi )
xi ∈T (X )
I
(wobei T (X ) := {x ∈ R | pX (xi ) > 0} den Träger von X bezeichnet).
Berechnung bei stetiger Zufallsvariablen X durch:
Z ∞
E(X ) =
x · fX (x)dx
−∞
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 14
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Momente eindimensionaler Zufallsvariablen II
Kennzahl für die Streuung der (Werte-)Verteilung einer Zufallsvariablen
p X:
2
Varianz σX := Var(X ) von X und deren (positive) Wurzel σX = + Var(X ),
die sog. Standardabweichung von X , mit
h
i
!
2
Var(X ) = E (X − E(X )) = E(X 2 ) − [E(X )]2
I
Berechnung von E(X 2 ) für diskrete Zufallsvariable X durch:
X 2
E(X 2 ) =
xi · pX (xi )
xi ∈T (X )
I
Berechnung von E(X 2 ) bei stetiger Zufallsvariablen X durch:
Z ∞
2
E(X ) =
x 2 · fX (x)dx
−∞
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 15
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Momente eindimensionaler Zufallsvariablen III
Für eine Zufallsvariable X und reelle Zahlen a, b gilt:
I
I
E(aX + b) = a E(X ) + b
Var(aX + b) = a2 Var(X )
Allgemeiner gilt ( Linearität des Erwartungswerts“) für eine
”
(eindimensionale) Zufallsvariable X , reelle Zahlen a, b und (messbare)
Abbildungen G : R → R und H : R → R:
E(aG (X ) + bH(X )) = a E(G (X )) + b E(H(X ))
Ist X eine Zufallsvariable mit
p Erwartungswert µX = E(X ) und
Standardabweichung σX = Var(X ), so erhält man mit
X − E(X )
X − µX
Z := p
=
σX
Var(X )
eine neue Zufallsvariable mit E(Z ) = 0 und Var(Z ) = 1.
Man nennt Z dann eine standardisierte Zufallsvariable.
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 16
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Momente eindimensionaler Zufallsvariablen IV
Weiteres Lagemaß für Zufallsvariablen: p-Quantile
Für p ∈ (0, 1) ist xp ein p-Quantil der Zufallsvariablen X , wenn gilt:
P{X ≤ xp } ≥ p
und
P{X ≥ xp } ≥ 1 − p
Quantile sind nicht immer eindeutig bestimmt, für stetige Zufallsvariablen mit
streng monoton wachsender Verteilungsfunktion lassen sich Quantile aber
eindeutig durch Lösung der Gleichung
FX (xp ) = p
bzw. unter Verwendung der Umkehrfunktion FX−1 der Verteilungsfunktion FX
(auch Quantilsfunktion genannt) direkt durch
xp = FX−1 (p)
bestimmen.
Ökonometrie (SS 2014)
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Folie 17
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Spezielle parametrische Verteilungsfamilien
Parametrische Verteilungsfamilien fassen ähnliche Verteilungen zusammen.
Genaue Verteilung innerhalb dieser Familien wird durch einen oder wenige
(reelle) Parameter (bzw. einen ein- oder mehrdimensionalen
Parametervektor) eineindeutig festgelegt, also
I
I
legt der Parameter(vektor) die Verteilung vollständig fest und
gehören zu verschiedenen Parameter(vektore)n auch jeweils unterschiedliche
Verteilungen ( Identifizierbarkeit“).
”
Die Menge der zulässigen Parameter(vektoren) heißt Parameterraum.
Im Folgenden: Exemplarische Wiederholung je zweier diskreter und stetiger
Verteilungsfamilien.
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 18
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Bernoulli-/Alternativverteilung
Verwendung:
I
I
I
I
Modellierung eines Zufallsexperiments (Ω, F, P), in dem nur das Eintreten
bzw. Nichteintreten eines einzigen Ereignisses A von Interesse ist.
Eintreten des Ereignisses A wird oft als Erfolg“ interpretiert, Nichteintreten
”
(bzw. Eintreten von A) als Misserfolg“.
”
Zufallsvariable soll im Erfolgsfall Wert 1 annehmen, im Misserfolgsfall Wert 0,
es sei also
1 falls ω ∈ A
X (ω) :=
0 falls ω ∈ A
Beispiel: Werfen eines fairen Würfels, Ereignis A: 6 gewürfelt“ mit P(A) = 61 .
”
Verteilung von X hängt damit nur von Erfolgswahrscheinlichkeit“ p := P(A)
”
ab; p ist also einziger Parameter der Verteilungsfamilie.
Um triviale Fälle auszuschließen, betrachtet man nur Ereignisse mit p ∈ (0, 1)
Der Träger der Verteilung ist dann T (X ) = {0, 1}, die
Punktwahrscheinlichkeiten sind pX (0) = 1 − p und pX (1) = p.
Symbolschreibweise für Bernoulli-Verteilung mit Parameter p: B(1, p)
Ist X also Bernoulli-verteilt mit Parameter p, so schreibt man X ∼ B(1, p).
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 19
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
für x < 0
für 0 ≤ x < 1
für x ≥ 1
Ökonometrie (SS 2014)
=
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
1.5
2.0
x
FX
●
p = 0.4
●
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
x
Momente: E (X ) = p
γ(X )
pX
p = 0.4
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Verteilungsfunktion:

