Distributionen und Lokalkonvexe Räume von Richard Lechner

Distributionen und Lokalkonvexe Räume
Richard Lechner
Stefan Kindslehner
Alexander Niederklapfer
Institut für Analysis
Johannes Kepler Universität Linz
Altenbergerstraße 69
A-4040 Linz
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 1. Einleitung
5
Der Satz von Hahn-Banach – Version der linearen Algebra
1. Der Satz von Hahn-Banach – Fortsetzungsversion
2. Topologische Grundlagen
7
9
10
Kapitel 2. Lokalkonvexe Räume
1. Zusätzliche Notation
2. Definition lokalkonvexer Räume
3. Stetige Funktionale und der Satz von Hahn–Banach
13
13
13
16
Kapitel 3. Distributionen
1. Funktionenräume
2. Differentiation von Distributionen
3. Fouriertransformation von Distributionen
21
21
26
27
Kapitel 4. Schwache Topologien
1. Definition schwacher Topologien
2. Bipolarensatz
3. Der Satz von Banach–Alaoglu–Bourbaki
31
31
32
34
Literaturverzeichnis
35
3
KAPITEL 1
Einleitung
5
Der Satz von Hahn-Banach – Version der linearen
Algebra
Definition 1.1. Sei X ein Vektorraum. Eine Abbildung p : X → R heißt sublinear
falls
(a) p(λ x) = λ p(x),
λ ≥ 0, x ∈ X,
(b) p(x + y) ≤ p(x) + p(y),
x, y ∈ X
Satz 1.2. Sei X ein Vektorraum, und sei U ein Untervektorraum von X. Weiters
seien p : X → R sublinear und ℓ : U → R linear sodaß
ℓ(u) ≤ p(u),
u ∈ U.
Dann existiert eine lineare Fortsetzung L : X → R, L|U = ℓ mit
L(x) ≤ p(x),
x ∈ X.
Beweis vom Satz von Hahn-Banach. Schritt 1
Wir betrachten zunächst den Fall, dass U Kodimension 1 in X hat, also
dim X/U = 1
mit L|U = l
und
L(x) ≤ p(x)
(∀x ∈ X),
(1.1)
wobei X/U = {x + U : x ∈ X}.
Sei also x0 ∈ X/U . Damit gilt x = u + λx0 (∀x ∈ X∃!u ∈ U, λ ∈ R), x ist also
eindeutig in dieser Form darstellbar. Wir definieren
∀r ∈ R : Lr (x) := l(u) + λr.
Mit dem Vorhergegangenen folgt aus x ∈ U sofort λ = 0. Lr ist für jedes r linear
und stimmt mit l auf U überein.
Wir wollen zeigen, dass:
Lr (x) ≤ p(x)
(∀x ∈ X).
(1.2)
Wegen x = u + λx0 ist das äquivalent zu
l(u) + λr ≤ p(u + λx0 )
(∀u ∈ U, λ ∈ R).
Für den Fall λ = 0 ist nichts zu zeigen.
Sei λ > 0. Dann ist die obige Aussage äquivalent zu
λr ≤ p(u + λx0 ) − l(u) (∀u ∈ U )
u
u
⇔ r ≤ p( + x0 ) − l( ) (∀u ∈ U ).
λ
λ
In der letzten Zeile wurde Linearität bzw. Subliniearität mit λ > 0 ausgenutzt. Mit
der Setzung v := uλ und unter Ausnutzung des Allquantors folgt:
⇔
r ≤ inf p(v + x0 ) − l(v).
v∈U
Für λ < 0 gilt hingegen
λr ≤ p(u + λx0 ) − l(u) (∀u ∈ U )
7
8
DER SATZ VON HAHN-BANACH – VERSION DER LINEAREN ALGEBRA
u
u
− x0 ) − l(
)
−λ
−λ
⇔
−r ≤ p(
⇔
r ≥ sup l(w) − p(w − x0 )
(∀u ∈ U )
(w :=
w∈U
u
).
−λ
Also ist obige Aussage äquivalent zu
∃r ∈ R :
sup l(u) − p(u − x0 ) ≤ r ≤ inf p(u + x0 ) − l(u)
v∈U
w∈U
⇔
sup l(u) − p(u − x0 ) ≤ inf p(u + x0 ) − l(u)
v∈U
w∈U
⇔
∀v, w ∈ U :
l(u) − p(u − x0 ) ≤ p(u + x0 ) − l(u)
⇔ ∀v, w ∈ U : l(w) + l(u) ≤ p(v + x0 ) + p(w − x0 ).
(1.3)
Da v + w ∈ U , ist l(v + w) ≤ p(v + w) = p(v + x0 + w − x0 ) ≤ p(v + x0 ) + p(w − x0 ),
was die zu zeigende Aussage impliziert. Somit haben wir für den Fall, dass U Kodimension 1 in X hat, den Satz von Hahn-Banach bewiesen.
Schritt 2
Um den Satz von Hahn-Banach für allgemeinere U zu zeigen, benötigen wir das
zum Auswahlaxiom äquivalente(!)
Lemma von Zorn. Sei (A, ≤) eine partiell geordnete nichtleere Menge, in der jede
Kette (= eine total geordnete Teilmenge von A) eine obere Schranke besitzt. Dann
liegt jedes Element von A unter einem maximalen Element m von A, sodass:
m≤a
⇒
m=a
(∀a ∈ A)
Wir definieren


V ist Unterraum von X und U ⊂ V 

Lv : V → R linear
A := (V, LV ) :
,


LV ≤ p|V und LV |U = l (∀x ∈ V )
und die Ordnung „≤“ durch
(V1 , LV1 ) ≤ (V2 , LV2 ) :⇔ V1 ⊂ V2 und LV2 |V1 = LV1 .
Diese Ordnung ist reflexiv, transitiv und antisymmetrisch und damit partiell, allerdings nicht total, da es nicht miteinander vergleichbare Elemente gibt. Um das
Lemma von Zorn anwenden zu können, müssen wir zeigen, dass jede Kette bezüglich dieser Ordnung eine obere Schranke besitzt.
Sei {(Vi , LVi )}i∈I ⊂ A total geordnet. Wir zeigen:
[
(V, LV ), wobei V :=
Vi und LV (x) := LVi (x) (∀x ∈ Vi ).
i∈I
ist eine obere Schranke für diese Kette.
LV ist wegen der Totalität von „≤“ wohldefiniert, es gilt klarerweise
∀i ∈ I :
(Vi , LVi ) ≤ (V, LV ).
Somit sind alle Voraussetzungen vom Lemma vom Zorn erfüllt. (A 6= ∅ weil (U, l) ∈
A).
⇒
∃m = (X0 , LX0 ) ∈ A, das maximal ist:
d.h. ∀(V, LV ) ∈ A : (V, LV ) ≥ (X0 , LX0 )
⇒ (V, LV ) = (X0 , LX0 ).
1. DER SATZ VON HAHN-BANACH – FORTSETZUNGSVERSION
9
Angenommen, X0 6= X. Dann gibt es W sodass
X0 ( W ⊂ X und X0 hat Kodimension 1 in W.
Damit ist aber Schritt 1 anwendbar und wir bekommen ein Paar (W, LW ) ∈ A, das
eine echte Majorante von (X0 , LX0 ) ist. Widerspruch.
Somit X0 = X und somit ist
L := LX0
die gesuchte Erweiterung von l auf ganz X.
1. Der Satz von Hahn-Banach – Fortsetzungsversion
Behauptung 1.3. Sei Y ein normierter Vektorraum, dann ist
Y ∗ = y ∗ : Y → R / y ∗ ist linear und stetig
ausgestattet mit der Norm
∗
y ∗ = sup y ∗ (y)
Y
kykY ≤1
ein Banachraum, das heißt ein vollständiger normierter Vektorraum.
Satz 1.4. Sei X ein Vektorraum, und sei U ein Untervektorraum von X. Zu jedem
linearen stetigen Funktional u∗ : U → R existiert ein lineares stetiges Funktional
x∗ : X → R mit
∗
x ∗ = u∗ ∗ .
x∗ |U = u∗
und
X
U
Beweis. Wir definieren
p(x) := u∗ U ∗ xX
(∀x ∈ X).
Außerdem gilt unter Ausnützung der Submultiplikativität
∗
u∗ (x) ≤ |u∗ (x)| ≤ u∗ x = sup
|u (x)| x .
x=1
Damit ist p sublinear und die Vorraussetzungen für den Satz von Hahn-Banach
sind erfüllt:
⇒
∃x∗ : X → R linear mit x∗ |U = U ∗ und x∗ (x) ≤ p(x)
(∀x ∈ X)
Damit folgt
−x∗ (x) = x∗ (−x) ≤ p(−x).
Aufgrund der speziellen Wahl von p ist aber p(−x) = p(x) und damit
|x∗ (x)| ≤ p(x) = u∗ U ∗ xX (∀x ∈ X).
Mit der Definition von x∗ ist das unter Ausnutzung des Allquantors äquivalent
zu
∗ ∗
x ≤ u ∗ .
U
Aufgrund von x∗ |U = u∗ folgt die umgekehrte Ungleichung.
∗
x ∗ ≥ u∗ ∗
X
und damit
∗
x X∗
U
= u∗ U ∗ .
Korollar 1.5. In jedem normiertern Vektorraum X existiert zu jedem x ∈ X,
x 6= 0 ein x∗ ∈ X ∗ sodaß
∗
x ∗ = 1
und
x∗ (x) = xX .
X
10
DER SATZ VON HAHN-BANACH – VERSION DER LINEAREN ALGEBRA
Beweis. Wir definieren uns ein lineares Funktional u∗ von der linearen Hülle
von einem beliebigen, aber fixen x ∈ X, x 6= 0 nach R durch
λx → λx.
Da die lineare Hülle von x (=: U ) offensichtlich endlich dimensional ist, ist u∗ stetig.
u∗ hat auf dem Unterraum genau die gewünschten Eigenschaften. Wir verwenden
jetzt den Satz von Hahn-Banach (Fortsetzungsversion), um u∗ von dem eindimensionalen Unterraum U auf den gesamten Raum normerhaltend zu erweitern:
⇒
Damit gilt:
Für λ = 1 folgt
∃x∗ : X → R
x∗ |U = u∗ und
linear, stetig mit:
∗ ∗
x = u .
