Wochenaufgaben: Blatt 3 - Lösung 1. Faktorisieren (Ausklammern

Wochenaufgaben: Blatt 3 - Lösung
1. Faktorisieren (Ausklammern) Sie so weit wie möglich. (5 Punkte)
a) 3x + 9y + 210xy = 3 · (x + y + 70xy)
b) 8ab + 2b2 − 12b = 2b · (4a + b − 6)
c) p2 q 2 − 2pq 2 − 18p2 q = pq · (pq − 2q − 18p)
d) (x − 1) · z + y · (x − 1) = (x − 1) · (z + y)
e) sin(α) · x + 3y · sin(α) = sin(α) · (x + 3y)
2. Lösen Sie die folgenden Bruchgleichungen.(9 Punkte)
8
=2
x
|Kehrbruch
x
1
=
8
2
|·8
x=4
15
1
=
4
x+1
|Kehrbruch
4
=x+1
15
|−1
x=−
11
15
2
10
=
x−1
2x + 2
|Kehrbruch
x−1
2x + 2
=
2
10
1
1
1
1
x− = x−
2
2
5
5
x=
7
3
1
1
|− x+
5
2
x2
4
1
=
+2
x
|Kehrbruch
x2 + 2
=x
4
1 2
1
x −x+ =0
4
2
x2 − 4x + 2 = 0
√
√
x=2+ 2 ∨ x=2− 2
|:
1
4
|p-q-Formel
3. Bestimme den Winkel α. Runde auf eine Stelle hinter dem Komma.(4 Punkte)
α = 45, 6◦
α = 23, 6◦
α = 27, 1◦
sin(α) = −1, 5 ist nicht definiert, da sin(α) ∈ [−1; 1]
4. Gib für die nachfolgenden Winkel jeweils Sinus, Cosinus und Tangens als Seitenverhältnisse
an.(6 Punkte)
5. Skizziere jeweils das zugehörige rechtwinklige Dreieck, für das die Verhältnisgleichung gilt.(4
Punkte)
6. Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit α = 90°. Ergänze die Tabelle. Tipp: Fertigen
Sie eine Planskizze des Dreiecks an. (5 Punkte)
AC = 2, 8 cm , BC = 11, 1 cm , b = 8, 48 cm , a = 10, 44 cm , AC = 15 cm
7. Bestimmen Sie den Flächeninhalt und den Umfang des Trapezes. (6 Punkte)
Nenne die Teilstücke der oberen Seite x (links der 4 cm) und y, die schrägen Seiten a und
b. Da die Teildreiecke mit den gegebenen Winkel jeweils rechtwinklig sind, gilt
tan(45◦ ) =
y
3 cm
y = tan(45◦ ) · 3 cm = 3 cm
und
tan(30◦ ) =
x
3 cm
x = tan(30◦ ) · 3 cm = 1, 7 cm
und
cos(30◦ ) =
a=
3 cm
a
3 cm
= 3, 5 cm
cos(30◦ )
und
cos(30◦ ) =
b=
Damit folgt U = 20, 4 cm , A =
3 cm
b
3 cm
= 4, 2 cm
cos(45◦ )
(4 + 1, 7 + 3, 5) cm + 4 cm
· 3 cm = 19, 8 cm2
2
8. Berechnen Sie die gekennzeichneten Winkel. (9 Punkte)
Hinweis: Die Umkehrfunktion des Tangens (tan) ist der Arcustangens (arctan). Dieser ist
auch dem Taschenrechner oft mit tan−1 abgekürzt.
Es gilt
tan(α) =
|AB|
|AD|
µ
α = arctan
|AB|
|AD|
¶
= 63, 4◦
und
|BD|2 = |AB|2 + |AD|2
|BD| = 6, 7 cm .
Da der Körper ein Quader ist, ist |AE| = |DH|, und damit
tan(β) =
|HD|
|BD|
µ
β = arctan
|DH|
|BD|
¶
= 16, 6◦ .
Da das Dreieck ∆BM F gleichschenklig ist, gilt
δ = 180◦ − 2 · (90◦ − β) = 33, 2◦ .
Die Flächendiagonale |AC| hat die Länge
|AC|2 = |AB|2 + |BC|2
|AC| = 8, 6 cm .
Damit ist |AM | = 4, 3 cm und im Dreieck ∆ASM gilt
tan(α) =
h
|AM |
µ
α = arctan
h
|AM |
¶
= 61, 7◦ .
Weiter gilt im Dreieck ∆EM S
h
0, 5 · |AB|
µ
¶
h
β = arctan
= 66, 4◦ .
0, 5 · |AB|
tan(β) =
Mit dem Satz von Pythagoras folgt die Seitenlänge |BS| = 9, 1 cm und somit
0, 5 · |BC|
|BS|
µ
¶
0, 5 · |BC|
γ = arccos
= 74, 0◦ .
|BS|
cos(γ) =