Prüfungsfragen 1. Welche Note streben Sie an? 2. Haben Sie einen

Prüfungsfragen
1. Welche Note streben Sie an?
2. Haben Sie einen Teilbereich besonders gut bearbeitet?
3. Gegeben sei ein Vektorraum V über einem Körper K. Wie ist die lineare Hülle von einer
endlichen Anzahl von Vektoren aus V definiert?
Antwort: Die lineare Hülle einer endlichen Anzahl von Vektoren
→ →
→
→
v1 , v2n, . . . , vn , vi ∈ V, i ∈o{1, 2, . . . , n}, in einem Vektorraum V ist definiert als die Menge
Pn
→
→
L=
i=1 λi vi |λi ∈ K aller Linearkombinationen dieser Vektoren vi mit Koeffizienten
λi ∈ K, i ∈ {1, 2, . . . , n}.
Die lineare Hülle bildet einen (linearen) Unterraum, der durch diese Vektoren aufgespannt
wird. Bei dieser Definition ist es nicht erforderlich, dass die Vektoren linear unabhängig
sind.
4. Gegeben sei ein Vektorraum V über einem Körper K. Was bedeutet es, wenn eine endliche
Anzahl von Vektoren aus V linear unabhängig ist?
→ →
→
Antwort: Die lineare Unabhängigkeit einer endlichen Menge von Vektoren v1 , v2 , . . . , vn
→
, vi ∈ V, i ∈ {1, 2, . . . , n}, in einem Vektorraum V liegt vor, wenn folgendes gilt:
Aus der Darstellung des Nullvektors als Linearkombination der vorliegenden Vektoren
→
→ →
λ1 v1 +... + λn vn = 0 mit Koeffizienten λi aus dem Körper K folgt notwendig, dass diese
Koeffizienten λi , i ∈ {1, 2, . . . , n}, sämtlich Null sind.
Linear unabhängige Vektoren spannen dann einen linearen Unterraum U des Vektorraums
V auf. Sie bilden in U eine Basis.
5. Kann eine lineare Abbildung von einem Vektorraum V in einen Vektorraum W den Nullvektor auf einen Einheitsvektor abbilden?
Antwort: Wir wählen für die lineare Abbildung die Bezeichnung f und verwenden für
→
→
den Nullvektor die Darstellung 0· v für einen beliebigen Vektor v ∈ V . Dann läßt sich
→
→
→
das Bild des Nullvektors f ( 0 ) aufgrund der Linearität schreiben als f ( 0 ) = f (0· v ) =
→
→
0 · f(v ) =0,
Also lautet die Antwort nein, der Nullvektor wird immer auf den Nullvektor abgebildet.
6. Kann man eine lineare Abbildung von einem Vektorraum V endlicher Dimension in einen
Vektorraum W endlicher Dimension immer durch eine Matrix beschreiben?
Antwort: Ja, die Begründung folgt. Da der Vektorraum V endliche Dimension n besitzt,
können wir eine Basis {v1 , . . . , vn } mit vi ∈ V wählen. Jeder beliebige Vektor v in V
besitzt dann eine eindeutige Darstellung in der Form
v = λ 1 v1 + . . . + λ n vn .
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Ebenso kann man eine Basis {w1 , . . . , wm } mit wj ∈ W wählen. Jeder beliebige Vektor
w in W besitzt dann eine eindeutige Darstellung in der Form
w = µ1 w1 + . . . + µm wm .
Wir bezeichnen mit w das Bild eines beliebigen Vektors v ∈ V unter der linearen Abbildung f : V → W. Wegen der Darstellung der Vektoren v und w bezüglich ihrer jeweiligen
Basen und aufgrund der Linearität der Abbildung f stellen wir fest, daß allein die Bilder
der Basisvektoren f (vi ) die Abbildung f kennzeichnen, denn
n
n
X
X
f (v) = f (
λi vi ) =
λi f (vi ).
i=1
i=1
Wir können die Basis von W einsetzen und erhalten
P für jedes Bild f (vi ) eines Basisvektors vi ∈ V zugehörige Koeffizienten αj,i f (vi ) = m
j=1 αj,i wj . Durch diese Koeffizienten
αj,i , i ∈ {1, . . . , n}, j ∈ {1, . . . , m} wird eine Matrix A definiert. Dies ist die die lineare Abbildung f beschreibende Matrix A, wenn wir f durch die Gleichung w = Av beschreiben.