λx∗ (x) = x∗ (λx) = u∗ (λx) = λx
x∗ (x) = x.
∗ ∗
x = u = sup |u∗ (y)| = sup |u∗ (λx)| =
y∈BU
λx∈BU
∗
= sup
|u (λx)| = sup
|λ| x = 1.
|λ| x ≤1
|λ| x ≤1
Korollar 1.6. In jedem normiertern Vektorraum X gilt
x = sup |x∗ (x)|.
X
kx∗ kX ∗ ≤1
Beweis. Für x = 0 ist nichts zu zeigen. Sei daher x 6= 0. Aus dem vorigen
Korollar folgt:
∃x∗ ∈ X ∗ : x∗ = 1 und x∗ (x) = x.
Also ist
x ≤
und damit gilt
sup
x∗ ∈X ∗ , x∗ X∗
|x∗ (x)| ≤
=1
x =
sup
x∗ ∈X ∗ , x∗ X∗
x∗ ∈X ∗ ,
sup
x∗ X∗
=1
∗ x x = x,
|x∗ (x)|.
=1
2. Topologische Grundlagen
Definition 1.7. Eine Topologie T auf einer Menge T ist ein System von Teilmengen
von T mit den folgenden Eigenschaften:
(a) ∅ ∈ T, T ∈ T,
(b) ist U, V ∈ T, dann auch U ∩ V ∈ T
S
(c) Sei I eine beliebige Indexmenge und Oi ∈ T, i ∈ I, dann ist i∈I Oi ∈ T.
Das Paar (T, T) heißt topologischer Raum, und jede Menge O ∈ T heißt offen. Eine
Menge A ⊂ T heißt abgeschlossen genau dann wenn T \ A offen ist.
Aus der obigen Definition folgt unmittelbar
Behauptung 1.8.
(a) ∅ und T sind abgeschlossen,
(b) die Vereinigung zweier abgeschlossener Menge ist abgeschlossen,
(c) der Durschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
2. TOPOLOGISCHE GRUNDLAGEN
11
Definition 1.9. Eine Menge U heißt Umgebung von einem Punkt t ∈ T , falls eine
offene Menge O existiert sodaß
t ∈ O ⊂ U.
Ein System von Mengen U heißt Umgebungsbasis des Punktes t ∈ T , falls für jede
Umgebung V von t ein U ∈ U existiert sodaß
t ∈ U ⊂ V.
Definition 1.10. Eine Menge I mit der Ordnungsrelation ≤ heißt gerichtete Menge, falls
(a) i ≤ i, für alle i ∈ I,
(b) i ≤ j und j ≤ k impliziert i ≤ k,
(c) für alle i1 , i2 ∈ I existiert ein j ∈ I sodaß i1 ≤ j und i2 ≤ j.
Definition 1.11. Ein Netz in einer Menge T ist eine Abbildung von einer gerichteten Menge I nach T . Wir schreiben dafür (ti )i∈I oder (ti ).
Ein Netz (ti )i∈I in T konvergiert gegen t ∈ T falls für jede Umgebung U von t ein
Index j ∈ I existiert sodaß für alle Indizes i ≥ j
ti ∈ U.
Wir schreiben dafür ti → t.
Definition 1.12. Seien (T1 , T1 ) und (T2 , T2 ) topologische Räume, und sei f :
T1 −→ T2 . Die Abbildung f heißt stetig in t0 , falls für jede Umgebung V von f (t0 )
gilt daß f −1 (V ) eine Umgebung von t0 ist.
Satz 1.13. Seien (T1 , T1 ) und (T2 , T2 ) topologische Räume, und sei f : T1 −→ T2 .
Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) f ist überall (in jedem Punkt) stetig,
(ii) für alle O ∈ T2 gilt f −1 (O) ∈ T2 ,
(iii) für alle abgeschlossenen A ⊂ T2 gilt f −1 (A) ist abgeschlossen in T1 .
Satz 1.14. Sei f : T1 −→ T2 eine Abbildung zwischen topologischen Räumen, dann
sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) f ist stetig in t0 ∈ T1 ,
(ii) für jedes Netz (ti ) für welches ti → t0 , folgt f (ti ) → f (t0 ).
Definition 1.15. Seien (T1 , T1 ) und (T2 , T2 ) topologische Räume, so ist die Produkttopologie auf T1 × T2 gegeben durch:
(a) O ⊂ X × Y heißt offen genau dann wenn für jedes x ∈ O ein U1 ∈ T1 und ein
U2 ∈ T2 existieren sodaß
x ∈ U1 × U2 ⊂ O.
(b) Die Produkttopologie auf T1 × T2 ist die Kollektion aller offener Mengen auf
T1 × T2 .
Die Produkttopologie ist damit die gröbste („kleinste“) Topologie auf X × Y , so
dass alle U × V, (U ∈ T1 , V ∈ T2 ) offen sind.
Definition 1.16. Sei T ein topologischer Raum. Dann heißt K ⊂ T kompakt
genau
S
dann wenn für jedes System von offenen Mengen {Oi }i∈I für das K ⊂ i∈I Oi gilt
Sn
es existieren endlich viele Indizes i1 , . . . , in sodaß K ⊂ k=1 Oik .
Satz 1.17. Sei T ein topologischer Raum dann ist K ⊂ T kompakt genau dann
wenn jedes Netz (ti )i∈I in K ein konvergentes Teilnetz besitzt.
12
DER SATZ VON HAHN-BANACH – VERSION DER LINEAREN ALGEBRA
Definition 1.18. Sei I eine Indexmenge und für jedes i ∈ I sein Ti ein topologischer
Raum. Dann ist
Y
[ Ti = f : I →
Ti f (i) ∈ Ti für alle i ∈ I .
i∈I
i∈I
Q
Eine Menge O ⊂ i∈I Ti heißt offen in der Produkttopologie wenn für alle t ∈ O
Mengen Oi1 . . . , Oin existieren für die Oik offen in Tik ist, 1 ≤ k ≤ n, sodaß
Y
t∈ s∈
Ti : s(ik ) ∈ Oik für alle 1 ≤ k ≤ n ⊂ O.
i∈I
Satz 1.19 (Satz von Tikhonov). Sei I eine Indexmenge
Q und für jedes i ∈ I sei
jedes Ti ein kompakter topologischer Raum. Dann ist i∈I Ti kompakt in der Produkttopologie.
KAPITEL 2
Lokalkonvexe Räume
1. Zusätzliche Notation
Definition 2.1. Ein Vektorraum X ausgestattet mit einer Topologie T heißt topologischer Vektorraum falls + : X ×X → X und · : R×X → X stetige Abbildungen
bezüglich ihrer jeweiligen Produkttopologie sind.
Definition 2.2. Sei X ein Vektorraum, und A ⊂ X, dann definieren wir das
Minkowskifunktional pA : X −→ [0, ∞] durch
x
pA (x) = inf λ > 0 :
∈A ,
für jedes x ∈ X.
λ
Eine Teilmenge A eines Vektorraumes X heißt
• absorbierend, falls pA (x) < ∞ für alle x ∈ X,
• kreisförmig, falls {λ : |λ| ≤ 1} · A ⊂ A.
• absolutkonvex, falls A konvex und kreisförmig ist.
Definition 2.3. Sei X ein Vektorraum. Eine Abbildung p : X → [0, ∞) heißt
Halbnorm genau dann wenn
(a) p(λ x) = |λ| p(x), für alle λ ∈ R und x ∈ X,
(b) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), für alle x, y ∈ X.
Beispiel. Für x : [0, 1] → C und t ∈ [0, 1] definieren wir die Halbnormen pt durch
pt (x) = |x(t)|.
Eine Folge (xn )n konvergiert punktweise gegen 0 genau dann wenn für alle t ∈ [0, 1]
gilt
lim pt (xn ) = 0.
n
2. Definition lokalkonvexer Räume
Sei X ein Vektorraum und P eine Menge von Halbnormen auf X. Dann definieren
wir für jede endliche Menge F ⊂ P und jedes ε > 0 die Mengen
UF,ε = x ∈ X : p(x) ≤ ε für alle p ∈ F ,
U = UF,ε : F ⊂ P endlich, ε > 0 .
Behauptung 2.4. Die Kollektion U besitzt folgende Eigenschaften
(1) Für alle U ∈ U ist 0 ∈ U ,
(2) Für alle U1 , U2 ∈ U existiert ein U ∈ U für das U ⊂ U1 ∩ U2 , denn es gilt
ja UF1 ∪F2 ,min(ε1 ,ε2 ) ⊂ UF1 ,ε1 ∩ UF2 ,ε2 .
(3) Für alle U ∈ U existiert ein V ∈ U sodaß V + V ⊂ U , denn es gilt
UF,ε/2 + UF,ε/2 ⊂ UF,ε .
(4) Alle U ∈ U sind absorbierend, denn falls λ > 1ε maxp∈F p(x0 ) ist, so folgt
x0 ∈ λ · UF,ε .
(5) Für alle U ∈ U und λ ∈ R, λ > 0 existiert ein V ∈ U sodaß λ · V ⊂ U , weil
es ist λ · UF,ε/λ = UF,ε .
(6) Jedes U ∈ U ist kreisförmig.
13
14
2. LOKALKONVEXE RÄUME
(7) Jedes U ∈ U ist absolutkonvex.
Definition 2.5. Wir definieren nun die folgende Topologie auf X. Dabei heißt eine
Menge O ⊂ X offen genau dann wenn für jedes x ∈ O ein U ∈ U existiert sodaß
x + U ⊂ O.
Behauptung 2.6. Die Menge T = {O ⊂ X : O ist offen} ist eine Topologie.
Beweis. Zu zeigen sind die definierenden Eigenschaften einer Topologie. ∅ ∈ T
und X ∈ T. Seien O1 und O2 offen. Zu zeigen ist, dass O1 ∩O2 ∈ T. Sei x ∈ O1 ∩O2 .
Aus der Definition von „offen“ folgt:
∃U1 , U2 ∈ U :
x + U1 ∈ O1
und
x + U2 ∈ O2 .