 0
1−p
FX (x) =

1
pX(x)
Träger: T (X ) = {0, 1}
Wahrscheinlichkeitsfunktion:

 1 − p für x = 0
p
für x = 1
pX (x) =

0
sonst
Parameter:
p ∈ (0, 1)
FX(x)
Bernoulli-/Alternativverteilung
B(1, p)
Var(X )
√1−2p
p(1−p)
κ(X )
= p · (1 − p)
=
1−3p(1−p)
p(1−p)
Folie 20
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Binomialverteilung
Verallgemeinerung der Bernoulli-Verteilung
Verwendung:
I
I
I
I
I
Modellierung der unabhängigen, wiederholten Durchführung eines
Zufallsexperiments, in dem nur die Häufigkeit des Eintretens bzw.
Nichteintretens eines Ereignisses A interessiert ( Bernoulli-Experiment“).
”
Eintreten des Ereignisses A wird auch hier oft als Erfolg“ interpretiert,
”
Nichteintreten (bzw. Eintreten von A) als Misserfolg“.
”
Zufallsvariable X soll die Anzahl der Erfolge bei einer vorgegebenen Anzahl
von n Wiederholungen des Experiments zählen.
Nimmt Xi für i ∈ {1, . . . , n} im Erfolgsfall (für DurchfP
ührung i) den Wert 1
an, im Misserfolgsfall den Wert 0, dann gilt also X = ni=1 Xi .
Beispiel: 5-faches Werfen eines fairen Würfels, Anzahl der Zahlen kleiner 3.
n = 5, p = 1/3.
Verteilung von X hängt damit nur von Erfolgswahrscheinlichkeit“ p := P(A)
”
sowie der Anzahl der Durchführungen n des Experiments ab.
Um triviale Fälle auszuschließen, betrachtet man nur die Fälle n ∈ N und
p ∈ (0, 1). Träger der Verteilung ist dann T (X ) = {0, 1, . . . , n}.
Symbolschreibweise für Binomialverteilung mit Parameter n und p: B(n, p)
Übereinstimmung mit Bernoulli-Verteilung (mit Parameter p) für n = 1.
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 21
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Binomialverteilung
B(n, p)
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Träger: T (X ) = {0, 1, . . . , n}
Wahrscheinlichkeitsfunktion: pX (x)
  n x
p (1 − p)n−x für x ∈ T (X )
=
x

0
sonst
pX(x)
Parameter:
n ∈ N, p ∈ (0, 1)
pX
n = 5, p = 0.4
−1
0
1
2
3
4
5
●
●
4
5
6
x
FX (x) =
X
pX (xi )
xi ∈T (X )
xi ≤x
FX(x)
Verteilungsfunktion:
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
FX
n = 5, p = 0.4
●
●
●
●
−1
0
1
2
3
6
x
Momente: E (X ) = n · p
γ(X ) =
Ökonometrie (SS 2014)
√ 1−2p
np(1−p)
Var(X )
κ(X )
= n · p · (1 − p)
=
1+(3n−6)p(1−p)
np(1−p)
Folie 22
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Stetige Gleichverteilung
Einfachste stetige Verteilungsfamilie:
Stetige Gleichverteilung auf Intervall [a, b]
Modellierung einer stetigen Verteilung, in der alle Realisationen in einem
Intervall [a, b] als gleichwahrscheinlich“ angenommen werden.
”
Verteilung hängt von den beiden Parametern a, b ∈ R mit a < b ab.
Dichtefunktion fX einer gleichverteilten Zufallsvariablen X kann auf Intervall
1
[a, b] konstant zu b−a
gewählt werden.
Träger der Verteilung: T (X ) = [a, b]
Symbolschreibweise für stetige Gleichverteilung auf [a, b]: X ∼ Unif(a, b)
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 23
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Stetige Gleichverteilung
Unif(a, b)
Parameter:
a, b ∈ R mit a < b
fX
a = 1, b = 3
0.4
0.0
0.2
fX(x)
0.6
Träger: T (X ) = [a, b]
Dichtefunktion: fX : R → R;
( 1
für a ≤ x ≤ b
b−a
fX (x) =
0
sonst
0
1
2
3
4
3
4
x
Momente: E (X ) = a+b
2
γ(X ) = 0
Ökonometrie (SS 2014)
Var(X )
κ(X )
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Verteilungsfunktion: FX : R → R;

