Primzahlen und Damen

Weihnachtsvorlesung 2003
Primzahlen und Damen
Zwei Ausflüge in die Wunderwelt der Mathematik.
Die Inhalte der heutigen Vorlesung werden nicht
Gegenstand von Prüfungen und Leistungskontrollen sein.
Dennoch mag es sein, dass diejenigen Studenten, die
heute dabei sind, davon profitieren.
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Zahlentheorie, die Königin
Als Königsdisziplin der Mathematik bezeichnet man
gelegentlich die Zahlentheorie.
Gemeint ist die Theorie der ganzen Zahlen.
Besonders geheimnisvoll und schwierig ist die Lehre von
den Primzahlen.
In den letzten Jahrzehnten hat sich gezeigt, dass die
Zahlentheorie wichtige praktische Anwendungen z.B. für
die Kryptologie liefert.
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Gausssche ganze Zahlen
Wir haben die komplexen Zahlen kennen gelernt als
Von besonderen Interesse sind natürlich die komplexen
Zahlen mit ganzzahligem Real- und Imaginärteil, also
Zu Ehren von C.F.Gauss nennt man diese Zahlen die
Gaussschen ganzen Zahlen.
Mathematik I für Informatiker – Weihnachtsvorlesung – p.3/27
Gausssche Primzahlen
Wenn man sich die komplexen Zahlen durch die
Anschauungsebene veranschaulicht, dann entsprechen die
Gaussschen ganzen Zahlen gerade den Gitterpunkten des
karierten Papiers.
Man kann nun eine komplexe Zahlentheorie anfangen.
Naheliegend ist die Frage nach komplexen Primzahlen.
Eine Gausssche ganze Zahl ist eine (Gausssche)
Primzahl, wenn sie nicht als ein Produkt anderer
Gaussscher ganzer Zahlen (Teiler sind nur
geschrieben werden kann.
)
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Kleine Gausssche Primzahlen
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Eine kleine Überraschung
Man erwartet vielleicht naiv, dass der Begriff der
Gaussschen Primzahl den der gewöhnlichen Primzahl
verallgemeinert.
Aber Vorsicht:
Die Zahl 5 ist keine Gausssche Primzahl!
Mathematik I für Informatiker – Weihnachtsvorlesung – p.6/27
Reelle komplexe Primzahlen
Es stellt sich sogleich die Frage: Welche gewöhnlichen
Primzahlen sind auch komplex prim?
Die Antwort ist einfach: Wenn eine gewöhnliche Primzahl
Summe zweier Quadrate ist, wenn also
dann ist sie keine komplexe Primzahl, denn dann gilt
Umgekehrt gilt: Jede gewöhnliche Primzahl, die nicht
Summe zweier Quadrate (reeller ganzer Zahlen) ist, ist
auch eine Gausssche Primzahl.
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?
Welche (gewöhnlichen) Primzahlen sind Summe zweier
Quadrate?
und hat man also immer
Für ganz Zahlen
Rechnet man modulo 4, so bekommt man ein erstes
Ergebnis: Beim Quadrieren modulo 4 findet man
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Ein Teilergebnis
,
,
,
sind niemals
(Prim-) Zahlen der Form
Summe zweier Quadrate.
.
Wir wissen nun
,. . .
Ob es eine ganze Zahl
Gausssche Primzahl ist, bleibt unklar.
sind auch
Primzahlen der Form
Gausssche Primzahlen.
ist keine komplexe Primzahl.
Die Zahl
Das bedeutet:
gibt, die eine
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Ein Forschungsproblem
Welche Primzahlen
zweier Quadrate.
Die Frage, welche gewöhnlichen Primzahlen auch komplex
Primzahlen sind, haben wir bis auf ein Problemchen lösen
können. Die offene Teilfrage lautet:
sind Summe
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Das Achtköniginnenproblem
In der Zeitschrift der Berliner Schachgesellschaft erschien
1848 das Problem, auf welche Weisen es möglich sei,
„acht Schachfiguren, von denen jede den Rang
einer Königin hat, auf dem Brett so aufzustellen,
dass keine von einer anderen geschlagen werden
kann.
Das Problem machte bald als das
Achtköniginnenproblem
Furore. Die vollständige Reihe aller
92 Lösungen ist seit 1850 bekannt.
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Das -Damen-Problem
Die naheliegende Verallgemeinerung, nämlich Damen auf
-Brett entsprechend zu postieren, ist für kleine
einem
heute eine beliebte Programmierübung.
ist seit 1904 bekannt.
Die Anzahl der Lösungen bis
.