Eigenschaft (2) impliziert, dass ∃U ∈ U, sodass U ⊂ U1 ∩ U2 und damit
x + U ∈ O1 ∩ O2
Da x beliebig gewählt war, ist O1 ∩ O
S
S2 offen.
Seien Oi offen, i ∈ I. Zu zeigen ist: i∈I Oi offen. Sei x ∈ i∈I Oi beliebig, aber
fix.
⇒ ∃i0 ∈ I : x ∈ Oi0 offen
[
⇒ ∃U ∈ U : x + U ⊂ Oi0 ⇒ x + U ⊂
Oi .
Aufgrund der Beliebigkeit von x folgt:
i∈I
S
i∈I Oi ist offen.
Lemma 2.7. Bezüglich der in Definition 2.5 beschriebenen Topologie T sind
(a) Addition + : X × X → X, (x, y) 7→ x + y
(b) Skalarmultiplikation · : R × X → X, (λ, x) 7→ λ · x
stetige Abbildungen bezüglich ihrer jeweiligen Produkttopologien.
Beweis. Sei O ⊂ X offen, dann ist zu zeigen:
e := {(x, y) : x + y ∈ O} ist offen
(a) O
(b) O := {(λ, x) : λx ∈ O} ist offen
Wir betrachten also jeweils die Urbilder und weisen deren Offenheit nach.
e also x + y ∈ O. O ist offen in X, per Definition gilt daher
(a) Sei nun (x, y) ∈ O,
∃U ∈ U : x + y + U ∈ O. Mit der Eigenschaft (3) folgt ∃V ∈ U : V + V ⊂ U
und damit (x + V ) + (y + V ) ⊂ x + y + U ⊂ O. Insbesondere gilt also
(x + V ) + (y + V ) ⊂ O
also x + v1 + y + v2 ∈ O (∀v1 , v2 ∈ V ). Mit der Wahl W := x + V und
f := y + V gilt:
W
e
(x, y) ∈ O
⇒
f ) ⊂ O,
e
(x, y) ∈ (W × W
f ) offen in der Produkttopologie ist, folgt die Behauptung.
und weil (W × W
(b) Sei (λ, x) ∈ O beliebig, also λx ∈ O. Per Definition von „offen“ gilt daher
∃U ∈ U : λx + U ⊂ O.
Mit der Eigenschaft (3) folgt ∃V ∈ U : V + V ⊂ U . Da V absorbierend
ist, folgt aus Eigenschaft (4):
∃ε > 0 :
εx ∈ V.
Unter Ausnutzung der Kreisförmigkeit von V können wir Eigenschaft (6)
anwenden:
(µ − λ)x ∈ V, falls |µ − λ| < ε.
2. DEFINITION LOKALKONVEXER RÄUME
15
Mit den Eigenschaften (5) und (6) folgt mit der umgekehrten Dreiecksungleichung:
∃W ∈ U : µW ⊂ V falls |µ| ≤ |λ| + ε.
Damit folgt ∀µ : |µ − λ| < ε ∀w ∈ W :
µ(x + w) − λx
=
(µ − λ)x + µw ∈ V + V ⊂ U
| {z } |{z}
∈V
∈V
Das heißt, µ(x + W ) − {λx} ⊂ U
µ(x + W ) ⊂ λx + U ⊂ O
(∀µ : |µ − λ| < ε)
Zusammenfassend:
(λ, x) ∈ {µ : |µ − λ| < ε} × (x + W )
{z
} | {z }
|
offen in R
⊂
O
offen in X
Definition 2.8. Sei P eine Menge von Halbnormen auf dem Vektorraum X, und
T die Topologie gegeben durch
O ∈ T ⇔ ∀x ∈ O ∃U ∈ U : x + U ⊂ O,
wobei
U = UF,ε : F ⊂ P endlich, ε > 0 ,
UF,ε = x ∈ X : p(x) ≤ ε für alle p ∈ F .
Dann heißt (X, T) lokalkonvexer (topologischer) (Vektor)raum.
Beispiel. (a) Sei T eine nichtleere Menge, und X ein Vektorraum von Funktionen
auf T . Betrachte pt (x) = |x(t)|, t ∈ T , x ∈ X. Die Familie von Halbnormen P =
{pt : t ∈ T } erzeugt die lokalkonvexe Topologie der punktweisen Konvergenz.
(b) Betrachte S (Rn ) (der Raum der Schwartzfunktionen) und sei
pα,m (ϕ) = sup (1 + |x|m ) Dα ϕ (x),
x∈Rn
n
wobei ϕ ∈ S (R ), α ist ein Multiindex und m ∈ Z, m ≥ 0. Die Menge
von Halbnormen P = {pα,m : α, m} erzeugt eine lokalkonvexe Topologie auf
S (Rn ).
(c) Sei X ein normierter Raum. Betrachte die Halbnormen px∗ (x) = |x∗ (x)|, wobei
x∗ ∈ X ∗ und x ∈ X, und definiere P = {px∗ : x∗ ∈ X ∗ }. Die Familie von
Halbnormen P erzeugt die schwache Topologie auf X, oft auch mit σ(X, X ∗ )
bezeichnet.
(d) Sei X ein normierter Raum. Auf seinem Dualraum X ∗ definieren wir die Halbnormen px (x∗ ) = |x∗ (x)|, wobei x∗ ∈ X ∗ und x ∈ X, und definiere P = {px :
x ∈ X}. Die Familie von Halbnormen P erzeugt die schwach∗ Topologie auf
X ∗ , oft auch mit σ(X ∗ , X) bezeichnet.
Satz 2.9. Sei (X, T) ein topologischer Vektorraum. X ist genau dann lokalkonvex
wenn es eine Nullumgebungsbasis aus absolutkonvexen absorbierenden Mengen gibt.
Beweisskizze.
X lokalkonvex
⇒
Es gibt eine Nullumgebungsbasis (Eigenschaften von U)
Umgekehrt können wir mit dem Minkowski-Funktional pU (x) := inf{λ > 0 : x ∈
λ · U } (∀U ∈ U) eine Menge von Halbnormen definieren:
P := {pU : U ∈ U}
Aus P erzeugen wir die Topologie σ und zeigen, dass σ = T.
16
2. LOKALKONVEXE RÄUME
3. Stetige Funktionale und der Satz von Hahn–Banach
Lemma 2.10. Sei P eine Familie von Halbnormen welche die lokalkonvexe Topologie
T auf X erzeugt.
(a) Für eine Halbnorm q : X → [0, ∞) sind äquivalent:
(i) q ist stetig,
(ii) q ist stetig bei 0,
(iii) {x ∈ X : q(x) ≤ 1} ist eine Nullumgebung.
(b) Alle p ∈ P sind stetig.
(c) Eine Halbnorm q ist genau dann stetig wenn ein M ≥ 0 und eine endliche
Menge F ⊂ P existieren sodaß für alle x ∈ X gilt
q(x) ≤ M · max p(x).
p∈F
Beweis a. (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) folgt aus Nachprüfen der Definitionen.
Wir zeigen (iii) ⇒ (i):
Wir wissen, dass {x ∈ X : q(x) ≤ 1} ist Nullumgebung. Zu zeigen ist, dass q stetig
ist, d.h.
∀x ∈ X ∀ε > 0 ∃O ⊂ Xoffen :
q(O) ⊂ (q(x) − ε, q(x) + ε)
|
{z
}
offene Menge in R
Wir nehmen eine beliebige Menge im Bildbereich, und zeigen dass es dazu eine offene Menge im Urbildbereich gibt.
Wir fixieren x ∈ X und ε > 0 und wir definieren:
ε
{x ∈ X : q(x) ≤ 1} =
U :=
2
Mit der umgekehrten Dreiecksungleichung gilt
{y : q(y) ≤
ε
}
2
|q(x + y) − q(x)| ≤ q((x + y) − x) = q(y)
⇒
ε
|q(x + y) − q(x)| ≤ q(y) ≤
2
ε
∀z ∈ x + U : |q(z) − q(x)| ≤
| {z }
2
∀y ∈ U :
⇒
=: O
⇒
q(O) ⊂ (q(x) − ε, q(x) + ε)
Beweis b. Per Definition von T ist {x : p(x) ≤ 1} eine Nullumgebung ∀p ∈
P . Somit gilt nach (a), dass p stetig ist.
Beweis c. nach (a) gilt, dass
(i)⇔(iii)
q stetig
⇔
∃ε > 0 ∃F ⊂ P endlich :
UF,ε
z}|{
⊆ {x ∈ X : q(x) ≤ 1}
x ∈ UF,ε ist nach Definition äquivalent zu maxp∈F p(x) ≤ ε.
Da UF,ε ⊆ {x ∈ X : q(x) ≤ 1}, folgt daraus q(x) ≤ 1.
Wir wissen damit weiters, dass
⇒
∀x ∈ X :
ε
maxp∈F p(x) x
1 ≥ q(
∈ UF,ε
ε
maxp∈F p(x)
und somit
q(x) ≤
x) =
1
max p(x).
ε p∈F
|{z}
=:M
(∀x).
ε
maxp∈F p(x)
· q(x)
3. STETIGE FUNKTIONALE UND DER SATZ VON HAHN–BANACH
17
Satz 2.11. Seien P und Q Familien von Halbnormen auf den Vektorräumen X und
Y , und TP und TQ bezeichnen die jeweils davon induzierten Topologien. Für eine
lineare Abbildung T : (X, TP ) → (Y, TQ ) sind äquivalent:
(i) T ist stetig,
(ii) T ist stetig in 0,
(iii) Für jede stetige Halbnorm q auf Y ist p := q ◦ T eine stetige Halbnorm auf
X.
(iv) Für alle q ∈ Q existieren ein endliches F ⊂ P und ein M ≥ 0 sodaß für alle
x ∈ X gilt
q(T x) ≤ M · max p(x).
p∈F
Beweis. (i) ⇒ (ii) ist klar, (ii) ⇒ (i) (Translationen sind stetig).
(ii) ⇒ (iii) gilt wegen des vorigen Lemmas (Teil (a)), der Linearität von T und
dem Faktum, dass die Komposition stetiger Funktionen stetig ist.
(iii) ⇒ (iv) ist die Aussage des vorigen Lemmas, Teil (c).