für x < a

 0
x−a
für a ≤ x ≤ b
FX (x) =
b−a


1
für x > b
FX(x)
FX
a = 1, b = 3
0
1
2
x
=
=
(b−a)2
12
9
5
Folie 24
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Normalverteilung
Verteilung entsteht als Grenzverteilung bei Durchschnittsbildung vieler
(unabhängiger) Zufallsvariablen (später mehr!)
Einsatz für Näherungen
Familie der Normalverteilungen hat Lageparameter µ ∈ R, der mit
Erwartungswert übereinstimmt, und Streuungsparameter σ 2 >√0, der mit
Varianz übereinstimmt, Standardabweichung ist dann σ := + σ 2 .
Verteilungsfunktion von Normalverteilungen schwierig zu handhaben,
Berechnung muss i.d.R. mit Software/Tabellen erfolgen.
Wichtige Eigenschaft der Normalverteilungsfamilie:
Ist X normalverteilt mit Parameter µ = 0 und σ 2 = 1, dann ist
aX + b für a, b ∈ R normalverteilt mit Parameter µ = b und σ 2 = a2 .
Zurückführung allgemeiner Normalverteilungen auf den Fall der
Standardnormalverteilung (Gauß-Verteilung) mit Parameter µ = 0 und
σ 2 = 1, Tabellen/Algorithmen für Standardnormalverteilung damit einsetzbar.
Dichtefunktion der Standardnormalverteilung: ϕ, Verteilungsfunktion: Φ.
Träger aller Normalverteilungen ist T (X ) = R.
Symbolschreibweise für Normalverteilung mit Parameter µ, σ 2 : X ∼ N(µ, σ 2 )
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 25
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Normalverteilung
N(µ, σ 2 )
(x−µ)2
1
1
fX (x) = √
e − 2σ2 = ϕ
σ
2πσ
x −µ
σ
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
Träger: T (X ) = R
Dichtefunktion: fX : R → R;
fX(x)
Parameter:
µ ∈ R, σ 2 > 0
fX
µ = 5, σ2 = 4
0
5
10
x
FX : R → R; FX (x) = Φ
x −µ
σ
FX(x)
Verteilungsfunktion:
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
FX
µ = 5, σ2 = 4
0
5
10
x
Momente: E (X ) = µ
γ(X ) = 0
Ökonometrie (SS 2014)
Var(X )
κ(X )
= σ2
= 3
Folie 26
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Arbeiten mit Normalverteilungen
Problem (nicht nur) bei normalverteilten Zufallsvariablen X ∼ N(µ, σ 2 ):
Verteilungsfunktion FX und Quantilsfunktion FX−1 schlecht handhabbar bzw.
nicht leicht auszuwerten!
Traditionelle Lösung: Tabellierung der entsprechenden Funktionswerte
Lösung nicht mehr zeitgemäß: (kostenlose) PC-Software für alle benötigten
Verteilungsfunktionen verfügbar, zum Beispiel Statistik-Software R
(http://www.r-project.org)
Aber: In Klausur keine PCs verfügbar, daher dort Rückgriff auf (dort zur
Verfügung gestellte) Tabellen.
Wegen der Symmetrie der Standardnormalverteilung um 0 gilt nicht nur
ϕ(x) = ϕ(−x) für alle x ∈ R, sondern auch
Φ(x) = 1 − Φ(−x)
für alle x ∈ R .
Daher werden Tabellen für Φ(x) in der Regel nur für x ∈ R+ erstellt.
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 27
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Ausschnitt aus Tabelle für Φ(x)
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.00
0.5000
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.01
0.5040
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.02
0.5080
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628
0.03
0.5120
0.5517
0.5910
0.6293
0.6664
0.04
0.5160
0.5557
0.5948
0.6331
0.6700
0.05
0.5199
0.5596
0.5987
0.6368
0.6736
0.06
0.5239
0.5636
0.6026
0.6406
0.6772
0.07
0.5279
0.5675
0.6064
0.6443
0.6808
0.08
0.5319
0.5714
0.6103
0.6480
0.6844
0.09
0.5359
0.5753
0.6141
0.6517
0.6879
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.6915
0.7257
0.7580
0.7881
0.8159
0.6950
0.7291
0.7611
0.7910
0.8186
0.6985
0.7324
0.7642
0.7939
0.8212
0.7019
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.7054
0.7389
0.7704
0.7995