Die Bilder der Basisvektoren von V stehen in A als Spalten. Genauer: wir finden dort
die Koeffizienten dieser Bildvektoren bezüglich der Basis {w1 , . . . , wm }. Solange wir es
nur mit jeweils einer Basis in V bzw. in W zu tun haben, muß bei der Matrix A der
Hinweis auf die beteiligten Basen nicht explizit angeschrieben werden. Das ändert sich
aber gerade bei Basistransformationen.
7. Ist eine lineare Abbildung f eines Vektorraums V endlicher Dimension in einen Vektorraum
W endlicher Dimension durch die Bilder der Einheitsvektoren einer kanonischen Basis in
V eindeutig festgelegt?
Antwort: Ja, vgl. die Ausführungen bei der vorherigen Antwort.
8. Welche Hüllenbildungen von endlichen Mengen von Vektoren in einem Vektorraum über
dem Körper der reellen Zahlen haben Sie kennengelernt?
Antwort: Es sind folgende Hüllenbildungen bekannt:
P
• lineare Hülle der Vektoren v1 , v2 , . . . , vk ist die Menge der Vektoren ki=1 λi vi wobei
die λi beliebige reelle Zahlen sind.
• Bei der positiven Hülle sind die obigen Koeffizienten λi alle nicht negativ.
• Bei der affinen Hülle wird verlangt, dass die Summe der obigen Koeffizienten λi
gleich 1 ist.
• Bei der konvexen Hülle erhält man eine Teilmenge der affinen Hülle, da die beteiligten
Koeffizienten in der Summe 1 ergeben müssen und ausserdem nicht negativ sein
dürfen.
Es ist gut, von allen Hüllen eine anschauliche geometrische Vorstellung zu haben. Im
ersten Fall bestimmen wir den kleinsten Teilraum, der alle vorgegebenen Vektoren enthält.
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Im zweiten Fall bilden wir nur einen (konvexen) Kegel, der durch die Vektoren aufgespannt
wird. Im dritten Fall bestimmen wir den kleinsten affinen Teilraum, der alle durch die
Vektoren gegebenen Punkte enthält. Der letzte Fall ist dann die kleinste konvexe Menge,
die alle diese Punkte enthält.
9. Bildet die Gesamtheit der Lösungen {x|Ax = 0} eines linearen homogenen Gleichungssystems Ax = 0 einen Vektorraum?
Antwort: Ja, das war ein wichtiges Argument, überhaupt Vektorräume zu studieren.
Mit jeder Lösung x, d.h. Ax = 0, ist das skalare Vielfache λx wieder eine Lösung, denn
A(λx) = λ(Ax) = λ0 = 0 und die Summe x + y zweier Lösungen x und y, d.h. Ax = 0
und Ay = 0, ist wieder eine Lösung, denn A(x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0. Alle Axiome
eines Vektorraumes sind für die Menge {x|Ax = 0} erfüllt.
10. Bildet die Gesamtheit der Lösungen {x|Ax = b} eines allgemeinen linearen Gleichungssystems Ax = b ebenfalls eine Menge, die wir mit einem Namen ansprechen können?
Antwort: Ja, wir haben in dem Fall einen affinen Teilraum als Lösungsgesamtheit. Die
Dimension dieses Teilraums ist definiert als die Dimension des zugehörigen Vektorraums
des zugehörigen homogenen Gleichungssystems. Wir sprechen auch von einem inhomogenen Gleichungssystem wenn es sich bei b nicht um den Nullvektor handelt.
11. Kann man aus allen Lösungen des homogenen Gleichungssystems Ax = 0 und einer
speziellen Lösung xp des inhomogenen Gleichungssystems Axp = b alle Lösungen des
inhomogenen Gleichungssystems Az = b erhalten?
Antwort: Ja, eine beliebige Lösung z der inhomogenen Gleichung Az = b kann man als
z = xp + x schreiben, wobei x eine beliebige Lösung des homogenen Gleichungssystems
ist. A(xp + x) = Axp + Ax = b + 0 = b. Angenommen, es gäbe eine Lösung Aw = b, die
wir so nicht gefunden haben, dann gilt Aw − Axp = b − b = 0 und damit ist A(w − xp ) = 0
oder es gibt ein x mit Ax = 0, so dass w − xp = x gilt oder w = xp + x. Mit anderen
Worten: diese weitere Lösung war schon in der Lösungsgesamtheit enthalten.