Zu zeigen ist: (iv) ⇒ (ii) :
Sei V ⊂ Y eine beliebige Nullumgebung. Wir können annehmen, dass V die Form
{y ∈ Y : max1≤ n qi (y) ≤ ε} hat. Wir müssen zeigen, dass eine Nullumgebung
U ⊂ X existiert, sodass T (U ) ⊂ V .
Wir wenden unsere Voraussetzung (iv) für alle qi (1 ≤ i ≤ n), die in V vorkommen,
an:
∀1 ≤ i ≤ n ∃Fi ⊂ P ∃Mi ≥ 0 : q(T x) ≤ Mi · max p(x)
p∈Fi
n
[
F :=
Fi
M := max Mi
1≤i≤n
i=1
⇒
max qi (T x) ≤ M · max p(x)
p∈F
1≤i≤n
(∀x).
Für x ∈ UF,ε/M gilt zusätzlich
max p(x) ≤
p∈F
⇒
max qi (T x)
1≤i≤n
≤
|{z}
ε
.
M
M · max p(x)
p∈F
(iv), Def. F und M
⇔
≤
|{z}
ε (∀x ∈ UF,ε/M )
x∈UF,ε/M
T (UF,ε/M ) ⊂ V.
Definition 2.12. (a) Sei (X, T) ein lokalkonvexer Raum. Die Menge der stetigen
linearen Funktionale auf (X, T) heißt Dualraum und wird mit (X, T) (oder kurz
X ∗ ) bezeichnet.
(b) Die Menge der linearen stetigen Funktionen zwischen den lokalkonvexen Räumen (X, T1 ) und (Y, T2 ) wird mit L((X, T1 ), (Y, T2 )) (oder kurz mit L(X, Y ))
bezeichnet.
Behauptung 2.13. Sowohl L(X, Y ) und damit auch X ∗ sind Vektorräume.
Beweis. Seien S und T ∈ L(X, Y ), λ, µ ∈ R und seien P bzw. Q die Mengen
der Halbnormen, die die Topologien T1 , bzw. T2 erzeugen. Dann gilt wegen des des
letzten Lemmas ((i) ⇔ (iv)):
λS + µT stetig
⇔
18
2. LOKALKONVEXE RÄUME
∀q ∈ Q ∃F ⊂ P endlich ∃M > 0 ∀x ∈ X :
q((λS + µT )(x)) ≤ M · max p(x)
p∈F
Da alle q ∈ Q Halbnormen sind, gilt die Dreiecksungleichung, die Skalare können im Betrag rausgezogen werden und die gesuchte Ungleichung folgt. X ∗ ist ein
Spezialfall von L(X, Y ) mit Y = R.
Satz 2.14. Sei (X, TP ) ein lokalkonvexer Raum. Ein Netz (xi )i∈I konvergiert gegen
x genau dann wenn lim p(xi − x) = 0.
Beweis. „⇒“: Wir nehmen (xi ) → x an. Da „+“ ein Homöomorphismus ist,
können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit x = 0 annehmen. Aufgrund der
Stetigkeit von p folgt p(xi ) → 0.
„⇐: Nehmen wir in der Rückrichtung lim p(xi − x) = 0 an.
Sei UF,ε eine beliebige Nullumgebung, d.h.
UF,ε = {x ∈ X : p(x) ≤ ε ∀p ∈ F }
für F ⊂ P endlich, ε > 0
Unsere Annahme ist äquivalent zu ∀p ∈ F ∃ip ∀i ≥ ip : p(xi ) ≤ ε. Wir wählen
p ∈ F beliebig, aber fix und setzen i0 := maxp∈F ip . Da F endlich ist, jedes dieser
ip existiert und es in einem Netz für alle Indizes einen Index gibt, der größer als die
bisherigen ist, ist i0 wohldefiniert. Durch diese Definition haben wir unseren Existenzquantor „eliminiert“, es bleibt zu zeigen dass i0 die gewünschten Eigenschaften
hat. Auf jeden Fall gilt:
∀p ∈ F ∀i ≥ i0 :
p(xi ) ≤ ε
Daraus folgt, dass für alle i ≥ i0 xi aus UF,ε ist. Insgesamt gilt:
∀U ∈ U ∃i0 ∀i ≥ i0 :
xi ∈ U
⇔
xi → 0
Satz 2.15. In lokalkonvexen Räumen ist
(i) der Abschluß konvexer Mengen konvex,
(ii) der Abschluß absolutkonvexer Mengen absolutkonvex.
Beweis. In topologischen Räumen gilt:
t∈M
⇔
∃(ti ) ⊂ M Netz : ti → t
(a) Seien x, y ∈ C, C konvex. Da x, y ∈ C gibt es Netze (xi ), (yi ) mit Elementen
aus C, sodass
xi → x
und
yi → y.
Aus der Konvexität von C folgt ∀ 0 ≤ λ ≤ 1 :
λxi + (1 − λ)yi ∈ C
λxi + (1 − λ)yi
→
λx + (1 − λ)y .
|
{z
}
∈C
(b) analog zu (a)
Satz 2.16. Sei (X, TP ) ein lokalkonvexer Raum und U ⊂ X ein Untervektorraum.
Für jedes ℓ ∈ U ∗ existiert eine stetige Fortsetzung L von ℓ, also L ∈ X ∗ .
Beweis. Die Topologie von U wird durch {p|U : p ∈ P } erzeugt.
Wegen l ∈ U ∗ gilt:
∃p1 , . . . , pn ∈ P ∃M ≥ 0 ∀x ∈ U :
|l(x)| ≤ M · max pi (x).
1≤i≤n
3. STETIGE FUNKTIONALE UND DER SATZ VON HAHN–BANACH
19
Setze
p(x) := M · max1≤i≤n pi (x) (∀x ∈ X),
dann ist p : X → [0, ∞) ist eine stetige Halbnorm auf X (M = 1) mit (per
Definition)
|l(x)| ≤ p(x) (∀x ∈ X)
Nach dem Satz von Hahn-Banach für Vektorräume gilt:
∃L : X → R lineare Fortsetzung :
⇒
L(x) ≤ p(x) (∀x ∈ X)
−L(x) = L(−x) ≤ p(−x) = p(x) (∀x ∈ X)
|L(x)| ≤ p(x) (∀x ∈ X)
Mit dem Stetigkeit charakterisierenden Lemma (Teil (a), (i) ⇔ (iv)) folgt: L stetig
und somit
L ∈ X ∗.
KAPITEL 3
Distributionen
1. Funktionenräume
Die Idee von Distributionen besteht darin Funktionen f als Funktionale Tf gegeben
durch
Z
Tf (ϕ) =
f (x) ϕ(x) dx
auf geeigneten Funktionenräumen aufzufassen.
RBeispiel. Für die “Deltafunktion” δ : R → [−∞, +∞], wobei δ(x) = 0, x 6= 0 und
R δ = 1, ist
Z
δ(x) ϕ(x)dx.
ϕ(0) =
R
Die Funktionen ϕ werden linear auf eine Zahl abgebildet.
Definition 3.1. Sei Ω ⊂ Rn offen und K ⊂ Ω kompakt, dann setzen wir
DK (Ω) = ϕ : Ω → C / ϕ ∈ C ∞ (Ω), supp(ϕ) ⊂ K
pα (ϕ) = sup Dα ϕ (x),
α Multiindex, ϕ ∈ DK (Ω),
x∈Ω
P = pα : α Multiindex ,
und stellen fest daß DK (Ω) ein Vektorraum ist und P eine Familie von Halbnormen
auf DK (Ω). Die von P auf DK (Ω) erzeugte lokalkonvexe Topologie bezeichnen wir
mit TK .
Definition 3.2. Wir definieren
D(Ω) =
[
DK (Ω),
K⊂Ω
K kompakt
wobei TK wie zuvor die lokalkonvexe Topologie auf DK (Ω) bezeichnet. Die Familie
von Halbnormen
p ist eine Halbnorm
P = p : D(Ω) → [0∞) / p|DK (Ω) ist stetig bezüglich TK
für alle K ⊂ Ω kompakt
Die von P auf D(Ω) erzeugte Topologie wird mit T bezeichnet.
Lemma 3.3. Es gelten folgende Aussagen
(a) Die Relativtopologie von T auf DK (Ω) stimmt mit TK überein.
(b) DK (Ω) ist T abgeschlossen in D(Ω)
(c) Sei Y ein lokalkonvexer Raum und L : D(Ω) → Y linear. Dann ist L genau
dann T stetig wenn für alle kompakten K ⊂ Ω gilt L|DK (Ω) ist TK stetig.
Beweis. (a) T|DK (Ω) = {O∩DK (Ω) : O ∈ T} sind erzeugt durch pα , jedes p ∈
P ist Tk -stetig. Außerdem ist jedes pα T|DK (Ω)-stetig. Somit gilt T|DK (Ω) =
TK .
21
22
3. DISTRIBUTIONEN
(b) Seien x ∈ Ω und πx (ϕ) := |φ(x)|. Es gilt πx ∈ P ⇒ πx ist T-stetig. {0} ⊂ R
ist abgeschlossen in R. Da das Urbild abgeschlossener Mengen unter stetigen
Abbildungen abgeschlossen ist, gilt πx−1 [0] ist abgeschlossen in T. Es gilt
\
{ϕ ∈ D(Ω) : πx (ϕ) = 0} = {ϕ ∈ D(Ω) : |ϕ(x)| = 0 ∀ x ∈ Ω \ K }
|
{z
}
x∈Ω\K
⇔supp(ϕ)⊂K
= DK (Ω).
Somit ist DK (Ω) abgeschlossen in D(Ω), da der Schnitt abgeschlossener Mengen
abgeschlossen ist.
(c) “⇒” L ist T-stetig. z.z.: ∀ K ⊂ Ω kompakt : L|DK (Ω) ist T-stetig. Es ist leicht
zu zeigen, dass L|DK (Ω) T|DK (Ω)-stetig ist. Mit (a) folg nun die Aussage.
“⇐” Sei K ⊂ Ω kompakt und L|DK (Ω)TK -stetig. q sei eine stetige Halbnorm
auf Y .
