Poisson-Verteilung
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Poisson-Verteilung Die Normal-Verteilung ist eine kontinuierliche Verteilung Die Binomial-Verteilung ist diskret. Eine weitere diskrete Verteilung ist die Poisson-Verteilung. Die Anwendung der Poisson-Verteilung ist breit gefächert: Anzahl der Telefongespräche, die in einer bestimmten Zeit bei einer Firma eintreffen. Anzahl der Kunden an einem Bankschalter pro Zeiteinheit. Anzahl der Bakterien pro Liter Nährlösung. Anzahl der Verkehrsunfälle pro Zeiteinheit an einer Kreuzung. Anzahl der in einer bestimmten Zeit zerfallenden Atomkerne. 09.01.2002 Vorlesung 7 1 Poisson-Verteilung x ist die Anzahl von Ereignissen in einer bestimmten Zeit oder in einem bestimmten Volumen, wobei ein bestimmter Mittelwert solcher Ereignisse erwartet werden kann. Die Ereignisse müssen zufällig und unabhängig voneinander sein. P(x ) = µ x e− µ x! , wobei x = 0,1, 2, 3,..... Herleitung der Poisson-Verteilung ist auf mehrere Arten möglich: Zunächst Erklärung des einzigen Parameters µ . 09.01.2002 Vorlesung 7 2 Poisson-Verteilung Wie groß ist der Mittelwert (Erwartungswert)? x = ∞ ∑ x P( x ) = x =0 ∞ ∑ x x =0 µx x! e −µ Der erste Term der Summe ist Null. Der Faktor x/x! kann durch 1/(x-1)! ersetzt werden. x = µ e−µ µ x −1 ∞ ∑ (x − 1)! = µ x=1 1 424 3 1+ µ + µ2 2! + µ3 3! + ....= e µ Das heißt der Parameter µ , der die Poisson-Verteilung charakterisiert, ist gleich der mittleren Anzahl der gezählten Ereignisse, die erwartet wird, wenn wir das Zählexperiment viele Male wiederholen. 09.01.2002 Vorlesung 7 3 Poisson-Verteilung Wie groß ist die Standardabweichung ? Zunächst Berechnung der Varianz σ2 = σ 2 = ∞ ∑ (x − µ ) 2 x=0 = ∑ (x ∞ x=0 2 2 x ∑ µ x e− µ x! x=0 µ x e−µ µ x e−µ ∞ −∑ 2 x µ x! 0 1x=4 42443 −2µ 2 x! − 2 xµ + µ ∞ 2 ) µ x e−µ x! ∞ µ x e−µ +∑µ x! x=0 14 42443 +µ 2 09.01.2002 Vorlesung 7 2 4 Poisson-Verteilung σ = 2 ∞ ∑ (x − µ ) 2 µ x e− µ x=0 = ∞ ∑x 2 µ x e−µ x! x=0 x! − µ2 ersetzen von x2 mit (x ( x - 1 ) + x ), führt zu σ2 = ∞ ∑ x=0 = (x (x − 1) + x ) µ x e − µ x! x ( x − 1) µ e ∑ x! x=0 ∞ x −µ + σ − µ2 x −µ xµ e ∑ x! x=0 ∞ 2 = ∞ ∑ x=0 = µ − µ2 2 x ( x − 1) µ x e − µ + µ − µ2 x! ∞ ∑ x=2 µ x−2 e −µ (x − 2 )! + µ − µ2 Ersetzen von x-2 durch ν, summieren von ν=0 ergibt für die Summe den Wert eins und damit wird: σ µ2 = µ2 + µ − µ2 = µ σµ = 09.01.2002 Vorlesung 7 µ 5 Poisson-Verteilung σµ = µ Die Standardabweichung ist somit gleich der Wurzel aus dem Mittelwert. Der Fehler des Mittelwertes ist gegeben durch: σµ = wobei n die Anzahl der Messungen ist, σµ n die wir verwendet haben um den Mittelwert zu bestimmen. Der relative Fehler der Poisson-Verteilung ist somit: 09.01.2002 Vorlesung 7 σµ = nµ µ = nµ 1 nµ 6 Die Poisson-Verteilung Beispiel: An einer Kreuzung finden pro Woche zwei Verkehrsunfälle statt. Die Häufigkeit der Verkehrsunfälle wird durch eine Poissonverteilung mit µ = 2 beschrieben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Woche kein Unfall stattfindet ? P(x ) = µ x e−µ x! 2 0 e −2 P(0 ) = = e −2 = 0.135335 0! 