12. Kann man die Gesamtheit der Lösungen eines linearen inhomogenen Gleichungssystems
auch als Schnitt von Hyperebenen deuten?
Antwort: Ja, die Lösung einer einzelnen skalaren Gleichung des Gleichungssystems
Az = b definiert i.a. eine Hyperebene. Den Schnitt dieser Hyperebenen zu bilden, heißt
alle diese Gleichungen gleichzeitig zu erfüllen. Wenn in einer Zeile der linken Seite der
Gleichung alle Koeffizienten Null sind, dann liegt keine Hyperebene vor. Entweder haben
wir dann schon einen Widerspruch oder diese Gleichung ist überflüssig.
13. Kann man Vektorräume auch über endlichen Körpern betrachten?
Antwort: Ja, ich kann einen Vektorraum auch über einem endlichen Körper betrachten.
14. Gibt es einen Körper mit nur 3 Elementen?
Antwort: Ja, es gibt einen Körper mit 3 Elementen und zwar den sogenannten F3 =
{0, 1, 2}. Um mit ihm arbeiten zu können, benötigen wir eine Multiplikation und eine
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Addition:
· 0 1
0 0 0
1 0 1
2 0 2
2
0
2
1
+
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
15. Gibt es einen Körper mit nur 2 Elementen?
Antwort: Ja, es gibt einen Körper mit 2 Elementen und zwar den sogenannten F2 =
{0, 1}. Um mit ihm arbeiten zu können benötigen wir wieder eine Multiplikations- und
eine Additionstabelle:
· 0 1
+ 0 1
0 0 0
0 0 1
1 0 1
1 1 0
16. Kann man bei Polynomen 3. Grades mit reellen Koeffizienten sicher sein, dass sie eine
reelle Nullstelle haben? Begründen Sie.
Antwort: Mit jeder Nullstelle x0 des Polynoms p(x) ist auch die konjugiert komplexe
Zahl x0 Nullstelle dieses Polynoms. Damit treten alle Nullstellen paarweise auf. Die
Anzahl aller Nullstellen von p(x) ist gleich dem Grad des Polynoms, also 3. Übergang
zum konjugiert komplexen führt also in mindestens einem Fall nicht zu einer neuen Zahl.
Aus a + ib = x0 = x0 = a − ib folgt b = 0.
17. Wo wurde z.B. der Hauptsatz der Algebra wesentlich in der Linearen Algebra eingesetzt?
Antwort: Bei der Bestimmung der Eigenwerte einer quadratischen Matrix.
Der Hauptsatz der Linearen Algebra lautet: Ein Polynom n-ten Grades besitzt bei
richtiger Zählung der mehrfachen Nullstellen genau n Nullstellen.
18. Warum betrachtet man ein charakteristisches Polynom zu einer Matrix? Können Sie den
Sachverhalt kurz beschreiben?
Antwort: Der Sachverhalt: Wir betrachten die Gleichung
Ax = λx.
Wir suchen gleichzeitig vom Nullvektor verschiedene Vektoren x (die Eigenvektoren) und
Zahlen λ (die Eigenwerte), so dass die gegebene Gleichung erfüllt ist.
Wir erhalten durch äquivalente Umformung die Gleichungen
Ax − λx = 0
(A − λE)x = 0.
Die letzte Gleichung besagt, wir suchen Zahlen λ und vom Nullvektor verschiedene Vektoren x aus dem Kern kern(A − λE). Das homogene Gleichungssystem darf also nicht
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maximalen Rang haben. Die Determinante der Koeffizientenmatrix muss Null sein. Das
führt auf das charakteristische Polynom. Die Eigenwerte erhält man dann als Nullstellen
dieses Polynoms.
19. Für eine lineare Abbildung f : V → W , die durch eine quadratische Matrix A beschrieben
wird, kann man Eigenschaften ermitteln, die davon abhängen, ob die Determinante detA
von A von Null verschieden ist oder nicht. Wann ist die Abbildung f bijektiv?