Dann ist q ◦ L| DK (Ω)-stetig und eine Halbnorm auf DK (Ω). Es gilt also ∀K :
q ◦ L|DK (Ω) ist TK -stetig. Daraus folgt ∀q stetige Halbnorm : q ◦ L ∈ P . Also
ist q ◦ L für jede Halbnorm stetig ⇒ L ist stetig.
Satz 3.4. Sei {ϕn }n ⊂ D(Ω), dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) ϕn → 0 bezüglich T.
(ii) Es exisitert eine kompakte Menge K ⊂ Ω sodaß {ϕn }n ⊂ DK (Ω) und ϕn → 0
bezüglich TK .
(iii) Es exisitert eine kompakte Menge K ⊂ Ω sodaß supp(ϕn ) ⊂ K, n ∈ N und
für alle Multiindizes α konvergiert (Dα ϕn )n gleichmäßig gegen 0.
Beweis. (ii)⇔(iii) ist lediglich eine Umformulierung.
(ii)⇒(i): Nach einer Charakterisierung über Netzkonvergenz gilt:
ϕn → 0 bzgl. Tk ⇔ ∀α : pα (ϕn ) → 0.
Die Aussage folgt dann mit der Definition von T.
(i)⇒(ii): Klarerweise folgt aus ϕn → 0 bzgl. T, dass ϕn → 0 bzgl. TK .
Für die andere Behauptung von (ii) führen wir einen Widerspruchsbeweis. Wir
wissen:
[
{ϕn } ⊂ D(Ω) =
DK (Ω), also
K⊂Ω
komp.
∀n ∃K ⊂ Ω komp.: supp ϕn ⊂ K
Da wir das Gegenteil annehmen, müsste gelten ∀k ∃n ∈ N : supp ϕn 6⊂ K. Wir
wählen eine gegen Ω aufsteigende Folge kompakter Mengen und eine Teilfolge ψn
von ϕn :
[
K1 ⊂ K2 ⊂ · · · ⊂ Ω,
Ki◦ = Ω
i∈N
{ψn } ⊂ {ϕn },
ψn ∈ DKn (Ω) \ DKn−1 (Ω).
Seien weiters xn ∈ Kn \ Kn−1 und αn := |ψn (xn )|, sodass αn > 0. Wir definieren
πn (ϕ) := |ϕ(xn )|α−1
n
und π :=
∞
X
πn .
n=1
Dann sind πn T-stetige Halbnormen. Wir wollen zeigen, dass π auch eine Halbnorm
ist. Seien dazu K ⊂ Ω kompakt, πn wie eben und n so, dass K ⊂ Kn , also DK (Ω) ⊂
DKn (Ω). Für n > m gilt xn 6∈ Km und
πk |DKn (Ω) ≡ 0
∀n > m,
1. FUNKTIONENRÄUME
23
also ist π keine Reihe, sondern lediglich eine endliche Summe von Halbnormen und
somit selbst wieder eine Halbnorm. Ist K ⊂ KN kompakt, dann gilt
π|DK(Ω) =
N
X
πi |DK (Ω) ist TK -stetig.
i=1
Somit ist π ∈ P und T-stetig. Daher ist
π(ψn ) ≥ πn (ψn ) = 1.
Andererseits gilt wegen ϕn → 0 bzgl. T auch π(ϕn ) → 0 und weiters, da ψn eine
Teilfolge von ϕn ist: π(ψn ) → 0. Das steht aber im Widerspruch zu π(ψn ) ≥ 1. Definition 3.5. Der Dualraum von (D(Ω), T) wird mit D ∗ (Ω) bezeichnet und
heißt Raum der Distributionen auf Ω.
Die Elemente von D(Ω) heißen Testfunktionen.
Satz 3.6. Für eine lineare Abbildung T : D(Ω) → C sind äquivalent:
(i) T ∈ D ∗ (Ω).
∗
(ii) Für alle kompakten K ⊂ Ω gilt T |DK (Ω) ∈ DK (Ω) .
(iii) Für alle kompakten K ⊂ Ω existieren m ∈ N0 und C ≥ 0 sodaß für alle
ϕ ∈ DK (Ω) gilt
T (ϕ) ≤ C pm (ϕ) = C max sup Dα ϕ (x).
|α|≤m x∈Ω
(iv) Falls ϕn → 0 in D(Ω) bezüglich T, so folgt T (ϕn ) → 0 in C.
Beweis. (i)⇔(ii) folgt mit Lemma 3.3 c).
(i)⇒(iv) Die Behauptung folgt mit der Beschreibung von Netzkonvergenz.
(ii)⇔(iii) folgt mit 2.11.
(iv)⇒(ii) Dise Implikation sagt aus, dass aus Folgenstetigkeit topologische Stetigkeit
folgt. Wir beweisen, dass Tk von einer Halbmetrik erzeugt wird. Daraus folgt dann
die Behauptung, da in (halb-)metrischen Räumen Folgenstetigkeit äquivalent zur
topologischen Stetigkeit ist.
Wir beweisen dies in zwei Schritten:
Beh. 1: P bezeichne die Halbnormfamilie, durch die T erzeugt wird.
d : X 2 → [0, ∞) , (x, y) 7→
∞
X
n=1
2−n
pn (x − y)
1 + pn (x − y)
Behauptung: d ist Halbmetrik, die T erzeugt.
Beweis: d(x, x) = 0 und d(x, y) = d(y, x) ist einfach zu sehen. Für den
t
= 1+1 1 . φ, das
Beweis der Dreiecksungleichung setzen wir φ(t) := 1+t
t
offensichtlich monoton wachsend und sublinear ist:
∀s, t : φ(s + t) ≤ φ(s) + φ(t)
Da die Summanden in d genau diese Form haben, können wir folgern:
∞
X
pn (x − y) + pn (y − z)
pn (x − y)
≤
2−n
1 + pn (x − y) n=1
1 + pn (x − y) + pn (y − z)
n=1
∞
X
pn (y − z)
pn (x − y)
= d(x, y) + d(y, z).
+
≤
2−n
1 + pn x − y 1 + pn (y − z)
n=1
d(x, z) =
∞
X
2−n
d ist also eine Halbmetrik. Wird auch T von ihr erzeugt? Zunächst zeigen
wir: O offen bzgl. d, dann gilt O ∈ T.
24
3. DISTRIBUTIONEN
O ist offen bzgl. d genau dann, wenn ∀x ∈ O∃ǫ > 0∀y ∈ X : d(x, y) < ǫ ⇒
y ∈ O.
∞
X
pn (x − y)
< ǫ.
d(x, y) < ǫ. ⇒
2−n
1
+
pn (x − y)
n=1
Wir stellen fest:
∀ǫ > 0∃N ∀x, y ∈ X :
∞
X
2−n
n=N +1
pn (x − y)
< ǫ.
1 + pn (x − y)
Sei nun x ∈ O. ǫ sei nun so, dass ∀y ∈ X : d(x, y) < 2ǫ ⇒ y ∈ O und N
wie eben. Außerdem sei
U := {y ∈ X : max pn (x − y) ≤ ǫ}.
1≤n≤N
Dann gilt offenbar x ∈ U, U ∈ T und:
U ⊂ O : y ∈ U ⇔ ∀1 ≤ n ≤ N : pn (x − y) < ǫ
⇒
N
X
2−n
n=1
Also insgesamt:
N
X
pn (x − y)
≤ǫ
2−n ≤ ǫ
1 + pn (x − y)
n=1
d(x, y) < 2ǫ.
Daraus folgt nun U ⊂ O. Zusammenfassend haben wir also gezeigt:
∀x ∃U ∈ T Umgebung von x ∀y ∈ U : y ∈ O,
also O ∈ T.
Es bleibt zu zeigen: O offen in T ⇒ offen bezüglich d. Sei nun O ∈ T, das
heißt: ∀x ∈ O∃U ∈ V : x + U ⊂ O. Weiters wissen wir, dass ∀x ∈ O∃F ⊂
P endl. ∃ǫ > 0 : x + UF,ǫ ⊂ O.
Sei N := max{n : pn ∈ F } und x ∈ O beliebig, dann gilt:
∀y : d(x, y)yǫ′ ⇒ ∀n : 2−n
pn (x − y)
< ǫ.
1 + pn (x − y)
Ist ǫ′ hinreichend klein, gilt
∀n ≤ N : pn (x − y) <
2n ǫ′
2N ǫ′
≤
.
n
′
1−2 ǫ
1 − 2N ǫ′
Also
∀ǫ′ > 0∀n ≤ N : d(x, y) < ǫ′ ⇒ pn (x − y) <
Wir wählen nun ǫ′ so, dass
2N ǫ′
1−2N ǫ′
2 N ǫ′
1 − 2 N ǫ′
< ǫ. Dann erhalten wir insgesamt:
′
d(x, y) < ǫ ⇒ pn (x − y) ≤ ǫ∀n ≤ N
⇒ ∀p ∈ F : p(x − y) ≤ ǫ ⇒ y ∈ x + Uf,ǫ
⇒ y ∈ O.
Also: ∀x ∈ O∃ǫ′ > 0∀y : d(x, y) < ǫ′ ⇒ y ∈ O, das heißt O ist offen bzgl. d.
Somit ist Behauptung 1 bewiesen.
Beh. 2: Behauptung: Ist (X, d) ein halbmetrischer, Y ein topologischer Raum, f : X →
Y folgenstetig in X, dann ist f topologisch stetig in X.
Beweis: Wir erinnern an die Definitionen:
• f folgenstetig ⇔ ∀xn → x : f (xn ) → f (x)
• f topologisch stetig ⇔ ∀V Umgebung von f (x)∃U Umgebung von x :
f (U ) ⊂ V
1. FUNKTIONENRÄUME
25
Wir führen einen Widerspruchsbeweis und nehmen an f ist folgenstetig,
aber nicht topologisch stetig, d.h.:
∃V Umgebung von f (x) ∀U Umgebung von x : f (U ) 6⊂ V
∀ǫ > 0 : f (Bd (x, ǫ)) 6⊂ V
d. h. ∀ǫ > 0 ∃y ∈ Bd (x, ǫ) : f (y) ∈ V C
⇒ ∃xn → x ∀n : xn ∈ Bd (x, 1/n) ∧ f (xn ) ∈ v C .