09.01.2002 Vorlesung 7 7 Die Poisson-Verteilung Beispiel: An einer Kreuzung finden pro Woche zwei Verkehrsunfälle statt. Die Häufigkeit der Verkehrsunfälle wird durch eine Poissonverteilung mit µ = 2 beschrieben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als vier Verkehrsunfälle in zwei Wochen stattfinden ? P(≤ 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0.4335 P (0 ) = P (1) = P (2 ) = P (3) = 09.01.2002 40 e −4 0! 41e −4 1! 42 e −4 2! 43 e − 4 3! = 0.018316 = 0.073264 Ähnliche Fragen sind z. B. wie viele Kinder werden pro Tag in einem Krankenhaus geboren ? (Jahreszeitliche Schwankungen) !!. Liegt tatsächlich eine Poissonverteilung vor ? = 0.146528 = 0.195367 Qualitativer graphischer Vergleich Quantitativ mittels χ2-Test Vorlesung 7 8 Poissonverteilung Übungsaufgabe zur Poissonverteilung: Wir zählen die Anzahl von Ereignissen pro Zeiteinheit ∆t. Wir führen eine Messung n = 84 mal durch Wir erhalten als Mittelwert 2.119 Die Standardabweichung ist 1.456 Der Fehler des Mittelwertes ist 0.16 µ = 2.12 ± 0.16 09.01.2002 Vorlesung 7 9 Poissonverteilung Annahme wir wären zu faul gewesen und hätten bei der gleichen Messung die Apparatur 84 ∆t laufen lassen Wir hätten nur eine Messung durchgeführt. Der Mittelwert wäre 178 Ereignisse. Die Standardabweichung 13.34. Der Standardfehler somit 13. Das Endergebnis: µ = 178 ± 13 µ = 2.12 ± 0.16 09.01.2002 Vorlesung 7 10 Poisson-Verteilung Zusammenhang zur Binomial-Verteilung n n−m Bi (m ) = p m (1 − p ) m Zusammenhang der Verteilungen PoissonVerteilung Bernoulli- Verteilung diskret Parameter: n=1, p Binomial-Verteilung diskret Parameter: n, p n ! ∞ p ! 0 diskret Parameter µ = σ2 "Grenzfall seltener Ereignisse" Anwendung auf radioaktiven Zerfall P(x) Bi (x) In einer radioaktiven Probe seien sehr viele (n) Teilchen vorhanden, die mit einer äußerst geringen Wahrscheinlichkeit p zerfallen, (z.B. unter Aussendung eines - Quants). Wir registrieren die Anzahl der emittierten - Quanten in einem bestimmten Zeitintervall t. Wir messen sehr viele Zeitintervalle i und erhalten Anzahlen von Ereignissen m. Der Erwartungswert (Mittelwert) ist = n p. Grenzübergang zu n ! 09.01.2002 Vorlesung 7 ∞ 11 Poisson-Verteilung Zusammenhang zur Binomial-Verteilung n m n−m Bi(m ) = p (1 − p ) m n µ = m n m µ 1 − n n! = (n − m)!m! n−m m µ µ n−m 1 − n n n(n − 1)(n − 2).......(n − m + 1) µ m µ = 1− nm m! n µm µ = 1− m! n µm −µ = e m! 09.01.2002 n n−m −m µ 1 2 m −1 1− 1 − 1 − ......1 − n n n n für n → ∞ Vorlesung 7 12 Normal-Verteilung Zusammenhang zur Binomial-Verteilung Wir machen eine Messung Bernoulli- Verteilung diskret Parameter: n=1, p Binomial-Verteilung Die Messwerte xm setzen sich aus einer großen Zahl diskret Parameter: n, p von kleinen Elementarfehlern β zusammen, Bi (x) die um den wahren Wert (Mittelwert) µ verteilt sind. Gauss-Verteilung n ! ∞ p ! const. Die Elementarfehler treten n mal auf, Normal-Verteilung kontinuierlich Parameter: µ, σ m mal positiv und n-m mal negativ. G (x) Der Fehler fm setzt sich somit zusammen aus (p = 1/2): fm = m β - (n-m) β = 2 m β – n β [m = n/2 + fm/ 2 β] 09.01.2002 Vorlesung 7 13 Normal-Verteilung Zusammenhang zur Binomial-Verteilung Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Fehler m mal positiv und n-m mal negativ auftritt wird durch die Binomial-Verteilung gegeben: n 1 n n! n−m Pm = p m (1 − p ) = n = m!