Analysis : Wiederholung

Analysis : Wiederholung
1. Fehlerrechnung mit totalem Differential
Gegeben seien die Funktion
x · tan α
tan α + tan β
o
o
sowie die Werte x0 = 20 , α0 = 60 und β0 = 15 . x , α und β seien mit den Messungenauigkeiten
dx = ±1 , dα = ±10 und dβ = ±10 behaftet. Berechnen Sie
z = f (x, α, β) =
(a) eine Schätzung z0 von z ,
(b) die partiellen Ableitungen zx , zα und zβ von z bei (x0 , α0 , β0 ) ,
(c) den maximalen absoluten Fehler sowie den relativen Fehler.
2. Differentialgleichung
Gegeben sei die DGL y ′ = −2xy 2 . Ermitteln Sie
(a) die allgemeine Lösung y der DGL,
(b) die Lösung y der DGL mit y =
1
2
bei x0 = −1 ,
(c) eine RUNGE-KUTTA-Näherung y1 für den Wert y bei x = 0 . Verwenden Sie dabei den Startwert
x0 = −1 und die Schrittweite h = 1 .
(d) Zeichnen Sie das Richtungsfeld mittels Isoklinen für (c = 2, c = 1, c = 0, c = −1, c = −2)
3. Differentialgleichung
Gegeben sei die DGL 2x2 y ′ − 4xy − 3x2 = y 2 . Ermitteln Sie die Lösung mittels Substitution.
4. Ebene Kurve
Durch die Gleichung
φ
und 0 ≤ φ ≤ 2π
2
ist eine ebene Kurve (Kardioide) C in Polarkoordinatendarstellung gegeben. Ermitteln Sie die Länge
L von C im Intervall [0, π] und den Inhalt A der von C umschlossenen Fläche im Intervall [0, 2π].
C : r = 1 + cos φ = 2 cos2
5. Ebene Kurve
Gegeben sei die geschlossene Kurve
C : x = t2 − 1 und y = t · (t2 − 1)
mit t ∈ [−1, 1]
Skizzieren Sie C und ermitteln Sie den Inhalt A der von C umschlossenen Fläche.
6. Fourier-Reihe
Gegeben sei die gerade 2π-perodische Funktion f (x) = π2 e−x für 0 < x < π .
(a) Skizzieren Sie y = f (x) für x ∈ (−π, 3π) .
(b) Ermitteln Sie die Fourier-Koeffizienten a0 , an und bn .
(c) Wie lautet das Fourier-Polynom F2 (x) ?
7. Funktion von zwei Variablen
Gegeben sei die Funktion: f (x, y) = x2 + y 2 . Prfen Sie, ob im Inneren des Dreiecks ein Extremwert
vorliegt. Berechnen Sie das Maximum und Minimum der Funktion auf dem Rand des Dreiecks A(1,1),
B(5,1) und C(5,3).
8. Komplexe Zahlen
o
Gegeben seien die komplexen Zahlen z1 = 2 + 5j, z2 = −1 + 3j und z3 = 5ej30 . Berechnen Sie
z1 · z3
z=
z3 + z12
1
Lösung : Wiederholung
1. Fehlerrechnung mit totalem Differential
Gegeben seien die Funktion
z = f (x, α, β) =
x · tan α
tan α + tan β
sowie die Werte x0 = 20 , α0 = 60o und β0 = 15o . x , α und β seien mit den Messungenauigkeiten
dx = ±1 , dα = ±10 und dβ = ±10 behaftet.
(a) z0 = 17.32050808
2
2
α·(1+tan β)
x·(1+tan α)·tan β
α
, zβ = − x·tan
(b) zx = tan tan
α+tan β , zα = (tan α+tan β)2
(tan α+tan β)2
zx (x0 , α0 , β0 ) = 0.8660254040, zα (x0 , α0 , β0 ) = 5.35898384, zβ (x0 , α0 , β0 ) = −9.282032308
(c) Maximaler absoluter Fehler: 1.121559342
Relativer Fehler: 6.475325882%
2. Differentialgleichung
Gegeben sei die DGL y ′ = −2xy 2 .
1
x2 +K
ys = x21+1 ,
(a) y =
(b)
ys (0) = 1
(c) k1 = 0.500000, k2 = 0.562500, k3 = 0.610352, k4 = 0.000000
y1 = 0.974284
(d)
3. Differentialgleichung
Gegeben sei die DGL 2x2 y ′ − 4xy − 3x2 = y 2 . Ermitteln Sie die Lösung mittels Substitution.
√
√
y = x · −1 + 2 tan 22 ln(x) + K
4. Ebene Kurve
Durch die Gleichung
φ
und 0 ≤ φ ≤ 2π
2
ist eine ebene Kurve (Kardioide) C in Polarkoordinatendarstellung gegeben.
Länge L von C im Intervall [0, π]: s = 4.
Inhalt A der von C umschlossenen Fläche im Intervall [0, 2π] : A = 23 π.
C : r = 1 + cos φ = 2 cos2
2
5. Ebene Kurve
Gegeben sei die geschlossene Kurve
C : x = t2 − 1 und y = t · (t2 − 1)
mit t ∈ [−1, 1]
0,3
0,2
0,1
K
1,0
K
0,8
K
0,6
K
0,4
K
0,2
K
K
K
0
0,1
0,2
0,3
8
Fläche: A= 15
6. Fourier-Reihe
Gegeben sei die gerade 2π-perodische Funktion f (x) = π2 e−x für 0 < x < π .
(a)
e−π +1 , n ungerade: a = e−π +1
(b) bn = 0,a0 = 0.9567860818 , n gerade: an = −1+n
n
2
1+n2
−π
−π
−π
(c) F2 (x) = −e 2 +1 + e 2+1 cos x + −e 5 +1 cos(2x) = 0.4784 + 0.5216 cos x + 0.1914 cos(2x)
7. Funktion von zwei Variablen
Gegeben sei die Funktion: f (x, y) = x2 + y 2 .
Extremwert ist bei E(0/0/0). Er befindet sich nicht im Inneren des Intervalls.
Maximum auf dem Rand: oberhalb von Punkt C, Max(5/3/34)
Minimum auf dem Rand: oberhalb von Punkt A, Min(1/1/2)
8. Komplexe Zahlen
o
Gegeben seien die komplexen Zahlen z1 = 2 + 5j, z2 = −1 + 3j und z3 = 5ej30 . Berechnen Sie
z=
z1 · z3
= 1.864556674 + 5.330480695j
z3 + z12
3