Also f (xn ) ∈ V C ⇒ f (x) in V C da V C . Somit ist auch die zweite Behauptung bewiesen.
Aus den beiden Beauptungen folgt nun, dass Tk halbmetrisierbar ist, und somit ist
der Beweis der Richtung (iv)⇒(ii) beendet.
Beispiel. (a) Sei Ω ⊂ Rn offen, und f : Ω → C meßbar. Dann heißt f lokal
integrierbar falls
Z
f (x) dx < ∞,
für alle kompakten K ⊂ Ω.
K
Wir definieren den Raum
L1lok (Ω) = f : Ω → C / f ist lokal integrierbar ,
und für jedes f ∈ L1lok (Ω) definieren wir die lineare Abbildung Tf : D(Ω) → C
durch
Z
f (x) ϕ(x) dx,
Tf (ϕ) =
für alle ϕ ∈ D(Ω).
Ω
Beachte daß Tf wohldefiniert ist, weil ja supp(ϕ) ⊂ Ω kompakt ist.
∗
Wir zeigen nun daß Tf ∈ D(Ω) , das heißt Tf ist eine Distribution. Für
ϕ ∈ D(Ω) gilt
Z
Tf (ϕ) = f (x) ϕ(x) dx
ZΩ
f (x) ϕ(x) dx
≤
supp(ϕ)
≤
Z
supp(ϕ)
f (x) dx · sup ϕ(x)
x∈Ω
≤ C(f, supp(ϕ)) · p0 (ϕ).
Damit ist nach Satz 3.6 Tf tatsächlich eine Distribution. Distributionen der
Form Tf , wobei f ∈ L1lok (Ω) heißen reguläre Distributionen.
∗
Wir zeigen jetzt daß die Abbildung f 7→ Tf : L1lok (Ω) → D(Ω) injektiv
ist. Sei also f ∈ L1lok (Ω) so daß Tf = 0, das heißt also
Z
f (x) ϕ(x) dx = 0,
für alle ϕ ∈ D(Ω).
Ω
Also muß gelten f = 0 fast überall.
(b) Sei x0 ∈ Ω fixiert, und betrachte das lineare Funktional δx0 : ϕ 7→ ϕ(x0 ), für
alle ϕ ∈ D(Ω). Weil
δx0 (ϕ) = ϕ(x0 ) ≤ p0 (ϕ)
∗
folgt δx0 ∈ D(Ω) . Diese Distribution heißt Deltadistribution. Wir zeigen
nun daß δx0 keine reguläre Distribution ist. Dazu setzen wir Ω0 = Ω \ {x0 },
und stellen fest δx0 |D(Ω0 ) = 0. Angenommen δx0 = Tf für ein geeignetes
26
3. DISTRIBUTIONEN
f ∈ L1lok (Ω), dann ist Tf |D(Ω0 ) = 0, und weil f 7→ Tf injektiv ist folgt somit
f |Ω0 = 0 fast überall, und damit natürlich f = 0. Folglich ist auch 0 = Tf = δx0 ,
was offenbar falsch ist. (c) ϕ 7→ ϕ′ (0) ∈ D(R)∗ , weil ϕ′ (0) ≤ p1 (ϕ).
P∞
(d) Sei T (ϕ) = n=0 ϕ(n) (n) für alle ϕ ∈ D(R). Für alle ϕ ∈ D(R) exisitert ein
N ∈ N sodaß supp(ϕ) ⊂ [−N, +N ] und folglich
−1
(n) NX
ϕ (n) ≤ N pN −1 (ϕ),
T ϕ ≤
n=0
∗
also T ∈ D(R) .
Definition 3.7. Seien X, Y lokalkonvexe Räume, und T ∈ L(X, Y ). Wir definieren
T ∗ : Y ∗ → X ∗ als
T ∗ (y ∗ ) = y ∗ ◦ T,
für alle y ∗ ∈ Y ∗ .
Die Abbildung T ∗ heißt der zu T adjungierte Operator.
Bemerkung 3.8. Beachte daß die Abbildung T ∗ ist offenbar linear und wohldefiniert ist.
Definition 3.9. Sei X ein lokalkonvexer Raum, dann definieren wir auf seinem
Dualraum X ∗ die schwach∗ Topologie σ(X ∗ , X) als die von den Halbnormen
px (x∗ ) = |x∗ (x)|
P = px : x ∈ X
induzierte lokalkonvexe Topologie TP .
Satz 3.10. Seien X und Y lokalkonvexe Räume, und T ∈ L(X, Y ). Dann ist T ∗ :
Y ∗ → X ∗ stetig bezüglich σ(Y ∗ , Y ) – σ(X ∗ , X) (soll heißen σ(Y ∗ , Y ) – σ(X ∗ , X)
stetig).
Beweis. Es gilt:
T ∗ stetig ⇔ ∀ Netze (yi∗ )i∈I in Y ∗ mit yi∗ → y ∗ : T ∗ yi∗ → T ∗ y ∗ .
σ(Y ∗ ,Y )
Außerdem gilt: yi∗ −→ y ∗ ⇔ qy (yi∗ − y ∗ ) → 0 ∀y ∈ Y ,
wobei qy (y ∗ ) = |y ∗ (y)|. Dies ist genau dann der fall, wenn
|(yi∗ − y ∗ )(y)| → 0,
⇔∀y ∈ Y :
yi∗ (y)
also:
∗
→ y (y),
und insbesondere
∀x : yi∗ (T x) → y ∗ (T X)
⇔ (T ∗ yi∗ )(x) → (T ∗ y ∗ )(x)
⇔ |(T ∗ yi∗ )(x) − (T ∗ y ∗ )(x)| → 0
⇔ px (T ∗ (yi∗ − y ∗ )) ⇔ T ∗ yi∗ → T ∗ y ∗ .
2. Differentiation von Distributionen
Sei f : R → C stetig differenzierbar, und
Z
Tf (ϕ) =
f (x) ϕ(x) dx,
für alle ϕ ∈ D(R).
R
Mit partieller Integration folgt daß
Tf ′ (ϕ) = −Tf (ϕ′ ),
für alle ϕ ∈ D(R).
3. FOURIERTRANSFORMATION VON DISTRIBUTIONEN
27
Definition 3.11. Sei T ∈ D(Ω)∗ und α ein Multiindex. Dann definieren wir
D(α) T (ϕ) = (−1)|α| T (Dα ϕ)
für alle ϕ ∈ D(Ω).
Lemma 3.12. Die Abbildung D(α) : D(Ω) → D(Ω) ist wohldefiniert und σ(D(Ω)∗ , D(Ω))–
stetig.
Beweis. Wir zeigen zunächst, dass ∂ α : D(Ω) → D(Ω) stetig ist. Dies ist genau
dann der Fall, wenn
∀K : ∂ α |DK (Ω) ist TK -stetig
Wir bezeichnen mit pm (ϕ) = max|β|≤m supx∈Ω |∂ β ϕ(x)| die Halbnormen die TK
erzeugen. Sei nun m ≥ 0:
pm (∂ α ϕ) = max sup |(∂ α+β ϕ)(x)| ≤ pm+|α| (ϕ).
|β|≤m x∈Ω
α
Also ist ∂ stetig. Daraus folgt dann natürlich sofort, dass (∂ α )∗ stetig in der
richtigen Topologie ist. Die Behauptung folgt schließlich mit der Definition von
Dα = (∂ α )∗ (−1)|α| .
Beispiel. (a) Sei H : R → C die Heavisidefunktion, das ist
(
1 falls x ≥ 0,
H(x) =
0 falls x < 0.
Sei nun ϕ ∈ D(R), dann gilt
+∞
+∞
Z
Z
∞
′
ϕ′ (x) dx = −ϕ(x)
(TH ) (ϕ) = −TH (ϕ ) = −
= ϕ(0)
H(x) ϕ (x) dx = −
′
′
x=0
−∞
0
also ist (TH )′ = δ.
(b) Die distributionelle Ableitung der Deltadistribution ist
δ ′ (ϕ) = −δ(ϕ′ ) = −ϕ′ (0),
für alle ϕ ∈ D(R).
3. Fouriertransformation von Distributionen
Definition 3.13. Sei f ∈ L1 (Rn ), dann ist die Fouriertransformation Ff von f
für alle ξ ∈ Rn gegeben durch
Z
Ff (ξ) = (2π)−n/2
e−iξ·x f (x) dx.
Rn
Oft bezeichnen wir die Fouriertransformierte von f auch mit fb.
Definition 3.14. Der Vektorraum S (Rn ) gegeben durch
n
.
o
ϕ ∈ C ∞ (Rn ), pm,α (ϕ) < ∞
S (Rn ) = ϕ : Rn → C
,
für alle m ≥ 0 und Multiindizes α
wobei pm,α (ϕ) = sup(1 + |x|m ) Dα ϕ (x), heißt Schwartzraum, seine Elemente
x∈R
Schwartzfunktionen.
Bemerkung 3.15. Oft wird S (Rn ) auch als Raum der schnell fallenden Funktionen
bezeichnet. Es gilt
D(R) ⊂ S (Rn ) ⊂ L1 (R).
Lemma 3.16. Sei ϕ ∈ S (Rn ), α ein Multiindex, dann gilt
(a) Fϕ ∈ C ∞ (Rn ) und Dα (Fϕ) = (−i)|α| F x 7→ xα ϕ(x) ,
(b) F(Dα ϕ) (ξ) = i|α| ξ α (Fϕ)(ξ).
28
3. DISTRIBUTIONEN
Beweis. (a)
Z
−n/2
(Fϕ)(ξ) = (2π)
e−iξ·x ϕ(x) dx
R
Da nun ∂ α (Fϕ)(ξ) = (−i)|α| F(xα ϕ) (nachrechnen) und ϕ ∈ S (Rn ) ist Fϕ
unendlich oft differenzierbar.
(b) Nachrechnen.
Lemma 3.17. Für jedes ϕ ∈ S (Rn ) gilt Fϕ ∈ S (Rn ).
Beweis. Ohne Beweis.
Bemerkung 3.18. Für alle ϕ ∈ D(Rn ) gilt wann immer Fϕ ∈ D(Rn ) so ist ϕ = 0.