Heute kennt man die Anzahlen bis
Eine allgemeine Formel für die Anzahl der Lösungen kennt
man nicht.
Man vermutet, dass es eine Konstante (ungefähr 2.54)
gibt mit
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Türme,
Läufer
Eine Lösung des -Damen-Problems ist offenbar
gleichzeitig eine Lösung des -Türme–Problems und des
-Läufer-Problems, denn die Dame hat ja die
Zugmöglichkeiten des Läufers und des Turms.
Eine Lösung des -Türme-Problems ist genau dann
gegeben, wenn sich in jeder Zeile und in jeder Spalte des
Schachbretts genau ein Turm aufhält.
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Türme
Wir bezeichnen die Spalten des (verallgemeinerten)
, und
Schachbretts von links nach rechts mit
die Zeilen von unten nach oben ebenso.
für die Zeile, in der sich der Turm aus
Wir schreiben
Spalte aufhält.
Eine Lösung des -Türme-Problems ist genau dann
gegeben, wenn die Abbildung
eine Permutation ist.
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Läufer
und
.
und
Umformuliert:
Damit eine Lösung des -Türme-Problems auch eine
Lösung des -Läufer-Problems ist, muss für alle
gelten
.
Die Lösungen des -Damen-Problems entsprechen also
genau den Permutationen , welche diese Bedingungen
erfüllen.
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Hinreichende Bedingung
und
Wir verschärfen diese Bedingungen etwas, um sie leichter
handhaben zu können. Wir finden dann vielleicht nicht alle
Lösungen, aber hoffentlich noch einige.
.
,
und
Anders formuliert: Die Abbildungen
sollen allesamt Permutationen sein.
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Ein Konstruktionsversuch
Wir probieren, ob wir mit dem Ansatz
Lösungen finden.
Hilfssatz 1 Die Abbildung
zu
teilerfremd ist.
ist genau dann bijektiv, wenn
erhalten wir also eine Lösung des
Für ggT
-Türme–Problems.
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Lösungen für das Damenproblem
,
und
Wann liefert der Lösungsansatz auch eine Lösung des
-Damen-Problems? Die hinreichenden Bedingungen sind,
dass die drei Abbildungen
Permutationen sein müssen.
Hilfssatz 2 Der Ansatz
führt auf eine Lösung des -Damen–Problems, wenn die
, und
alle teilerfremd zu sind.
Zahlen
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Das Ergebnis
Satz 1 Mit Hilfe des Ansatzes
erhalten wir Lösungen des -Damen–Problems für alle ,
die weder durch zwei noch durch drei teilbar sind, also für
Wir nennen die so gefundenen Lösungen regulär.
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Die Anzahl der regulären Lösungen
der regulären Lösungen des
prim, ist
.
führt zum Erfolg
außer
Beweis
Der Ansatz
für alle und für alle
Satz 2 Die Anzahl
-Damen–Problems,
Es ist nicht ganz einfach, für vorgegebenes die Anzahl
der regulären Lösungen zu bestimmen. Leicht ist es für
Primzahlen:
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Symmetrische Lösungen
Die Anzahl der regulären Lösungen ist von der Form
Dabei ist
die Anzahl der Lösungen ohne Symmetrie,
die Anzahl der Lösungen, die eine
-Drehsymmetrie,
-Drehsymmetrie aufweisen und
die Anzahl
aber keine
der Lösungen, die
-drehsymmetrisch ( doppelt
symmetrisch) sind.
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Es gibt doppelt symmetrische Lösungen
:
Wir haben für Primzahlen
falls
falls
,
.
Dabei gilt
ist, dann
Satz 3 Wenn eine Primzahl
gibt es eine doppelt symmetrische Lösung des
-Damen–Problems.
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13 Damen, doppelt symmetrisch
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13 Quadrate der Seitenlänge
Spielfeld.
13 Damen
überdecken das
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Überdeckung mit Quadraten
Wenn es eine doppelt symmetrische Lösung des
-Damen–Problems gibt, dann kann das Spielfeld mit
Quadraten der Seitenlänge
überdeckt werden.
Jedes dieser Quadrate hat den Flächeninhalt .
ist
Es ist dann
. Die Zahl
dann also die Summe zweier Quadrate.
Wenn
eine Primzahl ist, dann gibt es
eine doppelt symmetrische Lösung des
-Damen–Problems.
Also:
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Ein Lemma von Fermat
Lemma 1 Eine Primzahl ist genau dann die Summe zweier
Quadrate ganzer Zahlen, wenn sie nicht
ist.
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Die Antwort!
Satz 4 Eine gewöhnliche Primzahl ist genau dann eine
ist.
Gaussche Primzahl, wenn sie
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