Antwort: Ist die Determinante ungleich 0, so ist die Abbildung bijektiv, denn im Kern
von f liegt nur der Nullvektor. Aus dem Dimensionssatz (V endlich dimensional)
dim(Bildf ) + dim(Kernf ) = dimV
folgt dann wegen dim(Kernf ) = 0 die Gleichheit dim(Bildf ) = dimV .
Ist die Determinante gleich 0, so ist die Abbildung nicht bijektiv, denn dim(Kern f) ¿ 0
und damit folgt wieder aus dem Dimensionssatz dim(Bildf ) < dimV .
20. Was versteht man unter einem Eigenraum einer Matrix zu vorgegebenem Eigenwert?
Antwort: Der Eigenraum ist definiert als die Menge aller Eigenvektoren zu einem bestimmten Eigenwert λ: ER(λ) = {x|Ax = λx, x 6= 0}.
21. Kennt man für die Menge der x, fuer die Ax = 0 ist, noch eine andere Bezeichnung?
Antwort: Ja, Kern der Matrix A, oder Menge der homogenen Lösungen des Gleichungssystems Ax=b.
22. Bildet der Kern der linearen Abbildung f, die durch eine Matrix A beschrieben wird, einen
Vektorraum?
Antwort: Ja, zu zeigen mit den Vektorraumaxiomen:
v, v 0 ∈ kern(A)
Abgeschlossenheit der Addition:
Av + Av 0 = 0 7→ A(v + v 0 ) = 0, daraus folgt, dass v + v 0 ∈ kern(A).
Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation:
A(rv) = r · Av = r · 0 = 0, also rv ∈ kern(A)
Enthalten der 0:
A · 0 = 0, also 0 ∈ kern(A).
23. Bildet das Bild, Bild(A), einer zu einer Matrix A gehörigen linearen Abbildung f : V → W
einen Vektorraum?
Antwort: Ja, ebenfalls zu zeigen mit den Vektorraumaxiomen:
v, v 0 ∈ V und w, w0 ∈ Bild(A)
Abgeschlossenheit der Addition:
w + w0 = Av + Av 0 = A(v + v 0 ) ∈ Bild(A). Abgeschlossenheit bzgl. Skalarmultiplikation:
r · w = r · Av = A(rv) ∈ Bild(A). Enthalten der 0:
0 ∈ Bild(A), denn A0 = 0.
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24. Kann man bei einer linearen Abbildung f : V → W Bild(f) und Kern(f) addieren? Was
ergibt sich dann?
Antwort: Für Bild(f) und Kern(f) ist i.A. keine Addition erklärt. Im Fall V=W kann
man die Summe der Vektorräume bilden. Kern(f ) + Bild(f ) = {z|z = x + y, x ∈
Kern(f ), y ∈ Bild(f )}.
25. Welche Bedeutung haben Bild und Kern einer linearen Abbildung im Zusammenhang mit
einem linearen Gleichungssystem?
Antwort: Der Kern der linearen Abbildung liefert die Gesamtheit der homogenen Lösungen
des Gleichungssystems. Wenn die rechte Seite b des Gleichungssystems Ax = b im Bild der
zu A gehörigen linearen Abbildung ist, dann besitzt das Gleichungssystem eine Lösung.
Mit jeder Lösung xhom des homogenen Gleichungssystems Ax = 0 und einer Loesung xpart
des inhomogenen Gleichungssystems Ax = b erhalten wir mit xhom + xpart eine Lösung
von Ax = b.
xhom
Axhom = 0
xpart
Axpart = b
A(xhom + xpart ) = 0 + b = b
26. Liefert jeder Körper auch ein Beispiel für einen Ring?
Kennen Sie einen Ring mit Nullteilern?
Antwort: Ja, jeder Körper ist auch ein Ring, aber nicht jeder Ring ist ein Körper. Ein
Ring mit Nullteiler z. B. ist kein Körper.
Als Beispiel für einen Ring mit Nullteiler nehmen wir den Restklassenring. Er entsteht
durch das Faktorisieren des Körpers Z mit nZ, geschrieben als Z/nZ mit n ∈ Z ohne
prim. Z ist die Menge der ganzen Zahlen, nZ ist die Menge der ganzen Zahlen, wobei
jedes einzelne Element mit n multipliziert wird. Damit ist nZ eine Untergruppe von Z.
k + (nZ) mit k ∈ Z ist die Menge nZ, wobei auf jedes einzelne Element k addiert wird
und wird als Linksnebenklasse bezeichnet. Durch das Kommutativgesetz der Addition
sind die Links- und die Rechtsnebenklassen identisch. Damit ist nZ ein Normalteiler von
Z.