0.8264
0.7088
0.7422
0.7734
0.8023
0.8289
0.7123
0.7454
0.7764
0.8051
0.8315
0.7157
0.7486
0.7794
0.8078
0.8340
0.7190
0.7517
0.7823
0.8106
0.8365
0.7224
0.7549
0.7852
0.8133
0.8389
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
0.8413
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.8438
0.8665
0.8869
0.9049
0.9207
0.8461
0.8686
0.8888
0.9066
0.9222
0.8485
0.8708
0.8907
0.9082
0.9236
0.8508
0.8729
0.8925
0.9099
0.9251
0.8531
0.8749
0.8944
0.9115
0.9265
0.8554
0.8770
0.8962
0.9131
0.9279
0.8577
0.8790
0.8980
0.9147
0.9292
0.8599
0.8810
0.8997
0.9162
0.9306
0.8621
0.8830
0.9015
0.9177
0.9319
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.9345
0.9463
0.9564
0.9649
0.9719
0.9357
0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.9370
0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.9382
0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.9394
0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.9406
0.9515
0.9608
0.9686
0.9750
0.9418
0.9525
0.9616
0.9693
0.9756
0.9429
0.9535
0.9625
0.9699
0.9761
0.9441
0.9545
0.9633
0.9706
0.9767
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.9920
0.9783
0.9830
0.9868
0.9898
0.9922
0.9788
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
0.9793
0.9838
0.9875
0.9904
0.9927
0.9798
0.9842
0.9878
0.9906
0.9929
0.9803
0.9846
0.9881
0.9909
0.9931
0.9808
0.9850
0.9884
0.9911
0.9932
0.9812
0.9854
0.9887
0.9913
0.9934
0.9817
0.9857
0.9890
0.9916
0.9936
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 28
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Beispiel: Arbeiten mit Normalverteilungstabelle
0.02
0.04
µ = 100, σ2 = 82
0.00
fN(100, 82)(x)
Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt eine N(100, 82 )-verteilte
Zufallsvariable Werte kleiner als 90 an? (Wie groß ist die schraffierte Fläche?)
70
80
90
100
110
120
130
x
Antwort: Ist X ∼ N(100, 82 ), so gilt:
P{X < 90}
90 − 100
= FN(100,82 ) (90) = Φ
8
= Φ(−1.25) = 1 − Φ(1.25) = 1 − 0.8944 = 0.1056
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist 0.1056 = 10.56%.
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 29
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
0.04
µ = 100, σ2 = 82
0.02
2.5%
0.00
fN(100, 82)(x)
Frage: Welchen Wert x überschreitet eine N(100, 82 )-verteilte Zufallsvariable
nur mit 2.5% Wahrscheinlichkeit? (Welche linke Grenze x führt bei der
schraffierten Fläche zu einem Flächeninhalt von 0.025?)
70
80
90
100
110
<− | −>
?
120
130
Antwort: Ist X ∼ N(100, 82 ), so ist das 97.5%- bzw. 0.975-Quantil von X
gesucht. Mit
x − 100
FX (x) = FN(100,82 ) (x) = Φ
8
und der Abkürzung Np für das p-Quantil der N(0, 1)-Verteilung erhält man
x − 100 !
x − 100
Φ
= 0.975 ⇔
= Φ−1 (0.975) = N0.975 = 1.96
8
8
⇒ x = 8 · 1.96 + 100 = 115.68
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 30
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Beispiel: Arbeiten mit Statistik-Software R
Beantwortung der Fragen (noch) einfacher mit Statistik-Software R:
Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt eine N(100, 82 )-verteilte
Zufallsvariable Werte kleiner als 90 an?
Antwort:
> pnorm(90,mean=100,sd=8)
[1] 0.1056498
Frage: Welchen Wert x überschreitet eine N(100, 82 )-verteilte Zufallsvariable
nur mit 2.5% Wahrscheinlichkeit?
Antwort:
> qnorm(0.975,mean=100,sd=8)
[1] 115.6797
Ökonometrie (SS 2014)
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Folie 31
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Mehrdimensionale Zufallsvariablen/Zufallsvektoren I
Simultane Betrachtung mehrerer (endlich vieler) Zufallsvariablen zur