Insebesondere gilt für alle ϕ ∈ D(Rn ) daß Fϕ ∈
/ D(Rn ).
Satz 3.19. Die Fouriertransformation ist eine Bijektion von S (Rn ) auf S (Rn )
die inverse Fouriertransformation ist gegeben durch
Z
−1
−n/2
F ϕ (x) = (2 π)
eix·ξ ϕ(ξ) dx,
x ∈ Rn .
Rn
Beweis. Ohne Beweis.
Lemma 3.20. Sei S (Rn ) der von den Halbnormen pm,α topologisierte lokalkonvexe
Raum, dann gilt
(a) für alle Multiindizes α daß ϕ 7→ xα ϕ wohldefiniert und stetig auf S (Rn ) ist.
(b) für alle Multiindizes β daß ϕ 7→ Dβ ϕ wohldefiniert und stetig auf S (Rn ) ist.
(c) es exisitert eine Konstante C > 0 für die
Fϕ (ξ) ≤ C · pn+1,0 (ϕ),
für alle ϕ ∈ S (Rn ), ξ ∈ Rn .
Beweis. Da (a) und (b) einfache Abschätzungen sind, beweisen wir hier nur
(c):
|(Fϕ)(ξ)| ≤ C1 ·
Z
|e−iξ·x ϕ(x)| dx
Rn
≤ C1 ·
Z
|ϕ(x)| dx = C1 ·
Rn
Z
1
(1 + |x|n+1) |ϕ(x)| dx
n+1 |
{z
}
Rn 1 + |x|
| {z }
≤pn+1,0 (ϕ)
≤C2
≤ C · pn+1,0 (ϕ)
Satz 3.21. Die Fouriertransformation F : S (Rn ) → S (Rn ) und ihre Inverse sind
stetig auf S (Rn ) bezüglich der von den Halbnormen pm,α erzeugten lokalkonvexen
Topologie.
Beweis. Ohne Beweis.
∗
Definition 3.22. (a) Ein lineares Funktional T ∈ S (Rn ) heißt temperierte
Distribution.
∗
(b) Für T ∈ S (Rn ) ist die Fouriertransformierte FT definiert durch
FT (ϕ) = T (Fϕ),
für alle ϕ ∈ S (Rn ).
Bemerkung 3.23. Weil F : S (Rn ) → S (Rn ) stetig ist, so folgt mit Satz 3.10
F∗ : S (Rn )∗ → S (Rn )∗ ist σ(S (Rn )∗ , S (Rn )) – σ(S (Rn )∗ , S (Rn )) stetig, und
es ist F∗ T = T ◦ F, für T ∈ S (Rn )∗ .
Die Abbildung F∗ : S (Rn )∗ → S (Rn )∗ ist bijektiv.
3. FOURIERTRANSFORMATION VON DISTRIBUTIONEN
29
Satz 3.24. (a) Sei j : D(Rn ) → S (Rn ), gegeben durch j(ϕ) = ϕ, dann ist j stetig
und hat dichtes Bild.
(b) Die Adjungierte j ∗ : S (Rn )∗ → D(Rn )∗ ist gegeben durch j ∗ (T ) = T |D(Rn )
und ist injektiv.
j
Beweis. (a) Wir zeigen ∀K kompakt: DK (Rn ) ֒→ S (Rn ),. Sei also ϕ ∈ DK (Rn ), m ≥
0, α ein Multiinex, K ⊂ Rn kompakt.
qm,α (ϕ) = sup (1 + |x|m )|∂ α ϕ(x)| ≤ Ck,m pα (ϕ),
x∈Rn
also ist j stetig. Sei nun ϕ ∈ S (Rn ). Wir wählen η ∈ D(Rn ) mit η(x) = 1 für
|x| ≤ 1 und η(x) = 0 für |x| ≥ 2 (sodass η glatt). Außerdem sei
x
ϕk (x) := ϕ(x)η
∈ D(Rn )∀k.
k
S (Rn )
Wir wollen zeigen: ϕk −→ ϕ. Dies gilt
⇔ ∀qm,α : qm,α (ϕ − ϕk ) → 0
qm,α (ϕ − ϕk ) = sup (1 + |x|m )|∂ α (ϕ − ϕk )|.
x∈Rn
Es gilt
(ϕ − ϕk )(x) = 0,
falls |x| ≤ k,
(ϕ − ϕk )(x) = ϕ(x),
falls |x| ≥ 2k.
Falls k ≤ |x| ≤ 2k, gilt
i
h x
− 1)ϕ(x)
∂ α (ϕ − ϕk ) = ∂ α (η
k
x
X α
Leibnitz
− 1)∂ α−β ϕ(x)
=
∂ α (η
k
β
β≤α
Nun gilt aber
x
1
|∂ β (η
− 1)| ≤ Cη,β ,
k k
x
k→∞
− 1)| → 0.
also |∂ β (η
k
wobei fürβ = 0 ist Cη,β = 1,
Daraus folgt nun insgesamt:
qm,α (ϕ − ϕk ) → 0 ⇒ ϕk → ϕ in S (Rn )
(b) Sei T ∈ S (Rn )∗ , ϕ ∈ D(Rn ), dann ist
(j ∗ (T ))ϕ = T (j(ϕ)) = T (ϕ)
⇒ j ∗ T = T |D(Rn ).
Sei T ∈ S (Rn )∗ sodass j ∗ T = 0, also 0 = j ∗ T ϕ = T jϕ, und somit
T |j(D(Rn )) ≡ 0
T stetig
⇒
T = 0.
Satz 3.25. Sei T ∈ S (Rn )∗ , dann gilt
F(D(α) T ) = i|α| xα F(T ).
30
3. DISTRIBUTIONEN
Beweis. Sei ϕ ∈ S (Rn ). Dann gilt:
(F(D(α) T ))(ϕ) = (D(α) T )(Fϕ) = (−1)|α| T (∂ α Fϕ)
= (−1)|α| (−i)|α| T (FMα ϕ) = i|α| T (FMα ϕ)
= i|α| Mα FT ϕ.
Beispiel. (a) Sei 1 ≤ p ≤ ∞ und f ∈ Lp (Rn ). Dann gilt für
Z
Tf (ϕ) =
f (x) ϕ(x) dx
Rn
n ∗
daß Tf ∈ S (R ) .
(b) Sei a ∈ Rn , dann ist δa ∈ S (Rn )∗ , und es gilt
Z
−n/2
Fδa (ϕ) = δa (Fϕ) = (2 π)
e−i a·x ϕ(x) dx,
Rn
∞
also ist Fδa die von der L –Funktion x 7→ (2 π)−n/2 e−i a·x induzierte Distribution. Manchmal schreiben wir dafür auch Fδa = (2 π)−n/2 e−i a·x .
(c) Sei ϕ ∈ S (Rn ), dann zeigt eine einfache Rechnung daß
FF(ϕ) (x) = ϕ(−x),
und damit folgt dann mit dem vorigen Beispiel
FT1 (ϕ) = FFδ (ϕ) = δ(FFϕ) = ϕ(−0) = δ(ϕ).
KAPITEL 4
Schwache Topologien
1. Definition schwacher Topologien
Definition 4.1. Seien X, Y Vektorräume und (x, y) 7→ hx, yi ∈ R eine Bilinearform. Das Tupel (X, Y, h·, ·i) heißt duales Paar, falls
(a) für alle x ∈ X \ {0} ein y ∈ Y existiert sodaß hx, yi 6= 0, und
(b) für alle y ∈ Y \ {0} ein x ∈ X existiert sodaß hx, yi 6= 0.
Beispiel. (a) Sei X ein lokalkonvexer Hausdorffraum, daß bedeutet für alle x ∈
X \ {0} existiert ein p ∈ P mit p(x) 6= 0. Mit dem Satz von Hahn–Banach folgt
daß (x, x∗ ) 7→ x∗ (x) mit (X, X ∗ ) ein duales Paar bildet.
(b) (X ∗ , X) mit (x∗ , x) 7→ x∗ (x) ist ein duales Paar.
Definition 4.2. Sei (X, Y ) ein duales Paar.
(a) Für jedes y ∈ Y betrachten wir die Halbnorm py (x) = |hx, yi| und setzen
P = {py : y ∈ Y }.
Die von P auf X erzeugte Topologie heißt σ(X, Y )–Topologie.
(b) Für jedes x ∈ X betrachten wir die Halbnorm px (y) = |hx, yi| und setzen
Q = {px : x ∈ X}.
Die von Q auf Y erzeugte Topologie heißt σ(Y, X)–Topologie.
Bemerkung 4.3. (a) Ein Netz (xi ) ⊂ X konvergiert bezüglich σ(X, Y ) gegen x
genau dann wenn für alle y ∈ Y gilt hxi − x, yi → 0.
(b) Ein Netz (yi ) ⊂ Y konvergiert bezüglich σ(Y, X) gegen y genau dann wenn für
alle x ∈ X gilt hx, yi − yi → 0.
Lemma 4.4. Sei X ein Vektorraum und ℓ, ℓ1 , . . . , ℓn : X → R linear. Bezeichnen mit N die Menge {x : ℓi (x) = 0, i = 1, . . . , n }, dann sind folgende Aussagen
äquivalent:
(i) ℓ ∈ lin{ℓ1 , . . . , ℓn }.
(ii) Es gibt eine Konstante M ≥ 0 sodaß für alle x ∈ X
|ℓ(x)| ≤ M · max |ℓi (x)|.
(iii)
\
1≤i≤n
ker(ℓi ) ⊂ ker(ℓ), das heißt ℓ(x) = 0 falls x ∈ N .
1≤i≤n
Beweis. (i)⇒(ii)⇒(iii) sind klar.
(iii)⇒(i): Wir definieren:
V := {(ℓi (x))1≤i≤n : x ∈ X}
ϕ: V → R
(ℓi (x))i≤n 7→ ℓ(x)
Dann ist ϕ wohldefiniert und linear (wegen (iii)). Nun folgt:
n
X
αi ξi
∃ϕ̂ : Rn → R : ϕ̂|V = ϕ und ϕ̂(ξ) =
i=1
31
32
4. SCHWACHE TOPOLOGIEN
Also insbesondere
ϕ( (ℓi (x))ni=1 ) =
n
X
αi ℓi (x),
i=1
das ist eine Linearkombination der ℓi
Korollar 4.5. Ein Funktional auf X ist genau dann σ(X, Y )–stetig wenn es von
der Form
x 7→ hx, yi
ist. Es gilt also
(X, σ(X, Y ))∗ = Y.