Die Menge der Nebenklassen k := k+(nZ) besitzt genau n Elemente und zwar {0, 1, ..., n − 1}.
Wir definieren eine Addition
i ⊕ j := (i + j) + (nZ) = i + j,
damit ist Z/nZ eine Gruppe mit Verknüpfung und neutralem Element 0. Zusammen mit
einer weitern Verknüpfung ist es sogar ein Ring, genannt Restklassenring.
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Die Multiplikation definieren wir wie folgt:
i ¯ j := (i · j) + (nZ) = i · j
da wir aber nur n Elemente haben und n keine Primzahl ist, kann die Multiplikation
zweier n als Ergebnis das Nullelement ergeben, nämlich genau dann, wenn das Produkt
zweier n ein Vielfaches von n ergibt.
Damit hat der Ring einen Nullteiler und ist somit kein Körper.
27. Gibt es eine bis auf die Einheiten eindeutige Primfaktorzerlegung im Ring der Polynome
über den reellen Zahlen?
Antwort: Ja, da jede reelle Zahl durch Primfaktoren darstellbar ist.
28. Welche Bedeutung hat der Euklidische Algorithmus?
Antwort: Der Euklidische Algorithmus funktioniert wie folgt:
wobei a = dem grösseren Wert und r0 = dem kleineren und damit der erste Divisor. q1
und r1 müssen ergänzt werden.
a = q1 · r0 + r1
r 0 = q2 · r 1 + r 2
r 1 = q3 · r 2 + r 3
..
.
rn−1 = qn+1 · rn + 0
Der Divisor rn der letzten Division, d.h. der Division, deren Rest gleich 0 ist, ist der
grösste gemeinsame Teiler.
Ein Beispiel für den Euklidischen Algorithmus für ggT (34, 14):
34 = 2 · 14 + 6
14 = 2 · 6 + 2
6=3·2+0
Der grösste gemeinsame Teiler ist 2.
29. Wie kann man den Lotfusspunkt eines Punktes P im Rn auf eine Hyperebene H ermitteln?
Antwort: Es kann mit einem Normalenvektor der Ebene eine Gerade durch den Punkt
P erstellt werden, diese geschnitten mit der Ebene ergibt einen Schnittpunkt, der dem
Lotfusspunkt des Punktes P entspricht.
Alternativ kann mit der Hesse’schen Normalform der Ebene der Abstand der Hyperebene
H
E Ursprung berechnet
D→ →Ewerden
D→vom
→
n, x = d und mit n, p = d0 der Abstand vom Punkt P zur Hyperebene H. Der
→
→
→
Lotfusspunkt von P , bezeichnet mit P0 , ist dann p0 = p −(d0 − d) n und d ist wie folgt zu
bestimmen:
E
E D→ →E D→
D→ →
→
→
→
d = n, p −(d0 − d) n = n, p − n, (d0 − d) n = d0 − (d0 − d)1 und p0 der gesuchte
Lotfusspunkt.
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30. Wenn ein Polyeder P im Rn als Schnitt einer endlichen Anzahl von Halbräumen Hi
gegeben ist und Ihnen wird ein Punkt p gegeben. Wie entscheiden Sie, ob p zu P gehört?
Antwort: Es muss getestet werden, ob p in allen Hi liegt und damit dann auch im
Schnitt der Hi .
31. Geben Sie eine Gruppe mit 14 Elementen an.
Antwort: Hier könnte gerade die Gruppe Z/14Z als Beispiel aus Aufgaben 1 dienen.
32. Wenn eine Gruppe nur vier Elemente besitzt, ist sie dann bis auf Isomorphie eindeutig
bestimmt?
Antwort: Nein, ist sie nicht. Das kann am Beispiel von Drehungen und Spiegelungen
eines Vierecks mit den Punkten 1, 2, 3 und 4 erklärt werden. Bei Drehung um 1 permutieren die Punkte 1 2 3 4 zu 2 3 4 1 usw. bis nach 4 Drehungen jeder Punkt wieder auf
sich selbst abgebildet wird und dabei jeder andere Punkt einmal angenommen wurde.