Untersuchung von Abhängigkeiten möglich (und für die Ökonometrie später
erforderlich!)
Ist n ∈ N die Anzahl der betrachteten Zufallsvariablen, so fasst man die n
Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn auch in einem n-dimensionalen Vektor
X = (X1 , . . . , Xn )0 zusammen und befasst sich dann mit der gemeinsamen
Verteilung von X .
Die meisten bekannten Konzepte eindimensionaler Zufallsvariablen sind leicht
übertragbar, nur technisch etwas anspruchsvoller.
Zwei Spezialfälle: Diskrete Zufallsvektoren und stetige Zufallsvektoren
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 32
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Mehrdimensionale Zufallsvariablen/Zufallsvektoren II
Die gemeinsame Verteilung eines diskreten Zufallsvektors kann durch eine
(mehrdimensionale) gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion pX : Rn → R
mit pX (x) := P{X = x} für x ∈ Rn festgelegt werden.
Wahrscheinlichkeiten P{X ∈ A} dafür, dass X Werte in der Menge A
annimmt, können dann wiederum durch Aufsummieren der
Punktwahrscheinlichkeiten aller Trägerpunkte xi mit xi ∈ A berechnet
werden:
X
P{X ∈ A} =
pX (xi )
xi ∈A∩T (X)
Die gemeinsame Verteilung eines stetigen Zufallsvektors kann durch
Angabe einer gemeinsamen Dichtefunktion fX : Rn → R spezifiziert
werden, mit deren Hilfe sich Wahrscheinlichkeiten von Quadern im Rn (über
Mehrfachintegrale) ausrechnen lassen:
PX (A) =
Z
b1
a1
···
Z
bn
an
fX (t1 , . . . , tn )dtn · · · dt1
für A = (a1 , b1 ] × · · · × (an , bn ] ⊂ Rn mit a1 ≤ b1 , . . . , an ≤ bn
Ökonometrie (SS 2014)
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Folie 33
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Mehrdimensionale Zufallsvariablen/Zufallsvektoren III
Die Verteilungen der einzelnen Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn eines
n-dimensionalen Zufallsvektors nennt man auch Randverteilungen.
Bei diskreten Zufallsvektoren sind auch die einzelnen Zufallsvariablen
X1 , . . . , Xn diskret, die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsfunktionen
pX1 , . . . , pXn nennt man dann auch Randwahrscheinlichkeitsfunktionen.
Bei stetigen Zufallsvektoren sind auch die einzelnen Zufallsvariablen
X1 , . . . , Xn stetig, zugehörige Dichtefunktionen fX1 , . . . , fXn nennt man dann
auch Randdichte(funktione)n.
Randwahrscheinlichkeits- bzw. Randdichtefunktionen können durch
(Mehrfach)summen bzw. (Mehrfach)integrale aus der gemeinsamen
Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktion gewonnen werden (siehe Folien
Wahrscheinlichkeitsrechnung).
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 34
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Unabhängigkeit von Zufallsvariablen, Abhängigkeitmaße I
Diskrete bzw. stetige Zufallsvektoren heißen (stochastisch) unabhängig,
wenn man ihre gemeinsame Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktion als
Produkt der jeweiligen Randwahrscheinlichkeits- bzw. Randdichtefunktionen
pX (x) =
n
Y
i=1
bzw.
fX (x) =
pXi (xi ) = pX1 (x1 ) · . . . · pXn (xn )
n
Y
i=1
fXi (xi ) = fX1 (x1 ) · . . . · fXn (xn )
für alle x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn gewinnen kann.
(Im stetigen Fall: siehe Folien WR für exakte“ bzw. korrekte“ Formulierung!)
”
”
Ökonometrie (SS 2014)
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Folie 35
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Unabhängigkeit von Zufallsvariablen, Abhängigkeitmaße II
Bei fehlender Unabhängigkeit: Betrachtung bedingter Verteilungen und