(n − m )!2n m 2 m Die Verteilung ist treppenförmig Lassen wir β immer kleiner werden und n immer größer, dann wird die Anzahl der Stufen immer größer, die Kurve immer "glatter". Versuch, eine Funktion zu finden, die den Verlauf beschreibt. 09.01.2002 Vorlesung 7 14 Normal-Verteilung Zusammenhang zur Binomial-Verteilung Pm − Pm +1 ∆P = ∆f f m − f m +1 n 1 Pm = n m 2 Pm+1 = n−m Pm m +1 sowie und n 1 n Pm+1 = m + 1 2 f m − f m+1 = − 2 β ∆P n − 2m − 1 Pm = ⋅ ∆f m + 1 2β Die Rechnung soll durchgeführt werden für Fehler, die klein sind gegen den maximalen Fehler, also fm << n β und m >> 1. [m = n/2 + fm/ 2 β] 09.01.2002 Vorlesung 7 15 Normal-Verteilung Zusammenhang zur Binomial-Verteilung ∆P n − 2m − 1 Pm = ⋅ ∆f m + 1 2β [m = n/2 + fm / 2 β] n - 2 m – 1 ≈ n - 2 m = - fm/ β und der Nenner m + 1 ≈ m = n/2 + fm/2 β ≈ n/2 Pm f m Pf dP ∆P ≈ − = − 2 = 2 nβ nβ df ∆f dP Pf = − 2 df σ dP 1 = − 2 ⋅ f ⋅ df P σ P = d ⋅e 09.01.2002 Abkürzung : n β 2 = σ2 x2 − 2σ 2 Vorlesung 7 lnP = − d = 1 2σ 2 x 2 + const 1 2π σ 2 16 Biomialverteilung Zusammenhang zur Normal-Verteilung Zusammenhang der Verteilungen PoissonVerteilung Bernoulli- Verteilung diskret Parameter: n=1, p Binomial-Verteilung n ! ∞ p ! 0 diskret Parameter µ = σ2 diskret Parameter: n, p P(x) Bi (x) Gauss-Verteilung n ! ∞ p ! const. Normal-Verteilung µ ! ∞ kontinuierlich Parameter: µ, σ µ = np G (x) 09.01.2002 09.01.2002 Vorlesung 5 Vorlesung 7 44 17 Poissonverteilung Zusammenhang zur Normal-Verteilung PoissonVerteilung diskret Parameter µ = σ2 P(x) Gauss-Verteilung Normal-Verteilung µ ! ∞ kontinuierlich Parameter: µ, σ µ = np G (x) 14.12.2001 09.01.2002 Vorlesung 7 Vorlesung 5 44 18 Zusammenhang der Verteilungen Ist die Population endlich ? JA NEIN Ist n groß ? JA NEIN Ist n p > 9 ? JA Hypergeometrisch 09.01.2002 NEIN Gauß Poisson Vorlesung 7 Binomial 19 Anwendung der Binomialverteilung bei der Qualitätssicherung Urnenmodell mit Zurücklegen Wir haben die Aufgabe eine Lieferung zu testen. Die Lieferung besteht aus N Teilen von denen M fehlerhaft sind. Die Wahrscheinlichkeit bei einmaligem Ziehen ein fehlerhaftes Teil zu ziehen ist: p = M/N (Fehlerquote) Wir testen insgesamt n Teile und fragen, wie wahrscheinlich ist es, dass die n Teile keinen Fehler aufweisen? 09.01.2002 Vorlesung 7 20 Anwendung der Binomialverteilung bei der Qualitätssicherung Wir testen insgesamt n Teile und fragen, wie wahrscheinlich ist es, dass die n Teile keinen Fehler aufweisen? n m n −m W (m )= p (1 − p ) m Binomialverteilung m = 0 (Kein fehlerhaftes Teil) 1,0 Teile.5 Wahrscheinlichkeit für Null fehlerhafte Teile n n! = = 1, wenn m = 0 (n − m )!m! m W (m ) = (1 − p ) n 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 Beispiel n = 5 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Fehlerquote 09.01.2002 Vorlesung 7 21 Anwendung der Binomialverteilung bei der Qualitätssicherung Erhöhung der Teilchenzahl n führt zu sicherer Entscheidung 1,0 1,0 Wahrscheinlichkeit für Null fehlerhafte Teile Wahrscheinlichkeit für Null fehlerhafte Teile Teile.5 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 Teile.5 Teile.10 Teile.50 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,0 0,5 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Fehlerquote Fehlerquote Kostenfaktor? 09.01.2002 Vorlesung 7 22