Bei Spiegelung an einer Achse, die die Strecken von 1 4 und 2 3 mittig teilt, permutieren
die Punkte 1 2 3 4 zu 4 3 2 1. Bei einer weiteren Spiegelung werden die Punkte wieder
auf sich selbst abgebildet, ohne jedoch 2 der Punkte der Menge angenommen zu haben.
Sowohl Spiegelung als auch Drehung bilden eine Gruppe, sind aber nicht isomorph zueinander, da sie andere Gruppenstrukturen besitzen.
33. Welche Symmetriegruppe hat ein reguläres Tetraeder?
Antwort: Alle Permutationen der Ecken, die ich durch Drehung oder Spiegelung erreichen kann.
34. Wie lautet die Cramersche Regel?
Antwort: Mit der Cramerschen Regel kann die Variable eines Gleichunssystemes bestimmt werden. Hier ein Beispiel für ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten:
a11 x1 + a12 x2 = b1
a21 x1 + a22 x2 = b2
x1 = D1 /D
µ und x2 =¶D2 /D
µ
¶
µ
¶
a11 a12
b1 a12
a11 b1
D := det
und D1 := det
und D2 := det
a21 a22
b2 a22
a21 b2
35. Welche Axiome muss man überprüfen, um zu zeigen, dass eine Teilmenge eines Vektorraumes wieder einen Vektorraum bildet?
Antwort: Es muss gezeigt werden, dass die Teilmenge den Nullvektor enthält, ausserdem
die Abgeschlossenheit der Addition und der Multiplikation, d.h. zu zeigen ist, dass die
Summe und das Produkt zweier Vektoren aus der Teilmenge in der Teilmenge liegen.
36. Geben Sie im R4 zwei 2-dimensionale Teilräume an, die nicht zueinander senkrecht sind,
und die als einzigen Schnittpunkt den Nullpunkt enthalten.
Antwort: Der erste Teilraum T1 und der zweite Teilraum T2 sind als Gleichungssystem
darstellbar:
8
½
T1 :=
½
T2 :=
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = 0
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + a24 x4 = 0
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + a34 x4 = 0
a41 x1 + a42 x2 + a43 x3 + a44 x4 = 0
¾
¾
Als Bedingung gilt, dass die zugehörige Koeffizientenmatrix vollen Rang hat, d.h. die
Determinante muss ungleich 0 sein, nur dann können zwei Teilräume auch zweidimensional sein, weiter gilt, dass das Skalarprodukt mindestens zweier Normalenvektoren der
beiden Hyperebenen, nicht 0 ergeben darf, damit gewährleistet ist, dass die Teilräume
nicht aufeinander senkrecht stehen
37. Geben Sie 8 Halbräume an, die einen 4-dimensionalen Einheitswürfel begrenzen.
Antwort: Die Halbräume sind wie folgt zu definieren:
→
Hi+ := { x= (x1 , x2 , x3 , x4 )|xi ≤ 0}
mit i = 1, . . . , 4 und
→
Hi− := { x= (x1 , x2 , x3 , x4 )|xi ≥ 1}
mit i = 1, . . . , 4
38. Was versteht man unter Eulerschen Winkeln?
Antwort: Die Eulerschen Drehwinkel beschreiben die Überführung eines Koordinatensystems in ein anderes durch Drehung um die verschiedenen Achsen eines Körpers. Dabei
wird nacheinander um jede Achse einmal gedreht.
39. Die Äquivalenzklassenbildung wurde häufig eingesetzt. Geben Sie Beispiele dazu an.
Antwort: Ein Beispiel für Äquivalenzklassen sind die Brüche. Wir können alle Vielfachen
eines Bruchs in einer Äquivalenzklasse zusammenfassen. Einer davon genügt als Repärsentant
um damit rechnen zu können. Es könnte anstatt des Repräsentanten jeder beliebige andere Bruch der gleichen Äquivalenzklasse eingesetzt werden, um zu dem gleichen Ergebnis
zu gelangen.
Ein anderes Beispiel sind die Wochenentage. Hier können z. B. alle Montage in einer
Klassen zusammengefasst werden.
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