(paarweise) linearer Abhängigkeiten interessant!
Bedingte Verteilungen:
Was weiß man über die Verteilung einer Zufallsvariablen (konkreter), wenn
man die Realisation (einer oder mehrerer) anderer Zufallsvariablen bereits
kennt?
Lineare Abhängigkeiten:
Treten besonders große Realisation einer Zufallsvariablen häufig im
Zusammenhang mit besondere großen (oder besonders kleinen) Realisationen
einer anderen Zufallsvariablen auf (mit einem entsprechenden Zusammenhang
für besonders kleine Realisationen der ersten Zufallsvariablen);
lässt sich dieser Zusammenhang gut durch eine Gerade beschreiben?
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 36
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Unabhängigkeit von Zufallsvariablen, Abhängigkeitmaße III
Zur einfacheren Darstellung: Bezeichnung X bzw. Y statt Xi und Xj für zwei
Zufallsvariablen (aus einem Zufallsvektor).
Maß für lineare Abhängigkeit zweier Zufallsvariablen X und Y : Kovarianz
!
σXY := Cov(X , Y ) := E [(X − E(X )) · (Y − E(Y ))] = E(X · Y ) − E(X ) · E(Y )
(Zur Berechnung von E(X · Y ) siehe Folien WR!)
Rechenregeln für Kovarianzen (X , Y , Z Zufallsvariablen aus Zufallsvektor,
a, b ∈ R):
1
2
3
4
5
6
Cov(aX , bY ) = ab Cov(X , Y )
Cov(X + a, Y + b) = Cov(X , Y )
(Translationsinvarianz)
Cov(X , Y ) = Cov(Y , X )
(Symmetrie)
Cov(X + Z , Y ) = Cov(X , Y ) + Cov(Z , Y )
Cov(X , X ) = Var(X )
X , Y stochastisch unabhängig ⇒ Cov(X , Y ) = 0
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 37
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Unabhängigkeit von Zufallsvariablen, Abhängigkeitmaße IV
Nachteil“ der Kovarianz:
”
Erreichbare Werte hängen nicht nur von Stärke der linearen Abhängigkeit,
sondern (wie z.B. aus Rechenregel 1 von Folie 37 ersichtlich) auch von der
Streuung von X bzw. Y ab.
Wie in deskriptiver Statistik: Alternatives Abhängigkeitsmaß mit normiertem
Wertebereich“, welches invariant gegenüber Skalierung von X bzw. Y ist.
”
Hierzu Standardisierung der Kovarianz über Division durch
Standardabweichungen von X und Y (falls σX > 0 und σY > 0!).
Man erhält so den Pearsonschen Korrelationskoeffizienten:
ρXY := Korr(X , Y ) :=
Ökonometrie (SS 2014)
Cov(X , Y )
σXY
= p
σX · σY
+ Var(X ) · Var(Y )
Folie 38
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Unabhängigkeit von Zufallsvariablen, Abhängigkeitmaße V
Rechenregeln: Sind X und Y Zufallsvariablen aus einem Zufallsvektor mit
σX > 0, σY > 0 und a, b ∈ R, so gilt:
1
2
3
4
5
6
7
Korr(aX , bY ) =
(
Korr(X , Y )
falls a · b > 0
− Korr(X , Y ) falls a · b < 0
Korr(X + a, Y + b) = Korr(X , Y )
(Translationsinvarianz)
Korr(X , Y ) = Korr(Y , X )
(Symmetrie)
−1 ≤ Korr(X , Y ) ≤ 1
Korr(X , X ) = 1
Korr(X , Y ) =
1
a>0
genau dann, wenn Y = aX + b mit
Korr(X , Y ) = −1
a<0
X , Y stochastisch unabhängig ⇒ Korr(X , Y ) = 0
Zufallsvariablen X , Y mit Cov(X , Y ) = 0 (!) heißen unkorreliert.
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 39
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Beispiel: Zweidimensionale Normalverteilung I
Wichtige mehrdimensionale stetige Verteilung: mehrdimensionale
(multivariate) Normalverteilung
Spezifikation am Beispiel der zweidimensionalen (bivariaten)
Normalverteilung durch Angabe einer Dichtefunktion
fX ,Y (x, y ) =
1√
2πσX σY
1−ρ
e
2
−
1
2(1−ρ2 )
x−µX
σX
2
−2ρ
x−µX
σX
y −µY
σY
y −µY 2
+ σ
Y
abhängig von den Parametern µX , µY ∈ R, σX , σY > 0, ρ ∈ (−1, 1).
Man kann zeigen, dass die Randverteilungen von (X , Y ) dann wieder
(eindimensionale) Normalverteilungen sind, genauer gilt X ∼ N(µX , σX2 ) und
Y ∼ N(µY , σY2 )