Beweis. Sei ℓ : X → R linear. Dann ist ℓ stetig ⇔ |ℓ(x)| ≤ C. max | hx, yi i |.
| {z }
=:ℓi (x)
Mit dem Lemma folgt nun
n
n
n
X
X
X
yi i
αi hx, yi i = hx,
αi ℓi (x) =
ℓ=
Setzt man
P
i=1
i=1
i=1
yi =: y folgt schließlich ℓ = h·, yi.
∗
Satz 4.6. Seien T1 und T2 lokalkonvexe Topologien auf X und sei (X, T1 ) =
(X, T2 )∗ . Dann ist eine konvexe Menge C ⊂ X genau dann T1 –abgeschlossen wenn
sie T2 –abgeschlossen ist.
Beweis. Ohne Beweis.
Satz 4.7. Die schwache Topologie σ(X, Y ) ist initial bezüglich Y , das heißt ist T
ein topologischer Raum und f : T → (X, σ(X, Y )), dann ist f genau dann stetig
wenn
y ◦ f : T → R, das heißt t 7→ hf (t), yi
für alle y ∈ Y stetig ist.
Beweis. Wenn f stetig, folgt natürlich, dass t 7→ hf (t), yi stetig ist. Umgekehrt
sei t 7→ hf (t), yi stetig für alle y ∈ Y . Sei t ∈ T : Ist U eine σ(X, Y )-Nullumgebung,
so ist z.z. dass es eine Umgebung W von t gibt, sodass f (W ) ⊂ f (t) + U .
Sei U := {x : |hx, yi i| ≤ ǫ}, dann ist yi ◦ f stetig nach Voraussetzung. Daraus folgt
W :=
T
∃Wi Umgebung von t : |hf (t) − f (s), yi i| ≤ ǫ
∀s ∈ Wi
Wi ist offen in T und leistet das Gewünschte.
2. Bipolarensatz
Definition 4.8. Sei (X, Y ) ein duales Paar, A ⊂ X und B ⊂ Y .
(a) Die Polare von A ist
A◦ = y ∈ Y : hx, yi ≤ 1, für alle x ∈ A
(b) Die Polare von B ist
A◦ = x ∈ X : hx, yi ≤ 1, für alle y ∈ B
Lemma 4.9. Sei (X, Y ) ein duales Paar, und seien A, Ai ⊂ X, i ∈ I, dann gilt:
(a) A◦ ist konvex und σ(Y, X)–abgeschlossen, A◦ = (co A)◦ .
(b) 0 ∈ A◦ , A ⊂ A◦◦ und wann immer A1 ⊂ A2 folgt A◦2 ⊂ A◦1 .
(c) Ist A kreisförmig, so ist es auch A◦ .
(d) (λ · A)◦ = λ1 A◦ , λ > 0.
[ ◦ \
(e)
A◦i .
Ai =
i∈I
S
T
(f ) ( Ai )◦ ⊃ co( A◦i ).
2. BIPOLARENSATZ
33
Beweis. (b)-(e) können durch einfaches Nachrechnen bewiesen werden.
(a): Wir setzen ℓx (y) := hx, yi
\
\
A◦ =
{y ∈ Y : hx, yi ≤ 1} =
{y ∈ Y : ℓx (y) stetig}.
x∈A
x∈A
Die letzte Menge ist abgeschlossen, da ℓx (y) stetig. Da weiters der beliebige Durchschnitt abgeschlossener Mengen abgeschlossen ist, gilt dass A◦ abgeschlossen ist.
Seien weiters y, ȳ ∈ A◦ . Mit der Bilinearität von h·, ·i folgt:
t ∈ [0, 1] :
hty + (1 − t)ȳ, xi ≤ 1,
also A◦ ist konvex. Schlussendlich zeigen wir noch, dass A◦ = (co(A))◦ :
A◦ = {y ∈ Y : hx, yi ≤ 1 ∀x ∈ A} =
= {y ∈ Y : hx, yi ≤ 1 ∀x ∈ co(A)} =
= {y ∈ Y : hx, yi ≤ 1 ∀x ∈ co(A)} =
= (co(A))◦ .
(f) A =
T
Ai ⇒ A ⊂ Ai ∀i. Daraus folgt mit (b):
(b)
⇒ A◦i ⊂ A◦ ⇒
[
A◦i ⊂ A◦
[
(a)
⇒ co( A◦i ) ⊂ A◦ .
Satz 4.10 (Bipolarensatz). Für ein duales Paar (X, Y ) und A ⊂ X gilt
A◦◦ = co(A ∪ {0}),
wobei der Abschluß bezüglich σ(X, Y ) ist.
Beweis. Da A ⊂ A◦◦ , 0 ∈ A◦ (und daher auch in A◦◦ ) und A◦◦ konvex und
abgeschlossen, gilt co(A ∪ {0}) ⊂ A◦◦ .
Wir nehmen nun umgekehrt an, dass co(A ∪ {0}) ( A◦◦ , also
∃x0 ∈ A◦◦ 6∈ co(A ∪ {0}) =: V.
Wir wählen wieder mit dem Satz von Hahn-Banach ein lineares Funktional, das V
und x0 echt trennt:
∃x∗ ∈ X ∗ σ(X, Y )-stetig : x∗ (x0 ) > 1 ≥ x∗ (x)
∀x ∈ V.
Wir wissen: x∗ ist stetig bezüglich σ(X, Y ) ⇔ ∃y ∈ Y : x∗ = h·, yi. So ein y wählen
wir. Also
hx0 , yi > 1 ≥ hx, yi ∀x ∈ V
Also hx, yi ≤ 1 (∀x ∈ A) ⇒ y ∈ A◦ und hx0 , yi > 1 ⇒ x0 6∈ A◦◦ , das ist ein
Widerspruch.
Korollar 4.11. Sei (X, Y ) ein duales Paar und C ⊂ X konvex mit 0 ∈ C. C ist
genau dann σ(X, Y ), abgeschlossen wenn es ein B ⊂ Y gibt sodaß C = B ◦ .
Beweis. „⇒“ B := C ◦ ⇒ C ◦◦ = B ◦ = co(C ∪ {0}) = C̄ = C.
„⇐“ ∃B ⊂ Y : C = B ◦ ⇒ C ist abgeschlossen.
34
4. SCHWACHE TOPOLOGIEN
3. Der Satz von Banach–Alaoglu–Bourbaki
Satz 4.12 (Satz von Banach–Alaoglu–Bourbaki). Sei U eine Nullumgebung des
lokalkonvexen Raumes X. Dann ist U ◦ bezüglich σ(X ∗ , X) kompakt.
Beweis. Zunächst zwei Vorbetrachtungen: σ(X ∗ , X) ist die Topologie der punktweisen Konvergenz auf X:
Φ : (X ∗ , σ(X ∗ , X)) → (RX , Tp )
x∗ 7→ x∗ ,
wobei Tp die Topologie der punktweisen Konvergenz auf RX bezeichne. Offensichtlich ist Φ injektiv. Außerdem ist Φ eine homöomorphe Einbettung von X ∗ in RX
(d. h. Φ und Φ−1 sind stetig).
Wir stellen außerdem fest, dass es für U ⊂ X Nullumgebung ein V ⊂ U gibt, sodass
V absolutkonvex ist und außerdem daraus folgt, dass U ◦ ⊂ V ◦ und schließlich gilt:
wenn V ◦ kompakt ist, ist auch U ◦ kompakt. OBdA. können wir also U absolutkonvex annehmen.
Wir zeigen nun: Φ(U ◦ ) kompakt bezüglich Tp :
Sei x ∈ X. Da U absorbierend und absolutkonvex gilt
∃λx > 0 : x ∈ λx U und |hx∗ , xi| ≤ λx
∀x∗ ∈ U ◦ .
Außerdem ist Kx :=Q{λ ∈ R : |λ| ≤ λx } kompakt in R. Weiters ist dann mit dem
Satz von Tichonow x∈X Kx kompakt bzgl. der Produkttopologie Tp . Sei nun
Y
K :=
Kx = {f ∈ RX : f (x) ∈ Kx ∀x ∈ X}.
x∈X
Dann gilt:
Φ(U ◦ ) ⊂ K da ∀x∗ ∈ U ◦ : |x∗ (x)| ≤ λx .
Könnten wir nun zeigen, dass Φ(U ◦ ) abgeschlossen ist, wäre Φ(U ◦ ) auch kompakt.
Und daraus könnten wir dann folgern, da Φ ein Homöomorphismus ist, dass auch
U ◦ kompakt ist.
Dazu sei f ∈ K im Abschluss von Φ(U ◦ ). Der punktweise Limes eines Netzes (x∗i )
ist mit x∗i linear selbst linear. Somit ist auch f linear.
∀x ∈ U : λx = 1 ⇒ f (U ) ⊂ {λ : |λ| ≤ 1}
Da f linear ist, ist f sogar stetig. Somit ist f ∈ Φ(X ∗ ). Ist U ◦ abgeschlossen in X ∗
gilt Φ(U ◦ ) abgeschlossen in Φ(X ∗ ).
Also:
f ∈ Φ(X ∗ )
Φ(U ◦ ) abgeschlossen in Φ(X ∗ )
f ∈ K im Tp -Abschluss von Φ(U ◦ )
siehe oben
⇒
U ◦ kompakt.
Satz 4.13 (Satz von (Banach)–Alaoglu). Sei X ein normierter Raum, so ist
BX ∗ = x∗ ∈ X ∗ : kx∗ k ≤ 1
kompakt in der schwach∗ –Topologie σ(X ∗ , X).
Literaturverzeichnis
[Wer11] Dirk Werner. Functional analysis. (Funktionalanalysis.) 7th revised and expanded ed.
Springer-Lehrbuch. Berlin: Springer. xiii, 552 p. EUR 36.95; SFR 46.00 , 2011.
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