Außerdem kann der Zusammenhang Korr(X , Y ) = ρ gezeigt werden.
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 40
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Beispiel: Zweidimensionale Normalverteilung II
Sind fX bzw. fY die wie auf Folie 26 definierten Dichtefunktionen zur
N(µX , σX2 )- bzw. N(µY , σY2 )-Verteilung, so gilt (genau) im Fall ρ = 0
für alle x, y ∈ R ,
fX ,Y (x, y ) = fX (x) · fY (y )
also sind X und Y (genau) für ρ = 0 stochastisch unabhängig.
Auch für ρ 6= 0 sind die bedingten Verteilungen von X |Y = y und Y |X = x
wieder Normalverteilungen, es gilt genauer:
ρσX
X |Y = y ∼ N µX +
(y − µY ), σX2 (1 − ρ2 )
σY
bzw.
Y |X = x
ρσY
N µY +
(x − µX ), σY2 (1 − ρ2 )
σX
∼
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 41
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Beispiel: Zweidimensionale Normalverteilung III
Dichtefunktion der mehrdimensionalen Normalverteilung
0.06
0.04
f(x,y)
0.02
0.00
6
4
6
y
4
2
2
0
0
−2
x
−4
µX = 1, µY = 3, σ2X = 4, σ2Y = 2, ρ = 0.5
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 42
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Beispiel: Zweidimensionale Normalverteilung IV
Isohöhenlinien der mehrdimensionalen Normalverteilungsdichte
6
0.005
0.02
0.03
4
0.04
0.05
y
0.06
2
0.055
0.045
0.035
0.025
0.015
0
0.01
−4
−2
0
2
4
6
x
µX = 1, µY = 3, σ2X = 4, σ2Y = 2, ρ = 0.5
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 43
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Beispiel: Zweidimensionale Normalverteilung V
Dichtefunktion der mehrdimensionalen Normalverteilung
0.15
f(x,y)
0.10
0.05
3
2
1
3
0
y
2
1
−1
0
−1
−2
x
−2
−3 −3
µX = 0, µY = 0, σ2X = 1, σ2Y = 1, ρ = 0
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 44
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Beispiel: Zweidimensionale Normalverteilung VI
3
Isohöhenlinien der mehrdimensionalen Normalverteilungsdichte
2
0.02
0.04
0.06
1
0.08
0.1
0
y
0.14
−3
−2
−1
0.12
−3
−2
−1
0
1
2
3
x
µX = 0, µY = 0, σ2X = 1, σ2Y = 1, ρ = 0
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 45
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Beispiel: Zweidimensionale Normalverteilung VII
Dichtefunktion der mehrdimensionalen Normalverteilung
0.10
f(x,y)
0.05
0.00
16
14
12
16
10
y
14
12
8
8
6
10
x
6
4
4
µX = 10, µY = 10, σ2X = 4, σ2Y = 4, ρ = −0.95
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 46
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Beispiel: Zweidimensionale Normalverteilung VIII
14
16
Isohöhenlinien der mehrdimensionalen Normalverteilungsdichte
0.02
0.03
12
0.05
0.07
0.09
10
y
0.11
0.12
0.1
8
0.08
0.06
6
0.04
4
0.01
4
6
8
10
12
14
16
x
µX = 10, µY = 10, σ2X = 4, σ2Y = 4, ρ = −0.95
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 47
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Momente von Summen von Zufallsvariablen I
Sind X und Y zwei Zufallsvariablen aus einem Zufallsvektor und a, b, c ∈ R,
so gilt:
E(a · X + b · Y + c) = a · E(X ) + b · E(Y ) + c
und
Var(aX + bY + c) = a2 Var(X ) + 2ab Cov(X , Y ) + b2 Var(Y )
Dies kann für mehr als zwei Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn eines Zufallsvektors
weiter verallgemeinert werden!
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 48
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Momente von Summen von Zufallsvariablen II
Für einen n-dimensionalen Zufallsvektor X = (X1 , . . . , Xn )0 heißt der
n-dimensionale Vektor
E(X) := [E(X1 ), . . . , E(Xn )]0
Erwartungswertvektor von X und die n × n-Matrix
0
V(X) := E (X − E(X)) · (X − E(X))


E[(X1 − E(X1 )) · (X1 − E(X1 ))] · · · E[(X1 − E(X1 )) · (Xn − E(Xn ))]


..
..
..
:= 

.
.
.
E[(Xn − E(Xn )) · (X1 − E(X1 ))] · · · E[(Xn − E(Xn )) · (Xn − E(Xn ))]


Var(X1 )
Cov(X1 , X2 )
· · · Cov(X1 , Xn−1 )
Cov(X1 , Xn )
 Cov(X2 , X1 )
Var(X2 )
· · · Cov(X2 , Xn−1 )
Cov(X2 , Xn ) 




.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
= 

.
.
.
.
.


 Cov(Xn−1 , X1 ) Cov(Xn−1 , X2 ) · · ·
Var(Xn−1 )
Cov(Xn−1 , Xn ) 
Cov(Xn , X1 )
Cov(Xn , X2 ) · · · Cov(Xn , Xn−1 )
Var(Xn )
(Varianz-)Kovarianzmatrix von X.
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 49
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Momente von Summen von Zufallsvariablen III
In Verallgemeinerung von Folie 48 erhält man für eine gewichtete Summe
n
X
i=1
n
X
den Erwartungswert E
i=1
die Varianz
Var
n
X
i=1
wi · Xi
!
=
wi · Xi
n X
n
X
i=1 j=1
=
n
X
i=1
0
wi2
!
=
n
X
i=1
wi · E(Xi ) = w0 E(X)
wi · wj · Cov(Xi , Xj )
· Var(Xi ) + 2
= w V(X)w
Ökonometrie (SS 2014)
(w = (w1 , . . . , wn )0 ∈ Rn )
wi · Xi = w1 · X1 + · · · + wn · Xn
n−1 X
n
X
i=1 j=i+1
wi · wj · Cov(Xi , Xj )
Folie 50
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Summen unabhängig identisch verteilter Zufallsvariablen I
Sind für n ∈ N die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn eines n-dimensionalen
Zufallsvektors stochastisch unabhängig (damit unkorreliert!) und identisch
verteilt ( u.i.v.“ oder Pi.i.d.“) mit E(Xi ) ≡ µX und Var(Xi ) ≡ σX2 , dann gilt
”
”n
für die Summe Yn := i=1 Xi also
E(Yn ) = n · µX
Var(Yn ) = n · σX2
sowie
und man erhält durch
Zn :=
Yn − nµX
√
=
σX n
1
n
X
i=1 i − µX √
n
σX
Pn
standardisierte Zufallsvariablen (mit E(Zn ) = 0 und Var(Zn ) = 1).
Zentraler Grenzwertsatz:
Verteilung von Zn konvergiert für n → ∞ gegen eine N(0, 1)-Verteilung
(Standardnormalverteilung).
iid
Gilt sogar Xi ∼ N(µX , σX2 ), so gilt (exakt!) Zn ∼ N(0, 1) für alle n ∈ N.
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 51
2 Wiederholung statistischer Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.2
Summen unabhängig identisch verteilter Zufallsvariablen II
Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes z.B. dadurch, dass man
näherungsweise (auch falls Xi nicht normalverteilt ist) für
hinreichend großes n ∈ N
I
die
N(nµX , nσX2 )-Verteilung
für Yn :=
n
X
Xi oder
i=1
I
Yn − nµX
√
die Standardnormalverteilung für Zn :=
=
σX n
verwendet.
1
n
Pn
Xi − µX √
n
σX
i=1
Leicht zu merken:
Man verwendet näherungsweise die Normalverteilung mit
passendem“ Erwartungswert und passender“ Varianz!
”
”
Ökonometrie (SS 2014)
Folie 52